Curve in R - Matematicamente

Gianni Sammito
Appunti di Analisi II
Curve in Rn
Generalmente ci sono due modi per descrivere una curva in Rn , ovvero è possibile scrivere un’equazione parametrica o un’equazione cartesiana.
Esempio: una retta in R2 può essere descritta in due modi.
Supponiamo che tale retta passi per P = (1, 2) e sia parallela al vettore (3, 1), allora
p(t) = (1, 2) + t(3, 1) =⇒ p(t) = (1 + 3t, 2 + t) t ∈ R
Ponendo x(t) = 1 + 3t, y(t) = 2 + t è possibile scrivere l’equazione parametrica della retta
½
x(t) = 1 + 3t
y(t) = 2 + t
Ricavando t = y − 2 dalla seconda equazione e sostituendo tale valore nella prima si arriva a
x − 3y + 5 = 0
che rappresenta l’equazione cartesiana della retta in forma implicita.
Esempi: si consideri una circonferenza di centro (x0 , y0 ) e raggio R > 0.
L’equazione parametrica di tale circonferenza è
½
x(t) = x0 + R cos(t)
y(t) = y0 + R sin(t)
t ∈ [0, 2π]
2
2
Invece l’equazione cartesiana della circonferenza è (x − x0 ) + (y − y0 ) = R2 .
Curve parametrizzate
Una curva in Rn è parametrizzabile se si può esprimere tramite una funzione che ha come dominio un sottointervallo di R e come codominio Rn .
Definizione: sia C ⊂ Rn . C si dice curva parametrizzabile se esiste una funzione r : I → C
(I ⊂ R è un intervallo) tale che
1. r è continua
2. r è suriettiva
Se r è iniettiva la curva si dice semplice. Supponiamo che I = [a, b], se r(a) = r(b), ovvero se il
punto iniziale e quello finale coincidono, allora la curva si dice chiusa.
Esempio: le traiettorie di punti in cinematica sono curve la cui parametrizzazione è data dalla
legge oraria.
Esempi:
1
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1. Si consideri la seguente parametrizzazione
½
x(t) = a cos(t)
y(t) = b sin(t)
Dato che
e b.
¡ x ¢2
a
+
¡ y ¢2
b
t ∈ [0, π],
a, b ∈ R+
= 1 si nota che la curva sta su un’ellisse con semiassi di lunghezza a
Figura 1: Rappresentazione grafica della curva parametrizzata
La parametrizzazione proposta copre solo la semiellisse superiore perché il parametro t
varia fra 0 e π.
2. Un altro esempio di curva parametrizzabile è l’elica cilindrica, che ha equazione

 x(t) = R cos(t)
y(t) = R sin(t)
r(t) = (R cos(t), R sin(t), t) =
t∈R

z(t) = t
2
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Figura 2: Elica cilindrica
Dalle prime due equazioni si ottiene x2 + y 2 = R2 , pertanto, visto che z è un qualunque
numero reale, tale elica si avvolge attorno ad un cilindro con raggio di base pari a R.
3. Grafici di funzioni f : I → R, con I ⊆ R. Una curva di questo tipo si parametrizza
facilmente mediane le relazioni
½
x(t) = t
t∈I
y(t) = f (t)
4. Grafico di f : R → R : x 7→ |x|
Figura 3: Grafico di f (x) = |x|
Questa funzione si può parametrizzare in questo modo
½
x(t) = t
t∈R
y(t) = |t|
Notare che nell’origine questa funzione presenta un brusco cambiamento
5. Un’altra curva parametrizzabile è l’asteroide. Queste sono le relazioni che definiscono
l’asteroide
½
x(t) = cos3 (t)
t ∈ [0, 2π]
y(t) = sin3 (t)
3
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Figura 4: Asteroide
Anche in questo caso si può vedere come nei quattro vertici la tangente alla curva cambi
bruscamente
Definizione: una curva parametrica r : I → Rn si dice regolare se
1. r è differenziabile in I
2. r0 (t) =
d
dt
(r(t)) sia diverso dal vettore nullo in tutti i punti di I
Se
allora r0 (t) =

x1 (t)



 x2 (t)
r(t) =
..

.



xn (t)
d
dt
(r(t)) è cosı̀ definito
r0 (t) =





d
dt x1 (t)
d
dt x2 (t)
d
(r(t)) =
..

dt
.


 d
dt xn (t)
d
(r(t)), ma il punto r(t) non
Quindi non solo r deve essere derivabile e avere una “velocità” dt
deve mai fermarsi.
Nel caso della funzione f (x) = |x| in 0 c’è un punto angoloso visto che il punto si ferma nell’origine
per ripartire in un’altra direzione.
Il vettore r0 (t) si chiama vettore tangente alla curva. Se la curva considerata è regolare allora
r0 (t) è sempre diverso dal vettore nullo, e in questo caso si può definire cosı̀ come segue il versore
tangente alla curva.
r0 (t)
t∈R
τ (t) = 0
kr (t)k
4
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Esempio: si consideri un’asteroide secondo la parametrizzazione introdotta precedentemente,
allora
½ 0
x (t) = 3 cos3 (t) (− sin(t))
r0 (t) =
t ∈ [0, 2π]
y 0 (t) = 3 sin2 (t) cos(t)
Risulta r0 (t) = (0, 0) per t = 0, π2 , 32 π, 2π. In questi punti, che coincidono con i quattro vertici
dell’asteroide, viene a mancare il versore tangente.
Definizione: se r(t) e regolare ∀t ∈ I eccetto che in un numero finito di punti t1 , t2 , . . . , tk ∈ I,
allora r(t) si dice regolare a tratti.
Esempio: si consideri, come curva parametrizzabile, il grafico di una funzione f : I → R
½
x(t) = t
r(t) =
t∈I
y(t) = f (t)
r(t) è regolare se f è derivabile. r0 (t) = (1, f 0 (t)), pertanto il vettore tangente è diverso da (0, 0)
per ogni t ∈ I, dato che la prima componente è 1.
p
Quindi se f è derivabile allora r(t) è una curva regolare, dato che kr(t)k = 1 + [f 0 (t)]2 , allora
il versore tangente alla curva è
!
Ã
f 0 (t)
1
,p
τ (t) = p
1 + [f 0 (t)]2
1 + [f 0 (t)]2
Curve in forma implicita in R2
Per curve in forma implicita in R2 si intendono insiemi di livello di funzioni f : A → R, con
A ⊆ R2 .
Esempio: data la funzione f : R2 → R : (x, y) 7→ x2 − y 2 , l’insieme {f = 0} ha equazione
cartesiana x2 = y 2 , ed è raffigurato in Figura 5
Quindi questo insieme di livello, almeno negli intorni dell’origine, non rappresenta una curva. Il
gradiente di f vale ∇f (x, y) = (2x, −2y), pertanto l’origine è un punto critico di f .
Esempio: consideriamo l’asteroide, che ha questa equazione parametrica
½
x(t) = cos3 (t)
r(t) =
t ∈ [0, 2π]
y(t) = sin3 (t)
p
p
p
p
Dato che cos(t) = 3 x(t) e sin(t) = 3 y(t), allora 1 = 3 x2 (t) + 3 y 2 (t), pertanto l’asteroide sta
sull’insieme di livello
2
2
x3 + y3 = 1
2
2
Il gradiente della funzione f (x, y) = x 3 + y 3 è
µ
∇f (x, y) =
2
2
√ , √
33x 33y
¶
Il gradiente è sempre diverso dal vettore nullo, però non è definito nei punti in cui x = 0 oppure
y = 0. E difatti i punti non regolari dell’asteroide sono proprio (0, ±1), (±1, 0).
Esempio: consideriamo l’iperbole equilatera di equazione cartesiana x2 − y 2 = 1
Questa iperbole è l’insieme di livello {f = 1} della funzione f (x, y) = x2 − y 2 . Il gradiente di
questa funzione è
∇f (x, y) = (2x, −2y)
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Figura 5: Grafico associato all’insieme di livello {f = 0}
che si annulla in (0, 0), ma stavolta questo punto non appartiene all’insieme di livello sull’iperbole, pertanto non ci sono punti critici di f in {f = 1}.
Teorema: sia f : A → R, con A ⊂ Rn aperto, e f ∈ C 1 (A). Prendiamo l ∈ R e supponiamo che
1. l’insieme di livello {f = l} non sia vuoto
2. nell’insieme {f = l} non ci siano punti critici di f (ovvero ∇f (x) 6= O per ogni x ∈ {f = l})
Allora l’insieme di livello {f = l} è una curva regolare.
Resta ora da vedere come si deriva la composizione di f : A → R con r : I → A.
Esempio: consideriamo la funzione f : R2 → R : (x, y) 7→ x3 + 3xy 2 + y 4 . Le derivate parziali
sono pari a
∂f
∂f
(x, y) = 6xy + 4y 3
(x, y) = 3x2 + 3y 2
∂y
∂x
Allora risulta
f (r(t)) = f (x(t), y(t)) = x3 (t) + 3x(t)y 2 (t) + y 4 (t)
d
f (r(t)) = 3x2 (t)x0 (t) + 3y 2 (t)x0 (t) + 6x(t)y(t)y 0 (t) + 4y 3 (t)y 0 (t)
dt
in quanto la variabile rispetto alla quale si deriva è t. Mettendo in evidenza i termini x0 (t) e y 0 (t)
si ottiene
¡
¢
¡
¢
d
f (x(t), y(t)) = 3x2 (t) + 3y 2 (t) x0 (t) + 6x(t)y(t) + 4y 3 (t) y 0 (t) =
dt
=
dy(t)
dx(t) ∂f
∂f
=
(x(t), y(t))
+
(x(t), y(t))
dt
∂y
dt
∂x
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Figura 6: Iperbole equilatera
¿µ
À
¶
À ¿
dr(t)
∂f
∂f
(r(t)) , (x0 (t), y 0 (t)) = ∇ (r(t)) ,
(r(t)) ,
dt
∂y
∂x
Teorema (Chain rule): sia A ⊂ Rn un insieme aperto, sia f : A → R, con f ∈ C 1 (A), e
r : I → A, con I sottointervallo di R una funzione derivabile. Chiamando con
x1 , x2 , . . . , xn
le variabili della f , e supponendo che
r(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t))
allora la composizione f ◦ r : I → R : t 7→ f (r(t)) è derivabile, e
À
¿
dr(t)
d
[f (r(t))] = ∇f (r(t)) ,
dt
dt
che equivale a
n
X
dxi (t)
∂f
(x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) ·
dt
∂xi
i=1
Verifichiamo che se {f = l} è regolare allora il gradiente è perpendicolare al vettore tangente alla
curva {f = l}.
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Consideriamo una parametrizzazione di {f = l} e supponendo di avere un punto (x(t), y(t)) che
si muove sull’insieme di livello, ovvero che
(x(t), y(t)) ∈ {f = l} ∀t ∈ I
e quindi
f (x(t), y(t)) = l
∀t ∈ I
La funzione che associa t 7→ f (x(t), y(t)) è una funzione di una variabile costante, pertanto la
sua derivata vale zero. Però usando la Chain rule
d
f (x(t), y(t)) = h∇f (x(t), y(t)) , (x0 (t), y 0 (t))i = 0
dt
Ma (x0 (t), y 0 (t)) è proprio il vettore tangente alla curva, pertanto, visto che ha prodotto scalare
nullo con il gradiente, è stato verificato che gradiende e vettore tangente alla curva sono ortogonali
per ogni t ∈ I.
Questo articolo è stato realizzato grazie alla supervisione di Luca Lussardi.
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