analisi numerico-sperimentale di sandwich in composito con

Associazione Italiana per l’Analisi delle Sollecitazioni (AIAS)
XXXV Convegno Nazionale – 13-16 Settembre 2006, Università Politecnica delle Marche
ANALISI NUMERICO-SPERIMENTALE DI SANDWICH IN COMPOSITO
CON CORE CORRUGATO
V. Urso Miano a, G. Pitarresi a*, D. Tumino a*, F. Cappello a
a
DIMA - Dipartimento di Meccanica, Università degli Studi di Palermo, Viale delle Scienze, 90127, Palermo, Italy.
Sommario
In questo lavoro viene presentato un modello analitico del comportamento meccanico di strutture in
composito sandwich con anima rinforzata da un laminato corrugato (“tied core sandwich design”).
Tale modello si basa sulla omogeneizzazione delle proprietà elastiche di una cella elementare di
materiale, assimilata ad una piastra di grosso spessore sottoposta a piccole deformazioni. La
successiva implementazione del modello nella formulazione di un elemento finito di tipo shell
permette di semplificare notevolmente le analisi numeriche di strutture complesse che impieghino la
tipologia di sandwich in esame. Per la verifica di validità del modello proposto vengono inoltre
riportati i risultati di una serie di analisi numeriche e sperimentali, queste ultime in particolare
condotte su travi e pannelli sandwich le cui pelli ed anima corrugata sono costituite da laminati
ortotropi cross-ply in fibra di vetro.
Abstract
In this work an analytical model is presented to simulate the behaviour of composite sandwich
structures with corrugated FRP laminate cores (“tied core sandwich design”). This model is based on a
homogenisation of the elastic properties of the sandwich unit cell which is ideally replaced by an
orthotropic thick plate subject to small deflections and with appropriate structural properties. The
homogenised model is also implemented into the formulation of a shell type finite element, allowing
simpler and faster numerical analyses of complex structures adopting the previous sandwich concept.
The validity of the proposed model is then investigated by means of numerical and experimental
analyses, the latter performed on sandwich beams and panels whose skins and corrugated cores are
made of orthotropic cross-ply GRP laminates.
Parole chiave: materiali compositi, sandwich, core corrugato, omogeneizzazione, FEM.
1. INTRODUZIONE
Il notevole aumento di rigidezza flessionale a scapito di un trascurabile incremento in peso caratterizza
le strutture sandwich rispetto a più tradizionali strutture monolitiche bidimensionali [1]. L’impiego di
pannelli sandwich, sia come strutture primarie, ovvero portanti, che secondarie, trova consensi in
diversi settori industriali, ed in particolare in quello dei trasporti. Un particolare ma significativo
esempio in tal senso è rappresentato da due recenti progetti finanziati in ambito europeo che hanno
visto consorziati diversi enti di ricerca ed importanti realtà industriali impegnati nello sviluppo di
strutture sandwich in composito: HYCOPROD e SANDCORE [2]. Alla crescente domanda di un
impiego più massiccio di strutture sandwich si contrappone la difficoltà di scegliere tra una notevole
varietà di soluzioni strutturali legate al concetto di sandwich. La notevole riduzione in peso
raggiungibile adottando sandwich con lamine in materiale composito FRP costituisce un ulteriore
* Corresponding authors: Tel.: +390916657103; Fax.: +39091444834; E-mail: [email protected] or [email protected]
XXXV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – ANCONA, 13-16 SETTEMBRE 2006
appeal ma introduce anche un’ulteriore complicazione nella progettazione, dovuta alla natura non
omogenea e anisotropa di questi materiali.
Nel presente lavoro si è in particolare preso in considerazione il concetto di sandwich con core
corrugato unidirezionale, in cui la tradizionale anima in schiuma espansa è sostituita o assistita da un
inserto laminato, corrugato in modo da connettere direttamente le due pelli del sandwich (“corrugatedcore sandwich plates”) (vedi fig. 1).
A differenza dei sandwich tradizionali, aventi un core omogeneo, l’impiego di sandwich con core
corrugato per strutture complesse (quali ad esempio scafi di imbarcazioni, ale di aerei, ecc…) può
richiedere un onere computazionale notevole, come ad esempio nel caso in cui si adotti una
rappresentazione fedele 3D in un modello FEM. Al fine di ovviare a tale problema, in virtù della
natura periodica della struttura dei core non omogenei, diversi modelli di omogeneizzazione sono stati
proposti, mediante i quali la complessa struttura sandwich è rappresentata da una equivalente struttura
bidimensionale di più semplice modellazione analitico-numerica.
Il concetto di sandwich con core corrugato è stato per la prima volta proposto intorno all’inizio del
secolo scorso, sia come materiale per imballaggi (“cardboard-box construction”) che in ambito
aeronautico, ove venne sviluppato limitatamente all’impiego di laminati metallici. Libove et al [3] per
primi hanno proposto un modello analitico–elastico di tali strutture sandwich, basato sulla tradizionale
teoria delle piastre spesse, e sull’impiego di materiali costituenti omogenei e strutture
macroscopicamente ortotrope [4]. Tale formulazione rappresenta quindi una “omogeneizzazione” del
comportamento meccanico del sandwich, reso equivalente a quello di un modello strutturale
bidimensionale standard.
Basati sulla formulazione di Libove et al [3-4], diversi lavori sono stati proposti in tempi più recenti,
con l’obiettivo di analizzare diverse geometrie del core corrugato e modalità di assemblaggio degli
elementi strutturali del sandwich [5-7]. Un vantaggio di tali formulazioni è quello di considerare le
rigidezza a taglio nella direzione dello spessore (secondo quindi un modello di piastra del tipo
Reissner-Mindlin). Ciò è soprattutto importante per conoscere il comportamento sul piano trasversale
alla direzione del corrugato (yz), ove la discontinua presenza del core dà luogo ad un basso modulo di
taglio che determina una sensibile deformazione a taglio anche in casi in cui carichi fuori dal piano
sollecitano pannelli vincolati con ampie luci.
Una limitazione comune alle varie implementazioni sin qui proposte del metodo di Libove è invece
costituita dal considerare esclusivamente lamine costituenti in materiale isotropo, ove l’ortotropia del
sandwich deriva soltanto dal modo di assemblare pelli e corrugato (“ortotropia strutturale”), non
prevedendo la possibile intrinseca ortotropia dei singoli laminati derivante ad esempio dall’impiego di
compositi fibrorinforzati.
Due alternativi approcci sono stati proposti recentemente come applicazioni di metodi classici di
omogeneizzazione al caso di sandwich con core corrugati [8-9]. Entrambe gli approcci sfruttano la
possibilità di identificare un sub-elemento strutturale elementare, cella, come elemento che ripetuto
riproduce l’intera struttura. In particolare in [8] un metodo noto come “asymptotic expansion
homogenisation” è implementato per determinare modelli equivalenti omogeneizzati di diverse
geometrie di corrugati. Un aspetto interessante del lavoro riguarda il tentativo di estendere il metodo
adottato per tenere conto della non trascurabile deformazione a taglio. In [9] invece è descritta una
metodologia analitico-sperimentale mediante la quale la struttura equivalente omogeneizzata è il
risultato della modellazione del comportamento della cella elementare mediante applicazione della
teoria classica dei laminati. Il metodo è quindi applicato ad un sandwich corrugato di cartone, in cui
sia il core corrugato che le pelli sono costituiti da materiale intrinsecamente ortotropo.
L’estensione del concetto di sandwich con core corrugato al contesto dei materiali compositi
fibrorinforzati ha trovato applicazione solo di recente [10-11]. La flessibilità dei metodi di
fabbricazione di lamine in composito FRP ha in particolare portato alla realizzazione di soluzioni
costruttive interessanti quali: la realizzazione di giunzioni co-cured tra le parti a contatto di pelli e core
corrugato particolarmente resistenti, la possibilità di “riempire” lo spazio del core non occupato dal
laminato corrugato mediante schiume polimeriche incrementando notevolmente la rigidezza a taglio
trasversale, la possibilità di realizzare strutture monoscocca di forma complessa [12], ed infine la
possibilità di formare strutture in FRP complesse con la funzione di core, come ad esempio multicellular sheet laminates con proprietà macroscopicamente isotrope [13,14].
XXXV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – ANCONA, 13-16 SETTEMBRE 2006
Tra i vantaggi derivanti dall’impiego di un core rinforzato con lamina corrugata, vi è l’incremento di
rigidezza a taglio e flessionale soprattutto nella direzione del corrugato, l’aumento della resistenza a
buckling locale, l’aumento generalizzato delle proprietà elastiche e di resistenza nella direzione fuori
dal piano, la maggiore resistenza ad impatto, oltre che potenziali vantaggi tecnologici quali ad esempio
una migliore drapability dello stampo da parte del core [12]. Un ulteriore notevole vantaggio è dato
dalle ottime proprietà di comportamento a crash nei confronti di carichi impattanti parallelamente alla
superficie del sandwich. É stato infatti dimostrato come il vincolo costituito dal collegamento diretto
delle pelli tramite il laminato corrugato, è in grado di attivare modalità di rottura a crash progressive e
con elevato assorbimento di energia specifica d’urto [14].
Sino ad oggi l’analisi degli aspetti strutturali relativi ai sandwich in composito con core rinforzati e
stata condotta prevalentemente per via sperimentale. La mancanza di efficaci modelli analiticonumerici capaci di simulare il comportamento di tali elementi strutturali può considerarsi uno dei
principali motivi alla base della loro scarsa considerazione da parte dei progettisti (ad esempio gli
unici prototipi nel campo dei trasporti ad oggi conosciuti dagli autori, che impiegano sandwich con
core corrugato, sono quelli realizzati nell’ambito del progetto Hycoprod [2]).
Questo lavoro affronta lo studio di un modello di omogeneizzazione di un materiale sandwich
costituito da pelli in GRP ed anima in laminato GRP corrugato secondo una direzione, e schiuma in
PVC (vedi fig. 1). Il modello analitico è in particolare derivato usando l’approccio di Libove et al [3].
Dopo aver definito le formulazioni analitiche delle proprietà elastiche equivalenti del modello
omogeneizzato, queste sono state confrontate con i risultati derivanti da un modello 3D agli Elementi
Finiti della cella elementare. Il modello omogeneizzato è stato quindi implementato in un tipico
elemento shell, per l’analisi agli elementi finiti di strutture complesse. Nel presente lavoro tale
implementazione è realizzata in ANSYS [15]. Prove sperimentali sono state eseguite su travi e
pannelli in sandwich realizzati con tecniche di laminazione manuale. In particolare prove di flessione a
tre punti su travi sono state eseguite permettendo di realizzare configurazioni in cui le rigidezze
flessionali in gioco siano disaccoppiate. I risultati sono poi stati confrontati con quelli ottenuti con
l’analisi numerica basata sul modello omogeneizzato. Prove su pannelli caricati in vario modo hanno
permesso infine di analizzare condizioni di pura torsione e di torsione e flessioni accoppiate. Nei casi
analizzati le prove sperimentali hanno fornito risultati in ottimo accordo con quelli delle simulazioni
numeriche.
2. MODELLO ANALITICO DI OMOGENEIZZAZIONE
In figura (1.a) è rappresentata schematicamente la geometria del sandwich con core corrugato presa in
esame. Tale configurazione presenta una forma trapezoidale della sezione trasversale del laminato
corrugato, simmetrica rispetto al piano medio e costante lungo la direzione x. Il comportamento
membranale e flessionale del laminato corrugato è diverso per le direzioni x ed y, e tale da rendere
ortotropa la struttura sandwich complessiva. In figura (1.b) è rappresentata la sezione trasversale della
cella elementare che costituisce l’elemento ripetitivo della struttura periodica del sandwich, la cui
lunghezza in direzione x è indefinita, ed in direzione y è data dalla forma trapezoidale del corrugato.
Il comportamento di tale struttura tridimensionale complessa può essere assimilato a quello di una
piastra di grosso spessore soggetta a piccole deformazioni. La figura (1.c) mette in luce le costanti
elastiche che è necessario considerare per definire le equivalenti proprietà strutturali dell’elemento
piastra [4]. Tali costanti sono: le rigidezze membranali (Ex, Ey, Gxy), le rigidezze flessionali lungo le
due direzioni principali x ed y (Dx e Dy), la rigidezza torsionale (Dxy) e le rigidezze trasversali a taglio
(DQx e DQy).
Il modello sin qui richiamato è lo stesso introdotto in [4] ed impiegato in [3-7]. Le ipotesi alla base del
modello possono essere di seguito riassunte:
- le deformazioni del pannello sono piccole;
- il modulo elastico della piastra equivalente in direzione z è assunto infinito;
- i segmenti inizialmente ortogonali al piano medio del pannello, si mantengono rettilinei ma non
necessariamente ortogonali al piano medio durante la deformazione, a seguito dell’influenza dello
scorrimento trasversale a taglio;
- lo spessore delle pelli è sottile rispetto allo spessore del core;
XXXV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – ANCONA, 13-16 SETTEMBRE 2006
- il core contribuisce alla rigidezza flessionale del pannello soltanto nella direzione x.
(a)
(b)
(c)
Figura 1. 1.a) disegno schematico di sandwich con core corrugato; 2.a) vista della sezione trasversale della cella
elementare del sandwich, con indicati i principali parametri geometrici; 3.a) schema dell’equivalente elemento infinitesimo
piastra e delle componenti i sollecitazione ad esso associati.
Il punto cardine che determina l’efficacia del modello di omogeneizzazione adottato consiste nel
determinare le formulazioni che legano le proprietà geometriche del core corrugato alle costanti
elastiche. In [3] sono derivate le relazioni delle costanti elastiche per laminati isotropi e corrugati di
sezione trasversale simmetrica.
Nel presente lavoro si è imposto un modello costitutivo ortotropo per i singoli laminati costituenti pelli
e core corrugato. Una serie di ipotesi semplificative sono state assegnate al modello ortotropo
considerato, che si aggiungono a quelle citate in precedenza, e si riassumono in:
- i laminati costituenti le pelli ed il core hanno uguale lay-up;
- gli stessi laminati risultano simmetrici.
Il procedimento che conduce alla formulazione delle costanti elastiche ricalca quello di Libove et al.
[3], con l’importante differenza del considerare la legge costitutiva ortotropa quale legame tra
deformazioni e tensioni per le pelli e per il core. Vengono per brevità riportate di seguito le espressioni
finali ricavate per le costanti elastiche flessionali e torsionali, rimandando al riferimento [16] per una
analisi più dettagliata del procedimento seguito.
Le rigidezze flessionali assumono la forma seguente:
Dx =
1
Ex tsh2 + Ex Ic
2
(1)
(
)
1
t s h 2 + 2I c E x E y t s h 2
2
Dy =
2
2
E x t s h + 2I c − νfxy ν fyx t s h 2 − 2νfxy νfyx I c + ν fxy E y t s h 2
(
) ( )
(2)
La rigidezza torsionale è data dalla relazione seguente:
D xy = G xy t s h 2
(3)
ove Ex, Ey, Gxy, sono le costanti elastiche ortotrope membranali e νfxy e νfyx i coefficienti di Poisson
ortotropi flessionali relativamente ai laminati impiegati per le pelli ed il core, Ic è il momento d’inerzia
della sezione trasversale del core rispetto all’asse di simmetria giacente sul piano medio (asse y),
mentre gli altri simboli sono definiti in figura 1b. Per le analoghe derivazioni analitiche delle costanti
di rigidezza membranali del sandwich si rimanda ancora a [16]. Esse infatti non entrano in gioco nelle
configurazioni strutturali analizzate nel proseguo del presente lavoro (vedi par. 3 e 4), ove verranno
impiegati soltanto carichi fuori dal piano.
Una formulazione analitica omogeneizzata per le rigidezze a taglio trasversale non è stata derivata al
momento. La compresenza di una schiuma polimerica in PVC nel core da un incremento notevole alla
XXXV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – ANCONA, 13-16 SETTEMBRE 2006
rigidezza a taglio. Tuttavia, come si vedrà più avanti, la deformazione a taglio può non essere del tutto
trascurabile soprattutto quando vi sono limitate luci tra i vincoli delle strutture sandwich.
3. ANALISI NUMERICHE
3.1. Validazione del modello analitico
Al fine di valutare l’efficacia del modello analitico di omogeneizzazione descritto in precedenza, è
stato effettuato un confronto con i risultati numerici ricavati dal modello 3D agli Elementi Finiti della
cella elementare del sandwich. In particolare tale modello numerico è stato di volta in volta
opportunamente vincolato e caricato in modo da mettere in evidenza l’influenza delle costanti
elastiche (Dx, Dy, Dxy) disaccoppiate l’una dall’altra (figura 2). In particolare è stato applicato un
opportuno e congruente campo di spostamenti sulla superficie libera, alla quale si è associata
l’equivalente sollecitazione calcolata come risultante delle reazioni vincolari nella sezione vincolata.
In figura (3) è rappresentato il modello utilizzato per le analisi numeriche: la discretizzazione è
ottenuta utilizzando elementi esaedrici SOLID45 a otto nodi disponibili nella libreria di ANSYS [15].
A tali elementi è stato associato un materiale di tipo ortotropo le cui caratteristiche elastiche, riportate
in tabella 1, eguagliano quelle del materiale fabbricato e testato nel presente lavoro (vedi par. 4).
La geometria della cella analizzata è riportata in tabella 1.
(a)
(b)
(c)
Figura 2: schemi di carico e di vincolo della cella elementare. Ogni configurazione attiva una sola costante elastica: Dx in
fig. 2.a, Dy in fig. 2.b e Dxy in fig. 2.c.
Tabella 1: costanti elastiche dei laminati costituenti il sandwich e caratteristiche geometriche del sandwich (vedi fig. 1b)
Ex
[GPa]
11
Ey
[GPa]
15.6
Gxy
[GPa]
1.85
ν fxy
ν fyx
0.1
0.28
P
[mm]
80
f
[mm]
29.7
h
[mm]
23.9
ts
[mm]
1.11
tc
[mm]
0.96
H
[mm]
25.1
Figura 3: immagine della discretizzaione FEM di un particolare della cella elementare, eseguita in ANSYS.
Dalle tre analisi sulla cella elementare schematizzata in figura 3, si determina quindi il rapporto fra
momenti e rotazioni, ottenendo i valori delle costanti di rigidezza da confrontare con quelli derivanti
dal modello analitico omogeneizzato (eq. 1-3). In tabella 2 è riportato il risultato di tale confronto.
XXXV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – ANCONA, 13-16 SETTEMBRE 2006
Tabella 2: confronto tra i valori delle rigidezze flessionali e torsionali del sandwich calcolati in base al modello analitico
omogeneizzato e derivati dal modello tridimensionale FE della cella elementare.
numerico
analitico
Dx [Nm]
4.43×103
4.43×103
Dy [Nm]
5.76×103
6.09×103
Dxy [Nm]
5.77×102
5.63×102
3.2. Implementazione del modello analitico in un elemento shell
Il comportamento di una struttura in sandwich con core corrugato può essere efficacemente simulato
numericamente utilizzando opportuni elementi shell formulati sulla base del modello analitico
omogeneizzato. In tal modo si ottiene un modello equivalente della struttura che rappresenta
solamente la superficie media del sandwich, riducendo notevolmente l’onere computazionale rispetto
all’utilizzo di un modello tridimensionale completo.
Nel presente lavoro è stato adottato l’elemento SHELL99 della libreria di ANSYS [15]. Tale elemento
contiene 8 nodi ognuno di essi con 6 gradi di libertà corrispondenti alle tre componenti di spostamento
ed alle tre componenti di rotazione. Per tale elemento è possibile definire esplicitamente le componenti
della matrice di rigidezza D che lega il vettore dei momenti M al vettore delle curvature k. Tale
relazione è espressa dalla:
 M x   D11

 
 M y  =  D12
M   D
 xy   13
D12
D 22
D 23
 Dx

1 − µf µf
D13   k x   f xy yx
   µ yx D x
D 23   k y  = 
f
f

1 − µ xyµ yx
D33  k xy  

0

µ fyx D x
1 − µ fxyµ fyx
Dy
1 − µ fxyµ fyx
0


 k 
 x 
0  ky 
 
k
D xy   xy 

−
2 

0
(4)
dove in particolare i termini che accoppiano gli sforzi flessionali alla curvatura torsionale e lo sforzo
torsionale alle curvature flessionali sono nulli per una configurazione cross-ply [17] (adottata in effetti
nel presente lavoro, vedi par. 4), e dove µ fxy e µ fyx sono i coefficienti di Poisson flessionali dell’intero
sandwich, derivati dai coefficienti relativi ai singoli laminati costituenti tramite le seguenti espressioni
[3]:
µ fxy = ν fxy , µ fyx =
Dy
Dx
µ fxy
(4)
4. ANALISI SPERIMENTALI
4.1. Realizzazione dei provini
Sono stati realizzati dei pannelli sandwich con core corrugato utilizzando come materiali costituenti
resina poliestere e un tessuto unidirezionale in fibra di vetro con grammatura 220g/m2. Da un pannello
in PVC espanso (Klegecell® R45 della DIAB) sono stati preventivamente sagomati dei listelli con
forma prismatica a sezione trapezia. Il sandwich è stato fabbricato secondo la seguente sequenza (vedi
anche fig. 4): stratificazione mediante hand lay-up della prima pelle, disposizione di parte dei listelli in
PVC per creare lo stampo aperto sul quale sagomare il laminato corrugato, stratificazione del
corrugato, disposizione dei rimanenti listelli in PVC per ottenere la superficie piana sulla quale
disporre la seconda pelle, stratificazione della seconda pelle. La stratificazione e l’assemblaggio
dell’intero pannello sono stati eseguiti entro i tempi della pot-life della resina catalizzata, ottenendo in
questo modo delle giunzioni di tipo co-cured tra pelli e core.
Sia per le pelli che per il corrugato si è adottato un lay-up di tipo cross-ply [90/0/90], ove la direzione
di 0° coincide con la direzione longitudinale del corrugato già indicata con x. Le proprietà elastiche
XXXV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – ANCONA, 13-16 SETTEMBRE 2006
dei laminati sono state determinate mediante caratterizzazione sperimentale standard eseguita su
provini unidirezionali [0n] e [90n]. Le costanti elastiche risultanti del laminato sono riportate in tab. 2.
Va sottolineato che la schiuma in PVC da un contributo trascurabile alle rigidezze flessionali e
torsionali, per cui si considerano applicabili le formulazioni analitiche riportate in (1-3) ricavate
considerando solamente il contributo delle pelli e del corrugato. La stessa cosa non vale per le
rigidezze trasversali a taglio che sono invece sensibilmente migliorate dalla presenza della schiuma.
(a)
(b)
Figura 4: 4.a) sequenza di lavorazione e messa in opera dei costituenti del sandwich in fase di fabbricazione; 4.b) Immagine
della sezione trasversale di una trave tipo y.
Dai pannelli realizzati sono state tagliate travi con assi longitudinali rispettivamente paralleli ad x ed y
(indicate nel seguito con tipo-x e tipo-y, vedi fig. (4.b). La larghezza della trave di tipo-x in particolare
è tale da comprendere un’intera cella elementare del corrugato. Sia le travi che i pannelli sono stati
quindi testati in modalità quasi-statica con convenzionali macchine di prova materiali.
4.2. Verifica sperimentale del modello analitico-numerico
Inizialmente si sono adottati schemi di carico tali da non accoppiare il contributo dei singoli termini di
rigidezza flessionali e torsionali, in modo da poter estrapolare il valore di ogni singola costante elastica
e confrontarlo con gli analoghi valori previsti dal modello analitico. Per le due rigidezze flessionali Dx
e Dy si sono condotte prove di flessione a tre punti (TPB) sulle travi tipo-x e tipo-y [1,18]. Al fine di
estrapolare il valore di rigidezza finale tenendo conto del possibile contributo della deformazione a
taglio, i dati di forza per unità di larghezza della trave e spostamento in mezzeria della trave sono stati
misurati per diverse span, e interpolati come indicato in [1], ove la retta di regressione lineare è data
da:
( )
1
1
 w 
L2 +
y = m⋅x +q → 
=
4 DQx , y
 PL  48D x , y
(5)
dove w è lo spostamento del punto di carico in mezzeria, P il carico applicato per unità di larghezza, L
la lunghezza tra gli appoggi (span) e DQ la rigidezza a taglio.
0.002
0.0023
Trave tipo-x
w/PL [mm/N]
w/PL [mm/N]
0.0022
0.0018
0.0016
0.0014
0.0012
200000
250000
300000
2
2
L [mm ]
350000
400000
0.0021
Trave tipo-y
0.0019
0.0017
0.0015
0.0013
300000
350000
400000
2
450000
500000
550000
2
L [mm ]
(a)
(b)
(c)
Figura 5: schemi di carico e di vincolo della cella elementare. Ogni configurazione attiva una sola costante elastica: Dx in
fig. 2.a, Dy in fig. 2.b e Dxy in fig. 2.c.
XXXV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – ANCONA, 13-16 SETTEMBRE 2006
In fig. 5 e tab. 3 sono riportati i dati delle misure e dell’interpolazione secondo la (5). In particolare in
tab. 3 si riassumono i valori di rigidezza flessionale calcolati per ogni valore di span trascurando la
deformazione a taglio, D'x,y. Questi si possono ottenere dalla stessa formula (5) trascurando a secondo
membro il secondo termine che esprime il contributo dato dal taglio. Si nota che tali valori di rigidezza
flessionali sottostimano il valore estrapolato considerando il procedimento di regressione lineare. Tale
valore invece è vicino ai valori analitici e numerici riportati in tab. 2. Si noti anche che delle rigidezze
a taglio estrapolate, quella della trave tipo-x è quasi un ordine di grandezza maggiore, indicando come
in questa direzione il contributo del corrugato è molto più efficace.
Tabella 3: costanti elastiche dei laminati costituenti il sandwich e caratteristiche geometriche del sandwich (vedi fig. 1b)
span [mm]
D'x [Nm]
620
3.9×103
Trave tipo-x
570
520
3.8×103 3.7×103
470
3.57×103
Dx [Nm]
4.4×103
DQx [m/N]
10
span [mm]
D'y [Nm]
721
5×103
Trave tipo-y
671
621
4.9×103 4.7×103
571
4.66×103
Dy [Nm]
5.76×103
DQy [m/N]
0.84
Per quanto riguarda la rigidezza torsionale, data la difficoltà di ricreare sperimentalmente una
configurazione di carico di pura torsione, si è adottato uno schema di carico in cui gli effetti torsionali
fossero comunque predominanti. Questo è rappresentato in fig. (6.a), ove un pannello sandwich
rettangolare è caricato con carichi localmente distribuiti in prossimità di due spigoli opposti, ed
appoggiato sugli altri due. Dalla prova è stata rilevata la curva del carico totale applicato in funzione
dello spostamento dell’attuatore, rappresentata da un andamento lineare elastico, la cui pendenza è
confrontata con quella ottenuta simulando numericamente la configurazione sperimentale, impiegando
l’elemento shell introdotto in 3.2. In tabella 4 sono riassunti i risultati di tale confronto, mentre in
figura (7.a) e (7.b) è possibile vedere un’immagine del set-up sperimentale e un disegno con le
dimensioni del pannello analizzato.
Tabella 4: Valori del rapporto tra forza totale applicata e spostamento dell’attuatore in N/mm ricavati sperimentalmente e
numericamente per gli schemi di carico su pannello descritti in figura 5.
Sperimentale
Numerico (elementi shell)
schema 1
43
45
schema 2
380
400
schema 3
108
107.5
(a)
(b)
(c)
Figura 6: schemi di carico e di vincolo dei pannelli. 6.a) configurazione di quasi torsione pura; 6.b) pannello caricato in
mezzeria e appoggiato sui quattro spigoli; 6.c) pannello caricato in mezzeria e appoggiato su due soli spigoli opposti.
4.3. Applicazioni a casi di sollecitazioni accoppiate
Due ulteriori prove sono state condotte sul pannello sandwich, schematicamente rappresentate in fig. (6.b) e
(6.c). In particolare si tratta di configurazioni di carico per le quali non sono disponibili soluzioni in forma
chiusa. Entrambe le configurazioni, schema 2 e schema 3, sono tali da instaurare uno stato di sforzo complesso
in cui più termini della matrice di rigidezza sono attivati. Per lo schema 2 di carico in particolare le due rigidezze
flessionali Dx e Dy sono attivate dallo stato di sforzo flessionale. Per valutare inoltre una configurazione di carico
in cui oltre alle componenti flessionali fosse attiva anche la rigidezza torsionale, si è adottato lo schema 3, ove il
pannello è caricato in mezzeria e appoggiato solo su due spigoli opposti. Questo schema infatti può essere
pensato come ottenuto dalla sovrapposizione dello schema 1 (di tipo prevalentemente torsionale) e dello schema
2 (di tipo prevalentemente flessionali), quando il carico totale applicato nello schema 1 è pari alla metà di quello
applicato nello schema 2.
XXXV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – ANCONA, 13-16 SETTEMBRE 2006
Ancora una volta il confronto numerico sperimentale è stato condotto sul valore della pendenza della
curva carico totale - spostamento dell’attuatore, ed i risultati sono riportati in tabella 4.
Come si è evinto dalle prove di flessione a tre punti condotte sulle travi sandwich, l’effetto delle
deformazioni di taglio non appare trascurabile, almeno alla scala geometrica dei provini e delle prove
effettuate in tale lavoro. Nelle analisi numeriche riferite nei risultati di tabella 3, per tenere conto delle
componenti di deformazione trasversale da taglio, si è adottata una formulazione più completa
dell’elemento shell, leggermente diversa da quella descritta al paragrafo 3.2. Tale formulazione infatti
prevede gli effetti di taglio fuori dal piano attraverso l’introduzione delle costanti elastiche DQx e DQy.
I valori di tali parametri sono in effetti stati inclusi nel modello in base alla valutazione sperimentale
fatta con le prove TPB con diverse span (vedi tab. 3).
(a)
(b)
(c)
Figura 7: 7.a) immagine della configurazione di carico secondo lo schema 1; 7.b) Dimensioni del pannello testato, e della
disposizione delle zone di carico e vincolo per i tre schemi implementati; 7.c) immagine della configurazione di carico
secondo lo schema 2.
5. CONCLUSIONI
È stato descritto e valutato un modello analitico di omogeneizzazione del comportamento di una
struttura in composito sandwich nella cui anima è presente un laminato corrugato. Tale modello si
base sull’assimilazione dell’elemento elementare della struttura sandwich ad una piastra di grosso
spessore sottoposta a piccole deformazioni, secondo l’approccio proposto da Libove et al [3-4]. Il
presente lavoro propone una estensione della formulazione del modello di omogeneizzazione al caso
di strutture sandwich le cui lamine costituenti siano intrinsecamente ortotrope. In particolare la
formulazione proposta è valida nel caso in cui le pelli ed il core corrugato siano costituiti da laminati
ortotropi simmetrici di uguale spessore e lay-up. La presente analisi si è inoltre limitata alla
valutazione analitica delle rigidezze flessionali e torsionale dell’elemento omogeneizzato, ed
all’implementazione di quest’ultimo nella formulazione di un elemento shell della libreria di ANSYS.
Un confronto tra il comportamento analitico-numerico del modello omogeneizzato ed un modello
numerico tridimensionale della cella elementare della struttura sandwich è stato preliminarmente
condotto con i valori delle costanti elastiche ricavati dal modello numerico tridimensionale risultati in
ottimo accordo con quelli analitici del modello omogeneizzato.
Una serie di prove sperimentali condotte su travi e pannelli sandwich ha invece messo in luce una non
trascurabile influenza della deformazione trasversale a taglio, tenendo conto della quale il
comportamento sperimentale è ben riprodotto dal modello omogeneizzato. Ciò al momento è stato
possibile misurando sperimentalmente i valori di rigidezza a taglio, mentre è auspicabile per il futuro
estendere il modello omogeneizzato trovando delle relazioni analitiche anche per queste costanti
elastiche.
Ulteriori sviluppi futuri del presente lavoro comprendono: la conduzione di verifiche sperimentali del
comportamento membranale descritto dal modello omogeneizzato; l’estensione del modello a casi in
cui pelli e corrugato presentino lay-up diversi; impiego del modello per condurre analisi di
ottimizzazione numerica che riguardino la geometria ed i parametri costruttivi del corrugato; analisi di
ottimizzazione delle proprietà di ortotropia generali del sandwich, nel contesto dell’analisi di strutture
complesse, mediante l’ausilio della formulazione FEM semplificata.
XXXV CONVEGNO NAZIONALE AIAS – ANCONA, 13-16 SETTEMBRE 2006
RINGRAZIAMENTI
Gli autori desiderano ringraziare Orazio Spina della DIAB SpA per avere gentilmente fornito la
schiuma espansa PVC impiegata nella realizzazione del pannello e Giuseppe Giacalone del DIMA per
il prezioso supporto tecnico fornito nel condurre l’attività di laboratorio.
BIBLOGRAFIA
[1] Zenkert, D., An introduction to sandwich construction, London, Chameleon Press, 1995.
[2] “HYCOPROD: Design of an advanced composite production process for the systematic
manufacture of very large monocoque hybrid sandwich structures for transport sectors”,
finanziato dalla UE nell’ambito del programma quadro FP5-Growth; “SANDCORE:
Coordination Action on Advanced Sandwich Structures in the Transportation Industry”,
finanziato dalla UE nell’ambito del programma quadro FP6-Sustdev. MAggiori informazioni
sono reperibili sul sito: http://cordis.europa.eu/en/home.html.
[3] Libove, C. and Hubka, R.E., “Elastic constants for corrugated-core sandwich plates”, NACA TN
2289, 1951.
[4] Libove, C. and Batdorf, S.B., “A general small-deflection theory for flat sandwich plates”, NACA
TN 1526, 1948.
[5] Lok, T.S. and Cheng, Q.H., “Elastic stiffness properties and behavior of truss-core sandwich
panel”, J Struct Eng, ASCE 2000; 126 (5): 552–559.
[6] Fung, T.C. and Tan, K.H., “Shear Stiffness for Z-Core Sandwich Panels”, Journal of Structural
Engineering, July 1998, 809-816.
[7] Chang, W.S., Ventsel, E., Krauthammer, T. and John, J., “Bending behavior of corrugated-core
sandwich plates”, Composites Structure, 70, 2005, 81-89.
[8] Buannic, N., Cartraud, P. and Quesnel, T., Homogenization of corrugated core sandwich panels,
Composite Structures, 59, 2003, 299-312.
[9] Aboura, Z., Talbi,N., Allaoui, S. and Benzeggagh, M.L., “Elastic behavior of corrugated
cardboard: experiments and modelling”, Composite Structures 63 (2004) 53–62.
[10] Richardson, M.O.W., Robinson, A.M., Eichler, K. and C. Moura Branco, C., “Mechanical
Behaviour of a New Stress Dissipating Composite Sandwich Structure”, Cellular Polymers, 13:
305-317, 1994.
[11] Bridge, I. and Robinson, A.M., “Multicellular Reinforced Core Composites for Transport
Structures and Other Demanding Applications”, International SAMPE Europe Conference, Paris,
18-20 April 2000.
[12] Bridge, I. and Robinson, A.M., “Multicellular core holds laminates together”, Reinforced
Plastics, May 2000.
[13] Pitarresi, G., Carruthers, J.J., Bridge, I., "Determination of the flexural properties of sandwich
beams with multi-cellular reinforced cores”, Proceedings of ICEM12 – 12th International
Conference on Experimental Mechanics, 2004, Bari, Italy.
[14] Pitarresi, G., Carruthers, J.J., Robinson, M., Torre, L., Kenny, J.M., Ingleton, S., Valecela, O. and
Found, M., “A comparative evaluation of crashworthy sandwich structures”, Composite
Structures (available on line, in press), 2005.
[15] ANSYS Documentation, Release 10.0.
[16] Urso Miano, V., “Analisi numerico-sperimentale di sandwich in composito con core corrugato”,
tesi di laurea, DIMA, Università degli Studi di Palermo, (2006).
[17] Agarwal, B.D. and Broutman, L.J., Analysis and performance of fiber composites. John Wiley,
1980.
[18] ASTM C393, Standard test method for flexural properties of sandwich construction, American
Society For Testing Material, 1994.