PARAMETRIZZAZIONE NATURALE DI UNA CURVA

Capitolo 2
PARAMETRIZZAZIONE NATURALE DI UNA CURVA
Definizione 1. Sia C = α(I) una curva regolare. Diremo che α è una parametrizzazione naturale
di C se || α (t) ||≡ 1, ∀ t ∈ I.
Dimostreremo che ogni curva regolare ammette sempre una parametrizzazione naturale. Cominciamo con una definizione che sarà utile tra poco.
n
Definizione 2. Sia α : [a, b] → E un’applicazione differenziabile. [Ricordiamo che, in base alla Def.
0.3, l’applicazione α è estendibile localmente intorno ai due estremi a, b ad applicazioni differenziabili
definite su intervalli aperti]. L’immagine C = α([a, b]) è detta curva (parametrizzata) con estremi
[e gli estremi sono ovviamente i punti α(a) e α(b)]. Una curva con estremi C = α([a, b]) è detta
regolare se l’applicazione differenziabile α|(a,b) è regolare. Una curva con estremi C = α([a, b]) è
detta chiusa se α(a) = α(b). È evidente che ogni curva parametrizzata C = α(I) contiene infinite
curve con estremi: infatti per ogni intervallo chiuso [a, b] ⊂ I, α([a, b]) ⊆ C.
Sia C una curva regolare e siano α e β = α ◦ h due sue parametrizzazioni regolari equivalenti (con
h : J → I cambiamento di parametro). Fissato un punto P0 = α(t0) = β(s0) ∈ C, restano definiti,
t s per ogni P = α(t) = β(s) ∈ C, i due numeri reali
|| α (t)|| dt e
|| β (s)|| ds.
s0
t0
[N.B. Per non appesantire le notazioni, abbiamo denotato nello stesso modo la variabile d’integrazione
ed il secondo estremo d’integrazione].
Lemma 1. Risulta:
t
|| α (t)|| dt = ±
t0
s
s
|| β (s)|| ds.
Vale inoltre il segno +
⇐⇒
le due
0
parametrizzazioni α, β sono concordi [cioè h è crescente].
Dim. Da β = α ◦ h segue che β (s) = α h(s) h (s) e quindi || α h(s) ||=
t sostituzione t = h(s) al calcolo dell’integrale
|| α (t)|| dt, otteniamo
||β (s)||
|h (s)|
. Applicando la
t0
t
t
0
|| α (t)|| dt =
s
s
s || α h(s) || h (s) ds =
|| β (s) ||
s
0
0
h (s)
|h (s)|
ds = ±
s
s
|| β (s)|| ds.
0
L’ultima affermazione è del tutto evidente.
t
Segue dal lemma precedente che || α (t)|| dt non dipende dalla parametrizzazione α di C ed
t0
è quindi un invariante di C. Il suo significato geometrico è dato dal seguente teorema, per la cui
dimostrazione rinviamo ai testi di Analisi Matematica.
Teorema 1. Assegnata una curva regolare C = α(I) e fissato un suo punto P0 = α(t0), il numero
36
CAPITOLO 2
t || α (t)|| dt è la lunghezza della curva regolare C0 (⊆ C) con estremi P0 = α(t0) e P = α(t).
t0
Dim. (Cenno) Supposto ad esempio t0 < t, si suddivida l’intervallo [t0, t] in n sottointervalli
consecutivi [ti, ti+1] (con i = 0, .. , n − 1, tn = t). Posto Pi = α(ti) (e Pn = P ), si consideri la
poligonale Π = P0P1 ∪ P1P2 ∪ ... ∪ Pn−1Pn. Tale poligonale ha lunghezza
n−1
n−1
n−1
||α(ti+1)−α(ti)||
Π) =
L(Π
d Pi, Pi+1 =
|| α(ti+1) − α(ti) ||=
|ti+1 − ti|.
|t
−t |
i=0
i=0
i=0
i+1
i
t
Π) → || α (t)|| dt .
Infittendo la suddivisione, la poligonale Π tende ad identificarsi con C0 e L(Π
t0
Definizione 3. Sia C = α(I) una curva regolare e sia P0 = α(t0) un suo punto. La funzione
t s(t) =
|| α (t)|| dt, ∀ t ∈ I,
t0
è detta funzione lunghezza d’arco o funzione ascissa curvilinea [rispetto a P0].
N.B.. Il nome ”lunghezza d’arco” attribuito a tale funzione è giustificato dal teorema precedente;
invece il nome ”ascissa curvilinea” verrà chiarito nella successiva Osserv. 2(ii).
La funzione lunghezza d’arco s = s(t) verifica le seguenti ovvie proprietà:
-
s
s
s
s
è continua;
è (strettamente) crescente [infatti || α (t)||> 0, ∀ t ∈ I] e dunque è biiettiva;
è differenziabile [ciò segue dal teorema fondamentale del calcolo; inoltre s (t) =||α (t)|| ]; è aperta [ogni intervallo aperto (a, b) ⊆ I viene trasformato nell’intervallo aperto s(a), s(b) ].
Denotato con J l’intervallo s(I), l’applicazione s : I → J è (in base al TFI) un diffeomorfismo
(crescente) tra intervalli aperti della retta euclidea.
Denotiamo con t = t(s) : J → I il diffeomorfismo inverso. Con esso possiamo riparametrizzare C,
ottenendo una parametrizzazione
β = α ◦ t : J → C.
Vogliamo verificare che β è una parametrizzazione naturale di C. Basta osservare infatti che
β (s) = α t(s) t (s) e t (s) = 1 ||α t(s) ||
[infatti, derivando (rispetto a s) l’identità s ≡ s t(s) si ottiene: 1 ≡ s t(s) t (s) =||α t(s) || t (s)];
si conclude subito che
1 || ≡ 1.
|| β (s) ||=|| α t(s)
||α
t(s) ||
Abbiamo cosı̀ dimostrato il seguente teorema.
Teorema 2. Ogni curva regolare C = α(I) ammette una parametrizzazione naturale.
Una siffatta parametrizzazione è ottenuta riparametrizzando α con l’inversa della funzione lunghezza d’arco (riferita ad un punto arbitrario di C).
Osservazione 2. (i) Va sottolineato che il calcolo effettivo di una parametrizzazione naturale è
spesso tecnicamente assai complesso, sia perchè può essere difficile calcolare la funzione s(t), sia
soprattutto perchè può essere ancor più difficile invertire tale funzione.
(ii) Sia β = α ◦ t la parametrizzazione naturale di C ottenuta nelle considerazioni precedenti. È
evidente che P0 = α(t0) = β(0) [infatti s(t0) = 0 implica t(0) = t0]. Ne segue che la lunghezza
dell’arco di C tra P0 ed un generico punto P = β(s) è
s s
|| β (s)|| ds = 1 ds = |s|.
0
0
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Se quindi P ha coordinata s rispetto a β, allora P ha distanza |s| (misurata sulla curva) da P0.
Tale fatto giustifica il nome funzione ascissa curvilinea dato alla funzione s = s(t).
(iii) Ci chiediamo ora come cambiano la funzione lunghezza d’arco e la corrispondente parametrizzazione naturale se cambia il punto ’iniziale’. Indichiamo con s1 = s1(t) la funzione lunghezza d’arco
di C = α(I) rispetto ad un punto P1 = α(t1). Assumiamo (per semplicità) che sia t0 < t1. Si ha:
s1(t) =
t
t1
... =
t0
t1
... +
t
t0
... =
t
... −
t0
t1
... = s(t) − s(t1).
t0
Dunque s1 differisce di una costante (additiva) da s [ovvero il suo grafico differisce da quello di s per
una traslazione verticale]. Indicata con t1 l’inversa di s1, il grafico di t1 differisce da quello di t per
una traslazione orizzontale. Precisamente, posto J1 = s1(I), allora t1(s1) = t s1 + s(t1) , ∀ s1 ∈ J1.
Ne segue che, indicata con β1 = α ◦ t1 la parametrizzazione naturale indotta da s1, risulta β1 = β ◦ h,
con h(s1) = s1 + s(t1).
(iv) Si noti che due parametrizzazioni naturali equivalenti di una stessa curva regolare C sono
legate da un cambiamento di parametro del tipo
h(s) = ±s + costante, ∀ s ∈ J.
◦
Se infatti β1 e β2 = β1 h, (con h : J → I) sono le due parametrizzazioni naturali assegnate, allora
1 ≡|| β 2(s) ||=|| β 1 h(s) || |h (s)| = |h (s)|
e quindi |h (s)| ≡ 1. Ne segue che h (s) ≡ ±1 e pertanto h(s) = ±s + c.
A titolo di esempio concludiamo con il calcolo (particolarmente semplice) della parametrizzazione
naturale di un’elica circolare C, che è parametrizzata da
1
α(t) = a cos t, a sint, bt , ∀ t ∈ E ,
con a > 0, b = 0 [cfr. 1.5]. Risulta:
√
α (t) = −a sint, a cos t, b e || α (t) ||= a2 + b2 .
Scelto come punto iniziale α(0) = (a, 0, 0), si ha:
√
t
1
s(t) = || α (t)|| dt = a2 + b2 t, ∀ t ∈ E
e quindi t = t(s) = √
0
Ne segue che l’elica circolare C ha parametrizzazione naturale
β(s) = (α ◦ t)(s) = a cos √ 2s 2 , a sin √ 2s 2 , √
a +b
a +b
b
a +b2
2
1
a2+b2
s, ∀ s ∈ E .
1
s , ∀s ∈ E .
1