Presentazione di PowerPoint

SCP1 - UNIV. GENOVA - PROFF.
BERARDI/BOVOLENTA
τR
τm
Quando il piano campagna non è orizzontale, come nel caso dei
pendii naturali e delle scarpate artificiali, le tensioni di taglio
indotte dalle forze gravitazionali tendono a “smuovere” il terreno
stesso lungo potenziali superfici di scorrimento.
Se sussiste l’equilibrio, la resistenza al taglio mobilitabile lungo
ogni possibile superficie supera le tensioni tangenziali indotte dalla
gravità. Quest’ultima non costituisce però l’unica causa che induce
i movimenti. Forze instabilizzanti sono introdotte dai terremoti;
oscillazioni di falda producono variazioni dello stato tensionale e
della resistenza disponibile; forze di filtrazione giocano un ruolo
più importante di quello normalmente attribuito.
Analisi di stabilità dei pendii
FS= τR/τm
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τR
τm
La superficie critica è quella
caratterizzata dal minimo
valore del coefficiente di
sicurezza che esprime le
condizioni di stabilità del
pendio.
L’analisi di stabilità dei pendii viene normalmente affrontata con
metodi all’equilibrio limite globale che studiano le condizioni di
equilibrio di volumi di terreno delimitati inferiormente da superfici di
scorrimento.
L’analisi è limitata a detti volumi, senza esaminare lo stato tensionale
e deformativo dell’intero pendio, valutando il solo stato tensionale
lungo le potenziali superfici di scorrimento che limitano inferiormente
i volumi presi in esame e lungo le quali viene definito il coefficiente di
sicurezza allo scorrimento.
La verifica di stabilità si conduce esaminando un certo numero di
possibili superfici di scivolamento per ricercare quella per la quale si
ha il minimo rapporto fra la resistenza al taglio disponibile e la
tensione di taglio mobilitata; il valore di questo rapporto costituisce il
coefficiente di sicurezza del pendio:
Analisi di stabilità dei pendii
τR
τm
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τR = resistenza al taglio media disponibile lungo la superficie di
scorrimento;
τm = tensione di taglio media mobilitata, ossia lo sforzo tangenziale medio
che equilibra il peso del volume di terreno e degli eventuali carichi applicati
lungo la superficie di scorrimento;
FS = coefficiente di sicurezza, che rappresenta il termine per il quale deve
essere divisa la resistenza al taglio disponibile per determinare le
condizioni di rottura lungo la superficie determinata.
dove:
FS= τR/τm
La ricerca sulla superficie critica viene condotta in modo diverso in
funzione
delle
condizioni
geomorfologiche,
litologiche,
geomeccaniche e di stabilità del sito. Questa ricerca è rivolta alla
valutazione del coefficiente di sicurezza definito tramite
l’espressione:
BERARDI/BOVOLENTA
Questi approcci rientrano in quelli definiti come “metodi
dell’equilibrio limite globale”,
globale con cui si tendono a valutare, in termini
discreti, lo stato tensionale all’interno della massa e lungo la
superficie di scorrimento (curvilinea).
In generale, la massa di terreno presa in
considerazione è compresa tra il piano
campagna e la superficie di rottura
(ipotizzata o reale) e viene suddivisa in un
numero discreto di conci o strisce
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verticali (figura).
superficie di scorrimento
La rottura di un pendio, di altezza limitata e formato
prevalentemente da terreni coesivi, avviene generalmente lungo
superfici con raggio di curvatura variabile. Tra i metodi che
impiegano superfici di scorrimento non piane si possono ricordare:
•metodo di Fellenius;
•metodo di Bishop;
•metodo di Janbu.
Analisi di stabilità di pendii naturali ed artificiali con superfici di
rottura non piane: “metodi dei conci”
bi
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n lunghezze a identificanti i punti di
applicazione delle forze alla base N’i.
n componenti normali N’i;
•lungo le basi:
n-1 altezze bi della linea di azione
della componente normale E’i.
n-1 componenti tangenziali Xì;
n-1 componenti normali E’ì;
•lungo le interfacce:
βi
Xi
Ui
E’i
D
A
Li
N’i
ai
TRi
Wi
Ubi
C
Ei+1
Ui+1
Xi+1
B
Zi
Indicando con n il numero delle strisce, lo stato tensionale è
individuato tramite 5n-3 grandezze incognite:
Si ipotizza che le strisce siano delimitate inferiormente da basi
piane.
Le forze agenti su un generico concio i-esimo
sono rappresentate in figura sotto.
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Purtroppo il numero delle incognite supera quello delle equazioni
e, di conseguenza, il problema risulta indeterminato.
indeterminato
Dunque, si dispone di 3n equazioni.
Si possono scrivere allora 3n equazioni di equilibrio (2n alla
traslazione ed n alla rotazione).
Quindi (5n-2) grandezze risultano incognite
F è il coefficiente di sicurezza. Esso è assunto costante lungo la
superficie di scorrimento e rappresenta un’ulteriore incognita del
problema.
Il sistema di forze in esame deve risultare equilibrato. Lungo le
basi il terreno deve trovarsi in condizione di rottura in presenza
della resistenza a taglio ridotta, ossia di τR/F.
bi
βi
Xi
Ui
E’i
D
A
N’i
ai
Ubi
Li
TRi
Wi
C
Ei+1
Ui+1
Xi+1
B
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I diversi metodi reperibili in letteratura si differenziano tra loro
nell’introduzione delle ulteriori condizioni, che possono riguardare
le forze laterali E e X, oppure il punto di applicazione delle forze
laterali bi, oppure le forze normali Ni.
Se i conci sono sufficientemente
piccoli da poter assumere che le
N’i siano applicate nel baricentro
della base il numero delle incognite
si riduce (le incognite diventano
pari a 4n-2), ma il problema
continua ad essere indeterminato,
infatti occorrono (n-2) condizioni
affinché
il
problema
sia
determinato.
Zi
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1. Metodo di Fellenius
i
i
i
i
Mi
i
βi
Ri
TRi
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Li = lunghezza della base della striscia;
Ni = forza normale totale sulla base della striscia;
Ui = risultante della pressione neutra lungo la base della striscia.
i
∑  c′L + ( N − U ) tan ϕ ′
⇒F =
∑T
TMi = Wi senβ i
N i = Wi cos β i
TRi = c′Li + N i′ tan ϕ ′
N i′ = N i − U i
i
•risultante forze sulle facce laterali di ogni concio è
considerata nulla nella direzione normale alla base del
concio (nota: (n-1) condizioni) Ri=Ri+1
∑i M Ri r ∑i TRi
F=
=
TMi
∑ M Mi r ∑ TMi
•Superficie di scorrimento assimilabile ad arco di cerchio
(di raggio r);
Ipotesi:
TRi
Wi
r
Li
Ni
R i+1
βi
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•In genere con il metodo di Fellenius (o del cerchio svedese) il
coefficiente di sicurezza è sottostimato (fino anche al 20%)
Nota:
Mi
Ri
=
i
r ∑ TMi
i
r ∑ TRi
TRi
Ni
βi
Ei
Xi
Wi
βi
EB
RB
TRi
TMi
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Wi + X i = N i cos β i + TRi senβ i
N i = (Wi + X i ) cos β i − Ei senβ i
Ei = E Ai − E Bi
X i = X Ai − X Bi
per il generico concio:
TMi = Wi senβ i
TRi = c′Li + N i′ tan ϕ ′
i
i
∑M
F=
∑M
•Superficie di scorrimento assimilabile
ad arco di cerchio (di raggio r);
2. Metodo di Bishop
Questo metodo rappresenta un’evoluzione del
metodo di Fellenius.
Ipotesi:
TRi
XB
Wi
r
Li
Ni
XA
RA
EA
βi
i
i
i
i
i
i


 c′Li cos β i + (Wi − U i cos β i + X i ) tan ϕ ′ 
∑i 

senβ i tan ϕ ′


cos β i +


F
F=
∑ (Wi senβ i )
i
Procedura
iterativa
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Fc (corretto)
•risultante nella direzione verticale delle forze agenti sulle facce di
ogni concio è considerata nulla, ossia Xi=0 (nota: (n-1) condizioni)
•lunghezze ai identificanti i punti di applicazione delle forze alla base
sono note, ossia pari a metà larghezza di base
Ipotesi:
Metodo di “Bishop semplificato”
⇒
i
∑  c′L + ( N − U ) tan ϕ ′
F=
∑ (W senβ )
i
i
tan β i tan ϕ ′ 

mα i = cos β i  1 +

F


i
i
∑ (W senβ )
αi
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la convergenza può essere ottenuta abbastanza rapidamente
utilizzando un grafico che correla mα con α (prima chiamato β) e
con tgφ’/F
ove :
F=
1
′
′


cos
cos
tan
c
L
β
W
U
β
ϕ
+
−
(
)
∑ i
i
i
i
i
m
Nota il fattore di sicurezza F prima introdotto può essere così
riscritto, supponendo Xi=0:
Fe (esatto)
NOTA: Per essere trovato Fe devono essere
determinate forze di interazione tangenziali
sulle facce laterali di ogni concio imponendo
condizioni di equilibrio su ogni singolo concio e
sull’intera massa
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Bishop notò che per variazioni anche notevoli della distribuzione delle Xi il
coefficiente di sicurezza oscillava in un campo molto ristretto (pari all’1%),
pertanto propose per i problemi tecnici, di trascurare le forze tangenziali
d’interfaccia. Il metodo prende il nome di “Bishop semplificato”.
Fe>Fc≥Freale
Nota: ci si ferma di solito a Fc poiché:
•Xi≠0
•lunghezze ai identificanti i punti di applicazione delle forze alla
base sono note, ossia pari a metà larghezza di base
Ipotesi:
Metodo di “Bishop esatto”
Metodo semplificato:
Metodo esatto: Fe
b
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Fc BERARDI/BOVOLENTA
si perviene a definire un fattore di sicurezza
che è funzione di sé stesso, occorre dunque
una PROCEDURA ITERATIVA.
•condiz di equilibrio globale
•per ogni concio condizioni di equilibrio alla
traslazione (sia orizz. sia vert.),
•condizione di equilibrio limite F=τr/τm
(esprimendo con il criterio di Mohr-Coulomb
la resistenza al taglio che si mobilita lungo la
superficie di scorrimento)
Imponendo:
A
D
E’L
XL
UL
•Nota la linea di azione delle forze N’ì (noto ai);
•Superficie di scivolamento di forma qualsiasi;
•Nota la linea di azione delle forze di interazione
(noto bi);
Ipotesi:
3. Metodo di Janbu
δ
L
N’
U
a
TR
W
q
∆P
C
E’R
UR
∆Q
XR
B
q
β
Z
hQ
ove :
F
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nα i =
cos 2 β i (1 + tan β i tan ϕ ′ )
i
Nel metodo di “Janbu semplificato” viene soddisfatto l’equilibrio delle forze sia
in direzione verticale sia in direzione orizzontale e viene introdotto un fattore
di correzione empirico f0 che dipende dai parametri della resistenza al taglio e
dalla forma della curva di scivolamento (figura) e mediante il quale viene
moltiplicato un fattore di sicurezza F0 ottenuto assumendo per semplicità
XR=XL (nota: (n-1) condizioni).
In tale maniera si trova un valore “corretto” del fattore di sicurezza, detto
Fc; che differisce dal valore “esatto”, denominato Fe
1
f 0 ∑  c′Li cos β i + (Wi − U i cos β i ) tan ϕ ′ 
nα i
i
Fc=f0 F0
F=
∑ (Wi tan β i )
Metodo di Janbu
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∆T
∆x
∆p
∆x
)
E A − EB + ∑ B
∑A
(
)
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A' = c + ( p + t − u ) tgϕ  ∆x
tgα ⋅ tgϕ
1+
A'
F
⇒
=
nα =
A
nα
1 + tg 2α
⇒F =
A = τ R ∆ x 1 + tg 2α
(
B = ∆Q + ( p + t ) ∆x ⋅ tgα
p = γz +q +
t=
dE 0
dQ
− hq
dx
dx
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T1 = −E ⋅ tg β + he
4. La forza tangenziale sulla stessa interfaccia è data da
3.Sommando i vari ∆E0 la forza totale E ad ogni interfaccia è E=EA+Σ∆E0
2.Noto F0 è possibile calcolare per ogni concio il valore di ∆E0=B0- (A0/F)
A0 = c ' + ( p + t − u ) tgϕ  ∆x / nα 0
∑ A0
⇒ F0 =
E A − E B + ∑ B0
B 0 = ∆Q + ( p + t ) ∆ x ⋅ tgα
1. Inizialmente non sono note le forze ∆T, per cui si può calcolare un primo
valore di F (indicato come F0) assumendo ∆T=0
Procedura iterativa consiste nei seguenti passi:
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VEDERE ESERCIZIO
NOTA: Il metodo SEMPLIFICATO consiste nel fermarsi alla determinazione
di F0 che moltiplicato per f0 fornisce F
6. Si prosegue nelle iterazioni fino ad ottenere un coefficiente di sicurezza
F con approssimazione soddisfacente.
5.Noti i valori di T1 è possibile determinare per ogni concio il valore di ∆T e
quindi iniziare nuovamente per il calcolo di F1
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Nel metodo di Spencer la relazione X/E= λf(x) risulta uguale a costante ed in
particolare λf(x) = tan θ, essendo θ l’angolo di inclinazione della risultante delle
forze di interazione.
Con tali metodi vengono soddisfatti l'equilibrio delle forze in direzione verticale e in
direzione orizzontale e l'equilibrio dei momenti. Per rendere il problema
staticamente determinato si fa l'ipotesi che le forze di interazione tra i conci siano
tra loro legate dalla relazione X/E= λf(x) nella quale f(x) è una funzione arbitraria,
che definisce come varia la direzione della risultante delle forze di interazione nella
massa in scivolamento, e λ è un fattore di scala, che esprime la percentuale della
funzione richiesta per soddisfare l'equilibrio delle forze e dei momenti.
Una volta scelta la funzione f(x) si determinano i coefficienti di sicurezza
corrispondenti all’ equilibrio dei momenti e all' equilibrio delle forze e il calcolo viene
ripetuto variando il fattore λ fino a quando Fm e Ff coincidono. Ovviamente sono
necessari giudizio ed esperienza nella scelta della funzione f(x), tenendo presente
che non ci può essere trazione e quindi la posizione della linea di spinta deve essere
interna alla massa in scivolamento. Inoltre non può essere superata la resistenza al
taglio a rottura. La scelta dipende principalmente dalla forma della superficie di
scivolamento, dalla variazione dei parametri della resistenza al taglio e dalla
pressione neutra lungo la superficie di scivolamento. Nell'ipotesi di superficie di
scivolamento circolare, il coefficiente di sicurezza è relativa- mente insensibile alla
distribuzione delle forze di interazione.
Metodo di Morgestern & Price e Metodo di Spencer
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ESEMPI
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•Dal confronto dei vari metodi di verifica risulta che la reale
accuratezza della soluzione, quando la superficie di scivolamento scelta
corrisponde abbastanza bene alla forma della superficie possibile di
scivolamento, dipende principalmente dalla scelta dei parametri della
resistenza al taglio, dalla distribuzione delle pressioni neutre e molto
limitatamente dal metodo.
•Nelle diverse verifiche di stabilità, con il metodo dell’equilibrio limite,
il problema viene trattato come bidimensionale, per cui la superficie di
scivolamento viene rappresentata come una linea e si trascura ogni
resistenza o azione trasversale. Tale schematizzazione è accettabile
quando si esaminano pendii aventi caratteristiche geometriche e
terreni con caratteristiche geotecniche abbastanza costanti in
direzione trasversale. Comunque l’errore che si commette con l’analisi
di stabilità bidimensionale è a favore di sicurezza e raramente eccede
il 10%.
Osservazioni generali sulle analisi di stabilità dei pendii:
•I metodi proposti sono solo alcuni, forse tra i più celebri, dei metodi
disponibili per analizzare le condizioni di stabilità di un pendio
costituito da materiale sciolto (terreno).