Simulazioni Montecarlo con Excel (Sasso)

Matematica in laboratorio
Unità 13
Attività guidate
Attività 1
Foglio elettronico
Assumendo che la nascita di un figlio maschio o di una figlia femmina siano equiprobabili,
determina la probabilità che una famiglia con tre figli abbia esattamente un figlio maschio.
Se hai difficoltà a svolgere
le attività guidate,
fai riferimento ai file
di Excel disponibili.
A. CONSIDERAZIONI PRELIMINARI
Per familiarizzare con questo tipo di approccio vogliamo costruire un foglio di lavoro
che ci consenta di stimare, tramite una simulazione, la probabilità richiesta dal problema.
B. COSTRUZIONE DEL FOGLIO DI LAVORO PER EFFETTUARE LA SIMULAZIONE
Informatica – FOGLIO ELETTRONICO
Hai visto a lezione che, quando un esperimento aleatorio viene ripetuto un numero
sufficientemente grande di volte, la frequenza relativa di un evento tende ad avvicinarsi alla sua probabilità teorica. Si tratta della legge empirica del caso, che consente di
affrontare i problemi di probabilità secondo un approccio interessante: effettuando
un numero abbastanza grande di prove e calcolando la frequenza relativa dell’evento
di cui vogliamo determinare la probabilità, possiamo trovare una buona approssimazione di tale probabilità. Questo approccio si rivela particolarmente utile quando non
si sa come calcolare il valore teorico della probabilità o quando tale calcolo è troppo
complicato.
Matematica in laboratorio
La legge dei grandi numeri e le simulazioni
Risorse digitali
Una possibile simulazione che consente di valutare la probabilità richiesta dal problema in esame è la seguente:
!
Lanciamo una moneta. Identifichiamo l’uscita di «testa» con la nascita di un figlio maschio e l’uscita di «croce» con la nascita di una femmina.
!
Consideriamo l’esperimento che consiste nel lancio di tre monete (il quale simula
la nascita di tre figli); per ogni esperimento effettuato, contiamo il numero di «testa» uscite (ossia il numero di figli maschi).
!
Ripetiamo l’esperimento, per esempio, 1000 volte. Una stima della probabilità
cercata è data dal rapporto fra il numero di volte in cui si è registrata esattamente
una «testa» e il numero 1000.
È chiaro che effettuare una tale simulazione lanciando ripetutamente una moneta sarebbe parecchio noioso.
Fortunatamente possiamo effettuare una simulazione come quella descritta utilizzando Excel: si tratta soltanto di sostituire il lancio di una moneta con la scelta casuale di
due numeri equiprobabili, che indichiamo con 0 e 1, e di identificare per esempio l’uscita di uno 0 con la nascita di una femmina e l’uscita di un 1 con la nascita di un maschio.
Il foglio che costruiremo ha l’aspetto della figura a pagina seguente, in cui ogni riga
simula un esperimento aleatorio, cioè i figli maschi (1) e femmine (0) di una famiglia
casualmente scelta.
Per costruire il foglio, occorre utilizzare la funzione predefinita CASUALE(), che restituisce un numero casuale x, con 0 " x < 1.
La matematica a colori – Volume 2 azzurro – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara
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Unità 13
Probabilità
Matematica in laboratorio
Tenendo conto di ciò, puoi costruire il foglio seguendo le istruzioni qui elencate.
Informatica – FOGLIO ELETTRONICO
1. Nella cella A1 immetti la formula:
=SE(CASUALE()<0,5;1;0)
Essa agisce in questo modo:
!
se il numero casuale generato dalla funzione CASUALE() è compreso tra 0 e 0,5
(incluso 0 ed escluso 0; 5Þ, restituisce 1;
!
altrimenti, cioè se il numero casuale scelto è compreso tra 0; 5 e 1 (incluso 0; 5 ed
escluso 1), restituisce 0.
Poiché la probabilità di scegliere un numero x tale che 0 " x < 0; 5 è uguale a quella
di scegliere un numero x tale che 0,5 " x < 1, tale formula simula la scelta casuale di
due numeri equiprobabili, che abbiamo indicato con 0 e 1.
2. Copia la formula immessa in A1 nelle celle B1 e C1. Le celle A1, B1, C1 simulano il nostro esperimento aleatorio, cioè la scelta casuale, per tre volte consecutive, di uno 0 o di un 1.
3. Seleziona le tre celle A1, B1, C1 e copiale nelle righe sottostanti, fino alla riga
1000 (in modo da simulare 1000 esperimenti).
4. Ora devi calcolare il numero di volte in cui, nei 1000 esperimenti, è uscito 1
una e una sola volta (il che corrisponde a calcolare quante volte si è realizzato
l’evento: «la famiglia ha esattamente un figlio maschio»). Per far ciò, inserisci
nella cella E1 la formula:
Osserva
=SE(A1+B1+C1=1;1;0)
e copiala nelle celle sottostanti (zona E2:E1000).
5. Per determinare la frequenza (assoluta) dell’evento: «è uscito 1 una e una sola
volta», è sufficiente addizionare i valori delle celle nell’intervallo E1:E1000.
Quindi la stima della probabilità cercata può essere calcolata tramite la formula:
=SOMMA(E1:E1000)/1000
che devi inserire nella cella G3.
La condizione
A1+B1+C1=1 è verificata se
e solo se nell’esperimento è
uscito uno e un solo 1,
quindi, nella colonna E, per
ciascun «esperimento
aleatorio», viene registrato
il numero 1 se si è verificato
l’evento: «è uscito 1 una e
una sola volta», altrimenti
viene registrato 0.
C. STIMA DELLA PROBABILITÀ RICHIESTA
Scrivi nella prima riga della seguente tabella la stima della probabilità che puoi dedurre dal risultato che Excel ha fornito nella cella G3.
Ricalcola quindi il foglio di lavoro altre 9 volte (basta che ogni volta premi il tasto
F9), scrivi sulle altre righe della tabella i valori via via ottenuti e calcolane la media. Tale media può essere assunta come buona approssimazione della probabilità
cercata.
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Unità 13
Valore della probabilità
n. 1
..........................................................
n. 2
..........................................................
n. 3
..........................................................
n. 4
..........................................................
n. 5
..........................................................
n. 6
..........................................................
n. 7
..........................................................
n. 8
..........................................................
n. 9
..........................................................
n. 10
..........................................................
Media
..........................................................
Matematica in laboratorio
Esecuzione
Probabilità
Nel caso di questo problema non è difficile determinare il valore esatto della probabilità di cui abbiamo trovato un valore approssimato.
1. Costruisci un diagramma ad albero che rappresenti tutte le possibili combinazioni di figli maschi o femmine in una famiglia con tre figli.
2. Deduci da esso la probabilità che ci sia esattamente un figlio maschio.
3. Confronta il valore esatto con il valore ottenuto mediante la simulazione. Il
valore approssimato è esatto fino a quale cifra decimale?
Attività proposte
Informatica – FOGLIO ELETTRONICO
D. CALCOLO TEORICO DELLA PROBABILITÀ
1 Considera il seguente problema: «Si lanciano due dadi, uno rosso e uno blu. Qual è
la probabilità che la somma dei due numeri ottenuti sia pari?».
a. Costruisci un foglio di lavoro che consenta di simulare il lancio dei due dadi e di
dare una stima della probabilità cercata.
b. Determina poi il valore teorico della probabilità e confrontalo con l’approssimazione ottenuta mediante la simulazione: avevi ottenuto una buona approssimazione?
(Suggerimento: per simulare il lancio di un dato puoi utilizzare la formula =CASUALE()*6+1)
Considera la parabola di equazione y ¼ x2
e la regione finita di piano (colorata in figura) limitata da tale parabola, dall’asse x e dalla retta
di equazione x ¼ 1.
2
y
y = x2
1
O
1
x
Qual è la misura dell’area di tale regione di piano? A prima vista questo può sembrare un
problema che non si può affrontare mediante una simulazione. In realtà non è cosı̀! L’idea
chiave è osservare che se un punto viene scelto a caso nel quadrato di lato unitario, avente
come vertici i punti di coordinate (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1), la probabilità che appartenga
alla regione colorata è il rapporto tra l’area della regione colorata e l’area del quadrato.
Poiché l’area del quadrato è 1, determinare l’area della regione colorata equivale a determinare la probabilità che un punto scelto a caso appartenga a tale regione.
Definisci un’opportuna simulazione che ti consenta di calcolare approssimativamente il
valore di tale probabilità e di dedurre, di conseguenza, un’approssimazione dell’area della
regione colorata.
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