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FACOLTA’ DI INGEGNERIA
Laurea Specialistica in Ingegneria Civile N.O.
Giuseppe T. Aronica
CORSO DI IDROLOGIA TECNICA
PARTE III
Idrologia delle piene
Lezione XVI: I metodi indiretti per la valutazione delle
portate al colmo di piena
(I modelli di trasferimento del deflusso)
Idrologia delle piene
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G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Deflusso superficiale (mm/hr)
o pioggia netta
Bacino
Deflusso e portata
I modelli di trasferimento del deflusso
Tempo
Deflusso superficiale (mm/hr)
Portata (m3/s)
Tempo
Portata (m3/s)
Portata = f(deflusso superf., proprietà idrologiche e morfometriche del bacino)
MODELLI
Idrologia delle piene
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I modelli di trasferimento del deflusso
Classificazione in base alla struttura
modelli idraulici (o a simulazione particolareggiata): si tratta di quei modelli che tentano
di simulare i singoli processi idraulico-idrologici. In questa categoria ricadono i modelli
fisicamente basati, vale a dire quei modelli che utilizzano, per descrivere i principali processi di
movimento dell'acqua, le equazioni differenziali di conservazione della massa e della quantità di
moto.
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modelli concettuali: si tratta di modelli che assimilano la trasformazione da simulare ad
un'altra, di natura molto diversa, ma in grado di fornire una risposta simile. I singoli processi di
trasferimento vengono rappresentati attraverso elementi concettuali aventi un funzionamento
idraulico molto semplice (essenzialmente canali e serbatoi, lineari o non-lineari). Attraverso una
opportuna combinazione di questi elementi si possono ottenere degli schemi più o meno
articolati, in grado di riprodurre in maniera abbastanza soddisfacente la risposta idrologica del
bacino idrografico.
modelli sintetici (black box): questi modelli, a differenza dei precedenti, non hanno nessuna
finalità di rappresentare, neppure in maniera schematica, i processi idrologici e idraulici che
intervengono nella trasformazione afflussi-deflussi. Essi considerano perciò il sistema fisico
come una scatola chiusa (black box) sulle cui caratteristiche non si ha interesse a indagare. La
modellazione del fenomeno, si limiti alla ricerca di un opportuno operatore matematico che leghi
l'ingresso e l'uscite del sistema in maniera da rappresentare, nel migliore modo possibile, la
trasformazione degli ietogrammi nei corrispondenti idrogrammi.
Idrologia delle piene
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I modelli di trasferimento del deflusso
Classificazione in base ai parametri
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modelli concentrati (lumped): Il bacino è considerato nel suo insieme. La
piena nella sezione di chiusura si calcola sulla base della precipitazione di
cui non si considera la variabilità spaziale e tramite un unico operatore
rappresentativo del comportamento medio del bacino
modelli distribuiti: Si considera la variabilità spaziale e temporale delle
precipitazioni, delle portate in uscita e delle diverse caratteristiche del
bacino
Classificazione in base alla trasformazione
modelli lineari: gli output del modello sono combinazioni lineari degli
ingressi
modelli non lineari: gli output del modello non sono combinazioni lineari
degli ingressi
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Idrologia delle piene
I modelli di trasferimento del deflusso
Per descrivere la propagazione del deflusso superficiale (rappresentato dallo
ietogramma della pioggia netta) in portate di pioggia si usano modelli fortemente
semplificati, che si basano sulla rappresentazione dei due effetti fisici che hanno
luogo nel bacino durante la fase di propagazione:
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• traslazione (per cui l’idrogramma della portata di pioggia si presenta spostato in
ritardo rispetto allo ietogramma della pioggia netta)
• laminazione (per cui l’idrogramma di pioggia netta si presenta più regolare dello
ietogramma delle piogge nette e con massimi meno pronunciati)
I due effetti sono generalmente rappresentabili utilizzando un sistema lineare e
stazionario
I vincoli di tale rappresentazione sono i seguenti:
- non sono ammesse uscite (portate) negative;
- il sistema deve rispettare la condizione di continuità (la portata di pioggia deve
eguagliare il deflusso di pioggia)
Idrologia delle piene
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I modelli di trasferimento del deflusso
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Modelli lineari e stazionari
•
Modello lineare: ad un ingresso Ie(t) = α1Ie,1(t) + α2Ie,2(t) combinazione lineare di
due ingressi separati Ie,1(t), Ie,2(t) , fa corrispondere un'uscita q(t) = α1q1(t) +
α2q2(t) anch'essa combinazione lineare di due uscite secondo gli stessi
coefficienti.
•
Modello stazionario (o tempo invariante): se a due ingressi sfasati nel tempo di
un intervallo δ, fa corrispondere due uscite anch'esse sfasate nel tempo della
stessa quantità δ.
Per un sistema lineare e stazionario la relazione tra l'ingresso al sistema Ie(t) e la
corrispondente uscita q(t) ha la forma di un'equazione differenziale lineare a
coefficienti costanti del tipo:
an
dnq(t )
dtn
+ an−1
dn−1q(t )
dtn−1
+ ..... + a1
dq(t )
+ a0 = Ie (t )
dt
Idrologia delle piene
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I modelli di trasferimento del deflusso
Modelli lineari e stazionari
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Il vantaggio di un sistema lineare ed
stazionario è di tutta evidenza:
nota la risposta del sistema ad uno
stimolo elementare, la risposta ad un
qualsivoglia stimolo pluviometrico può
ottenersi
combinando
per
somma
(linearità) e traslazione (invarianza) lungo
l’asse dei tempi l’operatore che trasforma
le piogge in portate.
La figura mostra:
• la risposta ad uno stimolo elementare;
• la risposta ad uno stimolo di intensità
doppia rispetto a quello elementare;
• la risposta a due stimoli elementari
successivi.
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L’idrogramma unitario istantaneo (IUH)
L’integrale generale, con le condizioni iniziali che per t=0 tutte le derivate di
qualunque ordine sono nulle, ha la forma nota dell'integrale di convoluzione:
t
Q(t ) = A ⋅ ∫ Ie (τ) ⋅ h(t − τ)dτ
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0
[h] =
[t −1]
La funzione h(t) nell’integrale di convoluzione prende il nome di idrogramma
unitario istantaneo (IUH, Instantaneous Unit Hydrograph) e rappresenta la
risposta del sistema (cioè l’idrogramma) conseguente ad una precipitazione
impulsiva unitaria, cioè una precipitazione netta di volume unitario e durata
infinitesima (intensità infinita), definibile matematicamente attraverso la funzione
delta di Dirac:
δ( t ) = 0
∞
t≠0
∫ δ(t )dt = 1
−∞
Idrologia delle piene
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G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
L’idrogramma unitario istantaneo (IUH)
La generica pioggia, di durata finita, può essere
interpretata come una successione di precipitazioni
nette elementari di durata infinitesima dτ e volume,
anch’esso infinitesimo, pari a Ie(τ) dτ.
Si consideri l’effetto nell’istante t di una
sollecitazione applicata all’istante τ ed avente le
caratteristiche di una pioggia impulsiva.
Tale effetto sarà pari ad h(t-τ), dove con h si indica
l’ordinata dell’ operatore idrogramma unitario
istantaneo.
Ricorrendo all’ipotesi di linearità, si verifica che la
portata infinitesima dQ(t), dovuta alla sola pioggia
dell’intervallo infinitesimo dτ compreso fra t e t-dτ,
risulta essere data da:
dQ(t ) = Ie ( τ) dτ h(t − τ) ⋅ A
La risposta del sistema al tempo t si
ottiene sommando cioè tutti i contributi
infinitesimi dQ(t);
t
t
Q(t ) = ∫0 dQ(t ) = A ⋅ ∫0 Ie (τ)h(t − τ)dτ
Idrologia delle piene
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L’idrogramma unitario istantaneo (IUH)
Condizione di positività delle portate: non sono ammesse portate negative, né
portate antecedenti la precipitazione netta
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h(t ) ≥ 0
per
t≥0
Condizione di continuità: il volume di pioggia netta è pari uguale al volume di
deflusso superficiale:
∞
∫ h(t )dt = 1
0
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Idrologia delle piene
Proprietà dell’idrogramma unitario istantaneo
• L’idrogramma unitario assume valori non nulli nell’intervallo (0,tb), dove con tb
viene indicato il tempo di base dello IUH
• il tempo di base coincide con il tempo di corrivazione del bacino
• Se tb è finito il sistema si dice a memoria finita: dopo un tempo tb il sistema non
risente più dell’effetto della sollecitazione meteorica netta (a)
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• Se tb ⇒ ∞ il sistema si dice a memoria infinita: “teoricamente” il sistema risente
per un tempo infinitivamente lungo dell’effetto della sollecitazione meteorica (b)
Idrologia delle piene
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Proprietà dell’idrogramma unitario istantaneo
• hmax(tp) = altezza di picco
• tp = tempo di picco
• tL = time-lag (baricentro dell’IUH)
∞
tL = ∫ t ⋅ h(t )dt
0
Idrologia delle piene
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Proprietà dell’idrogramma unitario istantaneo
Funzione di risposta al gradino: la risposta del bacino conseguente ad una
precipitazione costante unitaria, cioè una precipitazione netta di volume unitario
e durata indefinita
t
H(t ) = ∫ h(τ)dτ
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0
rappresenta l’area sottesa dall’IUH tra
l’istante 0 e l’istante generico t
Idrologia delle piene
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Interpretazione probabilistica dell’IUH
L‘IUH può essere interpretato come la funzione densità di probabilità (PDF) del
tempo di residenza nella rete idrografica di una particella caduta in un punto
generico del bacino.
h(t) rappresenta la probabilità che una particella caduta in un punto generico del
bacino arrivi alla sezione di chiusura tra il tempo t e il tempo t+dt
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
• hmax(tp) = densità di probabilità del tp
• tempo di picco = moda della PDF
• time-lag = media della PDF
La funzione di risposta al gradino:
t
H(t ) = ∫ h(τ)dτ
0
rappresenta la probabilità (CDF) che il tempo
di residenza in rete delle generica particella
liquida, risulti minore o uguale ad un valore
assegnato t
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Idrologia delle piene
L’idrogramma unitario
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Nelle pratiche applicazioni essendo noti solo in forma discreta sia lo ietogramma
efficace che l’idrogramma di piena campionati con passo ∆t (valori medi delle
grandezze nell’intervallo ∆t)
Idrologia delle piene
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L’idrogramma unitario
Nelle pratiche applicazioni si utilizza allora l’idrogramma unitario UH definito
come:
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1 ∆t
U(t ) =
∫ h(t − τ)dτ
∆t 0
Risposta unitaria del sistema ad
un’immissione di volume unitario e
durata finita ∆t
L’idrogramma unitario si può esprimere facilmente tramite la funzione di risposta
al gradino H(t)
H(t )
t < ∆t
∆t
∆H(t ) H( t ) − H( t − ∆t )
=
U(t ) =
∆t
∆t
U(t ) =
t ≥ ∆t
[U] =
[t −1]
Idrologia delle piene
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L’idrogramma unitario
L’integrale di convoluzione è quindi sostituito dalla una sommatoria, ed il calcolo
della portata di piena si esegue come:
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k ≤m
Qk = ∑ Ie, j ⋅ Uk − j+1 ⋅ A ⋅ ∆t
j =1
m = numero ordinate UH
n = numero ordinate Pe
k = n+m−1
t = k ⋅ ∆t
Idrologia delle piene
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L’idrogramma unitario
In termini matriciali:
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Q = U ⋅ Ie ⋅A ⋅ ∆t
n 4444448
64444447
0
0
0 .. 0 
 U1

 U
U1
0
0 .. 0 
 2
 .. U2 U1
0 .. 0 


 Um .. U2 U1 .. 0 
 0 Um .. U2 .. 0 

U = n − m + 1
0 Um .. .. 0 
 0
 0
0
0 Um .. U1 


0
0
0 .. U2 
 0

 0
0
0
0
..
..


 0
0
0
0 .. Um 
  Ie,1 
 I 
  e,2 
 Ie,3 
Pe = n  

..


  .. 


I
  e,n 
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Idrologia delle piene
Modelli lineari in serie
Lo IUH del modello che risulta dal collegamento in serie
di due modelli, i cui IUH si indichino rispettivamente con
h1(t) e h2(t), è dato dalla convoluzione di h1(t) con h2(t)
t
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Q1(t ) = ∫0 Ie (τ )h1(t − τ )dτ
t
Q( t ) = A ⋅ ∫0 Q1(τ )h2 (t − τ )dτ
t
h(t ) = ∫ h1( τ) ⋅ h2 ( t − τ)dτ
0
Idrologia delle piene
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Modelli lineari in parallelo
Nel caso di due modelli collegati in parallelo, in
cui l’ingresso al primo modello è costituito da
una frazione a1 dell’ingresso Pe(t) all’intero
sistema, mentre l’ingresso al secondo vale
ovviamente (1-a1) Pe, si ha:
t
G.T. Aronica, IDROLOGIA TECNICA
Q1(t ) = A ⋅ ∫ Ie,1( τ) ⋅ h1(t − τ)dτ
0
t
Q 2 (t ) = A ⋅ ∫ Ie,2 (τ) ⋅ h2 (t − τ)dτ
0
t
Q(t ) = Q1(t ) + Q 2 (t ) = A ⋅ ∫ Ie ( τ) ⋅ h( t − τ)dτ
0
h( t ) = a1h1( t ) + (1 − a1)h2 ( t )
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Idrologia delle piene
I modelli dell’Idrogramma Unitario Istantaneo
Modelli concettuali
‰ Metodo della corrivazione (canale lineare)
‰ Metodo dell’invaso (serbatoio lineare)
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‰ IUH di Nash (cascata di serbatoi lineari)
‰ IUH triangolare
Modelli quasi-concettuali
‰ IUH Weibull e Raleigh (interpretazione probabilistica)
‰ IUH geomorfologici (basati sulla struttura del reticolo
idrografico)
‰ IUH topologici (basati sulla topologia della rete)