circuito LC

circuito LC
circuiti oscillanti
1
Il circuito LC
V0
+
C
-
V
i
L
Carica elettrica presente
armature del condensatore:
sulle
Q = Q(t)
differenza di potenziale ai capi
del condensatore:
Q
V =
C
Q
di
−L =0
C
dt
dQ
Conser vazione della carica elettrica: −
=i
dt
Q
d2 Q
+L 2 =0
C
dt
2
Analogia tra oscillatore meccanico e circuito LC
equazione del circuito:
d2 Q
1
+
Q=0
2
dt
LC
1
ω =
LC
equazione oscillatore
meccanico:
d2 x
k
+ x=0
2
dt
m
k
ω =
m
2
2
Soluzione:
Q = Q0 sin (ωt + ϕ)
condizioni iniziali:
{
Q(0) = Q0 = CV0
dQ
(0) = −i(0) = 0
dt
Q = CV0 cos (ωt)
3
Attenzione!
periodo di oscillazione:
√
T = 2π LC
velocità luce
☞ condizioni quasi-stazionarie:
l ! cT
dimensioni circuito
☞ circuito a costanti concentrate:
es. :
T ∼ 10−6 s
condensatore in condizioni di induzione
completa e campo magnetico variabile
contenuto completamente nel volume
dell’induttanza.
cT ∼ 3 · 102 m
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Andamento temporale carica e corrente
Q
Q = CV0 cos (ωt)
t
analogia meccanica:
x(t)
oscillazioni attorno alla
condzione di equilibrio: Q=0
i
i = ωCV0 sin (ωt)
t
!
analogia meccanica: v(t)
"
dQ
= −i
dt
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Considerazioni energetiche
1 2
UC =
Q
2C
1
(CV0 )2 cos2 (ωt)
2C
1 2
UL = Li
2
1 2
Lω (CV0 )2 sin2 (ωt)
2
1
1
2 1
2
UC + UL = (CV0 ) ( + Lω ) = CV0 2 = cost
2
C
2
1
ω =
LC
2
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Circuito LC con generatore di fem costante
Conser vazione della carica elettrica:
+ −
C
i
ε
L
dQ
=i
dt
Applicando la seconda legge di Kirchhoff
d2 Q Q
L 2 +
=ε
dt
C
Questa equazione è formalmente identica a quella dell’oscillatore meccanico posto
in un campo di forze costante (molla appesa in verticale):
d2 z
m 2 + kz = mg
dt
la frequenza delle oscillazioni resta invariata, ma
cambia la configurazione di equilibrio:
Qeq = εC
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Caso generale di oscillatore smorzato: circuito RLC
R
L
i
ε
C
d2 Q
dQ Q
L 2 +R
+
=ε
dt
dt
C
+
−
in funzione del valore
dello smorzamento si
individuano tre casi:
{
L
1
<
2
R C
4
sottocritico
L
1
=
2
R C
4
critico
L
1
>
2
R C
4
oscillatorio
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Caso generale di oscillatore smorzato: circuito RLC
Q Q
Solo nel terzo caso si
hanno oscillazioni:
oscillatorio
L
1
>
2
R C
4
sottocritico
t
Q = Ae
R
− 2L
t
cos(ω t + ϕ)
"
La soluzione generale
dell’equazione omogenea
(generatore assente) nel
caso oscillatorio è:
1
ω =
−
LC
!2
!
R
2L
"2
La pulsazione del circuito smorzato è diversa da quella del caso smorzato! Vi
si riduce nel caso di R=0
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Misura del periodo di oscillazione del circuito RLC
E’ possibile visualizzare la carica sul condensatore in funzione del tempo
disponendo di un oscilloscopio che misuri la ddp ai capi del condensatore
(N.B. Q=CV ).
Invece di usare un generatore di fem in continua e un tasto, è più conveniente
alimentare il circuito con un’onda quadra di periodo molto maggiore rispetto a
quello del circuito.
ch1
ch2
out
10
Misura del periodo di oscillazione del circuito RLC
V
t
Il periodo dell’onda quadra
è tale che il circuito si
porta all’equilibrio.
Ad ogni gradino di
tensione inizia una nuova
oscillazione.
Gli andamenti ripetitivi
c o sì p ro do t t i s o n o
f acilme nte osse r vabili
sull’oscilloscopio.
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Misura del periodo di oscillazione del circuito RLC
V
t
Facendo uso dei comandi sull’oscilloscopio è possibile isolare e ingrandire poche
oscillazioni, in modo da misurare agevolmente il periodo del circuito con la
massima sensibilità possibile.
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