Curva algebrica reale di A2 (R) (E (R)) Def. Si dice curva algebrica

Curva algebrica reale di A2(R) (E2(R))
Def. Si dice curva algebrica reale di A2(R)
(E2(R)) l’insieme dei punti del piano le cui
coordinate, in un fissato riferimento, soddisfano un’equazione f (x, y) = 0 ottenuta annullando un polinomio a coefficienti reali, non
costante, nelle variabili x, y. Il grado di f (x, y)
si dice ordine della curva. Se il polinomio
f (x, y) si riduce in fattori non banali, la curva C : f (x, y) = 0 si dice riducibile e ogni
fattore, uguagliato a zero, rappresenta una
curva detta componente di C.
Es. La C : (x2 + y 2 − xy + 1)(x + y)(2x − 3) = 0
è una curva reale algebrica di ordine 4. La
curva C è riducibile e C1 : x2 + y 2 − xy + 1 = 0,
C2 : x + y = 0, C3 : 2x − 3 = 0 sono le curve
componenti di C, cioè C = C1 ∪ C2 ∪ C3.
La C 0 : x3 + y − 3 = 0 è una curva algebrica
reale irriducibile di ordine 3.
Superficie algebrica reale di A3(R)
(E3(R))
Def. Si dice superficie algebrica reale di A3(R)
(E3(R)) l’insieme dei punti dello spazio le cui
coordinate, in un fissato riferimento, soddisfano un’equazione f (x, y, z) = 0 ottenuta annullando un polinomio a coefficienti reali, non
costante, nelle variabili x, y, z. Il grado di
f (x, y, z) si dice ordine della superficie. Se
il polinomio f (x, y, z) si riduce in fattori non
banali, la superficie S : f (x, y, z) = 0 si dice
riducibile e ogni fattore, uguagliato a zero,
rappresenta una superficie detta componente
di S.
Es. La S : (x2 + y 2 − 1)(x + z)(y − 1) = 0 è
una superficie reale algebrica di ordine 4. La
superficie S è riducibile e S1 : x2 + y 2 − 1 = 0,
S2 : x + z = 0, S3 : y − 1 = 0 sono le superfici
componenti di S, cioè S = S1 ∪ S2 ∪ S3.
La S 0 : x5 + y 3 − z 2 − 2 = 0 è una superficie
algebrica reale irriducibile di ordine 5.
Curva algebrica reale di A3(R) (E3(R))
Def. Si dice curva algebrica reale di A3(R)
(E3(R)) l’insieme dei punti dello spazio le cui
coordinate, in un fissato riferimento, soddisfano un sistema formato dalle equazioni di
due (o più) superfici che in essa si intersecano.
Es.1 La S1 : x2 + y 2 + z 2 − 4 = 0 è una superficie reale algebrica irriducibile di ordine
2.
Es.2 La S2 : x2 − 1 = 0 è una superficie reale
algebrica riducibile di ordine 2.

x2 + y 2 + z 2 − 4 = 0
Es.3 La C :
x2 − 1 = 0
è una
curva reale algebrica e risulta C = S1 ∩ S2.
Coni e cilindri di A3(R) (E3(R))
Def. Si dice cono la superficie reale algebrica
di A3(R) (E3(R)) luogo delle rette che proiettano i punti di una curva algebrica reale
piana, detta direttrice, da un punto V detto
vertice.
Def. Si dice cilindro la superficie reale algebrica di A3(R) (E3(R)) luogo delle rette che
proiettano i punti di una curva algebrica reale
piana, detta direttrice, in una assegnata direzione [(l, m, n)] detta vertice improprio.
Coniche
Def. In A2(R) (E2(R)), si dice conica una
curva reale algebrica di ordine 2.
equazione generale di una conica: (*) a11x2 +
2a12xy + a22y 2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0


a11 a12 a13


N.B. La matrice A = a12 a22 a23 è detta
a13 a23 a33
matrice della conica e la (*) è equivalente
alla

x
 
forma matriciale x y 1 A  y  = 0
1
Es. In A2(R) determinare la matrice della conica C : x2 + 3xy − y 2 − 3x + 4y = 0.
Equazione di una conica irriducibile:
forma canonica. Iperbole
Def. Si dice iperbole il luogo geometrico dei
punti di E2(R) la differenza delle cui distanze
da due punti fissati, detti fuochi è costante.
x2 y 2
forma canonica dell’equazione: 2 − 2 = 1
a
b
V1 = (−a, 0) e V2 = (a, 0) sono detti vertici;
F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) sono i fuochi;
t1 : y = ab x e t2 : y = − ab x sono dette asintoti;
O = (0, 0) è detto centro;
a1 : y = 0 è detto asse trasverso;
a2 : x = 0 è detto asse non trasverso.
Equazione di una conica irriducibile:
forma canonica. Ellisse
Def. Si dice ellisse il luogo geometrico dei
punti di E2(R) la somma delle cui distanze
da due punti fissati, detti fuochi è costante.
x2
y2
forma canonica dell’equazione: 2 + 2 = 1
a
b
V1 = (−a, 0), V2 = (a, 0), V3 = (0, −b) e V4 =
(0, b) sono detti vertici;
F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) sono detti fuochi;
O = (0, 0) è detto centro;
a1 : y = 0 è detto asse maggiore;
a2 : x = 0 è detto asse minore
Equazione di una conica irriducibile:
forma canonica. Parabola
Def. Si dice parabola il luogo geometrico dei
punti di E2(R) che hanno ugual distanza da
un punto fissato, detto fuoco, e da una retta
fissata, detta direttrice, che non contiene il
fuoco.
2
forma
canonica
dell’equazione:
y
=
ax
1
F = 0, 4a è il fuoco;
1 è la direttrice;
d : y = − 4a
O = (0, 0) è detto vertice;
a1 : y = 0 è detta asse;
a2 : x = 0 è la tangente nel vertice.
Equazione di una conica irriducibile
 
x
 
Data la conica C : x y 1 A  y  = 0, è utile
1
sapere che:
• |A| 6= 0 ⇔ C è irriducibile


= 0 ⇔ C è una parabola

a

a • |A∗| = 11 12 < 0 ⇔ C è un’iperbole
a12 a22 


> 0 ⇔ C è un’ellisse
Iperbole ed Ellisse

• centro C :
a
11 x + a12 y + a13 = 0
a
12 x + a22 y + a23 = 0
• direzioni degli assi : [(l, m)] tali che
a12l2 + (a22 − a11)lm − a12m2 = 0
N.B. Gli assi di una conica sono rette passanti
per il centro.
Parabola
 
x
 
• asse a : a11 a12 0 A  y  = 0
1
• vertice V = a ∩ C
Equazione di una conica irriducibile:
riduzione in forma canonica
In E2(R) con un RC, è data
la conica ir
x
 
riducibile C : x y 1 A  y  = 0. È sempre
1
possibile determinare un riferimento cartesiano
ortogonale monometrico R0C rispetto al quale
l’equazione di C si possa ridurre in forma canonica.
Iperbole o Ellisse
Si assumono come origine di R0C il centro
della conica e come assi coordinati i suoi assi.
Parabola
Si assumono come origine di R0C il vertice
della parabola e come assi coordinati l’asse
della parabola e la tangente nel vertice.
Quadriche
Def. In A3(R) (E3(R)), si dice quadrica una
superficie reale algebrica di ordine 2.
equazione generale di una quadrica: (*) a11x2+
a22y 2 + a33z 2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz +
2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0


a11 a12 a13 a14

a
 12 a22 a23 a24
N.B. La matrice A = 
 è
a13 a23 a33 a34
a14 a24 a34 a44
detta matrice della quadrica
 e la (*) è equivx
y 
 
alente alla x y z 1 A   = 0
z 
1
Es. In A2(R) determinare la matrice della quadrica C : x2 + y 2 + 2z 2 − 3xz + 4yz + 2 = 0.
Tipi di quadriche
1. riducibili : si riducono nell’unione di due
piani non necessariamente distinti.
2. coni e cilindri : luogo delle rette che proiettano i punti di una conica irriducibile, detta
direttrice, da un punto (il cono) o in una direzione (il cilindro) non appartenenti al piano
della direttrice.
Equazioni canoniche
ax2 + by 2 + cz 2 = 0,
x2
y2
+ 2 = 1,
a2
b
2
y2
x
− 2 = 1,
a2
b
y = ax2 ,
con a, b, c 6= 0
con a, b 6= 0
con a, b 6= 0
con a 6= 0
cono
cilindro
ellittico
cilindro
iperbolico
cilindro
parabolico
3. generali : sono gli ellissoidi, gli iperboloidi
e i paraboloidi.
Equazioni canoniche
x2
y2
z2
+ 2 + 2 = 1,
a22
b
c
x
y2 z2
+ 2 − 2 = 1,
a2
b
c
2
2
x
y
z2
− 2 − 2 + 2 = 1,
a
b
c
2
2
x
y
−
= −z,
a2
b2
x2
y2
+ 2 = z,
a2
b
con a, b, c 6= 0
con a, b, c 6= 0
con a, b, c 6= 0
con a, b 6= 0
con a, b 6= 0
ellissoide
iperboloide
iperbolico
iperboloide
ellittico
paraboloide
iperbolico
paraboloide
ellittico