Soluzioni - Dipartimento di Matematica

MATEMATICA CORSO A
III APPELLO
17 Settembre 2014
Soluzioni
1. Risolvi in R la seguente disequazione
log1/3 (x2 − 2 x − 2) < 0
Si ha (la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1)
log1/3 (x2 − 2 x − 2) < 0
x2 − 2 x − 3 < 0
⇔
⇔
x2 − 2 x − 2 > 1
x < −1
∨
⇔
x>3
2. In un cassetto ci sono 10 paia di calzini messi in modo disordinato: 1 paio è bianco, 4 paia
sono nere, 3 paia sono blu ed infine 2 paia sono grigie. Si prendono a caso due calzini,
calcola la probabilità che essi siano dello stesso colore.
Abbiamo 10 paia di calzini, quindi 20 calzini in totale. Le possibili coppie di calzini sono
20
= 190 ;
2
per ottenere due calzini dello stesso colore posso prendere 2 calzini neri tra 8, 2 calzini
blu tra 6, 2 grigi tra 4 e 2 bianchi tra 2, ovvero i casi favorevoli sono
8
6
4
2
+
+
+
= 28 + 15 + 6 + 1 = 50 .
2
2
2
2
La probabilità cercata è quindi
50
5
=
.
190
19
Un altro modo di procedere è quello di considerare la nostra situazione come un’estrazione
senza rimessa. Abbiamo che la probabilità di pescare un calzino bianco è 2/20, di pescarne
uno nero è 8/20, di pescarne uno blu è 6/20, mentre di pescarne uno grigio è 4/20. Allora
p=
p(2B) =
2 1
1
=
20 19
190
p(2N ) =
8 7
28
=
20 19
190
15
4 3
6
6 5
=
p(2G) =
=
20 19
190
20 19
190
e la probabilità cercata è la somma delle precedenti probabilità, ovvero
p(2Bl) =
p=
50
5
=
.
190
19
1
3. Trova l’espressione analitica di funzione f (x) che sia continua e crescente su tutto R,
abbia limite per x → +∞ uguale a 3 e tale che f (0) = −2.
Una possibile funzione è quella che si ottiene a partire da g(x) = −e−x : essa è infatti
crescente e continua su tutto R, ma il limite per x → +∞ vale 0. Per ottenere una
funzione con tale limite uguale a 3 possiamo considerare la funzione
f (x) = −k e−x + 3
con k parametro reale da determinare in base alla condizione f (0) = −2. Imponendo
quest’ultima condizione si ottiene
f (0) = −k + 3 = −2
⇔
k=5
da cui
f (x) = −5 e−x + 3
4. Il colore del manto di una specie di bufali africani è determinata geneticamente da un
gene con due possibili alleli: l’allele N dominante del manto nero, e l’allele m recessivo
del manto marrone. La popolazione che stai studiando soddisfa le ipotesi della legge di
Hardy-Weinberg, e sai che il 36% dei bufali ha manto marrone.
a) Calcola le frequenze alleliche, le probabilità di tutti i genotipi e di tutti i fenotipi.
b) Qual è la probabilità che un bufalo preso a caso nella popolazione abbia il manto
marrone sapendo che il padre ha il manto marrone e la madre nero?
c) Qual è la probabilità che un bufalo preso a caso nella popolazione abbia il manto
nero sapendo che suo figlio ha il manto marrone?
Indichiamo con p la frequenza dell’allele dominante N e con q la frequenza dell’allele
recessivo m.
a) Conosciamo già le frequenze fenotipiche:
P (M A) = 36%
P (N E) = 64%
Si ha
36% = q 2
⇒
q = 0.6
quindi p = 0.4. Le probabilità dei genotipi sono:
P (N N ) = p2 = 0.16 P (N m) = 2 p q = 0.48 P (mm) = q 2 = 0.36
b)
P (FM A |PM A ∩ MN E ) =
q 2 (2 p q (1/2))
q
q
3
=
=
=
2
2
q (p + 2 p q)
p + 2q
1+q
8
c)
P (PN E |FM A ) =
2 p q(1/2) (q 2 + 2 p q (1/2))
p q (q 2 + p q)
=
= p (q + p) = p = 0.4
q2
q2
2
5. Un certo test nazionale di biologia viene proposto in tutte le ultime classi delle scuole
secondarie. I risultati sono distribuiti normalmente con media µ = 500 e deviazione
standard σ = 100. Si scelgono a caso 6 studenti che hanno fatto il test.
a) Calcola la probabilità che i loro punteggi siano tutti inferiori a 600.
b) Calcola la probabilità che esattamente 4 punteggi siano superiori a 640.
c) Calcola la probabilità che la somma dei loro punteggi sia inferiore a 2400.
a) Calcoliamo la probabilità che un singolo punteggio sia inferiore a 600. Iniziamo con
lo standardizzare il valore 600:
600 − 500
100
=
=1
100
100
La probabilità cercata non è altro che il valore della funzione di ripartizione della
normale standard in 1:
Z 1
1
2
e−t /2 dt ' 0.8413
Φ(1) = √
2 π −∞
La probabilità che tutti i punteggi siano inferiori a 600 è allora (0.8413)6 .
b) Calcoliamo la probabilità che un singolo punteggio sia superiore a 640. Standardizziamo quest’ultimo valore
140
640 − 500
=
= 1.4
100
100
La probabilità cercata è allora
1 − Φ(1.4) ' 1 − 0.9192 = 0.0808
La probabilità che esattamente 4 punteggi siano superiori a 640 è quindi data da
6
(0.0808)4 (0.9192)2
4
c) Dobbiamo calcolare la probabilità che la variabile aleatoria X = X1 + X2 + X3 +
X4 + X5 + X6 (somma dei sei punteggi) assuma un valore inferiore a 2400; tale
variabile aleatoria ha media√6 µ = 3000 √
(somma delle medie delle sei variabili Xi ) e
deviazione standard pari a 6 σ = 100 6. Standardizziamo X con questi valori e
utilizziamo le tavole:
√
P (X < 2400) = P (Z < (2400 − 3000)/(100 6)) =
√
P (Z < − 6) = P (Z < −2.45) = 1 − Φ(2.45) =
1 − 0.9929 = 0.0071 = 0.71%
6. Studiare (campo di esistenza, segno, limiti, crescenza/descrescenza, punti stazionari) la
funzione
2x − 1
f (x) = ln
3x − 2
e disegnarne il grafico.
3
1. CAMPO DI ESISTENZA : D = {x ∈ R : x < 1/2
∨
x > 2/3}
2. SEGNO:
⇔
f (x) = 0
2
≤x<1
3
1
x<
∨ x>1
2
⇔
f (x) > 0
f (x) < 0
x=1
⇔
3. LIMITI
lim f (x) = ln
x→±∞
2
3
lim f (x) = −∞
x→ 12
−
lim f (x) = +∞
x→ 32
4. DERIVATE
f 0 (x) =
+
−1
(2x − 1) (3 x − 2)
La derivata prima è negativa ∀x ∈ D: la funzione è quindi decrescente e non ha
punti stazionari.
5. GRAFICO
4
5