Comments
Transcript
Approccio parametrico e non parametrico - Unicas
Approccio statistico alla classificazione Approccio parametrico e non parametrico Finestra di Parzen Classificatori K-NN 1-NN Limitazioni dell’approccio bayesiano z Con l’approccio bayesiano, sarebbe possibile costruire un classificatore ottimo se si conoscessero: z z le probabilità a priori P(ωi) le densità condizionate alla classe P(x|ωi) z Informazioni che raramente sono disponibili z Alternativa: costruire una classificatore da un insieme di esempi (training set) z z Pro: stima delle P(ωi) semplicemente realizzabile Contro: training set troppo limitato per una stima affidabile delle distribuzioni condizionate F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 1 Università degli Studi di Cassino 1 Approccio parametrico e non parametrico z Due sono le soluzioni più diffuse z Approccio parametrico z z Si assume una forma particolare per le pdf (es. Gaussiane) Approccio non parametrico z Non si assume alcuna conoscenza sulla forma analitica delle pdf. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 2 Università degli Studi di Cassino Approccio parametrico z z z In questo tipo di approccio si assume nota la forma delle densità condizionali; tipicamente si assume una gaussiana P(x | ωi) ~ N( µi, Σi). Ci sono quindi due parametri da stimare per ogni classe. Le tecniche più usate per la stima sono: z z z Maximum-Likelihood (ML) Stima Bayesiana Sebbene differenti nella logica, le due tecniche portano a risultati quasi identici. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 3 Università degli Studi di Cassino 2 Stima Maximum Likelihood z z z z I parametri sono fissati, ma non noti. I valori ottimali dei parametri sono ottenuti attraverso la massimizzazione della probabilità di ottenere i campioni osservati. La stima ha buone proprietà di convergenza al crescere dell’insieme di campioni. E’ più semplice di altre tecniche. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 4 Università degli Studi di Cassino Stima Maximum Likelihood z Principi generali z assumiamo di avere c classi, con P(x | ωj) ~ N( µj, Σj) P(x | ωj) ≡ P (x | ωj, θj) dove: 22 m n θ j = (µ j ,Σ j ) = (µ1j,µ2j ,..., σ11 j , σ j , cov(x j , x j )...) z z per ogni classe ωi abbiamo un insieme di campioni Di supponiamo, inoltre, che i campioni in Di non diano informazioni su θj F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 5 Università degli Studi di Cassino 3 Stima Maximum Likelihood z In queste ipotesi si può lavorare indipendentemente su ogni classe. z Consideriamo una classe generica cui corrisponde un insieme D contenente n campioni, x1, x2,…, xn estratti indipendentemente. La probabilità di ottenere l’insieme D dato θ è quindi: z n P(D | θ) = ∏ P(x k | θ) k =1 z Per definizione la stima ML di θ è il valore che massimizza P(D | θ). E’ il valore di θ che meglio si accorda con i campioni di training effettivamente osservati F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico Università degli Studi di Cassino 6 Stima Maximum Likelihood z Per valutare più agevolmente l’insieme di parametri θ, è opportuno osservare che: θˆ = arg max[ p(D θ )] = arg max[log p(D θ )] θ θ e quindi considerare il problema equivalente: n n θˆ = arg max log ∏ p(xk θ ) = arg max ∑ log( p (xk θ )) θ θ k =1 k =1 z In questo modo, l’espressione è più facile da analizzare (derivate di somme invece che di prodotti; semplificazioni per p() esponenziali) F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 7 Università degli Studi di Cassino 4 Stima Maximum Likelihood Esempio: caso gaussiano, media non nota z z Supponiamo che D contenga n campioni provenienti da una pdf gaussiana p( x) = N ( µ , σ ) con σ nota. Qual è la stima ML di µ ? 1 (x − θ )2 exp − k 2 = 2π σ 2σ θ θ k =1 k =1 2 2 n n ( xk − θ ) 1 ( xk − θ ) = arg max ∑ log − = arg max ∑ − 2σ 2 2σ 2 θ θ 2π σ k =1 k =1 n n θˆ = arg max ∑ log( p(xk θ )) = arg max ∑ log F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico Università degli Studi di Cassino 8 Stima Maximum Likelihood Esempio: caso gaussiano, media non nota z Calcoliamo la derivata e uguagliamola a 0: d dθ z Da cui: ( xk − θ )2 n xk − θ =0 =∑ − ∑ 2σ 2 k =1 σ 2 k =1 n µˆ = θˆ = F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 1 n ∑ xk n k =1 9 Università degli Studi di Cassino 5 Stima Maximum Likelihood Esempio: caso gaussiano, µ e σ non note z z Supponiamo che D contenga n campioni provenienti da una pdf gaussiana p( x) = N ( µ , σ ) con µ e σ non note. Questa volta occorre considerare il gradiente θ µ θ = 1 = 2 θ 2 σ 1 n ∂ n ( ) − x θ ( ( ) ) p x θ log ∑ 1 k ∑ k ∂θ θ 2 k =1 k =1 1 = 0 = n ∇θ = 2 n ∂ ( ) − x θ 1 0 1 k ( ( ) ) p x θ log − + k ∑ ∂θ 2 ∑ 2θ 22 k =1 k =1 2θ 2 F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico Università degli Studi di Cassino 10 Stima Maximum Likelihood Esempio: caso gaussiano, µ e σ non note z La stima ML dei due parametri è quindi: µˆ = θˆ1 = z 1 n ∑ xk n k =1 σˆ 2 = θˆ2 = 1 n (xk − µˆ )2 ∑ n k =1 In effetti, il valore di σˆ 2 è polarizzato in quanto il valore atteso calcolato su tutti gli insiemi di dati di ampiezza n è diverso dalla varianza reale n −1 2 E σˆ 2 = σ ≠σ2 n [ ] z Una stima non polarizzata è σˆ 2 = Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 11 1 n (xk − µˆ )2 ∑ n −F.1Tortorella k =1 © 2005 Università degli Studi di Cassino 6 Stima bayesiana z z Nella stima ML il parametro θ era assunto fisso ma non noto. La soluzione ML è il valore che meglio si accorda con i campioni di training effettivamente osservati. Maximum Likelihood D F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 12 Università degli Studi di Cassino Stima bayesiana z z z z Anche nella stima bayesiana la forma di p(x | θ) è assunta nota, con θ non noto. Nella stima bayesiana θ è considerato una variabile aleatoria di densità nota p(θ). Il resto della conoscenza a priori è contenuto in un insieme D di n campioni x1, x2, …, xn indipendenti estratti da una popolazione avente densità p(x). Perciò dobbiamo valutare la densità condizionata p(x|D) che risulta: p(x | D) = ∫ p(x | θ)p(θ | D)dθ nota da stimare F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 13 Università degli Studi di Cassino 7 Stima bayesiana z z z z Di conseguenza, nella stima bayesiana, l’incertezza sul valore del parametro è modellata tramite una pdf. Prima dell’osservazione dei dati, il parametro θ è descritto da una densità a priori p(θ) che è tipicamente di supporto molto ampio per rappresentare la scarsa conoscenza sul suo vero valore. Una volta noti i dati, si fa uso del teorema di Bayes per determinare la densità a posteriori p(θ|D). La conoscenza dei dati dovrebbe idealmente rendere più definita la densità p(θ|D); in altre parole, si dovrebbe ridurre l’incertezza sul valore del parametro θ. D D F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 14 Università degli Studi di Cassino Stima bayesiana z La densità condizionata p ( x D) si calcola integrando la densità congiunta p( x,θ D) su θ: p( x D) = ∫ p( x,θ D)dθ z Calcoliamo p( x,θ D) : p (x, θ D ) = p (x θ , D ) p (θ D ) p (x θ , D ) è indipendente da D perché, una volta noto θ, la densità è completamente specificata. Quindi: p (x, θ D ) = p (x θ ) p (θ D ) F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 15 Università degli Studi di Cassino 8 Stima bayesiana z Per calcolare p(θ D) utilizziamo il teorema di Bayes: p(θ D ) = z p(D θ ) p(θ ) p (D ) = p(D θ ) p(θ ) ∫ p(D θ ) p(θ )dθ Possiamo calcolare p(D θ ) sfruttando l’ipotesi che i campioni di D siano i.i.d.: n p(D θ ) = ∏ p(xk θ ) k =1 F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 16 Università degli Studi di Cassino Stima bayesiana Esempio: caso gaussiano, media non nota z z Supponiamo che D contenga n campioni i.i.d. provenienti da una pdf gaussiana con µ non nota e σ nota. Supponiamo che il parametro θ = µ abbia anch’esso una pdf normale N(µ0, σ0): p0 (θ ) = (θ − µ 0 )2 exp − 2σ 02 2π σ 0 1 F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 17 Università degli Studi di Cassino 9 Stima bayesiana Esempio: caso gaussiano, media non nota z Valutiamo la pdf a posteriori p(θ |D): p(θ D ) = p(D θ ) p0 (θ ) p( D) p0 (θ ) n ∏ p (x k θ ) = p ( D) k =1 = (θ − µ 0 )2 1 n exp − p(xk θ ) 2 p( D) ∏ 2 σ 2π σ 0 = 1 k 0 1 F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico Università degli Studi di Cassino 18 Stima bayesiana Esempio: caso gaussiano, media non nota z Per comprendere come la stima bayesiana modifica la densità a posteriori all’aumentare dei dati, consideriamo il valore massimo di p(θ |D): n d d 1 − (µ − µ0 )2 + ∑ − 1 2 (xk − µ )2 = 0 log p (θ D ) = 0 ⇒ 2 dθ dµ 2σ 0 2σ k =1 da cui z µn = σ2 σ + nσ 2 2 0 µ0 + nσ 02 1 n ∑x σ + nσ 02 n k =1 k 2 si comprende come, all’aumentare di n, la stima µn si porta dalla stima iniziale µ0 verso la stima ML. In maniera simile, la deviazione standard σn è data da: 1 σ n2 = n σ2 + Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 19 1 σ 02 F. Tortorella © 2005 Università degli Studi di Cassino 10 Stima bayesiana Esempio: caso gaussiano, media non nota Supponiamo di dover stimare la media di una pdf gaussiana con parametri µ=0.8 e σ=0.3. Conosciamo solo σ. Assumiamo una p0(θ) ugualmente gaussiana con µ0=0.0 e σ0=0.3. D) Visualizziamo p(θ |D) al variare del numero di campioni n. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 20 Università degli Studi di Cassino Confronto tra stima ML e stima bayesiana z z z Qual è la relazione tra queste due stime ? All’aumentare dei dati, la stima bayesiana si avvicina alla stima ML. In pratica, le due tecniche forniranno risultati significativamente diversi solo per bassi valori di n. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 21 Università degli Studi di Cassino 11 Approccio non parametrico z z z Nell’approccio parametrico tutte le densità erano unimodali (hanno un singolo massimo locale), mentre in molti problemi pratici le densità sono multimodali. Con l’approccio non parametrico si rimuove l’assunzione della conoscenza delle densità per cui si può lavorare con distribuzioni di forma arbitraria. Due tipologie di metodi non parametrici: z z Stimare p(x | ωj) Stimare direttamente le probabilità a posteriori P( ωj|x) F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 23 Università degli Studi di Cassino Stima della densità z Consideriamo la probabilità che un vettore x, la cui densità è p(x), cada in una regione R: P = ∫ p(ξ )dξ R z Consideriamo n campioni i.i.d. di x x1,…,xn. La probabilità che k di questi cadranno in R sarà data da: Pk (1− P)n−k Pk = n k mentre il valore atteso per k è E[k]=nP. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 24 Università degli Studi di Cassino 12 Stima della densità z z z Possiamo quindi assumere P≅k/n, dove la stima diventa più accurata al crescere di n. 2 k Infatti si ha: k k P(1 − P) var = =E −P E = P n n n n D’altra parte, se supponiamo p(x) continua ed R sufficientemente piccola, possiamo porre: P = ∫ p(ξ )dξ ≅ p(x)∫ dξ = p(x)V R z R In questo modo, otteniamo una stima di p(x): k/n F. Tortorella p(x) ≅ V Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 25 F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico © 2005 Università degli Studi di Cassino 26 Università degli Studi di Cassino 13 Stima della densità Alcuni problemi: z se fissassimo il volume V e facessimo crescere n, otterremmo una media di p(x): P = V ∫ p(ξ )dξ R ∫ dξ R z per cui dovremmo considerare un volume che tende a zero. Tuttavia, per n fissato, R diventerebbe talmente piccola che k=0 (e quindi p(x) ≅0); altrimenti se k>0, la stima divergerebbe. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 27 Università degli Studi di Cassino Stima della densità z z z Mettiamoci nell’ipotesi di avere un numero illimitato di campioni. Per valutare p(x) consideriamo una sequenza di regioni R1,R2,…, Rn contenenti x: la regione Rs si impiega nel caso n=s (1,2,…,n campioni totali). Se Vn è il volume di Rn, kn il numero di campioni che cadono in Rn and pn(x) è l n-ma stima di p(x), si ha: pn(x) = (kn/n)/Vn F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 28 Università degli Studi di Cassino 14 Stima della densità z Perché pn(x) converga a p(x) sono necessarie tre condizioni: lim Vn = 0 n→ ∞ z lim k n = ∞ n→ ∞ lim n→ ∞ kn =0 n Due modi per ottenere tali condizioni: z z ridurre la regione R definita inizialmente specificando il volume Vn come funzione di n (es.: Vn=1/√n) e dimostrare che pn(x)Æp(x) per nÆ∞ (metodo della finestra di Parzen). specificare kn come funzione di n (es.: kn= √n). In questo caso, Vn cresce fino a contenere kn campioni (stima a kn vicini). F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 29 Università degli Studi di Cassino Stima della densità Stima della densità con i due metodi. Entrambe le sequenze rappresentano variabili aleatorie che generalmente convergono, F. Tortorella © 2005 permettendo diPattern stimare la densità nel punto di interesse. Teoria e Tecniche di Recognition Università degli Studi Approccio parametrico e non parametrico 30 di Cassino 15 Metodo della finestra di Parzen z z Assumiamo che la regione Rn sia un ipercubo a d dimensioni, di lato hn e volume Vn= hnd. Consideriamo una funzione finestra ϕ(u) che unitaria all’interno di un ipercubo centrato nell’origine e di lato unitario: 1 j = 1,... , d 1 u j ≤ ϕ (u) = 2 0 altrimenti z ϕ((x-xi)/hn) è uguale a 1 se xi cade all’interno dell’ipercubo di volume Vn centrato su x e nullo al di fuori. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 31 Università degli Studi di Cassino Metodo della finestra di Parzen z Il numero di campioni che cade all’interno di Vn è quindi uguale a: n x − xi k n = ∑ ϕ i=1 hn z La stima della densità è quindi: pn (x) = z 1 n 1 x − xi ∑ ϕ n i=1 Vn hn pn(x) stima p(x) come la media di funzioni di x e dei campioni (xi) (i = 1,… ,n). La funzione ϕ può essere di forma generale purchè si verifichi ϕ(u)≥0 e ∫ ϕ(u)du =1. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 32 Università degli Studi di Cassino 16 Metodo della finestra di Parzen z z z z In corrispondenza di un punto xi, la pdf non è nulla. Se la pdf è continua sull’intero spazio delle features, allora essa sarà non nulla anche in un piccolo intorno di xi. Tuttavia, quanto più ci si allontana dal punto tanto più diminuisce l’influenza del valore della pdf in xi. Di conseguenza, la stima di Parzen si basa sulla considerazione che la conoscenza sulla pdf ottenuta con l’osservazione del punto xi è rappresentata da una funzione centrata sul punto e con un supporto ristretto ad un intorno limitato di xi. Di conseguenza è una funzione che: z Ha il suo massimo per x=xi z È monotonicamente decrescente al crescere di d(x,xi) (distanza) z Ha integrale unitario La funzione è spesso chiamata kernel e rappresenta il contributo del punto alla stima. La stima complessiva è quindi ottenuta sommando i contributi di tutti i punti. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico Università degli Studi di Cassino 33 Finestra di Parzen z Una scelta frequente è un kernel gaussiano: ϕ (u) = z ( 1 2π Per cui la stima è: 1 n pn ( x ) = ∑ n i =1 ( ) d u2 exp − 2 x − xi − exp d d 2h 2 2π h 1 ) F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 2 34 Università degli Studi di Cassino 17 Metodo della finestra di Parzen A parità di n, la stima dipende dalla forma della ϕ: ϕ(u) p(x) stimata F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 35 Università degli Studi di Cassino Più in generale, la stima dipende dalla forma di ϕ e dal numero di campioni n. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 36 Università degli Studi di Cassino 18 Classificazione z Nei classificatori basati sulla stima con la finestra di Parzen, si stima la densità condizionata per ogni classe e si esegue la classificazione con la regola della massima probabilità a posteriori. z Le regioni di decisione dipendono dalla scelta della funzione finestra. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 37 Università degli Studi di Cassino Classificazione ampiezza h piccola ampiezza h grande La forma della ϕ influisce sulle regioni di decisione. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 38 Università degli Studi di Cassino 19 Algoritmo di classificazione basato sul metodo di Parzen z 1. 2. Input: training set Ts, test set T Determinazione di h a partire da Ts Per ogni campione x di T si stimano le pdf condizionate: 1 pˆ (x ωt ) = nt 3. ∑ i∈Tst ( x − xi − exp d d 2h 2 2π h 1 ) 2 Il campione viene assegnato alla classe con criterio MAP: ω = arg max p( x ωt ) Pˆ (ωt ) { t } F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico Università degli Studi di Cassino 39 Stima LOO di h z z Per determinare il valore di h si potrebbe usare un approccio Maximum Likelihood, ma ciò porterebbe ad un valore di hÆ0. Invece di determinare h che massimizza log(P(Ts|h)) si n considera h tale che: hˆ = arg max ∑ log pˆ −i (x i h ) h n dove: pˆ (x h ) = 1 ∑ i −i n − 1 j =1, j ≠i z ( i =1 x −x i j exp − d d 2 2h 2π h 1 ) 2 In effetti, pˆ −i (x i h ) è la stima della pdf su xi valutata usando per la stima l’insieme Ts-{xi} (stima LOO, Leave One Out) F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 40 Università degli Studi di Cassino 20 Stima della densità a k vicini z z Nalla stima a k vicini il volume che circonda il punto x cresce fin quando arriva a includere k punti degli n totali. La stima della densità che si ottiene è quindi: pˆ n ( x) = k n ⋅ Vn ( x ) F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 41 Università degli Studi di Cassino Stima della densità a k vicini z Stima non soddisfacente per diversi problemi: z z È influenzata dal rumore locale Produce densità con molte discontinuità F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 42 Università degli Studi di Cassino 21 Stima della densità a k vicini È possibile usare il metodo a k vicini per stimare direttamente la probabilità a posteriori P(ωi|x). Consideriamo un insieme Ts di n campioni appartenenti alle varie classi e sia ni il numero di campioni appartenenti alla classe ωi. Sia x è un campione da classificare non appartenente a Ts. z z z F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico Università degli Studi di Cassino 43 Stima della densità a k vicini z z z Si consideri un’ipersfera centrata su x e di raggio tale da includere k campioni di Ts. Sia ki ≤ k il numero di campioni interni all’ipersfera appartenenti alla classe ωi. Se V è il volume dell’ipersfera, con il metodo a k vicini si possono stimare z z z ki La pdf condizionata p(x | ωi ) = n ⋅V k i p (x ) = La pdf incondizionata n ⋅V n La probabilità a priori P(ωi ) = i n F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 44 Università degli Studi di Cassino 22 Classificatore k-NN z Mettendo tutto insieme, è possibile ottenere una stima della probabilità a posteriori: P(ωi | x ) = z p(x | ωi )P(ωi ) k n n ⋅ V ki ≅ i i = p(x ) ni ⋅ V n k k In questo modo è possibile definire una regola di classificazione (k Nearest Neighbor rule o k-NN): k ( x) α (x) = ωi ωi = arg max i k (x)F. Tortorella i Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 45 © 2005 Università degli Studi di Cassino Classificatore k-NN z z Il classificatore k-NN è un classificatore non parametrico che classifica i campioni sulla base della loro somiglianza con gli esemplari del training set Ts. Per definire un classificatore k-NN è necessario soltanto z z z Scegliere un valore k Un insieme di campioni con etichette (training set) Una metrica per definire la “vicinanza” F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico k=5 46 Università degli Studi di Cassino 23 Prestazioni del classificatore k-NN z z Il classificatore è sub-ottimo nel senso che non garantisce la probabilità di errore minima esibita dal classificatore bayesiano. E’ però possibile dimostrare che, con nÆ∞, la probabilità di errore Pe per il classificatore k-NN si avvicina alla probabilità di errore del classificatore bayesiano se kÆ∞. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 47 Università degli Studi di Cassino Prestazioni del classificatore k-NN Limiti inferiore (errore di Bayes) e superiore alla probabilità di errore del classificatore k-NN per un problema a due classi. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 48 Università degli Studi di Cassino 24 Classificatore Nearest-Neighbor z z z Un caso particolare si ha quando k=1. Si ottiene un classificatore 1-NN o classificatore “Nearest Neighbor” La classificazione di un nuovo campione x non appartenente a Ts avviene scegliendo l’etichetta del campione di Ts a minima distanza da x. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 49 Università degli Studi di Cassino Classificatore Nearest-Neighbor Il classificatore NN induce sullo spazio delle F. Tortorella © 2005 degli Studi features una tassellazione di Voronoi. Università di Cassino Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 50 25 Prestazioni del classificatore 1-NN z z Anche il classificatore 1-NN è sub-ottimo. E’ però possibile dimostrare che, al crescere di n, la probabilità di errore Pe per il classificatore NN soddisfa la seguente relazione: Pe* ≤ Pe ≤ 2Pe* dove Pe* è la probabilità di errore del classificatore bayesiano. F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 51 Università degli Studi di Cassino Classificatore Nearest-Neighbor F. Tortorella © 2005 Teoria e Tecniche di Pattern Recognition Approccio parametrico e non parametrico 52 Università degli Studi di Cassino 26