I numeri perfetti

I numeri perfetti
TFA A059 2014-15
Università di Roma – Sapienza
A cura di:
Eleonora Mattiuzzo e Sara Falasca
“Ancora si comme fra la gente più imperfecti e tristi che buoni
e perfecti si trovano e li buoni sono pochi e rari: così fra li
numeri pochi e rari sono li perfecti e molti e assai sonno li
imperfecti: cioè superflui e diminuiti”
(Luca Pacioli, XV secolo)
Le origini dei numeri perfetti
Le proprietà intrinseche e nascoste dei numeri
hanno affascinato l'umanità fin dai tempi più antichi.
I Pitagorici ad esempio classificavano i numeri in tre
categorie: difettivi, abbondanti e perfetti.
Difettivi, abbondanti e perfetti
Un numero è difettivo se la somma dei suoi divisori (escluso
il numero stesso) è inferiore al numero.
Un numero è abbondante se la somma dei suoi divisori
(escluso il numero stesso) è superiore al numero.
Un numero è perfetto se la somma dei suoi divisori (escluso
il numero stesso) è uguale al numero.
Esempi di numeri perfetti
Il più piccolo numero perfetto è 6, che è uguale alla
somma dei suoi tre divisori 1,2,3.
6=1+2+3
Il numero perfetto successivo al 6 è il numero 28, i
cui divisori sono: 1,2,4,7,14.
28=1+2+4+7+14.
I Pitagorici
I primi quattro numeri perfetti 6, 28, 496, 8128 erano
già noti ai Pitagorici che si posero due domande
1. esiste un numero perfetto dispari?
2. esistono infiniti numeri perfetti?
oggi note come “the oldest open problem in
mathematics”
Primi risultati di Euclide
Euclide nel libro IX degli Elementi (300 a.C.) dimostra
che la formula
2 k−1 (2k −1)
Dà sempre un numero perfetto pari, purché il
numero dato tra parentesi sia primo.
Primi risultati di Euclide
k
Affinché il numero 2 −1 sia primo è necessario che
k sia primo, ma non è sufficiente
Esempi:
2
3=(2 −1) → k =2
5
31=(2 −1) → k =5
Ma
11
3
7=(2 −1) → k =3
7
127=(2 −1) → k =7
k =11 →(2 −1)=2047=23• 89
non è primo!
Domande...
1. un numero perfetto pari è necessariamente della
forma 2 p−1 (2 p−1) ?
p
2. per quali p (2 −1) è primo?
Mersenne e i numeri primi
I numeri naturali della successione
M n=2 n−1
si dicono numeri di Mersenne.
In questa successione incontriamo i
numeri primi di Mersenne della forma
p
M p=2 −1
con p primo
( Francia , 1588−1648)
Potenze di 2 su una scacchiera. Nelle caselle grigie compaiono le
potenze di 2 che danno i numeri primi di Mersenne.
Fermat e i numeri perfetti
Fermat studiò i numeri perfetti alla
ricerca delle loro proprietà e
accidentalmente giunse a formulare
uno dei sui teoremi più noti
Il piccolo Teorema di Fermat
p ∤ a → a p−1 ≡1(mod p)
( Francia , 1601−1665)
2000 anni dopo Euclide...Eulero
Eulero dimostrò due importanti
risultati:
1. Ogni numero perfetto pari è della
forma 2 p−1 (2 p−1) con p primo.
Questo risolve uno dei problemi posti
la ricerca dei numeri perfetti equivale a
trovare i primi di Mersenne.
(Svizzera , 1707−1783)
2000 anni dopo Euclide...Eulero
2. Se n è un numero perfetto dispari allora la sua
fattorizzazione in numeri primi è della forma:
n=q
4b+1
•Π p
2a i
i
dove q è un primo della forma 4k+1.
Il numero perfetto più grande?
Il numero perfetto 230 (231−1) scoperto da Eulero rimase il
più grande per altri 150 anni...
“è il più grande che verrà mai scoperto; anche perché essi
stimolano soltanto la curiosità, senza essere utili, ed è
improbabile che qualcuno cercherà mai di trovarne uno oltre
questo.”
(Peter Barlow, Theory of Numbers, 1811)
Gli ultimi 2 secoli
Nel 1870 Lucas ideò un criterio per verificare la primalità dei
numeri di Mersenne, che fu poi semplificato da Lehmer nel
1930.
Test di Lucas-Lehmer
Sulla base di tale criterio è possibile costruire un algoritmo
che verifichi la primalità di un numero di Mersenne, con una
quantità di calcoli compatibile con la potenza dei calcolatori
attuali.
Francobolli e timbri postali dedicati ai due più alti numeri
primi noti nel 1963 e 1971
...fino a oggi
●
●
La possibilità di disporre di numeri primi molto grandi
permette di sviluppare metodi di crittazione sempre più
sicuri.
Attualmente si conoscono 48 primi di Mersenne
numeri perfetti.
48
Nel 2012 fu dimostrato che se esiste un numero perfetto
1500
dispari n allora n>10
● Nel 2013 è stato scoperto l'ultimo “più grande” numero
57885161
−1
primo di Mersenne 2
(ha 17 milioni di cifre!)
●
Proprietà
Un numero si dice triangolare se è dato dalla somma dei
numeri consecutivi a partire dall'unità.
Ogni numero perfetto pari è triangolare.
Proprietà
Un numero intero n si dice esagonale se si ottiene dalla
formula
n=k (2k−1) , per k intero
Ogni numero perfetto pari è esagonale.
Altre proprietà curiose
●
Ogni numero perfetto escluso il 6 ha radice numerica uguale a
1, dove la radice numerica è la somma delle singole cifre da cui
è composto il numero perpetuata fino al raggiungimento di
una sola cifra.
496 → 4+9+6=19 →1+9=10 → 1+0=1
●
La somma dei reciproci dei divisori di un numero perfetto
(incluso il numero stesso) è uguale a 2.
1 1 1 1
2= + + +
1 2 3 6
●
Ogni numero perfetto pari, tranne il 6, è uguale a somme di
successioni dei numeri dispari al cubo.
3
3
3
3
3
3
3
8128=1 +3 +5 +7 +9 +11 +13 +15
3
“Un problema di teoria dei numeri è senza tempo
come un'opera d'arte.”
(D.Hilbert)
Bibliografia
Sitografia
●
http://web.unife.it/utenti/philippe.ellia/Docs/PbiTeoNum.pdf
●
http://webmath2.unito.it/paginepersonali/romagnoli/perfetti.pdf
●
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/info/Numer
i/Feb07/Numerifebbraio2007.htm