Esercizi circuiti dinamici - Università degli Studi di Cassino

Università degli Studi di Cassino
Esercitazioni di Teoria dei Circuiti:
circuiti in evoluzione dinamica
prof. Antonio Maffucci
[email protected]
ver.2.1 – ottobre 2007
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2.1-2007
1. Circuiti dinamici del primo ordine.
ES. 1.1 Nel seguente circuito è assegnata la corrente nell’induttore all’istante t = 0 .
Ricavare la corrente sull’induttore per t > 0 , graficarne l’andamento e stimare la durata
del transitorio.
E
+
iL
R1
L
R2
vL
E = 220 V per t > 0,
i L (0) = 0.4 A,
L = 0.1 H , R1 = 1 kΩ, R2 = 200 Ω.
Valutando l’equivalente di Norton ai capi
dell’induttore:
RR
Req = 1 2 = 166.67 Ω ,
I CC
R1 + R2
E
I cc =
= 0.22 A ,
R1
si ottiene la rete equivalente in figura, descritta dalle equazioni:
iL +
vL
= I cc ,
R
vL = L
iL
L
Req
vL
diL
,
dt
dalle quali si ricava facilmente l’equazione differenziale nell’incognita i L (t )
diL iL I cc
+ =
,
dt τ
τ
dove
τ=
L
= 0.60 ms
Req
Risolvendo l’equazione caratteristica dell’omogenea associata
λ+
1
=0 ⇒
τ
λ = −1 / τ = −1.67 ⋅ 10 3 s −1 ,
3
possiamo esprimere la soluzione generale nella forma: i L (t ) = Ke −1.67⋅10 t + i LP (t ) ,
dove i LP (t ) rappresenta il termine di regime stazionario. In tale condizione l’induttore è
equivalente ad un corto-circuito, per cui:
0.5
i LP (t ) = I CC = 0.22 A .
[A]
0.45
0.4
La costante K si ottiene imponendo la continuità
della variabile di stato i L (t ) all’istante t = 0 :
iL (0− ) = 0.4 = iL (0+ ) = K − 0.22
⇒ K = 0.18
3
da cui iL (t ) = 0.18e −1.67⋅10 t + 0.22 A per t > 0,
il cui andamento nel tempo è graficato a lato. La
durata del transitorio è stimata in 4τ = 2.40 ms .
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t/tau
2
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2.1-2007
ES. 1.2 Nel seguente circuito all'istante t = 0 si apre l'interruttore A. Calcolare la tensione
sul condensatore per ogni istante.
R
E1
A
+
v (t )
−
+
t=0
+
C
E2
E1 = 8 V , E 2 = 2 V
R = 10 kΩ, C = 2 mF
Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito
aperto. Per tale ragione si ha:
v(t ) = E 2 = 2 V .
Per t > 0 , applicando la LKT all'unica maglia e la caratteristica del condensatore si ottiene
facilmente l'eq. differenziale di primo ordine nell'incognita v(t )
Ri + v = E1 ,
i=C
dv
,
dt
⇒
dv v E1
+ =
dt τ
τ
dove
τ = RC .
La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a λ = −1 / τ = −0.05 s −1 ,
quindi la soluzione generale si esprime nella forma:
v(t ) = Ke −0.05t + v P (t ) ,
dove v P (t ) è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime.
Poiché per t → ∞ si tende ad un regime stazionario, il condensatore si comporta come un
circuito aperto ai capi del quale ci sarà
v P (t ) = E1 = 8 V .
Resta da determinare la costante K, che si ottiene dalla condizione iniziale, ottenuta imponendo
la continuità della variabile di stato v(t )
v ( 0 − ) = v (0 + )
da cui
v(t ) = 8 − 6e −0.05t
⇒
2 = K +8
⇒ K = −6 ,
t > 0.
ES. 1.3 Dato il seguente circuito, valutare la tensione v (t ) per t > 0 .
R1
e(t )
+
R2
C
+
e(t ) = 50 V
t>0
v
−
v (t = 0) = 10 V , C = 1 mF
R1 = 20 Ω, R 2 = 24 Ω.
Risultato: v(t ) = 27.3 − 17.3e −91.7t V .
3
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2.1-2007
ES. 1.4 Considerato il seguente circuito, che fino all’istante t = 0 lavora in regime
stazionario, calcolare la corrente nell'induttore per ogni istante, graficare l’andamento e
stimare la durata del transitorio.
i x (t )
e(t )
R1
R2
+
iL (t )
i y (t )
10 V
e(t ) = 
− 10 V
R1
R1 = 10 Ω
t<0
t>0
R2 = 20 Ω
L
L = 2 mH
Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi l'induttore si comporta come un corto circuito.
Per tale ragione, posto Ra = R1 //R2 si ha:
i L (t ) = e(t )
Ra
1
= 0.2 A
Ra + R1 R2
t < 0.
Per valutare la soluzione per t > 0 si può procedere come nell’esercizio 1.1, valutando dapprima
l’equivalente di Norton ai capi dell’induttore:
Req = R2 +
R1
2
e
I cc (t ) =
e(t )
,
R1 + 2 R2
e quindi ricavare l’equazione differenziale nell’incognita i L (t )
diL iL I cc
+ =
,
dt τ
τ
dove τ ≡
L
= 80 µs.
Req
Alternativamente si possono ovviamente applicare le leggi di Kirchhoff alla rete di partenza:
R1i x + R1i y = e ,
R1i y = R2 i L + L
di L
,
dt
i x = i y + i L , da cui
di L 1
e
+ iL =
.
dt τ
2L
La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è λ = −1 / τ = −12.5 ⋅ 10 3 s −1 ,
quindi la soluzione generale si esprime nella
[A]
forma:
0.25
0.2
3
i L (t ) = Ke −12.5⋅10 t + i LP (t ) ,
0.15
dove i LP (t ) è la soluzione di regime stazionario:
0
i LP (t ) = −0.2 A .
-0.05
Imponendo la continuità della corrente i L (t ) :
i L ( 0 − ) = i L ( 0 + ) ⇒ 0 .2 = K − 0 .2 ⇒ K = 0 .4 ,
da cui:
0.1
0.05
3t
i L (t ) = −0.2 + 0.4e −12.5⋅10
t > 0.
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
-1
0
1
2
3
4
5
t/tau
6
Il transitorio si estinguerà in circa 4 τ = 0.32 ms.
4
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2.1-2007
ES. 1.5 Il seguente circuito è a riposo fino a t = 0 , istante in cui si chiude l'interruttore A.
Calcolare: a) la costante di tempo τ del circuito;
b) la tensione ai capi del condensatore per t > 0 (tracciarne anche il grafico).
t=0
R1
A
+
v (t )
−
+
e(t)
e(t ) = 10 cos(ωt )
R2
C
ω = 100rad / s
R3
R1 = 20 Ω, R2 = 5 Ω
R3 = 10 Ω, C = 1 mF
a) Per calcolare la costante di tempo basta valutare la resistenza dell’equivalente di Thévenin
visto ai capi del condensatore:
35
Req = ( R1 // R3 ) + R2 =
Ω
⇒
τ = Req C = 11.7 ms
3
b) Per t < 0 il circuito è a riposo, quindi vc (0 − ) = vc (0 + ) = 0. Per t > 0 , ricavando la tensione a
vuoto dell’equivalente di Thévenin visto ai capi del condensatore si ha:
e(t ) R3
.
R1 + R3
Applicando le leggi di Kirchhoff al circuito ottenuto sostituendo ai capi di C il generatore
equivalente di Thévenin si ricava l’equazione differenziale nell’incognita vc :
V0 (t ) =
dvc v c V0
+
=
.
dt
τ
τ
La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a λ = −1 / τ = −85.5 s −1 ,
quindi la soluzione generale si esprime nella forma:
vc (t ) = A exp(−85.5t ) + v cp (t ) ,
dove vcp (t ) è la soluzione di regime sinusoidale, valutabile attraverso il metodo fasoriale. Posto:
j
Z& 2 = R2 −
= 5 − 10 j , Z& 3 = R3 = 10,
ωC
e applicando ripetutamente la regola del partitore di tensione si ha, posto Z& x = Z& 2 // Z& 3 :
Z& x
V Z&
2.5
[V]
V2 = E
⇒ Vc = 2 c = 2.17e − j 0.86
&
&
&
2
Z +Z
R +Z
E = 10,
x
1
Z&1 = R1 = 20,
2
c
1.5
da cui: vcp(t) = 2.17 cos(100t − 0.86) V
Dalla condizione iniziale si ha:
vc (0 + ) = 0 = A + 2.17 cos(−0.86) ⇒
1
0.5
A = -1.41
Quindi in definitiva si ottiene la tensione
vc (t ) = −1.41 exp(−85.5t ) + 2.17 cos(100t − 0.86) V
il cui andamento è tracciato nella figura a lato.
0
-0.5
-1
-1.5
t>0
-2
-2.5
0
0.05
0.1
0.15
[s]
0.2
5
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2.1-2007
ES. 1.6 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t = 0 , istante in cui si apre
l'interruttore A. Calcolare la tensione ai capi dell’induttore in ogni istante e tracciarne il
grafico.
R1
+
E
R2
R3
iL
vL
E = 220 V , L = 0.1 H ,
R1 = 1 kΩ, R 2 = R3 = 500 Ω.
L
t=0
4
Risultato: v L (t ) = 0 per t < 0; v L (t ) = 88.5e −1.5⋅10 t V per t > 0.
ES. 1.7 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t = 0 , istante in cui si chiude
l'interruttore. Calcolare la tensione sul condensatore in ogni istante e tracciarne
l’andamento.
t=0
+
+
R1
C
R2
vC
E = 220 V , C = 1 F ,
R1 = R3 = 1 kΩ, R2 = 500 Ω.
R3
−
Risultato: vC (t ) = 73.33 V per t < 0; vC (t ) = 54.59 + 18.74e −4⋅10
−3
t
V per t > 0.
ES. 1.8 La seguente rete dinamica è a riposo per t < 0 .
a) Tracciare l’andamento della tensione ai capi di R2 per t > 0 .
b) Calcolare l’energia dissipata da R2 nell’intervallo 0 < t < 5 ms .
i L (t )
L
j (t )
R1
R2
+
v(t )
-
j (t )
J = 40 A, T = 1 ms
J
R1 = 30 Ω, R2 = 20 Ω
L = 50 mH
0
T
t
Essendo v(t ) = R2 i L (t ) è opportune risolvere il problema nell’incognita i L (t ) , variabile di stato.
Per t < 0 il circuito è a riposo, quindi i L (t ) = 0 .
Per 0 < t < T , valutando l’equivalente di Norton ai capi di L si ottiene:
Req = R1 + R2
e
I cc (t ) =
R1
J,
R1 + R2
da cui l’equazione differenziale nell’incognita i L (t ) :
6
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
di L i L I cc
+ =
,
dt
τ
τ
ver2.1-2007
con
τ=
L
= 1 ms .
Req
L’omogenea associata fornisce un’equazione caratteristica avente radice λ = −1 / τ = −10 3 s −1 .
La soluzione assume quindi la forma:
i L (t ) = Ke −1000t + i LP (t ) ,
dove i LP (t ) è la soluzione di regime stazionario, quindi assumendo L come corto circuito:
i LP (t ) = J
R1
= 24 A.
R1 + R2
Resta da determinare la costante K, che si ottiene dalla condizione iniziale:
i L (0 + ) = i L (0 − ) = 0
da cui
v(t ) = R2 i L (t ) = 480(1 − e −1000t )
⇒
0 = K + 24
⇒ K = −24 ,
per 0 < t < T .
Per t > T l'equazione differenziale sarà
di L i L
+ = 0,
dt
τ
e quindi tutta la soluzione coincide con la soluzione dell’omogenea
i L (t ) = He −1000t ,
350
dove H è una costante arbitraria, determinata
imponendo la condizione iniziale per t = T +
i L (T + ) = i L (T − )
24(1-e −1 ) = He −1
⇒
[V]
300
250
⇒
H = 41.24
200
150
da cui
100
v(t ) = R2 i L (t ) ≈ 825e
−1000t
V per t > T .
L’andamento della soluzione è tracciato nel
grafico a lato.
50
0
0
1
2
3
4
[ms]
5
Per calcolare l’energia dissipata da R2 nell’intervallo [0, t fin ] con t fin = 5 ms , basta integrare la
potenza istantanea assorbita:
t fin
t
t
T 2
fin
T
fin
v 2 (t )
v (t )
v 2 (t )
480 2 (1 − e −1000t ) 2
825 2 e −2000t
WR2 (0, t fin ) = ∫
dt = ∫
dt + ∫
dt = ∫
dt + ∫
dt
20
20
0 R2
0 R2
T R2
0
T
WR2 (0, t fin ) = 25.48 J
7
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2.1-2007
ES. 1.9 La seguente rete rappresenta un semplice circuito di carica e scarica di un
condensatore. La carica avviene tra l'istante t = 0 e l'istante t = T , intervallo in cui
l'interruttore A resta chiuso. Per t > T , invece, il condensatore C viene collegato al resto
della rete attraverso la chiusura dell'interruttore B. Supponendo la rete a riposo per t < 0 ,
valutare:
a) la tensione sul condensatore v(t ) per 0 < t < T ;
b) l'energia massima Wmax erogabile da C per t > T ;
R1
A
+
v (t )
−
t = 0, T
e(t )
B
+
e(t ) = 100 sin(20t ) V
A
t =T
chiuso
R2
C
R1 = 10 Ω
T =2s
aperto
aperto
0
Risultato:
C = 10 mF
T
t
a) v(t ) = 40e −10t + 44.7 sin(20t − 1.11) V per 0 < t < T ;
b) Wmax = 8.64 J ;
ES. 1.10 Nella seguente rete è nota la tensione ai capi del condensatore all’istante di
chiusura dell’interruttore t = 0 . Valutare la corrente i(t) nel resistore R1 per t > 0
R1
R2
e(t ) = sin(100t ) V
t=0
i (t )
v(t )
e(t )
C
+
R1 = 15 Ω, R2 = 10 Ω,
C = 1 mF, v(0 + ) = 1 V .
Risultato: i (t ) = −0.08e −t / 0.006 − 0.03 sin(100t − 0.54) A
ES. 1.11 Nella seguente rete l’interruttore si chiude all’istante t = 0 , istante in cui la
corrente circolante in L è nota. Calcolare:
a) il circuito equivalente di Thevenin ai capi di L per t > 0;
b) la corrente che circola nell’induttore per t > 0.
R2
iL (t )
t=0
L
Risultato:
R1
+
E
E = 10 V, i L (0) = 2 A
R1 = 5 Ω, R2 = 4 Ω, L = 1 mH.
a) Req = 2.22 Ω, E 0 = 5.55 V
b) i L (t ) = −2.5 + 4.5e −t / τ A, con τ = 0.45 ms.
8
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2.1-2007
2. Circuiti dinamici del secondo ordine.
ES. 2.1 La seguente rete è in regime stazionario fino all’istante t = 0 . Calcolare la tensione
sul condensatore in ogni istante, graficarne l’andamento e stimare la durata del transitorio.
i R (t )
i (t )
e( t )
+
2 V per t < 0
e(t ) = 
− 2 V per t > 0
R = 1 Ω, L = 1 µH , C = 1 µF
+
L
R
C
R
v (t )
−
Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito
aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione:
v(t ) = e(t )
R
= 1V ,
2R
i (t ) =
e(t )
=1 A.
2R
Per la continuità delle variabili di stato si avrà: v(0 − ) = v(0 + ) = 1 V e i (0 − ) = i (0 + ) = 1 A .
L’evoluzione dinamico del circuito per t > 0 sarà descritta dalle seguenti equazioni derivate
imponendo le leggi di Kirchhoff e le caratteristiche dei bipoli:
Ri + L
di
+v = e,
dt
i=
v
dv
+C
.
R
dt
Da tali equazioni si perviene al sistema delle equazioni di stato:
di e − v Ri
=
−
dt
L
L
dv i
v
= −
.
dt C CR
L’equazioni differenziale nell’incognita v(t ) sarà quindi
d 2v
R  dv
2
e
 1
+
+
+
v
=
.


LC
dt 2  RC L  dt LC
L’equazione caratteristica dell’omogenea associata è la seguente:
λ2 + 2 ⋅ 10 6 λ + 2 ⋅ 10 6 = 0 ,
e fornisce le radici λ1, 2 = α ± jβ = 10 6 (−1 ± j ) . La soluzione dell’omogenea associata può
quindi essere espressa nella forma:
v0 (t ) = e αt [k1 cos(β t ) + k 2 sin(βt )] .
A tale soluzione va aggiunta la soluzione di regime stazionario che, per effetto delle
considerazioni svolte precedentemente, sarà banalmente pari a: v p (t ) = −1 V . La soluzione
generale per t > 0 assume quindi la forma:
v(t ) = e αt [k1 cos(β t ) + k 2 sin(β t )] − 1 .
9
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2.1-2007
Le costanti arbitrarie si determinano imponendo la continuità delle variabili di stato nell’istante
t = 0 . Tale proprietà impone le seguenti condizioni iniziali su v(t ) e su v ′(t ) :
v(0 + ) = 1 = k1 − 1 ⇒ k1 = 2
dv
dt
=
0+
1 +
v (0 + ) 
i
(
0
)
−

 = 0 = αk1 + β k 2
C
R 
⇒ k2 = −
αk1
= 2.
β
La soluzione è, quindi:
6
v(t ) = −1 − 2e −10 t [cos(10 6 t ) + sin(10 6 t )] V .
L’andamento della tensione in ogni
istante di tempo è riportato nel grafico a
lato.
1.5
La costante di tempo della rete è pari a
τ = −1 / α = 1 µs , mentre il periodo delle
delle oscillazioni naturali è pari a
T = −2π / β = 6.28 µs.
Durante il transitorio, quindi, è visibile
meno di una oscillazione naturale
completa.
0.5
[V]
1
0
-0.5
-1
-1.5
-1
0
1
2
3
4
5
t [us]
6
ES. 2.2 Nella seguente rete sono assegnati i valori delle grandezze di stato all’istante t = 0 .
Calcolare la tensione sul condensatore per t > 0 .
L
R
e(t )
+
+
C
v (t )
−
v(0) = 1 V, i(0) = 0 A
E = 1 V per t > 0
R = 1Ω, L = 1µH , C = 1µF
5
Risultato: vC (t ) = e −5⋅10 t [cos(8.7 ⋅ 10 5 t ) + 0.57 sin(8.7 ⋅ 10 5 t )] V per t > 0 .
10
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2.1-2007
ES. 2.3 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t = 0 . Calcolare:
a) il valore delle grandezze di stato all'istante t = 0 +
b) la corrente iL (t ) per t > 0
R
iL (t )
C
j( t )
R
L
20 A
j (t ) = 
0 A
R=2Ω
t<0
t >0
L = 10 µH
C = 5 µF
a) Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un
circuito aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione:
i L (t ) = j (t ) / 2 = 10 A , vC (t ) = j (t ) R / 2 = 20 V
t <0.
Per la continuità delle variabili di stato si ha: vc (0 − ) = v c (0 + ) = 20 V e i L (0 − ) = i L (0 + ) = 10 A .
b) Per t > 0 il circuito è in evoluzione libera. Per ottenere le equazioni di stato si possono
imporre le equazioni di Kirchhoff e le caratteristiche, come fatto nell’esercizio 1.1. Un metodo
più efficace consiste nella risoluzione preliminare del circuito resistivo associato.
Questo circuito può essere studiato applicando, ad esempio, il metodo dei potenziali nodali
modificato. Considerando c come nodo di riferimento e osservando che il potenziale del nodo a è
pari a vc mentre quello del nodo b è pari a v L si ha:
a
vC − v L
= iL ,
R
v
i L + C + iC − j = 0 .
R
Le variabili non di stato saranno esprimibili come:
v L = vC − Ri L ,
iC
j
vC
R
+
_
vC
+ j.
R
iC = −i L −
b
R
vL
iL
c
Ricordando le caratteristiche dei bipoli dinamici, da
queste equazioni si ottengono immediatamente le equazioni di stato della rete:
di L vC − Ri L
=
,
dt
L
dvC − i L + j vC
=
−
.
dt
C
RC
Ricavando vC dalla prima e sostituendola nella seconda si ottiene l'equazione differenziale:
d 2iL
dt
2
R  di
2
 1
+
+  L +
iL = 0 ,
 RC L  dt LC
la cui equazione caratteristica fornisce λ1, 2 = α ± jβ = 10 5 (−1.5 ± 1.3 j ) . La soluzione è, quindi:
i L (t ) = exp(αt )[k1 cos(β t ) + k 2 sin(β t )] ,
dove le costanti k1 , k 2 vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su i L e su di L / dt :
i L (0 + ) = 10 = k1 ,
di L
dt
=
0+
vC (0 + ) − Ri L (0 + )
= 0 = αk1 + βk 2
L
⇒ k2 = −
αk1
= 11.5 .
β
Pertanto la soluzione sarà: i L (t ) = exp(−1.5 ⋅ 10 5 t )[10 cos(1.3 ⋅ 10 5 t ) + 11.5sin(1.3 ⋅ 10 5 t )]
t > 0.
11
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2.1-2007
ES. 2.4 Il seguente circuito è in regime sinusoidale fino t = 0 , istante in cui il generatore si
spegne. Calcolare la corrente iL (t ) in ogni istante e tracciarne l’andamento.
R
10 cos(100t ) A
j (t ) = 
0 A
R = 0 .5 Ω
R
iL (t )
j( t )
t >0
L = 10 mH
L
C
t<0
C = 50 mF
Per t < 0 il circuito è in regime sinusoidale, quindi si può ricorrere al metodo fasoriale, ponendo:
J = 10, Z&1 = Z& C + Z& R = 0.5 − 0.2 j , Z& 2 = Z& L + Z& R = 0.5 + j.
Per il partitore di corrente, la corrente dell'induttore sarà
IL = J
Z&1
= 2.07 − 3.66 j = 4.21 exp(−1.06 j )
Z&1 + Z& 2
⇒
i L (t ) = 4.21 cos(100t − 1.06) A.
Applicando la LKC si ricava: I C = J − I L = 7.93 + 3.66 j , da cui la tensione:
VC = Z& C I C = 1.74 exp(−1.14 j )
⇒
vC (t ) = 1.74 cos(100t − 1.14) V .
Per la continuità delle variabili di stato: vc (0 − ) = v c (0 + ) = 0.73 V , i L (0 − ) = i L (0 + ) = 2.07 A .
Per t > 0 il circuito è in evoluzione libera. Applicando la LKT all'unica maglia si ottiene:
vC + 2 Ri L + L
di L
= 0.
dt
Derivando tale equazione e sostituendovi la caratteristica di C si ottiene l'equazione differenziale
d 2iL
dt 2
+
2 R di L
1
+
iL = 0 ,
L dt
LC
la cui equazione caratteristica ammette le radici λ 1 = −72.4 e λ 1 = −27.6 . La soluzione si può
esprimere, quindi, nella forma:
iL (t ) = k1 exp(λ1t ) + k2 exp(λ 2t ) ,
4 [A]
3
dove le costanti k1 , k 2 sono determinate dalle
condizioni iniziali su i L e su di L / dt :
+
i L (0 ) = 2.07 = k1 + k 2 ,
di L
dt
+
=−
0+
2
1
0
+
vC (0 ) + 2 Ri L (0 )
= −280 = λ1k1 + λ 2 k 2 .
L
-1
-2
-3
Risolvendo tale sistema si ottengono: k1 = 4.98 ,
k 2 = −2.91 quindi per t > 0 la soluzione è data da:
i L (t ) = 4.98 exp(−72.4t ) − 2.91 exp(−27.6t ) A.
-4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
[s]
0.3
Andamento della soluzione in ogni istante.
12
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
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ES. 2.5 Con riferimento al seguente circuito, in regime stazionario per t < 0 , calcolare la
tensione vC (t ) e la potenza pC (t ) assorbita dal condensatore in ogni istante
R
+
+
e(t )
vC (t )
-
R
20 V
e(t ) = 
− 20 V
R =1Ω
L
L = 5 µH
C
t<0
t>0
C = 5 µF
Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito
aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione:
i L (t ) = e(t ) / 2 R = 10 A , vC (t ) = e(t ) / 2 = 10 V
t <0.
Per la continuità delle variabili di stato si ha: vc (0 − ) = vc (0 + ) = 10 V e i L (0 − ) = i L (0 + ) = 10 A .
Osserviamo che, essendo ic (t ) = 0 , si ha banalmente p c (t ) = vc (t )ic (t ) = 0 .
Per t > 0 il circuito è forzato dal generatore e(t), a partire dalle condizioni iniziali individuate
precedentemente. Risolvendo il circuito resistivo associato mostrato in figura:
iC =
e − vC
− iL ,
R
v L = v C − Ri L
R
+
si ottengono le equazioni di stato:
e(t )
dvC
v
i
e
=
− C − L ,
dt
RC RC C
iC R
+
di L vC Ri L
=
−
.
dt
L
L
vC
-
+
+
vL
iL
-
Ricavando i L dalla prima e sostituendola nella seconda si ottiene l'equazione differenziale:
d 2 vc
dt
2
R  dv
2
1 de
e
 1
+
+  c +
vc =
+
.
LC
RC dt LC
 RC L  dt
L'equazione caratteristica dell'omogenea associata fornisce: λ1, 2 = α ± jβ = 2 ⋅ 10 5 (−1 ± j ) ,
quindi la soluzione si può esprimere nella forma:
vC (t ) = e αt [k1 cos(βt ) + k 2 sin(βt )] + vCP (t ) ,
dove vCP (t ) è una soluzione particolare che può essere scelta come la soluzione di regime a cui
il circuito tende per t → ∞ (regime stazionario):
vCP (t ) = e(t ) / 2 = −10 V .
Le costanti k1 , k 2 vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su vC e su dvC / dt :
vC (0 + ) = 10 = k1 − 10
dvc
dt
=−
0+
⇒
k1 = 20;
v C (0 + ) − e(0 + ) 
1
+
6
i
(
0
)
+
L
 = −8 ⋅ 10 = αk1 + β k 2 ⇒ k 2 = 20.
C 
R

La tensione sul condensatore per t > 0 è, quindi:
13
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
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5
5
vC (t ) = 20e − 2⋅10 t [cos(2 ⋅ 10 5 t ) − sin(2 ⋅ 10 5 t )] − 10 = 28.3e −2⋅10 t [cos(2 ⋅ 10 5 t + 0.79)] − 10 V .
La potenza assorbita per t > 0 si può valutare in due modi: possiamo calcolare preliminarmente
la corrente che circola nel condensatore:
iC (t ) = C
5
dvC (t )
= −40e −2⋅10 t sin( 2 ⋅ 10 5 t + 1.57) A , da cui:
dt
5
5
pC (t ) = vC (t )iC (t ) = −565e − 4⋅10 t [sin(4 ⋅ 10 5 t + 2.36) + 0.71] + 400e −2⋅10 t sin(2 ⋅ 10 5 t + 1.57) W
Allo stesso risultato si perviene ricordando l’espressione dell’energia di un condensatore:
5
C dvC2 (t )
d
= 2.5 ⋅ 10 −6 [28.3e −2⋅10 t cos(2 ⋅ 10 5 t + 0.79) − 10]2 .
2 dt
dt
pC (t ) =
ES. 2.6 Il seguente circuito rappresenta un semplice sistema trasmettitore-canale-ricevitore.
Calcolare la tensione sul ricevitore ( RU ) in ogni istante e tracciarne l’andamento.
+
L
RS
RU
C
eS (t )
eS (t )
E = 6 V , T = 1ns
R S = RU = 50 Ω
+
v(t )
−
E
L = 2 nH , C = 10 pF
0
9
t
T
9
Risultato: v(t ) = 0 V per t < 0 ; v (t ) = −3.74e −4.45⋅10 t + 0.74e − 22.55⋅10 t + 3 V per 0 < t < T ;
9
v (t ) = 320e −4.45⋅10 t − 4.6 ⋅ 10 9 e − 22.55⋅10
9
t
per t > T .
ES. 2.7 La rete in figura è in regime stazionario fino t = 0 , istante in cui si chiude
l'interruttore. Calcolare la corrente iL (t ) per t > 0 .
t=0
R
E
+
iL (t )
R
C
E = 2V
L = 1 mH
L
C = 2 mF
Il circuito da analizzare per t < 0 è disegnato a lato.
Essendo in regime stazionario, il condensatore si comporta
come un circuito aperto e l'induttore come un corto circuito: E
i L (t ) = E / 2 R = 3 A , vC (t ) = E / 2 = 1 V
R = 1/ 3 Ω
(t < 0) .
R
+
+
vC (t )
R
iL (t )
−
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A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2.1-2007
Per la continuità delle variabili di stato si ha: vc (0 − ) = vc (0 + ) = 1 V e i L (0 − ) = i L (0 + ) = 3 A .
Il circuito da analizzare per t > 0 è disegnato a lato.
i (t )
Dal circuito resistivo associato si ricavano le equazioni:
E − vC
i L + iC =
, vC = v L ,
+
R
R
+
vC (t ) L
C
E
da cui è semplice ottenere le equazioni di stato della rete:
−
dvC
vC i L
di L vC
E
=
−
- ,
=
,
dt
RC RC C
dt
L
iL (t )
Ricavando vC dalla seconda e sostituendola nella prima si ottiene l'equazione differenziale:
d 2iL
dt
2
+
1 di L
1
E
+
iL =
.
RC dt LC
RLC
Le radici dell'equazione caratteristica dell'omogenea associata sono: λ1 = −1000, λ 2 = −500 ,
quindi la soluzione si può esprimere nella forma:
i L (t ) = k1e −1000t + k 2 e −500t + i LP (t ) ,
dove i LP (t ) è una soluzione particolare che può essere scelta come la soluzione di regime a cui il
circuito tende per t → ∞ (regime stazionario): i LP (t ) = E / R = 6 A. .
Le costanti k1 , k 2 vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su i L e su di L / dt :
i L (0 + ) = 3 = k1 + k 2 + 6;
di L
dt
=
0+
1
vC (0 + ) = 1000 = −1000k1 − 500k 2 ,
L
da cui: k1 = 1, k 2 = −4 , e quindi la soluzione per t > 0 è i L (t ) = e −1000t − 4e −500t + 6 A .
ES. 2.8 La rete in figura è in regime stazionario per t < 0 . Determinare:
a) le grandezze di stato all’istante t = 0 +
b) la corrente nel condensatore e la tensione nell’induttore all’istante t = 0 +
c) la tensione sul condensatore per t > 0
d) la tensione sull’induttore per t > 0
R
j (t )
R
vC (t )
iC (t )
C
iL (t )
L
v L (t )
t<0
2
j (t ) = 
2 sin(ωt ) t > 0
ω = 106 rad/s, R = 1Ω
L = 1 µH, C = 1 µF
Risultato:
a) vC (0 + ) = 1 V, i L (0 + ) = 1 A
b) iC (0 + ) = −2 A, v L (0 + ) = 0 V
6
c) vC (t ) = 2.28e −10 t cos(10 6 t + 0.90) + 1.26 cos(10 6 t − 0.32) V per t > 0
6
d) vL (t ) = 3.22 cos(106 t − 0.52) + e −10 t [3.23 sin(106 t + 0.13)] V per t > 0 .
15