Grandezza Fisica Valore Vero Misura - Valore Nominale

Grandezza Fisica
?
Valore Vero
Misura
- Valore Nominale
- Errore
g ∓Δg
Grandezza ben definita - Errore di sensibilità
Grandezza non ben definita - Errore massimo assoluto
!
!
δ = gmax - gmin
δ = dispersione massima
semidispersione massima
Cifre significative
Es.:
g1 = 121.52 m g2 = 119.78 m g3 = 120.31 m g4 = 120.12 m
Valore medio:
!
Dispersione massima:
Presentazione del risultato:
g = (120.4 ± 0.9) m
I) Nel risultato è riportato l'errore.
L'errore viene presentato con una sola cifra significativa.
Il risultato deve contenere un numero di cifre tale che l'errore rimanga confinato sull'ultima cifra a
destra.
II) Nel risultato non è riportato l'errore.
Il risultato deve contenere un numero di cifre tale che l'errore possa essere riguardato pari ad una
unità sull'ultima cifra a destra.
Errore relativo
!
Errore relativo percentuale
Proprietà degli errori massimi assoluti
Siano
g1 = g01 ± !g1
I)
g2 = g02 ± !g2
g01 > 0
La grandezza risultante (r) è somma delle grandezze g1 e g2:
Valori massimo (rM) e minimo (rm) per la grandezza derivata:
Dispersione massima:
g02 > 0
Valori massimo (rM) e minimo (rm) per la grandezza derivata:
Dispersione massima:
Semidispersione massima = incertezza di r:
Gli errori massimi si sommano.
Pertanto:
II)
La grandezza risultante (r) è differenza delle grandezze g1 e g2:
Valori massimo (rM) e minimo (rm) per la grandezza derivata:
Dispersione massima:
Semidispersione massima = incertezza di r:
Dispersione massima:
Semidispersione massima = incertezza di r:
Gli errori massimi si sommano.
Pertanto:
III)
La grandezza risultante (r) è prodotto delle grandezze g1 e g2:
Valori massimo (rM) e minimo (rm) per la grandezza derivata:
Dispersione massima:
Semidispersione massima = incertezza di r:
Dispersione massima:
Semidispersione massima = incertezza di r:
Gli errori massimi si sommano con opportuni fattori di peso.
Pertanto:
IV)
La grandezza risultante (r) è quoziente delle grandezze g1 e g2:
Valori massimo (rM) e minimo (rm) per la grandezza derivata:
Dispersione massima:
Semidispersione massima = incertezza di r:
Gli errori massimi si sommano con opportuni fattori di peso.
Valori massimo (rM) e minimo (rm) per la grandezza derivata:
Dispersione massima:
Semidispersione massima = incertezza di r:
Gli errori massimi si sommano con opportuni fattori di peso.
Pertanto:
Proprietà degli errori massimi relativi
I)
II)
III)
III)
Gli errori relativi si sommano.
IV)
Gli errori relativi si sommano.
Casi particolari
•
Sia r = B . g, con g = g0 ± !g
Valori massimo e minimo di r:
Dispersione massima:
Pertanto:
Pertanto:
Errore relativo:
•
Sia r = gn, con n = intero > 0 e g = g0 ± !g
Dalla regola di propagazione degli errori relativi per i prodotti:
Pertanto:
La relazione vale anche se n = cost. < 0:
Pertanto:
La relazione vale anche se n = cost. < 0:
Errore relativo nelle misure indirette
Es:
Se l ! 1 m e "l = 1 mm, se T ! 2 s e "T = 0.1 s, se # = 3.14158 si ha:
= 0.0000063 + 0.001 + 0.1 ! 0.1 ! 10 %
Il risultato indica che:
1. g viene ottenuta con un errore relativo del 10 %.
2. La misura può essere migliorata se si migliora "T/T.
= 0.0000063 + 0.001 + 0.1 ! 0.1 ! 10 %
Il risultato indica che:
1. g viene ottenuta con un errore relativo del 10 %.
2. La misura può essere migliorata se si migliora "T/T.
3. Il numero di cifre significative per # è eccessivo.
Errori sistematici e casuali
Errori indipendenti
Se:
r = g1 + g 2
o
r = g1 - g2
!
"r = "g1 + "g2
Se gli errori sono indipendenti "r è una sovrastima dell'errore. Quindi:
(dimostreremo più avanti)
Analogamente se:
r = g1 . g2
o
r = g 1 / g2
!
Se gli errori sono indipendenti "r/r è una sovrastima dell'errore relativo.
In tal caso:
Propagazione degli errori - Generalizzazione
Sia r = f(g) con f(g) = funzione analitica nota.
Dalla figura risulta:
!
Propagazione degli errori - Generalizzazione
Dalla figura risulta:
Sia r = f(g) con f(g) = funzione analitica nota.
!
!
Inoltre:
Se D ! A il segno " ! =, per cui:
Dalla figura risulta:
!
Inoltre:
La ! diventa allora:
Se D ! A il segno " ! =, per cui:
La ! diventa allora:
In generale quindi:
In generale quindi:
Propagazione degli errori per funzioni di più variabili
Sia
r = f(g1, g2, ..., gn)
r = grandezza derivata
gi = grandezza misurata = g0i ± !gi
Sviluppando r in serie di Taylor:
di r = differenziale totale i-esimo
Se r non è molto diverso da r0 si può scrivere:
Riguardando
r0 = f(g01, g02, ..., g0n)
Riguardando
r0 = f(g01, g02, ..., g0n)
come il valore più rappresentativo di r e
come l'incertezza con cui si misura r si può scrivere:
Propagazione degli errori - Conclusioni
Se gli errori sono indipendenti e casuali:
In ogni caso si avrà sempre:
Analisi statistica degli errori
Date N misure, x1, x2, ....., xN, definiamo:
Media:
Scarto:
Scarto medio:
Deviazione standard:
Varianza:
Varianza:
Deviazione standard relativa:
Deviazione standard relativa percentuale:
Deviazione standard e incertezza della misura
Per misure distribuite "normalmente":
Si può ragionevolmente assumere ! come stima dell'errore di una singola misura.
Es. Dati i seguenti risultati: xi = 86, 85, 84, 89, 86, 88, 88, 85, 83, 85, si ha:
Se la misura è affetta solo da errori casuali, ripetendo altre serie di misure è atteso:
!"2
! è una stima dell'incertezza del metodo di misura
Se la misura è affetta solo da errori casuali, ripetendo altre serie di misure è atteso:
!"2
! è una stima dell'incertezza del metodo di misura
Pertanto sarà sufficiente effettuare una misura, anziché una serie, e assegnare a questa
una incertezza pari a !.
Questo rende fiduciosi che, con una probabilità di ~70%, il valore vero sia contenuto
nell'intervallo:
Deviazione standard della media
Essendo
più affidabile di xi ci si aspetta che:
Si dimostrerà che:
Se
,
.
L'aumento del numero delle misure riduce la parte casuale dell'errore, non quella
sistematica.
Pertanto anche per
, il risultato non sarà mai esatto; infatti:
Se
,
.
L'aumento del numero delle misure riduce la parte casuale dell'errore, non quella
sistematica.
Pertanto anche per
, il risultato non sarà mai esatto; infatti:
La somma in quadratura è giustificata dalla indipendenza dei due tipi di errori
Deviazione standard della media e della misura
N = numero di misure
M = numero di serie di misure
Numero totale di misure = N . M
ovvero:
......................................
Sia
............................
la media generale:
Siano
dij lo scarto della singola misura dalla media generale (
)
Siano
dij lo scarto della singola misura dalla media generale (
)
Dj quello della j-esima media dalla media generale
ovvero:
.......................................................................................
..................
Dalla definizione di varianza delle medie:
dove
e dopo sostituzione la varianza delle medie diventa:
Poiché la varianza delle singole misure riferita alla media generale è:
Poiché la varianza delle singole misure riferita alla media generale è:
si ottiene: