PI greco nella matematica e nella fisica - ISIS Gobetti

3.1415926535
Firenze, 9 Giugno 2010
Sala de’ Dugento - Palazzo Vecchio
π
89793238462643
3832795028841971
6939592307816406286
20899862803482534211706
nella Matematica e
7982148086513282306647093937
5105820974944844609550582231725359
4081284811174502841027019385211055964462...
Il papiro di Rhind
Metodo per calcolare un pezzo di terra circolare di
diametro 9 khet. Qual è la sua superficie di terra? Tu
devi sottrarre la nona parte di esso (diametro), cioè 1
resta 8. Devi moltiplicare 8 otto volte, diventa 64.
Questa è la sua area di terra, 64 setat.
(problema 50)
2
 16 
π =   ≈ 3.1605
 9 
La Bibbia
π =3
Fece un bacino di metallo fuso di dieci cubiti da un orlo
all’altro, rotondo; la sua altezza era di cinque cubiti e la
sua circonferenza di trenta cubiti.
(1 Re 7,23)
Gli Elementi di Euclide
I cerchi stanno l’uno
all’altro come i
quadrati dei loro
diametri.
(libro XII,
proposizione 2)
Sulla misurazione del cerchio
di Archimede
Ogni cerchio è uguale ad un
triangolo rettangolo avente uno
dei cateti uguale al raggio e
l’altro
uguale
alla
circonferenza del cerchio.
(proposizione 1)
Sulla misurazione del cerchio
di Archimede
10
1
3+
<π <3+
71
7
La circonferenza di ogni cerchio è tripla del diametro, più
una parte minore di un settimo del diametro e maggiore di
dieci settantunesimi.
(proposizione 3)
Trattato romano di agrimensura
Dividi la circonferenza di
un cerchio in quattro parti
e prendine una come lato di
un quadrato; questo
quadrato avrà l’area
uguale al cerchio.
π =4
1
π =3 +
8
1
π =3+
7
Cina
Il quadrato della circonferenza di un cerchio sta al
quadrato del perimetro del quadrato circoscritto come 5
sta a 8. (Ch’ang Hong)
π = 10
π = 3.1416
355
π =
≈ 3.1415929
113
(Liu Hui)
(Tsu Ch’ung-Chih)
India
Se a è uguale al lato di un poligono regolare di n lati
inscritto in un cerchio di diametro unitario, e b è il lato di
un poligono regolare inscritto di 2n lati, allora
1 1
b=
−
1 − a2
2 2
π = 9.8684 ≈ 3.1414
(Aryabatha)
9.65, 9.81, 9.86, 9.87 → π = 10
(Brahmagupta)
François Viète – 1593
π=
2
1 1 1 1
1 1 1 1 1
⋅
+
⋅
+
+
⋅ ...
2 2 2 2
2 2 2 2 2
John Wallis – 1655
2 ⋅ 2 4 ⋅ 4 6 ⋅ 6 8 ⋅ 8 10 ⋅ 10 12 ⋅ 12
π = 2⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ...
1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 7 ⋅ 9 9 ⋅ 11 11 ⋅ 13
James Gregory – 1675
Gottfried W. von Leibniz – 1678
1 1 1 1 1
1


π = 4 ⋅ 1 − + − + − +
− ... 
3 5 7 9 11 13


John Machin – 1706
4  1  16
4  1  16
4 
 16
π =
−
+ ⋅ 5 −
− ...
 − ⋅ 3 −
3 
5 
239  3  5
239  5  5
239 
 5
Formula di Gregory e Leibniz
n. termini
valore calcolato
5
3,339683
50
3,121595
500
n. termini
valore calcolato
3,139593
1
3,183263598326
5000
3,141393
2
3,140597029326
50000
3,141573
3
3,141621029325
4
3,141591772182
5
3,141592682404
Formula di Machin
Leonhard Euler – 1735-1755
1
1
1
1
1 1

π = 6 ⋅  2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... 
4
5
6
1 2 3

1
1
1
1
1 1

π = 90 ⋅  4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + ... 
4
5
6
1 2 3

4
3
3
5
5



1
3  1

 1
 3   1
 1
 3  
π =  20 ⋅ + 8 ⋅  −  20 ⋅   + 8 ⋅    +  20 ⋅   + 8 ⋅    − ...
7
79  3 

7
 79   5 
7
 79  
Johann Heinrich Lambert – 1766
è un numero irrazionale
π
è un numero trascendente
Ferdinand von Lindemann – 1882
Archimede
Tolomeo
Fibonacci
Al-Kashi
Otho
Viète
Romanus
Van Ceulen
Cifre decimali di π
(metodi geometrici)
250 a.C.
150
1220
1429
1573
1579
1593
1615
3
3
3
14
6
9
15
35
Cifre decimali di π
(metodi analitici, calcolo manuale)
Machin
Vega
Rutherford
Strassnitzky e Dash
Clausen
Lehmann
Rutherford
Shanks
1706
1794
1824
1844
1847
1853
1853
1874
100
140
152
200
248
261
440
527
Cifre decimali di π
(calcolo automatico)
Calcolatrice da tavolo
ENIAC
IBM 7090
IBM 7030
CDC 6600
CDC 7600
1948
1949
1961
1966
1967
1973
808
2037
105
2,5·105
5·105
106
ottenute applicando formule analoghe
a quella di Machin
Cifre decimali di π
(calcolo automatico)
Gosper
F.lli Chudnovsky
Kanada
Kanada e Takahashi
Kanada
Bellard
1985
1989
1995
1997
2002
2010
1,8·107
4,8·108
6,4·109
5,2·1010
1,2·1012
2,7·1018
ottenute applicando formule dedotte da
idee di Gauss
PREMIAZIONE OLIMPIADI
DELLA MATEMATICA
(Firenze e Prato)
Gara provinciale (biennio)
LORENZO D’ALESSANDRO (Agnoletti)
FRANCESCO M. MANCARI (Leonardo da Vinci)
LORENZO MANNU (Pontormo)
ERNESTO PINI (Castelnuovo)
FRANCESCO PIQUE’ (Copernico)
FRANCESCO SARTINI (Castelnuovo)
LORENZO SENSINI (Copernico)
Gara provinciale (triennio)
ROMEO ALBANESE (Leonardo da Vinci)
LUCA ALESSANDRINI (Leonardo da Vinci)
LORENZO AMATO (Russell-Newton)
LORENZO BALDASSARI (Leonardo da Vinci)
ZHANG CHEN (Copernico)
NICCOLO’ COSTANZO (Castelnuovo)
ALESSIO CUPIDO (Douhet)
GABRIELE FILOSCIA (Douhet)
Gara provinciale (triennio)
CARLO FOSCHI (Castelnuovo)
GUIDO FRATINI (Agnoletti)
MIRKO GHELARDI (Castelnuovo)
FRANCESCO LEONE (Copernico)
ENEA MANDOLINI (Pontormo)
ALKIS PAPANASTASSIOU (Leonardo da Vinci)
MICHELE PINI (Castelnuovo)
LORENZO STEFANELLI (Castelnuovo)
L’ago di Buffon – 1777
Su un tavolo sono tracciate
rette parallele a distanza d
l’una dall’altra. Un ago di
lunghezza l<d è lanciato a caso
sulla tavola. Qual è la
probabilità che l’ago tocchi
una delle righe?
George Louis Leclerc Comte de
0≤ϕ ≤π
d
0≤ x≤
2
π
π
l
l
Af = ∫ sin ϕ dϕ = − cos ϕ = l
2
0 2
0
πd
Ap =
2
2l
p=
πd
Il metodo Montecarlo
Af
π
p=
=
Ap
4
n. lanci nel quadrante
p≈
n. lanci totali
π ≈ 4p
{Calcolo di PI attraverso la generazione di coppie di nuemri pseudo-casuali}
program PI (input, output);
var NLt : longint; { Numero dei Lanci totali
}
NLi : longint; { Numero dei Lanci Esterni
}
I : longint;
x, y : real; { (x,y) coordinate casuali del lancio }
dist : real; { Quadrato distanza (x,y) dall'origine }
Rit : real; { Rapporto lanci interni - lanci totali }
aPI : real; { Approssimazione di PI
}
begin
randomize;
writeln;
writeln ('Calcolo di PI con metodo MonteCarlo');
writeln ('-----------------------------------');
writeln;
write ('Inserire il numero di lanci che si vogliono fare: ');
readln (NLt);
NLi := 0;
for I:=1 to NLt do begin
x := random;
y := random;
dist := x*x + y*y;
if dist<1 then NLi := NLi+1;
end;
writeln ('Numero Totale Lanci:
',NLt);
writeln ('Numero Totale Lanci interni:
',NLi);
Rit := NLi/NLt;
writeln ('Rapporto Lanci Interni / Lanci totali: ',Rit:10:10);
writeln;
aPI := 4*Rit;
writeln ('Approssimazione di pi greco:
',aPI:10:10);
readln;
end.
Il problema di Cesaro – 1881
Qual è la probabilità che due
numeri naturali scelti a caso siano
primi fra loro?
p=
Ernesto Cesaro
6
π
2
Finale nazionale
LEONARDO GALLI (Leonardo da Vinci)
Finale nazionale
Medaglia di bronzo
GHERARDO BUSI (Michelangiolo)
PIETRO OTTANELLI (Leonardo da Vinci)
ANDREA PALAZZO (Leonardo da Vinci)
Finale nazionale
Medaglia d’argento
GUGLIELMO BACCANI (Rodolico)
YINGLIN ZHANG (Copernico)
Gara a squadre di Firenze
1° classificata
Liceo Scientifico “Castelnuovo”
2° classificata
Liceo Scientifico “Leonardo da Vinci”
FENOMENI ONDULATORI
�
y (t , x) = y0 sin �
2π
�
�x t � �
� − �+ ϕ 0 �
�λ T � �
OSCILLATORE ARMONICO
F=-k Δx
F=ma
ma=-k Δx
a=-k/m Δx
Ѡ2=k/m
T = 2π
k
m
PENDOLO
FISICO
M=-mghsinθ
-mghsinθ=Iα
sinθ∽θ se
θ→0
α=-mgh/I θ
Ѡ2=mgh/l
T = 2π
I
mgh
PENDOLO MATEMATICO o
PENDOLO SEMPLICE
M=-mgLsinθ -mgLsinθ=Iα
sinθ∽θ se θ→0
α=-mgL/(mL2) θ
ѡ2=g/L
T = 2π
L
g
PENDOLO DI TORSIONE
M=-κθ -κθ=Iα
α=-κ/I θ
Ѡ2= κ /l
T = 2π
I
κ
BILANCIA DI TORSIONE
ESPERIMENTO
DI CAVENDISH
1797-1798
ESPERIMENTO
DI COULOMB
1784
TERZA LEGGE DI
KEPLERO
PER IL SISTEMA
SOLARE
T
4π
=
3
G ￗM Sole
R
2
2
IN GENERALE
T
4π
=
3
G ￗM C
R
2
2
MC massa corpo centrale
BILANCIA DI TORSIONE DI
COLULOMB
1 q1 ￗq2
F=
2
4πε r12
+
1 q1 ￗq2
4πε r12 2
F=
1 q1 ￗq2
4πε r12 2
r12
+
F=
+
LEGGE di AMPERE
1775-1836
µ0 i1 ￗi2
F=
ￗ
l
2π d
Werner Heisenberg
1901-1976
« non è possibile
conoscere
simultaneamente la
velocità e la
posizione di una
particella con
certezza »
h
∆x �
∆p �
2π
Perché un aereo vola?
PORTANZA
(generata dall’ala, deve
vincere il peso dell’aereo)
VENTO
RELATIVO
TRAZIONE
(generata dall’elica)
RESISTENZA
(dovuta alla presenza
di un corpo solido che si muove
nell’aria)
PESO
ur
T
ur
A
uuur
P
ur
P eso
L’asse longitudinale dell’aereo non corrisponde alla direzione nella
quale si sta muovendo l’aereo. L’angolo di attacco o angolo di
incidenza è l’angolo formato fra la direzione del vento relativo e l’asse
longitudinale dell’aereo
LA PORTANZA
Da quali parametri dipende la portanza?
P = 1 ����
δ V2 S C
p
2
δ=densità
V=velocità
S=superficie
Cp=coefficiente di portanza
il coefficiente di portanza dipende dall’angolo di attacco e
dalla forma dell’ala.
portanza
stallo
Angolo d’attacco
Per piccoli angoli, la portanza è legata
all’angolo d’attacco linearmente
Più grande è l’angolo è più grande è la portanza
Per una superficie alare molto grande e molto sottile come
una lamina il coefficiente di portanza è
proporzionale all’angolo di
π attacco e la
costante di proporzionalità è 2
Coefficiente
di
portanza
CP
= 2π
α
Angolo d’attacco α
PREMIAZIONE OLIMPIADI
DELLA FISICA
(Firenze Prato Arezzo)
Finale nazionale
SENIGALLIA
GUGLIEMO BACCANI (Rodolico)
MATTEO BARTOLINI (Balducci)
SIMONE BLASI (Redi)
GUIDO GIACHETTI (Agnoletti)
PIETRO OTTANELLI (Leonardo Da Vinci)
Vinci
NICOLA TURCHI (Redi)
STUDENTI CLASSIFICATI
TRA I PRIMI DIECI NELLA
GARA PROVINCIALE
DAVIDE BROGI (Redi)
ANDREA DEI (Russel-Newton)
FRANCESCO SALVESTRINI (Russel-Newton)
FRANCESCO SANTONI (Agnoletti)
... nella “Divina Commedia”
BOLGIA DEI SEMINATORI DI SCISMI E DISCORDIE
“… che miglia ventidue la valle volge…” (Inferno, XXIX, v. 9)
BOLGIA DEI FALSARI
“… con tutto ch’ella volge undici miglia...” (Inferno, XXX, v. 86)
LA QUADRATURA DEL CERCHIO
“… qual è il geomètra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’elli indige…” (Paradiso, XXXIII, v. 133-135)
Come ricordare le cifre di π
Che n’ebbe d’utile Archimede da ustori vetri
sua somma scoperta?
3,14159265358
Ave o Roma o Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza
3,141592653589793238
Più o meno è forse Archimede il grande genio
che trovò pensando soluzioni incerte disegnava con il suo
compasso gran cerchi su sabbia nuda per far imparare
con le formule gradevoli forme … lo travolse gridando
ieri l'incredulo soldato e adesso piangiamo con amorevole
rimpianto lui fervido genio è! Amato studioso fu!
Studiando disegni fece progressi veri così sarem discepoli
di lui! Precoce studente o somaro vero!
Guarda ai postulati impara ma … poliedri platonici ricordati
studiare dovrai
3,1415926535897932384626433832795028841971
693993751058209749445923078164062862089986
Formula di Eulero
e + 1= 0
iπ
Questa presentazione si trova su
www.itcvolta.it
www.liceodavincifi.it
www.liceocastelnuovo.it
I.T.C. “Alessandro Volta”
Bagno a Ripoli
L.S. “Leonardo da Vinci”
Firenze
L.S. “Guido Castelnuovo”
Firenze
Questo misterioso pi greco che entra per ogni porta e finestra e
scende da ogni camino
(Augustus De Morgan)
A cura di
Eliano Addamiano
Andrea Paoletti
Nazario Renzoni
Maria Angela Vitali
Con la partecipazione di
Vittoria Alessi
Ruben Fargion
Pietro Galli
Filippo Mangani
Claudia Valeria Nardi
Francesco Spampinato
Elisabeth van der Sman
Luca Vangelisti
Monica Viti