sistema di modellazione ad elementi finiti per ingranaggi a fianchi

SISTEMA DI MODELLAZIONE
AD ELEMENTI FINITI PER INGRANAGGI A FIANCHI ASIMMETRICI
Giulio Di Francescoa, Mauro Linarib, Stefano Marinia
a
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Industriale, Università degli Studi di Roma Tre,
Via della Vasca Navale, 79 - 00146 Roma, e-mail: [email protected]
b
MSC Software Italia, Resp. Product Support per l’Italia (Nastran, Patran, Marc, Laminate
Modeler) V.le Città d’Europa, 681- 00144 Roma, e-mail: [email protected]
SOMMARIO
Viene brevemente ricordata la correlazione tra affidabilità del calcolo strutturale ed il rispetto
delle condizioni ben precise che occorre considerare nella formulazione della mesh in cui
viene suddivisa la struttura da analizzare.
E’ preso in considerazione il particolare caso di dentature asimmetriche, divenute di recente di
notevole interesse industriale soprattutto in campo aeronautico: si procede quindi all’utilizzo
di avanzati e diffusi software di discretizzazione e calcolo strutturale ed è evidenziata la
difficolta’ degli stessi a rispondere in modo semplice alle suddette esigenze.
Si procede quindi alla descrizione di un programma appositamente studiato e sviluppato per la
modellazione automatica di dentature asimmetriche.
Vengono infine confrontate le mesh ottenute con gli attuali software e la mesh ottenuta con il
programma automatico specificatamente studiato e messo a punto per dentature asimmetriche.
ABSTRACT
A brief mention is made of the correlation between the reliability of structural calculus and
the observance of the very specific conditions that need to be taken into account in the
formulation of the mesh into which the structure to be analysed is subdivided.
The specific case of asymmetrical toothings, which have recently aroused great interest on the
part of the industry, especially the aeronautical one, is taken into consideration.
The most advanced and popular discretization and structural calculus software programmes
are then applied and the poor satisfaction of the above said needs on the part of the latter is
highlighted.
Subsequently, a description of an ad hoc programme studied and developed for the automatic
design of asymmetrical toothings is provided.
Finally, a comparative study is conducted on the mesh obtained through the current software
programmes and those obtained through the ad hoc automatic programme designed and finetuned specifically for asymmetrical toothings.
1. INTRODUZIONE
La recente introduzione nel mondo industriale di ruote dentate con denti caratterizzati da
profilo asimmetrico dei fianchi trova una sempre più rapida diffusione per i notevoli vantaggi
di carattere strutturale rispetto ai tradizionali denti a fianchi simmetrici; detti vantaggi
consistono essenzialmente nella possibilità di ridurre, a parità di potenza, pesi e dimensioni di
ingranaggi nel caso in cui la coppia venga trasmessa preferenzialmente in un unico verso.
Per lo specifico caso di denti a profilo asimmetrico non sono applicabili le procedure di
calcolo messe a punto, e già da tempo standardizzate a livello internazionale, per i denti
simmetrici; si considera pertanto indispensabile sviluppare una approfondita analisi strutturale
su detta nuova tipologia di ruote dentate. Per poter sviluppare la suddetta analisi strutturale
agli elementi finiti, occorre disporre di uno strumento di modellazione adeguato, da studiare
specificatamente per detta particolare struttura asimmetrica. Obiettivo del presente lavoro è
pertanto lo studio di una procedura di modellazione (da non confondere con la procedura di
calcolo) del tutto generale per giungere, per il dente asimmetrico, ad una modellazione
automatica che sia di immediato ed agevole utilizzo per studiosi e progettisti del settore
interessati a questa nuova e specifica tipologia di ruote dentate.
2. CONDIZIONI AL CONTORNO
Al fine di giungere alla modellazione dell’elemento strutturale in esame, occorre innanzitutto
tracciarne il profilo a partire dai parametri geometrici sia della dentatura che dell’utensile
utilizzato per il taglio. E’ innanzitutto necessario individuare con precisione la zona di ruota
dentata da sottoporre ad analisi strutturale. Come noto, al fine di approfondire l’analisi
strutturale del dente, soprattutto nelle zone situate in corrispondenza ai raccordi di base, è
necessario procedere, in dette zone, ad una discretizzazione molto fitta; ciò si ripercuoterebbe,
però, nella necessità di discretizzare in maniera molto fitta tutta la ruota, con evidenti
implicazioni di carattere operativo ed economico.
Per questo motivo, lo studio viene suddiviso in due fasi:
- una preliminare analisi tridimensionale su tutta la struttura della ruota dentata adottando una
discretizzazione non molto fitta; ciò consente di individuare una zona più ristretta,
contenente il dente in presa ed interessata in maniera significativa dalle sollecitazioni agenti
sul dente stesso;
- un’analisi approfondita, con discretizzazione più fitta della zona più ristretta individuata
nella prima fase.
In tal modo, individuata la zona di ruota dentata da sottoporre ad analisi strutturale
approfondita, si procede al tracciamento automatico del suo contorno comprendente sia il
profilo della dentatura che la zona strutturale di una quota parte di ruota dentata interessata al
cimento meccanico durante l’esercizio. Il contorno di detta zona viene stabilito congiungendo
i nodi il cui spostamento risulta, nella preliminare citata analisi tridimensionale, al di sotto di
un valore ritenuto non sensibile; il parametro utilizzato per l’individuazione di quest’ultimo
(“valore ritenuto non sensibile”) è rappresentato dal rapporto tra la differenza dello
spostamento di due nodi contigui e la distanza tra gli stessi.
3. INDIVIDUAZIONE DELLA STRUTTURA
Il contorno della zona strutturale da studiare può essere considerato composto da due tratti:
uno interno alla ruota ed individuato come sopra descritto, e l’altro (profilo del dente)
costituito dalle troncature interna ed esterna, dai profili ad evolvente di cerchio diversi tra loro
per i due fianchi del dente e dai profili di raccordo al piede anch’essi diversi tra loro. Dopo
aver individuato, come descritto nel paragrafo precedente, il primo tratto (confine di
separazione tra la zona interna alla ruota ed il resto della ruota dentata), occorre ora
individuare con precisione il secondo tratto e cioè il profilo esterno su descritto.
A parte le troncature interna ed esterna che sono semplici archi di circonferenza, il profilo dei
fianchi del dente viene descritto da quattro curve:
- due evolventi di cerchio, le cui equazioni parametriche sono, per ognuno dei due fianchi:
ρ 1, 2 = re 1, 2 = rb 1, 2 cos α e 1, 2
;
ε 1, 2 = inv α e1, 2
Dove αe1, 2 rappresenta, come noto, l’angolo di incidenza in corrispondenza di un generico
punto dell’evolvente 1 e dell’evolvente 2, ρe1, 2 ed εe1, 2 le coordinate polari del punto stesso.
- due raccordi alla base diversi tra di loro (ognuno inviluppo delle circonferenze di raggio pari
al raggio ρa0 di arrotondamento dello spigolo di sommità dell’utensile ed aventi centro sulla
curva trocoide descritta dal centro di arrotondamento stesso durante la fase di taglio; curva
trocoide nel caso di utensile con spigolo non arrotondato) le cui equazioni parametriche
sono:
ρr1,2 = ρt21,2 + ρa20 − 2ρt1,2 ⋅ ρa0 ⋅ senψ t1,2
dove
ψ t1,2 = arctg (ρ t1, 2 ⋅ dδ t1, 2 dρ t1, 2 )
Si precisa che ρr1,2 rappresenta la coordinata polare di un generico punto del raccordo relativo
al fianco 1 ed al fianco 2, cioè la sua distanza dal centro della ruota e ψt1,2 rappresenta
l’angolo tra la tangente alla trocoide in un punto (trocoide descritta dal centro di
arrotondamento durante la fase di taglio) e la congiungente lo stesso con il centro della ruota,
sempre relativamente al fianco 1 ed al fianco 2; ρt1,2. rappresenta invece la coordinata polare
assunta corrispondentemente dal centro dell’arrotondamento dell’utensile e δt1,2 è l’anomalia
del punto generico della trocoide rispetto all’asse di simmetria della trocoide stessa. Nel caso
di utensile a spigolo non arrotondato, ovviamente: ρa0 = 0. Delle suddette quattro curve
(evolvente più raccordo per un fianco, evolvente più raccordo per l’altro fianco) vengono
individuate le coordinate polari di un numero di punti dipendente dalla discretizzazione che si
desidera ottenere per lo sviluppo dell’analisi strutturale. I punti sui due diversi fianchi del
dente, possiedono i medesimi valori della coordinata radiale: ρ1i = ρ2i ; per ottenere ciò è stato
necessario sviluppare una apposita procedura iterativa che consente, una volta scelti i punti
sul primo fianco di dente, di individuare, sull’altro fianco, le coordinate dei punti
corrispondenti caratterizzati dallo stesso valore di ρ. In definitiva, attraverso la suddetta
procedura, è possibile individuare il contorno della zona su cui effettuare lo studio per la sua
discretizzazione automatica ottimizzata, fig. 1. A titolo di esempio, nel presente lavoro le
figure si riferiscono tutte ad una ruota dentata cilindrica a denti diritti, a proporzionamento
modulare, avente le seguenti caratteristiche principali: modulo m = 2 mm , numero di denti
z = 20 , angoli di pressione per i due fianchi: α01 = 20° , α02 = 26°.
4. MODELLAZIONE ATTRAVERSO GLI ATTUALI SOFTWARE
I più avanzati software di calcolo strutturale sono dotati di procedure di modellazione che
consentono di creare automaticamente la mesh utile per la successiva fase di calcolo; tanto più
risulta affidabile la mesh così creata, tanto più sarà possibile ottenere risultati di calcolo
corrispondentemente affidabili, con tempi e costi limitati. Per poter prendere visione del tipo
di mesh generata in automatico dai suddetti software, si è proceduto all’inserimento, in questi
ultimi, di svariate geometrie di dente asimmetrico.
In tal modo è possibile esaminare le mesh così ottenute e valutarne l’efficacia per il
successivo calcolo strutturale; le mesh ottenute evidenziano però la necessità di apportare,
volta per volta, modifiche anche sensibili, con conseguente aggravio di impegno, tempi e
costi. Per il profilo di dente asimmetrico di fig.1, con alcuni attuali importanti ed avanzati
software sono state generate le mesh riportate nelle figure 2, 3.
La fig. 2 si riferisce alla discretizzazione ottenuta utilizzando il software ANSYS.
La fig. 3 si riferisce invece alla discretizzazione ottenuta utilizzando il software FEMAP. In
entrambi i casi, per i vari tratti del contorno della zona strutturale, è stato utilizzato lo stesso
numero di suddivisioni.
File: dente20°26°
Fig. 1: contorno della zona da sottoporre ad analisi strutturale
Come si può rilevare, per il caso particolare di dentature a profilo asimmetrico, gli attuali
sistemi di modellazione, essendo di carattere generale, risultano indubbiamente migliorabili
per il raggiungimento della necessaria precisione per la successiva fase di calcolo. Le mesh
non risultano infatti soddisfacenti soprattutto in alcune zone caratterizzate da brusche
variazioni della discretizzazione e da evidenti gravi distorsioni del reticolo. Inoltre le zone
caratterizzate da un reticolo più fitto ed omogeneo spesso non sono quelle soggette al cimento
meccanico più gravoso.
5. SISTEMA DI MODELLAZIONE PER DENTI ASIMMETRICI
Sulla base dei risultati sopra esposti ed ottenuti con l’utilizzo di software di modellazione
aventi carattere generale, si può desumere la necessità di effettuare di volta in volta correzioni
alla mesh; ciò per poterla adeguare alle particolari esigenze di un calcolo strutturale
automatico dedicato specificatamente a detto tipo di dentatura asimmetrica. A volte infatti, su
alcune mesh così ottenute occorrerebbe infittire o diradare il reticolo in alcune zone; in altre
zone potrebbe essere necessario intervenire per contenere eventuali distorsioni o irregolarità
del reticolo stesso. L’ottimizzazione del reticolo, oggetto del presente lavoro, consente di
giungere ad una maggiore affidabilità di calcolo strutturale, a parità di numero di elementi
costituente la mesh; oppure, pur mantenendo una adeguata affidabilità, è possibile puntare ad
una riduzione dei tempi di calcolo.
5.1 Caratteristiche della modellazione
La struttura viene innanzitutto suddivisa attraverso un sistema di “paralleli” e di “meridiani”.
Ogni parallelo è costituito da una curva le cui estremità sono situate, sui due fianchi del dente,
in punti di uguale raggio dal centro della ruota: ρ1i = ρ2i .
L’inizio e la fine di ogni parallelo deve risultare, con la desiderata ed imposta
approssimazione, perpendicolare alla tangente al profilo dei fianchi dei denti in ognuno dei
generici punti “i” di cui sopra. Nelle ruote dentate tagliate con una forte interferenza ogni
fianco di dente presenta un profilo in cui è presente una convessità in corrispondenza al tratto
di evolvente ed una concavità in corrispondenza al profilo di raccordo, generando in tal modo
un punto angoloso. Al di sopra di detto punto, i “paralleli” hanno curvatura rivolta verso il
basso, al di sotto hanno curvatura rivolta verso l’alto. Ciò comporta che, in prossimità di
detta zona, i “paralleli” tendono ad avvicinarsi in corrispondenza della mezzeria del dente,
generando una disomogeneità sensibile nel proporzionare gli elementi centrali della
discretizzazione: detti elementi risultano infatti stretti radialmente ed allungati
circonferenzialmente. Per ovviare a detto inconveniente, il software studiato evita
l’indesiderato addensamento eliminando uno o più dei “paralleli” calcolati in prima istanza, e
programmando una risuddivisione radiale della sezione del dente attraverso i paralleli utili
individuati come sopra descritto. A causa dell’asimmetria del dente, insorge un altro
problema: punti di uguale quota radiale ρi relativi alle estremità di un parallelo, possono, su
un fianco, trovarsi sul profilo ad evolvente, sull’altro fianco trovarsi invece sul profilo di
raccordo; in questo caso, la curva del parallelo è costituita da due tratti con curvature di segno
opposto. Il programma di modellazione studiato e messo a punto nel presente studio realizza
la continuità di detti due tratti attraverso un punto di flesso in cui è comune la tangente dei
due tratti stessi.
Da quanto sopra si evince che i “paralleli” non possono essere dei semplici archi di
circonferenza, bensì curve complesse che vengono individuate, definite e descritte
automaticamente volta per volta.
Su ognuno degli “n” paralleli vengono individuati “m” punti (1, 2, … j ... m-1, m)
opportunamente distanziati tra di loro. Per ogni punto passa un meridiano. Il numero di
meridiani che verranno tracciati corrisponde quindi al numero dei punti in cui è stato
suddiviso ogni parallelo.
Ogni meridiano è costituito da una curva passante per tutti i punti di stesso generico indice j,
posti su ognuno degli “n” paralleli considerati.
Con la procedura descritta viene generato un primo reticolo di base successivamente elaborato
ed ottimizzato in automatico dal programma studiato e messo appositamente a punto.
La procedura matematica tiene infatti conto di numerosi fattori: un valore limite ammissibile
per il rapporto tra la lunghezza dei lati di un singolo elemento, un valore limite ammissibile
per l’angolo compreso tra due lati consecutivi di ogni elemento, un infittimento del reticolo in
prossimità dei raccordi di base, un infittimento del reticolo passando dall’interno del dente
alle zone di superficie, etc.
Una generalizzazione di modellazione per detto tipo di dentatura, non risulta in realtà né
immediata né semplice.
Fig.2 : modellazione ottenuta attraverso software ANSYS
File: dente20°26°
File: dente20°26°
Fig.3 : modellazione ottenuta attraverso software FEMAP
File: dente20°26°
Fig. 4 Discretizzazione automatica ottenuta in base al presente studio
In sintesi, i dati di input necessari per la modellazione automatica sono:
a) dati geometrici della dentatura suddivisibili in:
- dati di base: z, m, α01 , α02 .
- dati supplementari specifici (in assenza dei quali il programma utilizza i parametri
standard modulari): spostamento dei cerchi, raggio di troncatura esterna, addendum
dell’utensile e suo raggio di arrotondamento di testa.
b) dati relativi alla discretizzazione:
- numero di suddivisioni sul profilo;
- zone del profilo su cui effettuare infittimento dei “paralleli”;
- valore dell’infittimento dei “paralleli”: rapporto tra la minima e la massima distanza
tra due punti consecutivi di suddivisione del profilo;
- numero di suddivisioni del singolo “parallelo”;
- zona del “parallelo” su cui effettuare l’infittimento dei meridiani;
- valore dell’infittimento dei “meridiani”: rapporto tra la minima e la massima distanza
tra due punti consecutivi di suddivisione del “parallelo”.
Come è possibile notare, la discretizzazione ottenuta, avendo tenuto conto dei fattori di cui
sopra, risulta rispondere alle particolari caratteristiche geometriche, strutturali e tensionali
della struttura asimmetrica della dentatura oggetto di studio. L’infittimento del reticolo risulta
molto graduale ed opportunamente focalizzato in corrispondenza delle zone maggiormente
tensionate.
La mesh di fig. 4 è stata ottenuta in modo del tutto automatico senza la necessità di ulteriori
interventi di miglioramento (questi ovviamente sono peraltro sempre possibili così come per
qualunque altra mesh generata automaticamente).
Dunque il progettista industriale, una volta individuato il contorno della zona strutturale da
esaminare, in funzione dei particolari campi sollecitanti agenti sulla dentatura (ruote dentate
di trasmissione, ruote dentate per pompe e motori ad ingranaggi immerse in un campo
sollecitante con aggiunta del carico oleostatico dovuto all’olio in pressione, etc.), può
scegliere le zone ove far effettuare in automatico l’infittimento del reticolo.
6. CONCLUSIONI
La procedura matematica studiata e sviluppata nel presente lavoro per la modellazione
automatica di dentature asimmetriche, rappresenta una valida alternativa all’utilizzo dei più
diffusi ed avanzati software di calcolo che, dotati di procedure di modellazione preliminari
alla successiva fase di calcolo strutturale, consentono di creare automaticamente la mesh. Per
lo specifico caso in esame di dentature asimmetriche, detta mesh necessita generalmente di
ulteriori ed impegnativi affinamenti. Infatti alcune zone della struttura presentano brusche
variazioni della discretizzazione ed evidenti distorsioni del reticolo; inoltre le zone
caratterizzate da un reticolo più fitto ed omogeneo spesso non corrispondono a quelle soggette
al cimento meccanico più gravoso.
La procedura studiata e messa a punto per giungere alla modellazione automatica di una
dentatura asimmetrica caratterizzata da tratti diversi per un fianco del dente rispetto all’altro
fianco dello stesso dente, ha caratteristiche di ampia generalità e risponde in modo adeguato
alla necessità di una modellazione affidabile da cui è possibile ottenere risultati di calcolo
corrispondentemente affidabili, con tempi e costi limitati.
La procedura risulta di immediato ed agevole utilizzo per studiosi e progettisti del settore
interessati a questa nuova e specifica tipologia di ruote dentate.
Il suo modello matematico, di cui in appendice sono riportati gli schemi di due significative
sezioni, presenta una certa complessità in quanto tiene conto dell’elevato il numero di
parametri in gioco nonché delle numerose problematiche da risolvere per giungere al
procedimento automatizzato. Detta complessità dipende soprattutto dalla necessità di
generalizzare il problema. Per la procedura studiata si è infatti dovuto tenere conto della
diversità dei tratti sull’uno e sull’altro lato del dente nonché degli eventuali punti angolosi
(particolarmente significativi nel caso di forte interferenza per utensili a spigolo vivo) di
intercetta tra evolvente e raccordo e della necessità di realizzare, attraverso opportuni
“paralleli”, un corretto collegamento tra punti corrispondenti posti sui due fianchi del dente;
ciò nel rispetto delle condizioni base necessarie per un’ottimale meshatura dell’elemento
strutturale: valori limite ammissibili per forma e proporzioni dei singoli elementi, infittimento
del reticolo in prossimità dei raccordi di base e passando dall’interno del dente alle zone di
superficie, etc.
Le caratteristiche di generalizzazione del modello matematico studiato e messo a punto,
consentono dunque di procedere ad una affidabile discretizzazione per i più svariati casi
possibili che si possono presentare per le diversificate tipologie di ruote caratterizzate da
dentatura asimmetrica.
BIBLIOGRAFIA
[1] G. Di Francesco, S. Marini, ”Ruote dentate caratterizzate da denti a profilo asimmetrico”. Convegno
Nazionale AIAS, Parma, Tip. Benedettina, 1995, Parma
[2] G. Di Francesco, S. Marini, “Structural analysis of tooth having an asymmetrical winding profile”.
Convegno Nazionale AIAS, Ed. Salentina Galatina, Gallipoli Lecce, 1996
[3] G. Di Francesco, S. Marini, “Structural Analysis of Asymmetrical Teeth : Reduction of Size and Weight”
Gear Technology, Randall Publishing inc. Sept- Oct. 1997, Elk Grove Village IL. U.S.A.1997
[4] G. Di Francesco, S. Marini, “Dentature asimmetriche: evoluzione e procedura analitica per il
dimensionamento” Milano - Organi di Trasmissione, Tecniche Nuove, 1998
[5] MSC Software Italia: Nastran, Patran, Marc, distribuiti per l’ Italia dalla MSC. Software
V.le Città d’Europa, 681- 00144 Roma
[6] F. L. Litvin, Theory of Gearing, NASA Reference Publication 1212, AVSCOM Techical Report, 1989
[7] D. W. Dudley, D.P. Townsend, Dudley’s Gear Handbook, MC Grow-Hill. Inc., USA, 1996
[8] R. L. Mott, Machine Elements in Mechanical Design Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey,Columbus, Ohio, 1999
APPENDICE
A titolo di esempio si riportano i flow-charts di due tra le più significative sezioni del
software studiato: una di generazione di base dei “paralleli” e l’altra dei “meridiani”,
successivamente affinate con altre sezioni, per brevità non riportate, del software stesso.
numero di intervalli N
Suddivisione di primo orientamento
IC=20⋅N/150; IR=50⋅N/150; IFA=75⋅N/150;
IT=5⋅N/150; ITOT=IR+IFA; IRI=IC+1; IFAS=IC+IRI+IFA
Indice punto di massimo infittimento Im
Rapporto di infittimento
ω
Calcolo S1 ed S2
Y
η=
R(IFAS) – R(IRI)
IFAS-IRI+
N
Im < ITOT / 2
R(IFAS) – R(IRI)
η=
(S1+S2)⋅(ω-1)
IFAS-IRI+
IFAS-Im-1
K=(ω-1)
(S1+S2)⋅(ω-1)
Im-IRI-1
⋅η/(IFAS-Im-1)
i = IRI + 1
R(i) = R(i-1) +
η + (Im-i) ⋅ K
Calcolo coordinate sul profilo in corrispondenza di R = R(i)
i < Im
Y
i=i+1
N
i=i+1
R(i) = R(i-1) +
η + (i-Im-1) ⋅ K
Calcolo coordinate sul profilo in corrispondenza di R = R(i)
Y
i < IFAS
N
END
j=0 ; Sa=0 ; Sb=0
Xs(i) ; Xd(i) ;
Y
η ; Nx ; Imx
( Xd(i) – Xs(i) )/η > Nx
N
ERROR
Sa = Sa + j
Y
j < Imx - 1
END
j = j+1
N
j = 0
Sb = Sb + j
Y
j<Nx/2 - Imx - 1
j = j+1
N
Kx = ( Xd(i) – Xs(i) - Nx⋅η )/(2⋅Sa + 2⋅Sb)
Xm = ( Xd(i) – Xs(i) ) / 2
Xs(i,1) = Xm -
η - ( Imx - 1 ) ⋅ Kx ; Xd(i,1) = Xm + η + ( Imx - 1 ) ⋅ Kx
j = 2
Xs(i,j) = Xs(i,j-1) -
η - (Imx - j) ⋅ Kx ; Xd(i,j) = Xd(i,j-1) + η + (Imx - j) ⋅ Kx
j < Imx
Y
j = j+1
N
Xs(i,j) = Xs(i,j-1) -
η - (j - 1 - Imx) ⋅ Kx ; Xd(i,j) = Xd(i,j-1) + η + (j – 1 - Imx) ⋅ Kx
j = Nx/2
N
j = j+1
Y
END
Im = indice punto di massimo infittimento di paralleli
ω = rapporto tra massima e minima concentrazione di
paralleli
IC, IR, IFA, IT = numero di suddivisioni per la circonferenza
interna, raccordo di base, fianco attivo, troncatura esterna
S1 = 1 + 2 + …+ (IFAS – Im – 1)
S2 = 1 + 2 + …+ (Im – IRI – 1)
K = incremento tra due intervalli adiacenti
R(i) = coordinata polare del generico punto i-esimo
IRI = indice del primo punto sul raccordo di base
IFAS = indice del punto di sommità
η = minima distanza tra punti di suddivisione successivi
Xs(i) , Xd(i) = coordinata del generico punto i-esimo sul
profilo di sinistra e di destra
Nx = numero di suddivisioni del generico parallelo
Xm = coordinata del punto medio del parallelo
Kx = incremento tra due intervalli adiacenti sul generico
parallelo
Imx = indice del punto di massimo infittimento di meridiani
Sa = 1 + 2 + …+ (Imx – 1)
Sb = 1 + 2 + …+ (Nx/2 – Imx – 1)
Il generico nodo (i, j) è individuato dall’intersezione del
parallelo i e dal meridiano j, con 1 <= i <= Itot e
1 <= j <= Nx .