Il calcolo letterale

ISTITUTO TECNICO PER IL TURISMO “EUROSCUOLA” - LICEO SCIENTIFICO POTENZIATO NELL’INFORMATICA “EUROSCUOLA”
ISTITUTO TECNICO PER GEOMETRI “BIANCHI” - SCUOLE PARITARIE
IL CALCOLO LETTERALE
In matematica, si dice calcolo letterale quell'insieme di operazioni algebriche che siano espresse sia con
fattori numerici, che con fattori letterali.
In altre parole, un'espressione viene definita letterale quando alcuni suoi termini sono espressi mediante
lettere dell'alfabeto, generalmente di quello latino.
L’uso delle lettere al posto dei numeri si utilizza per scrivere proprietà e regole dandone una valenza più
generale rispetto a un restrittivo esempio numerico.
L’uso delle lettere è ad esempio utilizzato in geometria per scrivere formule valide per la generalità delle
figure.
Area Rettangolo = b *h
Le lettere rappresentano di volta in volta il caso particolare e il valore di un’espressione letterale dipende,
quindi, dal valore assegnato alle sue lettere.
Il calcolo letterale impone, però, di far di conto con le lettere proprio come fossero numeri per ottenere
forme compatte di espressioni letterali altrimenti complesse.
ESPRESSIONI LETTERALI O ALGEBRICHE
Una ESPRESSIONE LETTERALE O ALGEBRICA è un’espressione in cui alcuni numeri sono espressi
mediante lettere. Questa definizione consente la risoluzione generalizzata di un dato problema.
Esempio:
a3 + b3 rappresenta la
numero relativo b.
somma del quadrato del numero relativo generico a con il cubo di un altro qualsiasi
Tale valore cambierà al cambiare dei valori che diamo alle lettere
a
e
b.
Il valore numerico di una espressione algebrica varia con il variare dei valori numerici attribuiti alle lettere.
Per moltiplicare un numero a per la somma ( b + c + d ) basata moltiplicare quel numero per ciascun
addendo della somma e poi sommare i prodotti parziali ottenuti:
a *( b + c + d ) = ab + ac + ad
Per moltiplicare una somma algebrica per una altra somma, basta moltiplicare ciascun termine della prima
per ciascuno della seconda e poi addizionare i prodotti ottenuti:
( a + b + c ) * ( x + y ) = ax + ay + bx + by + cx + cy
PROF. ANDREA BERNESCO LÀVORE – DISPENSE DI MATEMATICA
CALCOLO LETTERALE – I MONOMI
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Quando i termini di una somma algebrica contengono tutti uno stesso fattore, la somma stessa è uguale
al prodotto del fattore comune per la somma dei quozienti di ogni addendo della somma data per il fattore
comune. Si dice che si mette in evidenza il fattore comune:
15a – 30 + 5b = 5 * ( 3a - 6 + b )
In una stessa espressione letterale, lettere uguali rappresentano numeri reali uguali.
Per calcolare il valore di un’espressione letterale si sostituiscono i valori corrispondenti alle lettere e si
calcola il valore dell’espressione numerica così ottenuta (per sostituzione).
Esempio:
•
calcoliamo il valore di
6a – 2b supponendo che a valga +2 e b valga -3
6a – 2b = 6 * ( +2 ) – 2 * ( -3 ) = 12 + 6 = 18
•
calcoliamo il valore di
–4a + ( -3b ) – ( -5a ) + ( +7b )
supponendo che
a valga -1 e b valga +2
–4 *( -1 ) + [ -3 *( +2 ) ] – [ -5 *( -1 ) ] + [ +7 *( +2 ) ] = 4 - 6 – 5 + 14 = 7
Si dice che un’espressione algebrica perde significato, cioè che non è possibile risolverla, nei seguenti
casi:
0, in quanto non ha senso dividere per 0 ;
quando il denominatore è
per valori che rendono negativa un’espressione sotto radice con indice pari.
un numero diviso per
0 diviso per 0 è un’operazione indeterminata;
0 diviso un numero diverso da 0 vale 0 ;
un numero positivo sotto una radice pari vale ± la radice estratta
un numero negativo sotto una radice pari è un’operazione impossibile;
RICORDA:
0 è un’operazione impossibile;
(
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CALCOLO LETTERALE – I MONOMI
4 = ±2 )
;
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REGOLE DI ESECUZIONE DELLE OPERAZIONI NELLE ESPRESSIONI ALGEBRICHE
Nelle espressioni algebriche letterali (come vedremo espressioni con i monomi e i polinomi)
valgono tutte le regole applicate nelle espressioni numeriche.
Espressione senza parentesi
•
Si eseguono prima le potenze, i logaritmi e i radicali, uno dopo l'altro nell'ordine scritto. Prestare molta
attenzione alle proprietà eventualmente applicabili.
•
Si eseguono poi le moltiplicazioni e le divisioni, una dopo l'altra nell'ordine in cui sono scritte.
•
Si eseguono infine le addizioni e le sottrazioni, una dopo l'altra nell'ordine in cui sono scritte.
Espressione con parentesi
{[( )]}
•
Si eseguono prima le operazioni in parentesi rotonde, rispettando le regole considerate per le
espressioni senza parentesi.
•
Si eseguono poi le operazioni in parentesi quadre, rispettando le regole considerate per le espressioni
senza parentesi.
•
Si eseguono infine le operazioni in parentesi graffe, rispettando le regole considerate per le espressioni
senza parentesi.
•
Se alle parentesi sono applicate delle potenze, queste si eseguono dopo aver applicato tutte le
operazioni all’interno della parentesi stessa.
•
Una volta eseguite tutte le operazioni all’interno di una parentesi questa si deve eliminare conservando
il segno dei termini se davanti a essa c’è il segno + e cambiandoli se davanti a essi c’è il segno –.
Espressione con parentesi solo rotonde
•
In realtà nel computo con calcolatrici scientifiche o con i computer si usano solo parentesi rotonde.
Occorre in questo caso avere l'accortezza di risolvere prima le parentesi più interne e poi le altre fino a
quelle più esterne.
•
Una volta eseguite tutte le operazioni all’interno di una parentesi questa si deve eliminare conservando
il segno dei termini se davanti a essa c’è il segno + e cambiandoli se davanti a essi c’è il segno –.
L'ordine da seguire è giustificato dal SIGNIFICATO MATEMATICO DELLE PARENTESI:
Le parentesi indicano infatti che al posto dei numeri, collegati da segni di operazione, si può
sostituire il loro risultato.
PROF. ANDREA BERNESCO LÀVORE – DISPENSE DI MATEMATICA
CALCOLO LETTERALE – I MONOMI
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