Scelta in condizioni di incertezza Lotterie di lotterie

Scelta in condizioni di incertezza
Il problema della scelta in condizioni di incertezza è il problema della scelta
tra variabili casuali, che ci condurrà ad alcuni concetti fondamentali della teoria
degli investimenti: la funzione di utilità attesa, il certo equivalente, la avversione
al rischio, il premio al rischio.
Per semplicità immaginiamo che il nostro agente economico debba scegliere
tra variabili casuali discrete (che cioè possono assumere un numero finito di
valori), che nel contesto della teoria delle decisioni vengono tradizionalmente
chiamate lotterie. Esempio di lotterie sono quindi
100 con prob. 1 / 3
100 con prob.1 / 2

a = 150 con prob. 1 / 3 oppure b = 
200 con prob. 1 / 2
200 con prob.1 / 3

© Fabio Bellini 2013
Lotterie di lotterie
Un caso particolare sono le lotterie certe, che possono assumere un solo valore
con probabilità 1 (sono cioè variabili casuali costanti), ad esempio
a = {100 con prob. 1
Date due lotterie a e b e un numero 0 < α < 1, definiamo la lotteria di lotterie
α a + (1 − α )b come la lotteria che con probabilità α mi fa
vincere un biglietto della lotteria a , e con probabilità (1 − α )
un biglietto della lotteria b.
In statistica questa operazione si chiama mistura tra le variabili casuali a e b;
con probabilità α scelgo la variabile a, con probabilità (1-α) scelgo la b.
Da un punto di vista modellistico corrisponde alla randomizzazione
di un parametro, il cui valore non è più fissato ma estratto aleatoriamente.
© Fabio Bellini 2013
Esempio
Come esempio consideriamo
100 con prob. 1 / 3
100 con prob. 1 / 3


a = 20 con prob. 1 / 3 e b = 10 con prob. 1 / 2
30 con prob. 1 / 6
40 con prob. 1 / 3


1
Se prendiamo α = , la lotteria di lotterie α a + (1 − α )b è data da
2
10 con prob. 1 2 ⋅ 1 2
10 con prob. 1 4
20 con prob. 1 3 ⋅1 2
 20 con prob. 1 6


α a + (1 − α )b = 30 con prob. 1 6 ⋅1 2
= 30 con prob. 1 12
40 con prob. 1 3 ⋅1 2
 40 con prob. 1 6


100 con prob. 1 3 ⋅ 1 2 + 1 3 ⋅ 1 2 100 con prob. 1 3
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L'insieme delle lotterie
Indichiamo con M l'insieme delle lotterie; su di esso richiediamo soltanto due
proprietà:
i ) M contiene le lotterie certe
ii ) ∀a, b ∈ M , ∀α ∈ (0,1), abbiamo che α a + ( 1-α )b ∈ M
Richiediamo cioè che l'insieme M sia chiuso rispetto alla operazione di lotteria
di lotterie, nel senso che se a e b appartengono a M allora anche ogni lotteria
di lotterie costruita con a e b appartiene a M.
Ipotizziamo che l'agente economico sia in grado di scegliere tra diverse lotterie,
cioè che abbia una relazione di preferenza sull'insieme delle lotterie M che
soddisfi alcune proprietà (assiomi). Questa è la impostazione assiomatica del
problema della scelta in condizioni di incertezza, che sta alla base della teoria
delle decisioni.
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La relazione di preferenza
Sull'insieme M l'agente economico ha una relazione di preferenza che gode delle
seguenti proprietà:
R proprietà riflessiva ∀a ∈ M , a ≤ a
TR proprietà transitiv a ∀a, b, c ∈ M , a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c
In matematica una relazione che gode di queste due proprietà si chiama relazione
di preordine. Se a queste aggiungiamo anche
AAAA
proprietà antisimmetrica ∀a, b ∈ M , a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b
otteniamo quella che viene chiamata una relazione di ordine.
Questa proprietà, che vale ad esempio per i numeri reali, è piuttosto restrittiva e
non vale in generale per le lotterie; è possibile avere lotterie distinte che tuttavia
sono equivalenti per l'agente economico nel senso che appunto valgono contemporaneamente a ≤ b e b ≤ a.
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Lotterie equivalenti
Viene naturale considerare lotterie per le quali valgano contemporaneamente
a ≤ b e b ≤ a come lotterie equivalenti. Diamo quindi la seguente definizione;
a ≈ b (cioè a è equivalente a b) se a ≤ b e b ≤ a
E' facile verificare (fatelo!) che la relazione appena introdotta è effettivamente una
relazione di equivalenza, nel senso che gode delle proprietà
R
RRRR SSSS T
proprietà riflessiva ∀a ∈ M , a ≈ a
proprietà simmetrica ∀a, b ∈ M , a ≈ b ⇒ b ≈ a
proprietà transitiva ∀a, b, c ∈ M , a ≈ b e b ≈ c ⇒ a ≈ c
L'esempio più semplice di relazione di equivalenza è la uguaglianza tra numeri
reali. Il fatto che la relazione di preferenza sia una relazione di preordine e non una
relazione d'ordine corrisponde al fatto che lotterie distinte possano essere
equivalenti.
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Ordinamenti totali e parziali
Una relazione di preordine è totale se ogni coppia di lotterie è confrontabile:
TTTT
ordine totale ∀a, b ∈ M , vale a ≤ b oppure b ≤ a
(o valgono entrambe, nel qual caso a ≈ b)
Assumendo questa proprietà, assumiamo che l'agente economico sappia sempre
quale scegliere tra due lotterie, che non ci siano cioè "casi dubbi" di lotterie
non confrontabili.
In molti casi invece, come ad esempio nelle dominanze stocastiche che vedremo
in seguito, l'ordinamento è solo parziale nel senso che alcune coppie di lotterie
non solo tra di loro confrontabili.
Un esempio di ordinamento parziale è dato dal criterio media varianza, per il quale
una lotteria è preferibile a un'altra se ha media superiore e varianza inferiore.
Se una lotteria ha media superiore ed anche varianza superiore a un'altra, allora
non è confrontabile con questa.
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Ulteriori proprietà
Per arrivare al "teorema della utilità attesa" di Von Neumann e Morgenstern, sono
necessarie due ulteriori ipotesi sulla relazione di preferenza:
CCCC
continuità : Se a ≤ b ≤ c, esiste α ∈ [0,1] tale che α a + (1 − α )c ≈ b
IIII
indipendenza : Se a ≤ b, ∀α ∈ [0,1] e ∀c ∈ M, si ha
α a + (1 − α )c ≤ α b + (1 − α )c
La prima ha un significato prevalentemente matematico, garantisce che attraverso
la operazione di lotteria di lotterie possiamo "coprire" tutti i possibili "gradi di
preferenza" compresi tra a e b; la seconda ha carattere più sostanziale e garantisce
che la preferenza di a rispetto a b si mantenga anche all'interno di lotterie di lotterie
con c. Tutti questi assiomi sono stati oggetto di critiche, osservazioni, indebolimenti,
indagini sperimentali (si parla di"experimental economics") che costituiscono quella
che viene normalmente chiamata teoria delle decisioni (decision theory).
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Il teorema della utilità attesa
Il fondamentale teorema della utilità attesa di Von Neumann e Morgenstern
afferma che se un investitore è dotato di una relazione di preferenza sull'insieme
M delle lotterie che soddisfa gli assiomi R, TR, T, C, I, allora questa preferenza
è data da una funzione di utilità attesa sull'insieme delle lotterie:
U : M → R tale che a ≥ b ⇔ U (a) ≥ U (b)
Questo teorema ci dice in primis che l'agente economico la cui preferenza soddisfa
gli assiomi R, TR, T, C, I sceglie attribuendo a ciascuna lotteria un punteggio
(la funzione U di utilità attesa) e poi prendendo la lotteria con il punteggio più alto;
una lotteria è preferita ad un'altra se e solo se ha un punteggio maggiore.
Non solo: la funzione U si chiama utilità attesa perché è la media (in matematica
valore atteso e media sono sinonimi) di un'altra funzione u(x) che si chiama
utilità di cose certe o utilità monetaria:
 x1 con prob. p1

Se a = ....
allora U (a ) =
 x con prob. p
 n
n
n
∑ p k u ( xk ) = E[u ( a )]
k =1
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Il teorema della utilità attesa /2
Questo fondamentale teorema ci dice che un investitore la cui relazione di
preferenza soddisfi gli assiomi R, TR, T, C, I, sceglie tra lotterie in un modo
molto semplice: per ciascuna lotteria a calcola la media della sua funzione di utilità
di cose certe u(x)
n
U (a) = ∑ pk u ( x k )
k =1
e poi sceglie la lotteria per cui questo valore sia massimo.
Come primo esempio possiamo considerare un agente per cui u(x)=x; in questo
caso evidentemente l'utilità attesa coincide con la media:
n
n
k =1
k =1
U (a) = ∑ pk u ( x k ) = ∑ pk x k = µ a
Vedremo in seguito che un agente di questo tipo, che decide esclusivamente in
base alla media della lotteria, viene definito neutrale rispetto al rischio.
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Il teorema della utilità attesa /3
Il nome di utilità di cose certe per la funzione u(x) deriva dal fatto che se la lotteria
a è certa (cioè se paga il valore x con probabilità 1) allora evidentemente la sua
utilità attesa coincide con la utilità di cose certe:
n
U (a) = ∑ pk u ( x k ) = 1⋅ u( x ) = u ( x )
k =1
Osservazioni:
i) è naturale ipotizzare che la funzione u(x) sia crescente, cioè che tra due lotterie
certe quella che fa vincere un importo maggiore sia preferita.
ii) se aggiungiamo a u(x) una costante additiva otteniamo
Se u~ ( x ) = u ( x) + c, allora
n
n
n
n
k =1
k =1
k =1
k =1
~
U (a) = ∑ pk u~ ( xk ) = ∑ pk (u ( x k ) + c) = ∑ pk u ( xk ) + c ∑ pk = U (a) + c
l'ordinamento di preferenza non muta.
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Il teorema della utilità attesa /4
iii) se moltiplichiamo u(x) per una costante positiva otteniamo
Se u~ ( x ) = cu( x ), con c > 0
n
n
k =1
k =1
~
U (a) = ∑ pk u~ ( xk ) = ∑ pk cu( x k ) = cU (a )
Quindi anche qui l'ordinamento di preferenza non muta.
iv) se consideriamo una lotteria di lotterie, allora la sua utilità attesa è data da
U (α a + (1 − α )b) = αU (a) + (1 − α )U (b)
La utilità attesa di una mistura è quindi la combinazione lineare delle utilità attese
delle singole componenti.
v) se consideriamo variabili casuali generiche X, possiamo ancora scrivere
U ( X ) = E[u ( X )] nel caso in cui E[u ( X )] < +∞
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Esempi
Vediamo alcuni esempi. Consideriamo un agente con u(x) = ln x e siano
1 00 con prob. 1/3
100 con prob. 1/2

a = 1 50 con prob. 1/3 , b = 
 2 00 con prob. 1/2
 200 con prob. 1/3

3
Si ha U (a ) =
1
1
1
∑ p k u ( x k ) = 3 ln(100 ) + 3 ln(150 ) + 3 ln( 200 ) ≅ 4,971
k =1
1
1
ln(100 ) + ln( 200 ) ≅ 4,951 pertanto un agente con utilità
2
2
di cose certe u ( x ) = ln x preferisce la lotteria a.
e U (b ) =
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Esempi /2
Se invece consideriamo le stesse lotterie valutate da un agente con u(x) = x^2,
otteniamo
1 00 con prob. 1/3
100 con prob. 1/2

a = 1 50 con prob. 1/3 , b = 
 2 00 con prob. 1/2
 200 con prob. 1/3

1
1
1
U ( a ) = (100 ) 2 + (150 ) 2 + ( 200 ) 2 = 24167
3
3
3
1
1
U (b ) = (100 ) 2 + ( 200 ) 2 = 25000
2
2
Un agente con u ( x ) = x 2 invece preferisce la lotteria b.
Vediamo quindi che agenti con funzioni di utilità differenti possono ordinare in
modo diverso le stesse lotterie a e b.
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Esempi /3
Consideriamo ora il caso di una lotteria continua (variabile casuale continua)
in cui vinco un importo aleatorio che ha una distribuzione normale con media
µ e varianza σ2. Ricordando dall'esame di statistica la formula per la f.g. m. di una
Normale otteniamo
Se X ha distribuzi one N ( µ , σ 2 ), allora E[e tX ] = exp( µ t +
σ 2t 2
2
)
abbiamo che se consideria mo la utilità esponenzia le u ( x ) = − e − x ,
allora E[u ( X )] = E[ − e − X ] = − E[e − X ] = − exp( − µ +
σ2
2
)
dalla formula precedente .
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Certo equivalente
Introduciamo ora il concetto di certo equivalente C(a) di una lotteria a definito
come l'importo certo che l'agente è disposto a scambiare con lotteria a (cioè
l'importo della lotteria certa che per l'agente è equivalente alla lotteria a).
Dato il teorema della utilità attesa, è molto facile trovare una formula per il certo
equivalente; esso è quell'importo C(a) per cui
n
u (C (a )) = U (a) = ∑ pk u( x k ) quindi il certo equivalente è dato da
k =1
n

C (a) = u −1 ∑ pk u( x k ) dove u −1 è la funzione inversa di u.
k =1

Si tratta di un esempio di media funzionale o media secondo Chisini; il certo
equivalente è quell'importo costante x che messo all'interno della funzione di più
variabili U(x1,…xn) lascia invariato il risultato (la utilità attesa della lotteria a).
La funzione inversa u-1 esiste sempre in quanto u(x) è crescente.
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Esempi
Riprendiamo gli esempi precedenti
1 00 con prob. 1/3
100 con prob. 1/2

a = 1 50 con prob. 1/3 , b = 
 2 00 con prob. 1/2
 200 con prob. 1/3

Se u ( x ) = ln x, si ha U ( a ) ≅ 4,971 e U (b ) ≅ 4,951 .
Dato che u −1 ( y ) = e y abbiamo C ( a ) = exp(U ( a )) ≅ 144 ,17
e C (b ) = exp(U (b )) ≅ 141,32 . Osserviamo che in accordo a quanto
visto C (a ) ≥ C (b ) (la lotteria a è preferita alla lotteria b) e inoltre
osserviamo che in entrambi i casi il certo equivalent e è inferiore
alla media della lotteria (pari a 150 in entrambi i casi).
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Esempi /2
Nell'altro caso abbiamo invece
100 con prob.1/3
100 con prob. 1/2

a = 150 con prob.1/3 , b = 
200 con prob. 1/2
200 con prob.1/3

u ( x) = x 2 , U (a ) = 24167 e U (b ) = 25000
Dato che u −1 ( y ) =
y , abbiamo C (a ) = 24167 ≅ 155,46
e C (b ) = 25000 ≅ 158,11. Questa volta C (b ) ≥ C ( a ) e infatti b era
preferita ad a , e inoltre questa volta in entrambi i casi il certo
equivalent e è superiore alla media.
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Esempi /3
Infine nell'ultimo caso abbiamo
Se X ha distribuzi one N ( µ , σ 2 ) e u ( x ) = − e − x ,
allora E[u ( X )] = − exp( − µ +
σ2
2
); per trovar e la funzione inversa
poniamo y = − e − x da cui
− y = e − x , ln( − y ) = − x, x = − ln( − y ).
La funzione inversa è pertanto u −1 ( y ) = − ln( − y );
il certo equivalent e è quindi dato sempliceme nte da
C ( X ) = u −1 E[u ( X )] = − ln( − ( − exp( − µ +
− ln(exp( − µ +
σ2
2
) = −( − µ +
σ2
2
)=µ−
σ2
2
)) =
σ2
2
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