Figura 2.1 Diagramma di Wöhler 2 CURVA DI WÖHLER Si

2
CURVA DI WÖHLER
Si supponga di sottoporre un provino ad un carico variabile con tensione massima
F max1= F m+ F a1 , inferiore a quella di snervamento, e di verificare la rottura dopo un certo
numero di cicli N1; se successivamente si ripete la prova su un altro provino e lo si sottopone
ad un carico F max2 = F m + F a1 inferiore al precedente ( a parità di tensione media), si
riscontrerà la rottura dopo un numero di cicli N 2 superiore ad N 1 . Continuando
sistematicamente in questo senso la prova, si nota come, mano a mano che la F max
diminuisce, il numero di cicli a cui il provino resiste aumenta, fino a che si giunge ad un
valore di tensione a partire dal quale il provino non si rompe più, la sollecitazione
FD= Fm+ FA
è assunta come il limite di rottura a fatica.
Se adesso si inseriscono i valori delle tensioni Fa applicate, e i relativi Ni. in un diagramma
N,F con sulle ordinate le Fa e sulle ascisse le N, e si interpolano i punti trovati si genera una
curva, legata al relativo valore F m, che presenta un asintoto orizzontale per N che t ende
all'infinito, a tale curva si da il nome di diagramma di Wöhler.
Figura 2.1
Appunti sulla resistenza a fatica A.A. 02/03
Diagramma di Wöhler
pag. 2.1
L'interpolazione dei punti Fi - Ni, non sempre può avvenire in modo agevole in quanto la
dispersione dei risultati non permette di individuare con precisione una singola curva, in
questi casi se ne disegnano due o più, e per un particolare valore di F a si individuano più
valori di N, esisterà quindi un campo di variazione di N compreso tra Nmin e Nmax per cui si
può avere la rottura.
Figura 2.2 Curve a diversa probabilità
Volendo cercare una formulazione matematica al grafico l'equazione che meglio approssima
la curva è del tipo
F= A* N-c
(1)
dove C e A sono delle costanti positive.
Poiché N può raggiungere valori molto alti, anche di 108 cicli, si preferisce visualizzare la
curva in un diagramma di tipo logaritmico o semilogaritmico; nel diagramma logaritmico
sono in scala logaritmica sia i cicli che le tensioni, mentre in quella semilogaritmica sono in
scala semilogaritimica solo i cicli N.
Il diagramma in coordinate cartesiane non permette di leggere con precisione i dati di breve
e lunga durata, cosa che non capita nel diagramma semilogaritmico che mantiene costante la
Appunti sulla resistenza a fatica A.A. 02/03
pag. 2.2
scala delle tensioni e restringe la scala dei cicli, inoltre permette ( grazie alla uniformità della
scala delle tensioni) un facile raffronto tra le curve aventi materiali diversi, cosa che non è
facile fare utilizzando un diagramma logaritmico, questo però è utile se si desidera
rappresentare in forma matematica la curva di Wöhler
Operando il logaritmo del primo e del secondo membro della equazione (1) si può scrivere
logF = logA - c * logN
(2)
che individua una linea retta con coefficiente angolare negativo -c ed intersezione sull’asse
delle ordinate pari logA.
Figura 2.3 Diagramma di Wöhler
2.1
Analisi del diagramma F -N
Analizzando il diagramma, in coordinate cartesiane, di una generica curva di Wöhler, si nota
come in esso è possibile individuare due zone: nella prima la curva tende a diminuire molto
rapidamente, nella seconda essa tende a divenire orizzontale, questo cambiamento di
direzione avviene per particolari valori di N che dipendono dal materiale, infatti mentre per
un acciaio la variazione di tendenza la si può notare già a partire di N=104 divenendo stabile
sicuramente per valori di N maggiore di 106, per altri materiali, come ad esempio l'alluminio,
Appunti sulla resistenza a fatica A.A. 02/03
pag. 2.3
questo non avviene se non per N molto superiori (ad es. 108 cicli).
Sarà la valutazione della N a partire dalla quale la curva dovrà essere considerata orizzontale
a definire il valore del limite di fatica.
In genere per l'acciaio si ipotizza di poter affermare di aver raggiunto il limite di fatica quando
esso riesce a resistere a 106 cicli. Queste diversità nel comportamento sono messe in evidenza
dai grafici qualitativi disegnati nella figura 2.4, in essa si vede come per gli acciai il limite di
fatica compare abbastanza presto mentre per l'alluminio sembra non comparire risultando la
curva ancora inclinata per N > 108.
Figura 2.4 Curve di Wöhle r per diversi mate riali
Nel diagramma di tipo logaritmico, avente per ascisse log N e per ordinate log F, la curva si
trasforma in una retta discendente che rappresenta la relazione indicata in precedenza, essa
da sola però non fornisce alcuna indicazione sul limite di fatica del materiale, si dovrà allora
disegnare un’altra linea, orizzontale, che avrà come ordinata il logaritmo del valore di F pari
al limite di fatica trovato.
Nel diagramma logaritmico in figura 2.5 possono distinguersi 3 zone, la prima è indicativa
dei fenomeni di fatica a basso numero di giri (oligociclica), che si manifestano per le tensioni
relativamente vicine a quella di snervamento e che producono nel provino deformazioni
plastiche alle quali il provino resiste per un numero di cicli relativamente basso (per i
Appunti sulla resistenza a fatica A.A. 02/03
pag. 2.4
materiali metallici intorno a 50.000 - 100.000 cicli); la seconda zona si riferisce a livelli di
tensione che provocano la rottura del provino dopo un numero N di cicli relativamente alto,
detta zona si chiama di "resistenza a termine", la terza infine è correlata con sollecitazioni che
non produrranno la rottura del pezzo pur dopo un numero molto alto di cicli fissato
convenzionalmente, detta zona si dirà di "resistenza illimitata".
Figura 2.5
Nel dimensionare un pezzo meccanico, tenendo conto della fatica, è necessario individuare
il numero di cicli a cui esso sarà sottoposto durante la sua vita; successivamente viene operato
il calcolo, decidendo se le tensioni ammissibili sul pezzo dovranno essere tali da non portare
mai a rottura, o se invece potranno determinarne la rottura dopo un numero N di cicli (in
quanto il pezzo o sarà sostituito prima o non sa rà mai sottoposto al numero di cicli N
superiore a quello corrispondente alla rottura). Nel primo caso il calcolo sarà detto a vita
mentre nel secondo caso sarà detto a termine.
C’e da rilevare che un numero di cicli N1 previsto per la vita di un elemento può risultare del
tutto inadeguato per la vita di un pezzo simile ma sottoposto a diverso utilizzo; un albero di
trasmissione di un automobile difficilmente opererà oltre i 106 cicli, che corrispondono a
Appunti sulla resistenza a fatica A.A. 02/03
pag. 2.5
circa 300.000 km; tale valore risulta sicuramente basso se invece lo si riferisce ad un assile
di un carro ferroviario.
2.2
Costruzione della curva di Wöhler e ricerca del limite di fatica.
La costruzione della curva di Wöhler, impone un numero relativamente alto di prove, il che
risulta essere tra l'altro abbastanza costoso; sono stati pertanto proposti metodi che, a fronte
di un numero di prove relativamente basso, riescono a fornire indicazioni sulla curva e sul
limite di fatica.
Si supponga allora di voler costruire la curva di Wöhler per un acciaio e che il limite di fatica
è quello a cui i provini resistono per almeno 107 cicli.
Figura 2.6 Curva di Wöhler
Se si sottopongono un certo numero di provini ad una serie di prove a fatica, ad esempio per
flessione rotante, e tutti alla stessa sollecitazione, difficilmente tutti i provini resisteranno per
lo stesso numero di cicli, ma anzi si otterranno dei valori di N diversi, in modo più o meno
ampio, in quanto la vita di un elemento non dipende solo dal tipo di materiale, ma anche da
Appunti sulla resistenza a fatica A.A. 02/03
pag. 2.6
altri fattori: nasce quindi la necessità di scegliere qual è il numero di cicli Nav medio da legare
alla F applicata nella prova.
Nella scala logaritmica si calcola il valore della Nav con la formula
log(Nav) = ( j log(Ni)) / m
che significa considerare la media geometrica ovvero
Nav = (N1 * N2 * N3* N4)1/m
avente una deviazione standard pari a
In corrispondenza della F utilizzata, è possibile disegnare una Gaussiana di cui sono appena
stati forniti i dati più importanti; in detta curva il valore di Nav prima ricavato è quello a cui
corrisponde una probabilità di rottura del 50% (ovvero continuando a fare prove con quella
sollecitazione ci sono 50% di probabilità che il provino si rompa). Con metodi statistici è
possibile trovare il valore di N corrispondente ad una probabilità di sopravvivenza del 90%
o del 10% o di qualsiasi altra assegnata probabilità.
Figura 2.7
Se si cambia l'intensità della sollecitazione ad esempio imponendo una F2 più bassa di quella
Appunti sulla resistenza a fatica A.A. 02/03
pag. 2.7
di prima e seguendo lo stesso procedimento si legherà a questa tensione una Nav2 anch’essa
con una probabilità del 50% e così via. Continuando la prova, e diminuendo ulteriormente il
valore della sollecitazione, sicuramente ci saranno dei provini che superano i 107 cicli, scelti
come limite, senza rompersi. In questo caso la prova viene sospesa non appena è superato tale
valore; il numero di provini che resistono aumentano mano a mano che la tensione applicata
diminuisce, ed alla fine si raggiunge un valore di F per cui tutti i provini resistono più di 107
cicli.
Il numero di provini utilizzato per ogni prova si può ridurre a 5 o 6.
Figura 2.8 Curve a diversa probabilità
Considerando i valori degli Nav trovati è possibile disegnare le rette che interpolano i punti
aventi tutti la stessa probabilità ad esempio oltre alla linea legata alla probabilità del 50% è
possibile tracciare anche quelle aventi probabilità del 90 o del 10%; esse però non presentano
alcuna limitazione nel loro valore inferiore, e non danno alcuna una indicazione del valore
del limite di fatica, la cui conoscenza risulta necessaria per completare il diagramma.
Appunti sulla resistenza a fatica A.A. 02/03
pag. 2.8
2.3
Determinazione del limite di fatica con il metodo staircase
Per trovare il limite di fatica F D di un materiale si devono eseguire delle pr ove, che si
desidera siano in numero non molto alto, pur mantenendo una sufficiente attendibilità nei
risultati.
Figura 2.9 Sequenza delle prove dello Staircase
Il metodo maggiormente seguito è lo staircase, che consiste nel sottoporre un assegnato
numero di provini ad esempio 50 ( in ogni caso non inferiore a 15), a sollecitazioni alternate,
il primo provino, viene sottoposto ad una sollecitazione molto prossima a quella che si
ipotizza essere il limite di fatica per quel materiale, e si continua a sollecitarlo fino a che non
si rompe oppure supera un numero di cicli prefissato che, come assunto prima, per l'acciaio
è 10 7 cicli. Si scrive quindi, in una tabella, lo sforzo massimo a cui il provino è stato
sottoposto ed un simbolo per indicare il risultato della prova (un simbolo diverso a secondo
se il provino si è rotto o no), si prende successivamente un altro provino e, variato il carico
agente di un prefissato ‘d’ (costante) in meno o in più, a seconda se il provino si è rotto o no,
lo si sottopone alla prova, scrivendo ancora una volta i risultati, si utilizza ancora un terzo
provino e così via, facendo variare sempre le tensioni massime in aumento o in diminuzione
della ‘d’ in precedenza indicata. Alla fine si ha un diagramma ed una tabella come quelli
che a titolo di esempio sono riportati nel diagramma e nella tabella che fig. 10
Appunti sulla resistenza a fatica A.A. 02/03
pag. 2.9
Tensione
applicata
Evento
Rottura
Evento
Non Ro ttura
x
o
Progressiva
Prova
i
Numero
eventi meno
frequenti
n
ni
n i2
490
2
480
3
2
5
2
10
50
470
4
2
4
2
8
32
460
4
3
3
3
9
27
450
3
3
2
3
6
12
440
1
3
1
3
3
3
1
0
1
0
0
14
36
124
N
A
B
430
17
6
14
chiamando con F0 la sollecitazione inferiore e con d il passo di variazione delle stesse sia ha:
F0 = 430 MPa
e
d= 10 MPa
è possibile calcolare il valore F Dm medio del limite di fatica e la deviazione standard
attraverso le formule fornite dalle tecniche statistiche
dove N è il numero di eventi meno frequente e, nella prima delle relazioni scritte si utilizza
il segno più se il numero totale di provini rotti è inferiore a quelli non rotti, altrimenti si usa
il segno meno.
rappresenta la deviazione standard quando (N*B - A2)/N2 > 0,3
Sostituendo i valori si ha per il caso considerato: FD = 456,21 MPa
Appunti sulla resistenza a fatica A.A. 02/03
pag. 2.10
Le relazioni di FDm e
considerati sono rispettivamente la media degli eventi meno frequenti
e lo scarto quadratico.
Posto con F 0 , F 1,F 2, F 3, F 4, F 5, e così via ricordando che la variazione tra un valore + il
precedente vale d si ha
F1 - F0 = d Y
F1 = F0 + d
F2 - F1 = d Y
F2 = F0 + 2d
F3 - F2 = d Y
F3 = F0 + 3d
................
..................
Fi - F(i-1) = d
Y
Fi = F0 + id
Sia inoltre ni il numero di eventi relativi all’iesimo valore, con 3ni =N
La media pesata delle varie tensioni è:
il valore ± 0,05 che compare nella formula serve per tener conto delle approssimazioni
effettuate.
Appunti sulla resistenza a fatica A.A. 02/03
pag. 2.11