Sistemi non collisionali Teorema di Jeans Profili di densità: Sfera

Sistemi non collisionali
Teorema di Jeans
Profili di densità:
Sfera isoterma, Modelli di King
Rilassamento violento
Modelli dinamici
[email protected]
Teorema di Jeans
Si chiama integrale del moto qualsiasi funzione I(x,v) che sia costante lungo tutte le orbite, cioè
dI ∂ I dx i ∂ I dv i
∂I
=
+
=⃗v ∇ I −∇ Φ
=0
dt ∂ xi dt ∂ v i dt
∂ ⃗v
Confrontando questa espressione con l'equazione di Boltzmann per un sistema stazionario
df ∂ f
∂f
= + ⃗v ∇ f −∇ Φ
=0
dt ∂t
∂ ⃗v
si vede che le due espressioni sono identiche, quindi I è una soluzione della CBE stazionaria.
Quindi:
Teorema di Jeans
Detti I1(x,v), ..., In(x,v) n integrali del moto, una soluzione stazionaria dell'equazione
di Boltzmann non collisionale dipende dalle coordinate dello spazio solo attraverso
gli integrali del moto I1(x,v), ..., In(x,v), e viceversa ogni funzione degli integrali del
moto I1(x,v), ..., In(x,v) è soluzione stazionaria dell'equazione di Boltzmann.
Dimostrazione:
Se f è soluzione stazionaria della CBE allora, come appena visto, è un integrale del moto e la
prima parte del teorema è dimostrata. Al contrario, se I1(x,v), ..., In(x,v) sono integrali del moto e
f è una qualsiasi funzione di n variabili, allora
c.v.d.
Integrali del moto:
qualunque funzione I(x,v) che sia costante lungo le orbite.
In stato stazionario: Energia E
In un sistema a simmetria sferica: Momento angolare L = (Lx,Ly,Lz)
Laplaciano
in coordinate
sferiche
Il teorema di Jeans e la simmetria sferica del sistema consentono di assumere che il
Laplaciano dipenda solo da r e che f sia una funzione dell'energia specifica e del
momento angolare, quindi l'Equazione di Poisson
∇ 2 Φ=4 π G ρ
diventa:
1 d 2 dΦ
1 2
3
r
=4
π
G
ρ=4
π
G
f
(Φ+
v
,|⃗
r
×⃗
v
|)d
v
∫
2
dr
2
r dr
(
)
Dalla definizione di densità in funzione di f
Sistemi con dispersione di velocità isotropa
Consideriamo il caso in cui f sia solo funzione di E:
1 2
f =f (Φ+ v )
2
1 d 2 dΦ
1 2 3
r
=4 π G ∫ f (Φ+ v )d v
2
dr
2
r dr
(
)
Una soluzione immediata e significativa si trova assumendo:
f=
ρ0
2 3 /2
(2 π σ )
−E /σ 2
e
dove σ è la dispersione di velocità assunta isotropa e costante, e ρ0 è una densità di
riferimento, e.g. ρ0 = ρ(r=0).
Ricordando di nuovo la definizione di ρ in funzione di f:
ρ(r )=∫ f (r ,⃗v )d v=
1
−(Φ+ v 2)/σ 2
2
ρ0
3
2 3 /2
(2 π σ )
∫e
ρ0
3
d v=
2 3/2
(2 π σ )
−Φ/σ
e
2
1
− v2 /σ 2
2
∫e
e poiché in una dimensione si ha
osservando che in questo caso a=1/2σ, e considerando le tre dimensioni,
risulta semplicemente
−Φ(r)/ σ
ρ(r )=ρ0 e
2
Φ(r)=−σ 2 [ln ρ(r)−ln ρ0 ]
Inserendo nell'Eq. di Poisson:
[
]
1 d 2 d
2
r
−σ (ln ρ−ln ρ0 ) ) =4 π G ρ
(
2
dr
r dr
e infine
d 2 d ln ρ
4πG 2
r
=− 2 r ρ
dr
dr
σ
(
)
3
d v
Il caso collisionale: la Sfera isoterma (di Lane-Emden)
Per confronto si consideri una sfera isoterma autogravitante di gas (collisionale!)
Valgono l'Eq. di Poisson e l'Eq. dell'Equilibrio Idrostatico:
2
∇ p=−ρ ∇ Φ
∇ Φ=4 π G ρ
dp(r)
GM (r )
=−ρ(r)
2
dr
r
Data la simmetria sferica quest'ultima diventa:
Stavolta è possibile associare un'Equazione di Stato,
che assumiamo essere quella di un gas perfetto a
temperatura costante T con particelle di massa m:
K ρT
p=
m
GM (r )
KT d ρ
=−ρ(r)
2
m dr
r
Si ha quindi, sostituendo nella precedente:
Infine moltiplicando per mr/KT, riarrangiando e derivando rispetto a r:
d 2 d ln ρ
Gm
2
r
=−
4πr ρ
dr
dr
KT
2
(
d r dρ
Gm d
=−
[ M (r) ]
ρ
dr
dr
KT dr
M (r)=∫ 4 π r ρ dr
2
)
d 2 d ln ρ
4πG 2
r
=− 2 r ρ
dr
dr
σ
( )
d ln ρ
d
Gm
r
=−
4πr ρ
(
)
dr
dr
KT
Sistema non
collisionale sferico
2
Sfera isoterma
Ponendo
KT
σ=
m
2
2
le due espressioni sono identiche
Una sfera non collisionale con dispersione di velocità isotropa si comporta
come un gas (perfetto) di temperatura T
Questa identità si verifica a causa dell'assunzione fatta sulla distribuzione
delle energie delle particelle (stelle):
f =f (E)=f (v)∝e
−
1 2
v
2
2σ
è una distribuzione Maxwelliana!
wiki
Differenza fondamentale tra i due casi:
Nel caso collisionale (gas) il rilassamento tramite urti porta all'equipartizione dell'energia e
particelle (molecole) di diversa massa hanno in media velocità diverse:
1
1
2
2 3
m1 v 1 = m 2 v 2= KT
2
2
2
2
m1 v 2
= 2
m2 v 1
Nel caso non collisionale (stelle, materia oscura) il moto è indipendente dalla massa (dipende
dal potenziale globale!) e quindi la distribuzione di velocità è la stessa per particelle di massa
diversa
Si può capovolgere l'argomento:
se in un sistema esiste una differenza nella distribuzione delle velocità (e quindi delle posizioni)
in funzione della massa, allora è presente un certo grado di rilassamento collisionale.
Ad esempio questo si verifica negli ammassi stellari e nei cluster di galassie, in cui le galassie
più massicce hanno tempi di rilassamento sufficientemente brevi da causare la loro “caduta”
verso il centro dell'ammasso, mentre le galassie più leggere sono collisionless.
Inoltre in un sistema collisionale le particelle più leggere hanno velocità maggiori e tendono a
“evaporare” dal sistema
Sfera isoterma singolare
Cerchiamo una soluzione per l'Eq. di Poisson “isoterma”
Ponendo
ρ=C r
−b
e sostituendo, risulta
[ (
d 2 d ln ρ
4πG 2
r
=− 2 r ρ
dr
dr
σ
(
)
)] (
d
d
d ln r
d
2 d ln Cr
2 d ln C
21
L. H . S . :
−b r
=
−b r
+
=
−b r
=−b
dr
dr
dr
dr
dr
dr
r
(
)
4 π G 2−b
R . H . S .: 2 C r
σ
da cui si vede che si deve porre b=2 e C= σ
2
2πG
, quindi
ρ(r )=
)
2
σ
2
2πGr
Questa soluzione descrive la Sfera isoterma singolare.
La massa interna al raggio r, la velocità circolare, il potenziale gravitazionale e la densità
superficiale risultano
2
2σ r
M (r )=
G
v c (r )=√ 2σ
2
Φ(r)=2σ ln(r)+constant
2
Σ(R)= σ
2GR
PROBLEMI: la densità diverge all'origine, la massa cresce con r (infinita)
Si può ottenere una soluzione non divergente fissando la condizione al contorno
ρ(r=0)=ρ0
Conviene usare una normalizzazione:
raggio di core, e definire
~
ρ (ζ)=ρ(ζ)/ρ0
√
2
9σ
ζ=r /r 0 dove r 0=
4 π G ρ0
è detto
2
σ
2 si vede che risulta
2πGr
2
2
4 π G r0
ρ(1)
σ
~
ρ (1)= ρ =
=2/ 9=0. 2̄
2
2
0
2 π G r0 9 σ
Ricordando che è
ρ(r )=
In termini di densità superficiale questa normalizzazione ha molto più senso;
infatti essendo
L'integrale è Abeliano e può essere
LOS
∞
Σ(R)= ∫ ρ √ (R + z )dz
2
z
2
−∞
R
invertito
r
da cui
∞
ρ(r )r dr
−∞
√(r −R )
Σ(R)=2 ∫
2
2
Integrando numericamente
si trova
Il core radius corrisponde
~
circa al raggio di metà
Σ(1)=0.5013≃1/ 2 brillanza superficiale
per ricavare la densità tridimensionale
da quella bidimensionale osservata
∞
2
Σ(R )dR
1 d
ρ(r)=−
∫
2 π r dr r √ ( R 2 −r 2 )
2
core
Sfera Isoterma Singolare
Binney&Tremaine
Hubble density law:
Usata storicamente per
fittare i profili delle ellittiche
con cores; spesso però
dovuti al seeing, oggi:
Modelli di King
La densità nelle regioni esterne di una sfera isoterma diminuisce troppo lentamente,
sia rispetto alle osservazioni che “concettualmente” (massa infinita!).
Una migliore rappresentazione si ottiene tenendo conto che il sistema non è isolato, e
le particelle con energia prossima a zero vengono spazzate via dalle interazioni
mareali.
Possiamo definire quindi una nuova funzione di distribuzione (lowered isothermal /
truncated exponential / King model):
f k (E) =
{
ρ0
−
2 3/2
(2 π σ )
E−E 0
σ2
(e
−1) per E < E 0
0 per E⩾E 0
da confrontarsi con
f (E)=
ρ0
2 3/2
(2 π σ )
−E /σ 2
e
Integrando sulle velocità e utilizzando la soluzione dell'Eq. di Poisson si trova
ρ(r) y
2y
1/2
ρ0 =e erf ( y )− √ 4 y /π (1+ 3 )
dove si è posto
y=
E 0 −Φ
σ
2
x
(ed è
2
erf (x)= √ π ∫ e−v dv ).
2
0
Si vede che ρ=0 per y=0, il che significa che esiste un raggio rt detto raggio mareale (tidal
radius) dove la densità si annulla, il che corrisponde alla condizione
y=
E 0 −Φ
σ
2
=0
cioè
Φ(r t )=E 0
√
2
9σ
Al variare di ρ0 e di σ (cioè del core radius r 0=
4 π G ρ0
) si ha quindi una
famiglia di modelli di King rappresentata come ρ/ρ0 verso r/r0 per diversi valori dell'energia
di soglia E0.
Equivalentemente si può definire il paramentro di concentrazione
c=r t /r 0
c=rt/r0
Sfera isoterma: c ⇒∞
Galassie ellittiche c≈ 2.2
Ammassi di galassie c ≈ 1
Binney&Tremaine
Binney&Tremaine
La sfera isoterma ha massa infinita, (M è proporzionale a r a grandi raggi). Questo
è ovviamente non fisico; MA le curve di rotazione delle spirali sono spesso piatte a
grandi raggi, contrariamente a quanto atteso per potenziali Kepleriani!
Questo è un indizio importante per la presenza di grandi aloni di Materia Oscura,
che quindi possono essere ben rappresentati da un modello isotermo.
Simulazioni numeriche però mostrano che migliori approssimazioni si ottengono
con profili NFW o simili (vedi slides successive).
Le ellittiche a grandi raggi vengono solitamente fittate da profili di Sersic,
generalizzazione del profilo alla ¼ di De Vaucoleurs:
1/ n
Σ(r )=Σ0 exp−b [( R/ Re ) −1]
Per fittare anche i cores si usano double-Sersic,
Core-Sersic, Nuker o altre leggi simili
Profili tri-parametrici di densità
a c−b
a
( ) [ ( )]
r
ρ(r)=ρ0
r0
−c
r
1+
r0
Rilassamento violento
L'assunzione fatta per la funzione di distribuzione ha portato a una
soluzione simile alla sfera di gas isotermo. Ma perché? È un'assunzione
plausibile per un sistema non collisionale? Cioè: in assenza di collisioni
un sistema può comunque assumere una distribuzione di velocità
Maxwelliana? E se sì su quale tempo scala?
Un sistema lontano dall'equilibrio collassa sotto l'azione del proprio
campo gravitazionale in un tempo caratteristico, il tempo dinamico τD
τ D=
√R
3
2GM
Per una galassia (10 kpc, 10^11 Msol) vale circa τD=10^8 yr e per un
ammasso di galassie (1 Mpc, 10^15 Msol) τD=10^9 yr.
In questa fase ogni particella si muove in un potenziale Φ(r,t) variabile
nel tempo perché la distribuzione di materia sta variando velocemente.
L'energia della singola particella quindi non si conserva durante il moto
lungo la traiettoria r(t), diversamente dal caso stazionario.
Rilassamento violento
Essendo
1 2
E= v +Φ(⃗r ,t )
2
si può scrivere
dE ∂ E d ⃗v ∂ E d Φ
dΦ
=
+
=−⃗v ∇ Φ+
dt ∂ ⃗v dt ∂ Φ dt
dt
da cui, per definizione di derivata lagrangiana,
dE
=−⃗v ∇ Φ+ ∂ Φ + ⃗v ∇ Φ= ∂ Φ
dt
∂t
∂t
Ciò mostra che l'unico modo in cui una particella (stella) può variare la sua energia
totale in un sistema collisionless è attraverso una variazione del potenziale
gravitazionale.
Questo è esattamente il caso di un collasso di un alone protogalattico o di ammasso,
in cui la variazione (su tempo scala rapido) delle posizioni delle particelle (stelle o
galassie) causa una altrettanto rapida variazione di potenziale e quindi delle energie
delle singole particelle → redistribuzione dell'energia
La quantità esatta della variazione è una complicata funzione della posizione e della
velocità iniziali della particella (vedere esempi nella slide successiva). L'effetto
generale è di allargare il range di energie presenti nel sistema
VanDerBosch
Rilassamento violento
La CBE è sempre valida durante il collasso, quindi df /dt =0 , ma non si è più in stato
stazionario, quindi ∂ f /∂ t≠0
Un potenziale che varia nel tempo ( ∂ Φ /∂ t≠0 ) non garantisce il rilassamento
violento: esistono casi di sistemi oscillanti in cui le singole particelle cambiano
energia ma la distribuzione totale delle energie resta invariante
Il tempo scala tipico del rilassamento violento si dimostra essere
⟨
2 −1/ 2
(dE /dt )
t vr =
E2
⟩ ⟨
(∂ Φ/∂ t)
=
E2
2 −1/ 2
⟩
3 2 2 −1/ 2
= ⟨ Φ̇ /Φ ⟩
4
che risulta paragonabile a qualche tempo dinamico del sistema: processo veloce.
In quale configurazione tenderà a stabilizzarsi il sistema? Il problema è molto
complesso e non del tutto risolto. Un approccio semplice assume che il sistema
evolva verso la configurazione più probabile come avviene nel caso del gas (in cui si
arriva alla distribuzione di Maxwell-Boltzmann); si cerca quindi di massimizzare
l'entropia anche in questo caso, definendola come
3
3
S=−∫ f ln f d x d v
e trovando infine che la forma funzionale di f che soddisfa la massimizzazione è
proprio quella della sfera isoterma singolare → l'assunzione è ragionevole
Rilassamento violento
https://www.astro.virginia.edu/class/whittle/astr553/
Binney&Tremaine
Filmato
https://www.astro.virginia.edu/class/whittle/astr553/
Binney&Tremaine
Menci
Redshift z=18.3 (t = 0.21 Gyr):
Redshift z=5.7 (t = 1.0 Gyr):
Redshift z=1.4 (t = 4.7 Gyr):
Redshift z=0 (t = 13.6 Gyr):
Springel
Video:
simulazione di merging di spirali;
simulazione cosmologica di Dark Matter