Mat 4

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Verifica di Matematica – Classe 4 G – 23-mar-15 – 2 ore
1. Considera il parallelepipedo rettangolo in figura, in cui gli spigoli AB e AE misurano 1, mentre lo spigolo AD misura 2. Il punto I è il punto medio di AD.
Senza riferire la figura a un sistema di assi cartesiani, rispondi ai seguenti quesiti.
a. Determina il volume del tetraedro che ha come base FGH e come vertice I.
b. Dimostra che il triangolo FIH è rettangolo in I e calcolane l'area.
c. Determina la distanza del vertice G dal piano FIH
(suggerimento: considera il tetraedro sulla base FIH e altezza...).
Riferisci ora la figura a un sistema di assi cartesiani ortogonali in cui l'origine coincide con il
punto A e i versori degli assi x, y, z sono rispettivamente i vettori AB, AI, AE e rispondi ai
seguenti ulteriori quesiti.
d. Scrivi le equazioni delle rette FI e HI e ritrova per via analitica che il triangolo FIH è
rettangolo.
e. Scrivi l'equazione del piano FIH.
f. Determina analiticamente la distanza del punto G dal piano FIH ritrovando il risultato
determinato nel punto c.
g. Determina le coordinate del punto K, intersezione del piano FIH con la retta AG.
h. Scrivi l’equazione della superficie sferica γ che ha centro in G e passa per K.
Facoltativo e a problema concluso:
2. Deduci il volume di una sfera dimostrando che il volume di una semisfera di diametro CD=R
è uguale al volume dell’anticono in figura, ottenuto sottraendo dal cilindro ABCD, circoscritto
alla semisfera, il cono ABV inscritto nel cilindro.