Lezione 15 Omomorfismi di anelli e loro proprietà.

Lezione 15
Prerequisiti: Lezioni 3, 9, 14.
Riferimenti ai testi: [FdG] Sezione 5.4; [H] Sezioni 3.3-3.4; [PC] Sezione 4.4
Omomorfismi di anelli e loro proprietà.
Ricordiamo la seguente
Definizione 15.1 Dati due anelli A,A′, un’applicazione f : A → A ' si dice un omomorfismo di anelli
se:
∀a , a ' ∈ A
f (a + a ') = f (a ) + f ( a ') e
f (aa ') = f (a ) f (a ') .
In altri termini: un omomorfismo di anelli è un’applicazione che conserva la somma ed il prodotto.
Si osservi che un omomorfismo di anelli è, in particolare, un omomorfismo di gruppi additivi.
Esempi 15.2
a) L’inclusione di in è un omomorfismo di anelli: in generale, l’inclusione di un sottoanello
in un anello è un omomorfismo iniettivo di anelli.
La suriezione canonica da a / n è un omomorfismo di anelli: in generale, la suriezione
canonica di un anello su un suo anello quoziente è un omomorfismo suriettivo di anelli.
La seguente nozione è presa in prestito dalla teoria dei gruppi.
Definizione 15.3 Si dice nucleo di un omomorfismo di anelli f : A → A ' il suo nucleo come
omomorfismo di gruppi additivi, ossia l’insieme
Kerf = {a ∈ A f (a ) = 0 A ' } = f −1 (0 A ' ).
La Lezione 14 ha evidenziato una sorta di analogia tra la nozione di sottogruppo normale e quella di
ideale bilatero. Tale analogia è confermata dal seguente risultato, che è la naturale trasposizione
della Proposizione 3.3.
Proposizione 15.4 Il nucleo di un omomorfismo di anelli è un ideale dell’anello di partenza.
Dimostrazione: Utilizziamo le notazioni della Definizione 15.3. Sappiamo che Kerf è un
sottogruppo del gruppo additivo di A. Siano a ∈ A, x ∈ Kerf . Allora
f (ax ) = f (a ) f ( x ) = f (a )0 = 0 ,
e quindi ax ∈ Kerf . Analogamente si prova che xa ∈ Kerf .
Esercizio* Provare che l’immagine di un omomorfismo di anelli è un sottoanello dell’anello di
arrivo. È vero che l’immagine di un ideale è un ideale dell’anello di arrivo?
Anche i seguenti teoremi sono naturali estensioni di proprietà valide per i gruppi. Le dimostrazioni
sono del tutto analoghe a quelle già viste, e non vengono dunque riportate.
Teorema 15.5 (Teorema fondamentale di omomorfismo per gli anelli). Sia f : A → A ' un
omomorfismo di anelli. Allora esiste un unico omomorfismo di anelli
f * : A / Kerf → Im f
tale che
f = f * π
(*)
f
A → Im f
π
↑f*
A / Kerf
ove π : A → A / Kerf è la suriezione canonica. Inoltre f * è un isomorfismo.
Dimostrazione: v. Teorema 3.8.
Teorema 15.6 (Teorema di corrispondenza per gli anelli) Sia A un anello, e sia I un suo ideale
bilatero. Sia S l’insieme degli ideali bilateri (sottoanelli) di A contenenti I′, sia T l’insieme degli
ideali bilateri (sottoanelli) dell’anello quoziente A/I. Sia π : A → A / I la suriezione canonica.
Allora l’applicazione
χ :S →T
C π (C ) = C / I
è biiettiva.
Dimostrazione: v. Teorema 9.2.
Esercizio 15.7 Determinare tutti gli ideali ed i sottoanelli dell’anello quoziente / 6 = 6 .
Svolgimento: Gli ideali di / 6 sono tutti e soli i sottoinsiemi del tipo C / 6 , ove C è un ideale di
contenente 6 . In virtù dell’Osservazione 13.6, si tratta di tutti e soli i sottoinsiemi del tipo m
tali che 6 ⊂ m , ossia tali che m divide 6. Gli ideali di / 6 sono dunque i seguenti, che
corrispondono, nell’ordine, a m=1, 2, 3, 6:
/ 6 = {k + 6 k ∈ } = {6,1 + 6, 2 + 6, 3 + 6, 4 + 6,5 + 6} =
{[0]6 ,[1]6 ,[2]6 ,[3]6 ,[4]6 ,[5]6 } = ([1]6 ) = (1 + 6)
3 / 6 = {3k + 6 k ∈ } = {6,3 + 6} = {[0]6 ,[3]6 } = ([3]6 ) = (3 + 6).
2 / 6 = {2k + 6 k ∈ } = {6, 2 + 6, 4 + 6} = {[0]6 ,[2]6 ,[4]6 } = ([2]6 ) = (2 + 6).
6 / 6 = {6} = {[0]6 } = ([0]6 ) = (6).
Questi, in virtù dell’Osservazione 13.6, sono anche tutti e soli i sottoanelli.
Osservazione 15.8 In generale: Gli ideali dell’anello quoziente / n = n sono tutti e soli i
sottoinsiemi m / n = (m + n) . Questi sono anche tutti i sottoanelli.
Esercizio 15.9 Determinare l’anello quoziente / 6
2 / 6
.
Svolgimento: Consideriamo l’omomorfismo suriettivo di anelli
f : / 6 → 3 / 6
a + 6 3a + 6 (ossia
[a ]6 [3a ]6 )
Si ha Kerf = 2 / 6 . Dunque, per il Teorema 15.5, vale l’isomorfismo
/ 6
2 / 6
≅ 3 / 6 .
Possiamo trovare un isomorfismo con un altro anello se consideriamo l’omomorfismo di anelli
g : / 6 → / 2
a + 6 a + 2 (ossia
[a ]6 [a ]2 )
(verificare che è ben definito!). Applicando il Teorema 15.5, si deduce che
/ 6
2 / 6
≅ / 2
Questa proprietà si può facilmente generalizzare:
Esercizio* Siano n,m interi maggiori di 1 tali che m divide n. Provare che allora
n
m n
≅
m
Osservazione 15.10 Dagli isomorfismi trovati nell’Esercizio 15.8 segue, in particolare, che
3 / 6 ≅ / 2
Ciò non ci deve stupire: i due anelli hanno infatti entrambi due elementi, e sono quindi isomorfi
come gruppi additivi. Dal fatto che siano isomorfi come anelli segue, in particolare, che 3 / 6 è
come / 2 , un anello unitario: è immediato constatare che l’unità è 3 + 6 . Non è difficile
verificare che ogni anello unitario avente esattamente due elementi è isomorfo a / 2 . Esistono,
però, anche anelli non unitari di cardinalità 2. Un esempio è il seguente sottoanello (ideale) di
/ 4 :
A = {4 + 0, 4 + 2} = (4 + 2) .
Ogni prodotto in A è uguale a [0]4 . Riassumendo, esistono solo due tipi di anelli di cardinalità 2:
i)
quelli unitari, che sono isomorfi a / 2 , e la cui tavola di composizione per il prodotto
è:
⋅ 0 1
0 0 0
1 0 1
ii)
quelli non unitari, isomorfi all’anello A, la cui tavola di composizione per il prodotto è:
⋅ 0 1
0 0 0
1 0 0
Osservazione 15.11 Un elemento di un anello si dice idempotente se è uguale al proprio quadrato.
Sono certamente idempotenti lo zero e l’unità di un anello. Per certi anelli vale anche la proprietà
inversa, ovvero:
Proposizione 15.12 In un anello unitario integro gli unici elementi idempotenti sono lo zero e
l’unità.
Dimostrazione: Sia A un anello unitario integro. Sia a ∈ A tale che a 2 = a . Allora si ha
a ( a − 1) = a 2 − a = 0 .
La conclusione segue allora dalla legge di annullamento del prodotto.
Osservazione 15.13 La conclusione non vale, però, in un anello non integro. Sono controesempi:
- l’elemento [4]6 in 6 ;
1 0
la matrice 
 ∈ M 2 ( A) , dove A è un anello commutativo non banale.
0 0
È però vero che
-
Proposizione 15.14 Se in un anello integro esiste un elemento idempotente non nullo, questo è
l’unità dell’anello.
Dimostrazione: Sia A un anello integro e sia u ∈ A un elemento idempotente non nullo. Allora
u 2 = u , e, per ogni a ∈ A ,
u 2 a = ua , da cui u ( ua − a ) = 0 .
Essendo u ≠ 0 , segue che ua = a . Analogamente si prova che au = a . Ciò prova che u = 1A .
Esercizio 15.15 Sia f : A → B un omomorfismo tra anelli unitari.
a) È sempre vero che f (1A ) = 1B ?
b) È sempre vero che f ( A) è un anello unitario?
Svolgimento:
a) La risposta è negativa. Un controesempio è il seguente omomorfismo di anelli, considerato
già nell’Esercizio 15.9,
f : / 6 → / 6
a + 6 3a + 6
Si ha
f ( / 6) = {0 + 6,3 + 6} .
Tra gli elementi elencati non v’è l’unità di / 6 .
b) La risposta è affermativa: f (1A ) è l’unità di f ( A) . Infatti, per ogni a ∈ A si ha:
f (1A ) f ( a ) = f (1A a ) = f (a ) = f ( a1A ) = f ( a ) f (1A ) .
Esercizio 15.16 Sia B un sottoanello unitario di un anello unitario A. È vero che 1B = 1 A ?
Svolgimento: La risposta è negativa. Controesempi sono:
i)
ii)
il sottoanello 3 / 6 di / 6 , che abbiamo studiato nell’Esempio 15.9 e
nell’Osservazione 15.10, e rivisto nell’Esercizio 15.15 a);
il sottoanello A × {0} dell’anello A × A , essendo A un anello unitario non banale: infatti
l’unità di A × {0} è (1,0) .