Disuguaglianza di Bell - Università degli Studi Roma Tre

Disuguaglianza di Bell
Incompletezza della MQ?
L’obiezione di Einstein, Podolsky, Rosen:
la MQ è corretta, ma incompleta.
La fdo non è in grado di descrivere interamente la realtà (“reality”) di uno
stato o di un sistema.
Di conseguenza, devono esistere altre grandezze, ancora non note, che
rendano la MQ completa.
Si indichino queste grandezze con !. ! è detta “variabile nascosta”.
Naturalmente ! può indicare sia un singolo numero che un intero insieme di variabili o funzioni.
Molti sforzi sono stati fatti per esprimere la MQ in termini di variabili
nascoste; nessuno con successo.
Nel 1964 Bell ha dimostrato il teorema che porta il suo nome, che ha
permesso di sottoporre a test sperimentale la correttezza o meno della MQ, e
la sua compatibilità con le teorie di variabile nascosta.
Disuguaglianza di Bell
Sia data una collezione di oggetti che possono possedere tre proprietà date da
tre parametri, siano essi (parametri) A, B, C.
Sia
il numero di oggetti che possiedono il parametro p1 e non
possiedono il parametro p2. Allora:
Dimostrazione. Si consideri la grandezza:
il ché è ovvio: un numero di oggetti non può essere negativo
Sommando ai due membri la quantità:
si ha:
ovvero:
QED
si veda:
http://www.upscale.utoronto.ca/PVB/Harrison/BellsTheorem/BellsTheorem.html
Disuguaglianza di Bell - commenti
0 – La disuguaglianza è del tutto generale, indipendentemente dalla
presenza o meno di variabili nascoste in qualche teoria che descriva le
proprietà A, B, C.
1 – La disuguaglianza di Bell, in linea di principio, non ha a che fare in
maniera diretta con la MQ.
2 – Sono state effettuate alcune assunzioni nel derivarla:
!
a] i parametri esistono di per se’, indipendentemente dal fatto
!
che siano misurati o no. Per esempio, abbiamo assunto che, per ogni
!
membro della collezione di oggetti, ogni parametro potesse essere
!
esclusivamente vero o falso.
!
b] la logica è una maniera corretta di ragionare.
3 – detto N il numero totale di oggetti, dividendo
per N e prendendo N molto grande possiamo esprimere le probabilità:
Disuguaglianza di Bell: applicazione ai fotoni
a
a
b
Un caso semplice
b
c
c
1
y
S
2
y
I polarizzatori a, b, c possono essere
posti ad angoli differenti.
x
x
(a,b) denota (ad es.) l’angolo fra a e b.
Consideriamo un sistema in cui i fotoni vengano emessi ambedue con
polarizzazione lineare parallela fra loro, quindi nel piano x y. Non è tuttavia
possibile conoscere a priori quale sia l’asse di polarizzazione.
Valutiamo la probabilità che il fotone 1 attraversi a e il fotone 2 non
attraversi b:
La polarizzazione di 1 è casuale, quindi la probabilità che passi per a è 1/2.
Richiamo: Misura della polarizzazione di un fotone
Caso in cui il fotone incidente ha polarizzazione lineare a caso.
Nella base
Nella base u, v:
con
v
u
!
Non si perde generalità nello scegliere la base
tale che il fotone sia inizialmente in uno stato allineato con
uno degli assi della base:
Quindi:
con ! casuale
Se il fotone arriva con polarizzazione lineare casuale, mediando su tutti i
possibili ! si ottiene la probabilità che il fotone attraversi il polarizzatore u:
Disuguaglianza di Bell: applicazione ai fotoni
a
a
b
cerchiamo
b
c
c
1
y
S
2
y
La polarizzazione di 1 è casuale: P(a)=1/2
x
Essendo i fotoni di stessa polarizzazione, la MQ prevede che la
misura di 1 abbia proiettato necessariamente 2 nel medesimo stato.
La probabilità che 2 (che ora ha polarizzazione lungo a)
passi per b è ora
x
! b
La probabilità che 2 non passi per b è
Disuguaglianza di Bell: applicazione ai fotoni
a
b
a !
b
"
cerchiamo
c
1
S
2
La polarizzazione di 1 è casuale: P(a)=1/2
La probabilità che 2 non passi per b è
Allora la probabilità
e similmente
e la disuguaglianza di Bell diviene in questo caso:
c
Disuguaglianza di Bell: applicazione ai fotoni
a
a
b
c
1
S
" b
!
c
2
La disuguaglianza è chiaramente violata all’interno delle previsioni della MQ:
1
1
basta, ad es., prendere ! = " , allora si ha:
· 2 · sin2 ϑ ≥ · sin2 (2ϑ)
2
2
ricordando
1
2
sin2 ϑ ≥ · [2 sin(ϑ) cos(ϑ)]
2
1
≥ cos2 (ϑ)
N.B.: nell’ottenere questa disuguaglianza abbiamo
2
utilizzato il concetto di “proiezione in uno stato”, o
che è violata per " < !/4
“collasso della fdo”, che è proprio della MQ. In questo
senso questa disuguaglianza può essere un test della MQ.
Disuguaglianza di Bell, MQ e EPR.
La MQ prevede esplicitamente la violazione della
disuguaglianza di Bell.
Di conseguenza:
Se la disuguaglianza non è violata, la MQ non è incompleta
(posizione di EPR): è completamente errata !!
Se però la MQ è corretta, allora non esiste alcuna teoria di
variabile nascosta in grado di rendere conto del risultato.
La disuguaglianza di Bell “mette alle corde” la posizione realista.
Non è possibile considerare la MQ come una teoria “di prima
approssimazione”. Se la disuguaglianza di Bell non viene violata, è
tutto l’impianto della MQ a cadere.
Disuguaglianza di Bell e MQ
La MQ prevede che la disuguaglianza di Bell sia violata.
Una conferma sperimentale (vedi oltre per esperimenti particolarmente
convincenti) implica che qualcuno degli assunti sia errato.
Nel linguaggio della MQ, gli assunti sono divenuti:
1 – il procedimento logico è valido
2 – i fotoni hanno polarizzazione definita, anche se non vengono misurati.
3 – (questo è stato aggiunto implicitamente) i due fotoni non possono
scambiarsi informazioni a velocità maggiore della velocità della luce.
quest’ultimo assunto è necessario, altrimenti il fotone 2 potrebbe essere
stato “informato” dal fotone 1 sullo stato di polarizzazione da assumere, e i
vari parametri della disuguaglianza di Bell sarebbero fra loro dipendenti.
In altre parole (succinte):
1 – La logica è valida.
2 – Esiste una realtà separata dall’osservazione.
3 – La realtà è locale.
Disuguaglianza di Bell e MQ (cont)
se:
!
1 – La logica è valida.
2 – Esiste una realtà separata dall’osservazione.
3 – La realtà è locale.
Limitiamo la discussione (degli esperimenti) a questo singolo punto.
Per una interessante e abbordabile discussione generale:
http://www.upscale.utoronto.ca/PVB/Harrison/BellsTheorem/BellsTheorem.html
Verifiche sperimentali
della disuguaglianza di
Bell
Per una rassegna si veda:
A. Aspect, “Bellʼs theorem: the naïve view of an experimentalist”,
http://arXiv.org/pdf/quant-ph/0402001
Disuguaglianza di Bell: applicazione ai fotoni
Consideriamo l’emissione di coppie di fotoni da opportuni sistemi atomici.
i fotoni vengano emessi lungo l’asse z (asse di propagazione).
Consideriamo un sistema in cui i fotoni vengono emessi sempre con
polarizzazione correlata fra loro, quindi nel piano x y. Non è tuttavia
possibile conoscere a priori quale sia l’asse di polarizzazione di ciascun
fotone.
Questo si traduce in uno stato entangled per la fdo.
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Gli analizzatori possono essere in orientazioni a, b,..
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Esperimento di coincidenza di fotoni polarizzati
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È necessaria la produzione di fotoni in uno stato ingarbugliato,
ad es.:
Attenzione: nella discussione
precedente si era scelto
(ma un qualunque stato entangled può essere usato).
1
|Ψ(ν1 , ν2 )! = √ [|↔!1 |↔!2 + |$!1 |$!2 ]
2
Si misurano le coincidenze fra i due analizzatori.
+ : evento “fotone transita per il polarizzatore nell’orientazione u”
– : evento “fotone non transita per il polarizzatore nell’orientazione u”,
coincidenze:
correlazione:
Esperimento di coincidenza di fotoni polarizzati
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in termini di:
Previsione quantistica. nello stato:
ricordando P++ (a, b) =
poiché
P++ = P−− ,
P+− = P−+
1
!
sin2 (ab)
2
1
!
e P+− (a, b) = cos2 (ab)
2
si ottiene
Attenzione alla diversa
definizione degli eventi rispetto
alla discussione precedente: qui
P++ è la probabilità di due
eventi positivi
Queste espressioni di E, ottenute con le regole della MQ, possono violare la disug.
di Bell particolarizzata alla coincidenza di fotoni (dimostrazione in appendice):
|S(a, a′ , b, b′ )| = |E(a, b) − E(a, b′ ) + E(a′ , b) + E(a′ , b′ )| ≤ 2
Esperimento di coincidenza di fotoni polarizzati
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in termini di:
impiegando diverse possibili orientazioni, a, a’, b, b’, la disug. di Bell si scrive (v. appendice):
|S(a, a′ , b, b′ )| = |E(a, b) − E(a, b′ ) + E(a′ , b) + E(a′ , b′ )| ≤ 2
Previsione quantistica. nello stato:
ricordando P++ (a, b) =
1
!
sin2 (ab)
2
e P+− (a, b) =
poiché
P++ = P−− ,
P+− = P−+
1
!
cos2 (ab)
2
si ottiene
Le regole della MQ prevedono una possibile violazione della disug. di Bell (v. appendice).
Dimostrazione della disuguaglianza di Bell
nella forma
|S(a, a′ , b, b′ )| = |E(a, b) − E(a, b′ ) + E(a′ , b) + E(a′ , b′ )| ≤ 2
(Disuguaglianza di Bell, Clauser, Horne, Shimony, Holt.)
Clauser, Horne, Shimony, Holt, Physical Review Letters 23 880, (1969)
Cosa può essere misurato?
Esperimenti tipici con fotoni misurano correlazioni fra eventi. Ad esempio,
è possibile misurare il numero di eventi che hanno dato risultato positivo in
un rivelatore “A” e negativo in “B”, o simili.
È necessario riformulare la disuguaglianza di Bell per adattarla
all’esperimento.
Con l’occasione, si esplicita il possibile ruolo di variabili nascoste. Si
indichino queste grandezze con !.
Naturalmente ! può indicare sia un singolo numero che un intero insieme di variabili o funzioni.
Sia la variabile nascosta ! distribuita con densità di probabilità ". Allora:
Disuguaglianza di Bell: applicazione ai fotoni
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Consideriamo l’emissione di coppie di fotoni da opportuni sistemi atomici.
i fotoni vengano emessi lungo l’asse z (asse di propagazione).
Consideriamo un sistema in cui i fotoni vengono emessi sempre con
polarizzazione lineare parallela fra loro, quindi nel piano xy. Non è
tuttavia possibile conoscere a priori quale sia l’asse di polarizzazione.
I fotoni vengono rivelati dagli analizzatori I e II. Gli analizzatori (di
polarizzazione) forniscono valore + se il fotone ha polarizzazione parallela
all’asse dell’analizzatore (ovvero: passa) e – se il fotone ha polarizzazione
perpendicolare (ovvero: viene assorbito)
Disuguaglianza di Bell, Clauser, Horne, Shimony, Holt
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Gli analizzatori possono assumere diverse orientazioni, siano a, b, ...
Esplicitando la possibilità che il risultato di una misura dipenda dalle variabili
nascoste, i possibili risultati sono dati da funzioni di !, A e B, che possono valere:
in I
in II
ovvero: in ciascun analizzatore o il
fotone transita, o viene assorbito
Definiamo le funzioni:
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#
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La probabilità di trovare il fotone 1 lungo a è, per definizione,
E la probabilità di trovare il fotone 1 lungo a ma non il fotone 2 lungo b è:
!
[1 + A(λ, a)] [1 − B(λ, b)]
P+− (a, b) = dλρ(λ)
2
2
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Funzione di correlazione:
che fornisce valore:! positivo quando gli eventi sono correlati (++ o – –),
!
negativo quando sono anticorrelati (+ – o – +),
!
nullo quando sono scorrelati (tutte le probabilità uguali).
Usando le funzioni A e B si ha:
P+− (a, b) =
P−+ (a, b) =
!
[1 + A(λ, a)] [1 − B(λ, b)]
dλρ(λ)
2
2
!
[1 − A(λ, a)] [1 + B(λ, b)]
dλρ(λ)
2
2
P++ (a, b) =
P−− (a, b) =
!
dλρ(λ)
[1 + A(λ, a)] [1 + B(λ, b)]
2
2
!
dλρ(λ)
[1 − A(λ, a)] [1 − B(λ, b)]
2
2
la funzione di correlazione si scrive:
(verificare)
Disuguaglianza di Bell, Clauser, Horne, Shimony, Holt
Definizioni:
Supponiamo che gli analizzatori possano essere orientati in direzioni a, b, a’, b’.
Si consideri la funzione s:
s = A(λ, a)B(λ, b) − A(λ, a)B(λ, b′ ) + A(λ, a′ )B(λ, b) + A(λ, a′ )B(λ, b′ )
= A(λ, a) [B(λ, b) − B(λ, b′ )] + A(λ, a′) [B(λ, b) + B(λ, b′ )]
Considerando i valori che possono acquisire A e B, si ha:
Detta S la media di s: S(a, a′ , b, b′ ) =
!
ρ(λ)dλs(λ, a, a′ , b, b′ )
essendo necessariamente:
ed è proprio (vedi definizione di E e di s):
Disuguaglianza di B.C.H.S.H. per fotoni
Definizioni:
Disuguaglianza di Bell, Clauser, Horne, Shimony, Holt.
Si applica a qualunque teoria di variabile nascosta.
Tiene conto delle correlazioni fra i risultati delle misure di
polarizzazione effettuate dall’analizzatore I e II in una qualunque
delle loro orientazioni possibili, a e a’ per I, b e b’ per II.
Notare che finora la MQ non è entrata affatto nella deduzione
della disuguaglianza di B.C.H.S.H.: essa discende
esclusivamente da ipotesi (implicite) molto generali (si veda la
discussione nella prima parte di questi lucidi).
Previsione della MQ per la correlazione di fotoni
con:
e:
Disuguaglianza di Bell, Clauser, Horne, Shimony, Holt,
scritta in termini di correlazioni fra misure su fotoni. Si applica a qualunque teoria di variabile
nascosta: non è specificata la forma di !(!).
Previsione della MQ (vedi prima):
––> È prevista in alcuni casi la violazione della disuguaglianza B.C.H.S.H.
a
Esempio: se tutti gli angoli sono uguali a "/8,
il risultato previsto dalla MQ
(usando la definizione di E) è
b
a’
b’
conflitto disug. di Bell <-> MQ
Esperimento di prima generazione
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L$
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#
#
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A. Aspect et al.
Physical Review Letters
49, 91 (1982)
&"
QQ
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;
Due polarimetri in orientazioni fisse fra
loro.
Si misurano le coincidenze, e si
costruisce la funzione E.
Si variano manualmente le orientazioni
dei polarimetri, ottenendo una nuova E.
Si ottiene così E(!), funzione dell’angolo
fra i due polarimetri.
Figura da: A. Aspect,
http://arXiv.org/pdf/quant-ph/0402001
S = 2.697±0.015
!"#$%&' ()' *' +,-&%".&/0' 1"02' 013*425//&67' -365%"8&%7%& '()*+,-*.,(/& 0(++1)*.,(/& (2& *3& *&
24/0.,(/& (2& .51& +1)*.,61& */7)1& (2& .51& 8()*+,91.1+3%& :51& ,/;,0*.1;& 1++(+3& *+1& ±& <& 3.*/;*+;&
Obiezione: i polarimetri sono fissi,
;16,*.,(/3%&:51&;*351;&04+61&,3&/(.&*&2,.&.(&.51&;*.*=&>4.&"4*/.49&#105*/,0*)&8+1;,0.,(/3&2(+&
potrebbe essere possibile uno scambio .51&*0.4*)&1?81+,91/.%&@(+&*/&,;1*)&1?81+,91/.=&.51&04+61&A(4);&1?*0.)B&+1*05&.51&6*)413&±&C%&
di segnale fra l’uno e l’altro riguardo all’orientazione relativa fra loro.
Esperimento di prima generazione
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A. Aspect et al.
Physical Review Letters
49, 91 (1982)
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Due polarimetri in orientazioni fisse fra
loro.
Si misurano le coincidenze, e si
costruisce la funzione E.
Si variano manualmente le orientazioni
dei polarimetri, ottenendo una nuova E.
Si ottiene così E(!), funzione dell’angolo
fra i due polarimetri.
Figura da: A. Aspect,
http://arXiv.org/pdf/quant-ph/0402001
!"#$%&'()'*'+,-&%".&/0'1"02'013*425//&67'-365%"8&%7;$<=+*:,:>$?@!AB$:'$C"$:"7:"D$
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:&"$9=(-"$.'=#D$"K+9:#>$("+9&$:&"$-+#="7$±$1;010;$
Obiezione: i polarimetri sono fissi,
potrebbe essere possibile uno scambio
di segnale fra l’uno e l’altro riguardo all’orientazione relativa fra loro.
Esperimento di seconda generazione
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A. Aspect et al.
Physical Review Letters
49, 1804 (1982)
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;
Due polarimetri in orientazioni fra loro
variabili durante il volo del fotone.
Le orientazioni dei polarimetri vengono
variate in maniera quasi periodica.
Si misurano le coincidenze, e si
costruisce la funzione E.
Si ottiene così E(!), funzione dell’angolo
fra i due polarimetri.
Figura da: A. Aspect,
http://arXiv.org/pdf/quant-ph/0402001
!"#$%&' ()' *' +","-#' &./&%",&-0$% &'()&*(% +,)-&./0(1% 2,/+2/1(+2(% )&3(% &4% &% 56+23/,+% ,5% 37(%
)(.&3/'(%,)/(+3&3/,+%,5%37(%8,.&)/0()49%:+1/2&3(1%()),)4%&)(% ±%;%43&+1&)1%1('/&3/,+9%<7(%1&47(1%
26)'(% /4% +,3% &% 5/3% 3,% 37(% 1&3&% =63% 37(% 8)(1/23/,+4% =>% "6&+36-% #(27&+/24% 5,)% 37(% &236&.%
(?8()/-(+39%
Obiezione: la variazione
dell’orientazione reciproca
non è casuale.
Figura da: A. Aspect,
http://arXiv.org/pdf/quant-ph/0402001
Esperimento di terza generazione
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53.$2*'.!'5!2%,!),(#2*<,!')*,.2#2*'.!#2!2%,!0'0,.2!'5!2%,!0,#-3),0,.28'
Separazione degli analizzatori: 400 m (!), la luce impiega 1.3 µs per coprire tale distanza.
Stato entangled:
grandezze misurate:
coincidenze:
correlazione:
Weihs et al. Physical Review Letters 81, 5039 (1998)
Esperimento di terza generazione
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Coincidenze: previsioni quantistiche
Analyzer R otation Angle
-0,50 !
800
-0,25 !
0,00 !
0,25 !
0,50 !
0
50
100
A +0/B –0
A +1/B –0
600
C oincidences in 5s
P"8'(;,*F$'>$$
•$'(,"*9+9,'*$+$
•$("6=#96$±/$
+6$+$>=*89,'*$'>$
9,)"$
400
200
0
600
400
200
Disuguaglianza di Bell:
A +0/B +0
A +1/B +0
0
-100
-50
Bias Voltage (Alice) [V]
Dato misurato, per il set di angoli di
massima violazione: S=2.73±0.02
Weihs et al. Physical Review Letters 81, 5039 (1998)
FIG. 3. Four out of sixteen coincidence rates between various
detection channels as functions of bias voltage (analyzer
rotation angle) on Alice’s modulator. A 1 1!B 2 0, for
example, are the coincidences between Alice’s “1” detector
with switch having been in position “1” and Bob’s “2” detector
with switch position “0”. The difference in height is explained
by different efficiencies of the detectors.
Possibili obiezioni?
“While our results confirm the
quantum theoretical predictions,
we admit that, however unlikely,
local realistic or semiclassical
interpretations are still possible, but
we would then have to assume that
the sample of pairs registered is
not a faithful representative of the
whole ensemble emitted.”
Weihs et al. Physical Review Letters 81, 5039 (1998)
La disuguaglianza di Bell è ragionevolmente violata sperimentalmente.
Interpretazione diffusa:
la realtà è non locale