ARITMETICA e CALCOLATRICE 1) Cifre e numeri

ARITMETICA e CALCOLATRICE
1) Cifre e numeri
755 è un numero composto di tre cifre. Mentre i numeri sono infiniti, le cifre sono solo dieci, sono
i 10 simboli (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) che costituiscono i dieci numeri (con una sola cifra) che vanno da 0 a 9.
I numeri più grandi del 9 si scrivono seguendo queste tre regole [ a), b) e c) ]:
a)
-
Dieci unità formano una decina;
(10)
Dieci decine formano un centinaio;
(100)
Dieci centinaia (mille unità) formano un migliaio;(1.000; in inglese thousand 1,000)
Dieci migliaia formano una decina di migliaia;
(10.000; in inglese 10,000)
Dieci decine di migliaia formano un centinaio di migliaia; (100.000; in inglese 100,000)
-
Dieci centinaia di migliaia (mille migliaia) formano un milione; (1.000.000; inglese million 1,000,000)
-
Dieci milioni formano una decina di milioni;
Dieci decine di milioni formano un centinaio di milioni;
(10.000.000; in inglese 10,000,000)
(100.000.000; in inglese 100,000,000)
-
Dieci centinaia di milioni (mille milioni) formano un miliardo (1.000.000.000; in inglese billion 1,000,000,000)
-
Dieci miliardi formano una decina di miliardi;
(10.000.000; in inglese 10,000,000)
Dieci decine di miliardi formano un centinaio di miliardi; (100.000.000; in inglese 100,000,000)
-
Dieci centinaia di miliardi (mille miliardi) formano un trilione (1.000.000.000.000; in inglese trillion 1,000,000,000,000)
b)
Il valore attribuito alle cifre che formano il numero dipende dalla loro posizione: la cifra più a
destra indica le unità, quella alla sua sinistra le decine, la terza da sinistra le centinaia, poi le
migliaia ecc.
Riprendiamo il numero 755, formato dalle tre cifre “7”, “5” e “5”; in esso il valore del 5 più a
destra è di 5 unità, quello della cifra al centro del numero è di 5 decine ( = 50), mentre il 7 vale 7
centinaia (= 700). Facendo la somma dei valori delle tre cifre (5 + 50 + 700) si ottiene il valore del
numero (755).
c)
Quando il numero è composto da quattro o più cifre, per facilitarne la lettura lo si scompone
in gruppi di tre cifre, da destra a sinistra, separando con uno spazio o un puntino un gruppo
dall’altro. Così, ad esempio, il numero degli abitanti in Cina ( 1356268702 ) è più facilmente
leggibile se viene scritto così ( 1 356 268 702 ) oppure con il puntino separatore delle migliaia:
1.351.268.702 (un miliardo trecentocinquantaseimilioni duecentosessantottomila settecentodue).
Attenzione: alcune calcolatrici evidenziano i numeri usando, per separare i gruppi, non il puntino
ma la virgola, e questo perché nei paesi anglosassoni le funzioni del punto e della virgola sono
invertite rispetto ai nostri usi. Ecco perché, nelle calcolatrici così come nelle tastiere dei P.C., il
tasto della virgola è segnalato con un puntino. Ri-attenzione: quando il risultato del calcolo è un
numero molto grande, molte calcolatrici lo evidenziano in una forma strana, la cosiddetta
“notazione scientifica”. Con la vostra calcolatrice provate, ad esempio, a moltiplicare 1.000.000 per
30.000: a meno che sul display appaia “error” (perché il risultato è costituito da un numero composto da più
10
di 9 cifre e la vostra calcolatrice è troppo “piccola” ), è probabile che come risultato appaia 3 oppure 3E10
o qualcosa di analogo. Il significato è 3 seguito da 10 zeri, cioè 30.000.000.000 (trenta miliardi).
1
forma italiana
nome
italiano
forma inglese
1
unità
1
nome
inglese
forme scientifiche
100
10^0
1E0
1
10^1
1E1
10
10
10
100
100
102
10^2
1E2
103
10^3
1E3
1.000
mille
1,000
thousand
10.000
10,000
104
10^4
1E4
100.000
100,000
105
10^5
1E5
106
10^6
1E6
1.000.000
milione
1,000,000
million
10.000.000
10,000,000
107
10^7
1E7
100.000.000
100,000,000
108
10^8
1E8
109
10^9
1E9
10
10^10
1E10
1.000.000.000
miliardo
1,000,000,000
billion
10.000.000.000
10,000,000,000
10
100.000.000.000
100,000,000,000
1011
10^11
1E11
1012
10^12
1E12
1.000.000.000.000
trilione
1,000,000,000,000
trillion
Fino a ora abbiamo visto numeri “interi”. Se però dividiamo una unità per un qualsiasi
numero (che sia però diverso da 1 e da 0) otteniamo un numero “con la virgola”; in particolare:
se dividiamo una unità in 10 parti uguali otteniamo
1/10
un decimo
0,1;
se dividiamo una unità in 100 parti uguali otteniamo 1/100 un centesimo
0,01;
se dividiamo una unità in 1.000 parti uguali otteniamo 1/1.000 un millesimo
0,001; ecc.
Nel caso capitassero numeri compresi fra 0 e 1 e con solo l’ultima cifra diversa da zero, per
facilitarne la lettura potete ricorrere a questo sistema: per rendersi conto se il numero esprime
decimi o centesimi o millesimi ecc. contate gli zeri, compreso quello prima della virgola. Ad
esempio: 0,000003 presenta sei zeri, gli stessi di un milione. Il numero quindi è leggibile come 3
milionesimi. Oppure: 0,009 si legge 9 millesimi (essendoci tre zeri come nelle migliaia); oppure ancora:
0,04 (con due zeri come le centinaia) si legge quattro centesimi ecc.
Le cifre decimali si scrivono alla destra delle unità intere e sono da queste separate da una
virgola. Attenzione: come ho già scritto più sopra, alcune calcolatrici adottano il modo inglese e
quindi separano le cifre decimali dalle unità intere con un puntino al posto della virgola. Controlla
la tua calcolatrice: scrivi, ad esempio, 40000 ÷ 7 (quarantamila diviso sette) e guarda se il risultato
appare al modo nostro (5.714,28571…) oppure nella forma anglosassone (5,714.28571…).
Che sia scritto in un modo o nell’altro, il numero 5.714,285… ha come parte intera 5.714 e
come parte decimale 285… . Il valore di queste cifre è il seguente:
5
7
migliaia centinaia
1
decine
4
, 2
8
5
unità decimi centesimi millesimi
Per leggere il numero si comincia con la parte intera e si fa poi seguire la parte decimale
aggiungendo il nome delle unità decimali dell’ultima cifra: cinquemilasettecentoquattordici e
duecentottantacinque millesimi (o, anche, virgola duecentottantacinque).
Ricordati: un numero decimale rimane invariato se a destra dell’ultima cifra decimale
si aggiungono solo uno o più zeri (12,34 = 12,340 = 12,34000 = 12,3400000000000000000000)
2
2) La moltiplicazione.
Sperando che tutti conosciate, abbiate capito e sappiate fare somme e sottrazioni, prima di
parlare della divisione faccio solo un accenno alla moltiplicazione, che è un’applicazione
particolare della somma; infatti:
moltiplicare un numero per un altro significa sommare uno dei due con
sé stesso per un numero di volte pari all’altro.
Ad esempio, moltiplicare 7 × 4 significa sommare 4 volte il 7 o anche 7 volte il 4:
7x4 = 7 + 7 + 7 + 7
oppure anche 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28
3) La divisione.
Anche la divisione può essere considerata un’applicazione particolare della somma; infatti:
dividere un numero per un altro significa trovare quante volte bisogna
sommare il secondo numero per se stesso per arrivare al primo.
Ad esempio: trovare il risultato di “20 diviso 5” (e, in simboli, si può scrivere sia 20 : 5 che 20 / 5
o anche 20 ÷ 5 ) significa trovare quante volte occorre sommare 5 per arrivare a 20
(e cioè trovare 4).
Infatti: 5 + 5 + 5 + 5 = 20 (4 volte 5 = 20).
Ecco perché 20 / 5 = 4
Questo spiega, tra l’altro, perché il risultato della divisione di un numero per un altro più
piccolo di 1 (ma maggiore di 0) è un numero più grande di quello di partenza.
Ad esempio: 5 / 0,2 = 25 in quanto per arrivare a 5 devo sommare un sacco di volte (25 volte)
il piccolo numero 0,2;
e così ancora, se con la calcolatrice provate a fate: 120 / 0,001 troverete
come risultato 120.000 in quanto per arrivare a 120 bisogna sommare 120.000 volte il numero
(piccolissimo) 0,001 (un millesimo).
Ecco perché si può anche dire che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione:
dividere per un numero è la stessa cosa che moltiplicare per l’inverso del numero
1
Ad esempio: 120 ÷ 0,001 = 120 × 1.000 e ciò perché
-----------------------------------------------------
(0,001 cioè un millesimo) è l’inverso di 1.000.
1.000
1
E così ancora: 8 ÷ 5 = 8 ×
-----------------------
(un quinto è l’inverso di 5); 60 ÷ 2 = 60 × ½ (un mezzo è l’inverso di 2) ecc.
5
Ricordatevi:
30
io uso indifferentemente tutte queste forme: 30 : 5
---------------------------------------------
5
1
30 ÷ 5
30 / 5
30 ×
------------------------
5
così come per indicare l’operazione di moltiplicazione uso indifferentemente “×” e l’asterisco * o, in
presenza di lettere, anche nessun simbolo (a x b = a*b = ab)
3
4) L’uso della calcolatrice.
3.1) I calcoli in sequenza.
Spero che tutti sappiate fare, con la calcolatrice, questa operazione: 45 × 22 (= 990), e anche
questa: 1.836 ÷ 36 (= 51).
Ancora nessun problema dovreste avere con questo calcolo: 21,5 × 12 × 7 (= 1.806), e anche
35 × 0,78 × 5
con questo:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(= 11,375) .
12
30 × 5,6
Provate ora con questo:
---------------------------------------------
;
12 × 1,25
è probabile che qualcuno di voi abbia prima moltiplicato 30 × 5,6 e scritto da qualche parte il
risultato (168) e poi abbia fatto 12 ×1,25 memorizzando anche questo risultato (15), e infine abbia
calcolato 168 ÷ 15 trovando così il risultato finale corretto (11,2).
Chi avesse fatto in questo modo avrebbe sprecato un po’ di tempo e rischiato inutilmente di
commettere qualche errore nello scrivere i risultati parziali del numeratore e del denominatore
(rispettivamente 168 e 15).
Il modo più efficace di fare i calcoli con la calcolatrice quando sono presenti solo
moltiplicazioni e divisioni (e non ci sono, quindi, anche somme o sottrazioni) è fare tutte le operazioni di
seguito, senza trascrivere alcun risultato parziale. Il calcolo, cioè, può essere fatto digitando in
questa sequenza: 30 × 5,6 ÷ 12 ÷ 1,25 (oppure anche quest’altra: 30 ÷ 1,25 × 5,6 ÷ 12 o anche 5,6 ÷ 12 ÷
1,25 × 30 o qualsiasi altra combinazione che veda il 30 e il 5,6 agire come fattori e il 12 e l’1,25 funzionare da divisori)
e il risultato è sempre corretto (11,2); in caso di presenza di sole moltiplicazioni e divisioni l’ordine
con cui si effettuano le operazioni è ininfluente.
Attenzione! Sia il 12 che l’1,25 sono dei divisori (sono al denominatore della frazione), e quindi
prima di essi occorre digitare il tasto ÷ .
Digitando, invece, 30 × 5,6 ÷ 12 × 1,25 si commetterebbe un errore grossolano. In questo
modo si moltiplicherebbe per 1,25 anziché dividere per quel numero, arrivando così al risultato
sbagliato di 17,5. Il risultato corretto è 11,2 e se a qualcuno è risultato 17,5 (o altro) ha sbagliato.
Quando in un calcolo ci sono, oltre a moltiplicazioni e divisioni, anche delle somme o delle
sottrazioni, l’ordine con cui si fanno le operazioni fa cambiare il risultato. In assenza di parentesi,
le moltiplicazioni e le divisioni hanno la precedenza sulle somme e sulle sottrazioni.
Ad esempio, in “10 + 6 × 5 – 3” prima si moltiplica 6 × 5 e poi si fa il resto (+ 10 e – 3 o anche
prima – 3 e dopo + 10) (R. 37); a meno che non abbiate una calcolatrice particolare, digitare i tasti
nell’ordine in cui i calcoli appaiono porta a un risultato sbagliato (schiacciando i tasti con questo ordine:
“10 + 6 × 5 – 3” il visore di una calcolatrice “normale” segnala un risultato di 77).
8 + 4 × 2,5
Nel caso di calcoli come, ad esempio, questo
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
in cui, oltre a moltiplicazioni e
3 × 9 – 14,5
divisioni, ci sono anche somme o sottrazioni, è inevitabile dover scrivere o memorizzare dei risultati
parziali (a meno di avere e di saper usare una calcolatrice “sofisticata”, ad esempio con le parentesi).
4
Nell’esempio appena fatto alla fine della pagina precedente, se si ha una calcolatrice
“normale” si deve procedere in questo modo:
4 × 2,5 + 8 (Rparz.1: 18); 3 × 9 – 14,5 (Rparz.2: 12,5); → 18 ÷ 12,5 = 1,44
Fare, quando è possibile, i calcoli in sequenza (cioè, lo ripeto, senza interrompere la digitazione sulla
permette spesso di arrivare al risultato finale preciso; se
invece si interrompe la digitazione sulla calcolatrice per scrivere uno o più risultati parziali si arriva
a un risultato finale non del tutto corretto ogni volta che il risultato parziale è un numero con molte
cifre decimali (= molte cifre dopo la virgola).
calcolatrice per scrivere dei risultati parziali)
5 ÷ 17
Provate, ad esempio, a fare questo calcolo:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
.
Il risultato corretto è 218,837535… ;
0,112 × 0,012
Se, invece di fare i calcoli in sequenza, avete annotato anche solo un risultato parziale per poi
riscriverlo e arrivare al finale, allora avreste potuto arrivare al risultato esatto solo prestando molta
attenzione nel ricopiare tutte le cifre decimali.
5 ÷ 17 + 4 ÷ 6
Provate ora a fare questo calcolo:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
.
Il risultato corretto è 2,385694685… ;
3 ÷ 11 + 0,13
A differenza dell’esempio di prima, qui non è possibile (a meno, come già detto, di avere una calcolatrice
con le parentesi e di saperla usare) fare tutti i calcoli in sequenza, e quindi è quasi inevitabile utilizzare
dei risultati parziali, un po’ come è inevitabile interrompere i lunghi viaggi procedendo per tappe
lungo il percorso.
Attenzione! Quando scrivete i risultati parziali dovete ricopiare tutte le loro (eventuali) cifre decimali
Se non lo fate rischiate di arrivare a un risultato finale impreciso in misura tale da non poter
essere accettato come valido. Provate a fare gli ultimi due esempi limitandovi a riportare solo tre
cifre decimali e constaterete (= verificherete, vi accorgerete) quanto ho appena scritto.
Queste ultime righe ci portano a parlare del prossimo argomento.
3.2) Gli arrotondamenti.
Capita spesso che il risultato di un calcolo sia un numero con molte cifre decimali, non di
rado addirittura infinite; ad esempio: 18 ÷ 7 = 2,571428571 …
E’ chiaro che in casi come questi è necessario interrompere, presto o tardi, la scrittura delle
cifre decimali. Ad esempio, quando si esprimono dei valori monetari ci si limita quasi sempre alla
seconda cifra decimale (cioè ci si ferma al centesimo, come 13,75 € (euro) o 99,99 $ (dollari) o 4,20 CHF (franchi svizzeri)).
Ogni volta che non si scrivono tutte le cifre decimali, però, si commette un errore più o
meno grande; nell’esempio di prima (18 ÷ 7 = 2,571428571 …), se mi limito a scrivere una sola cifra
dopo la virgola (2,5) scrivo un numero che è inferiore di oltre 0,071 (cioè di oltre 71 millesimi) al
risultato corretto dell’operazione; e se proseguo fino alla seconda cifra (scrivendo 2,57) commetto
(= faccio) un errore certamente inferiore (poco più grande di 0,001 cioè di un millesimo) ma continuo
comunque a non esprimere il risultato corretto.
5
Insomma, spesso è opportuno (o addirittura necessario) togliere una o più cifre finali a un numero,
ed è chiaro che in questo modo il numero cambia e quindi è inevitabile commettere un errore. Una
volta deciso il numero di cifre decimali da indicare occorre, però, commettere l’errore più piccolo, e
per fare questo bisogna imparare ad arrotondare (si dice anche ad “approssimare”) i numeri nel
modo giusto, quello appunto che minimizza (= fa diventare più piccolo possibile) l’errore.
.
arrotondare significa commettere l’errore minore.
Non ci si può limitare a troncare (a cancellare, a non scrivere) le cifre decimali successive a
quelle che si è stabilito di conservare, bisogna anche verificare se l’ultima cifra decimale deve o no
essere modificata.
Rimanendo all’esempio di prima (18 ÷ 7 = 2,57142 …), se si scrive il risultato fermandosi alla
prima cifra decimale (si dice anche “approssimando” alla prima cifra decimale o “approssimando” al decimo),
occorre scrivere 2,6 e non 2,5 !
Infatti, scrivendo 2,5 si fa un errore maggiore; si indica un valore inferiore a quello corretto
di oltre 7 centesimi (2,5714... meno 2,5 = 0,07142 ...), mentre se si scrive 2,6 l’errore (2,6 meno 2.5714 =
0,02858 …) è di meno di 3 centesimi, cioè meno della metà di prima; scrivendo 2,6 si è perciò ridotto
l’errore.
Quando si arrotonda indicando un valore superiore al reale si dice che “si approssima (o si
per eccesso”, quando invece si arrotonda riportando un numero inferiore a quello preciso,
allora si dice che si è scritto un numero “approssimato (o arrotondato) per difetto”.
arrotonda)
Quando l’approssimazione per eccesso e quella per difetto causano un errore esattamente
uguale, allora stabiliamo di arrotondare per eccesso. Così se nel calcolo 2.121,025 ÷ 1.850 vi dico
di approssimare il risultato (1,1465) alla terza cifra decimale, voi dovrete scrivere 1,147 e non 1,146
A meno che non vi siano date indicazioni diverse (= a meno che non vi venga detto di fare diversamente), nei
calcoli e nei problemi che farete dovrete scrivere i risultati numerici arrivando almeno fino alla
seconda cifra decimale. Quindi, se vi chiedessi di determinare quanto ho pagato al litro il gasolio
sapendo che ho speso 77,40 € per comprarne 50 litri, (77,40 ÷ 50 = 1,548 €/l):
- se vi dico di arrotondare alla seconda cifra decimale voi dovete indicare 1,55 €/l
(approssimando perciò in eccesso per commettere un errore di + 2 millesimi; se, invece, scriveste 1,54
approssimando per difetto, fareste un errore di – 8 millesimi, il quadruplo dell’errore precedente, e io vi boccerei);
- se vi dico di arrotondare alla prima cifra decimale voi dovete scrivere il risultato 1,5 €/l
(arrotondando questa volta in difetto per commettere un errore di – 48 millesimi che è più piccolo dell’errore, di +
52 millesimi che si farebbe arrotondando per eccesso a 1,6);
- se vi dico di arrotondare all’unità intera dovete scrivere 2 (con un errore di 0,452 e cioè 452 millesimi)
e non 1 (perché in questo caso l’errore sarebbe di 0,548 o 548 millesimi e quindi maggiore di prima)
- se vi dico nulla sulle cifre decimali da tenere, allora voi potete sia scrivere 1,548 €/l, senza
approssimare il risultato, sia arrotondare alla seconda cifra decimale, e però dovete
arrotondare correttamente e scrivere quindi 1,55 e non 1,54. Scrivendo 1,5 questa volta
sbagliereste (nonostante l’arrotondamento fatto alla prima cifra sia quello giusto ) perché la nostra regola è
di tenere, quando non ci sono indicazioni diverse, almeno due cifre dopo la virgola.
6