Punti di estremo

Per poter rappresentare correttamente il grafico di una funzione reale
di variabile reale y = f (x), dobbiamo saper dire in quali intervalli del
dominio la funzione è crescente ed in quali intervalli è decrescente.
Inoltre è importante individuare alcuni punti (detti punti di estremo) che
sono punti in cui la funzione da crescente diventa decrescente o
viceversa.
2
1.5
Notazione. I punti di massimo relativo e minimo relativo sono detti
punti di estremo relativo, mentre i punti di massimo e minimo assoluto
sono detti punti di estremo assoluto.
Es. f (x) =
4
1.5
3
1
2
0.5
1 3 1
x − x con x ∈ R.
10
2
x0 ' −1.2910 è punto di massimo
relativo, e il massimo relativo è
f (x0 ) ' 0.4303.
x1 ' 1.2910 è punto di minimo relativo e il minimo relativo è
f (x1 ) ' −0.4303.
1
f(x )
0
0
π/2
y=f(x)
0.5
1
3π/2
0
x0
−0.5
acements
x1
0
−0.5
−1
−1
−1
−1.5
−2
0
1
2
3
4
5
−2
1
6
x
2
3
4
5
6
x
f (x) = sin(x)
f (x)
f (x) = (x − 3)2 − 1 per x <= 3
√
f (x) = x − 3 − 1 per x > 3.
Punti di estremo e punti critici
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−1.5
−3
−1
0
x
Def. Sia x0 ∈ domf . Si dice che x0 è un punto di massimo relativo per
f se esiste un intorno I(x0 ) del punto x0 tale che
f (x0 ) ≥ f (x)
∀x ∈ I(x0 ) ∩ domf .
2
3
Non esistono punti di massimo o di minimo assoluti: lim f (x) = ±∞.
x→±∞
Punti di estremo e punti critici
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1 3 1
x − x con x ∈ [−3, 3]. (grafico sinistro)
10
2
x0 ' −1.2910 è punto di massimo relativo,
x1 ' 1.2910 è punto di minimo relativo.
x = −3 è punto di minimo assoluto, il minimo assoluto è f (−3) = −1.2.
x = 3 è punto di massimo assoluto, il massimo assoluto è f (3) = 1.2.
1.5
y
1
y=f(x)
0.5
x2
x0
1
Es. f (x) =
Punti di estremo
PSfrag replacements
−2
x1
f(x0)
x1
0
x0
−0.5
x
−1
Analogamente si definiscono il punto di minimo relativo ed il punto di
minimo assoluto. (sostituire ≥ con ≤)
Punti di estremo e punti critici
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−1.5
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
1 3 1
x − x con x ∈ [−2, 2]. (grafico destro)
10
2
x0 ' −1.2910 è punto di massimo assoluto,
x1 ' 1.2910 è punto di minimo assoluto.
Es. f (x) =
Punti di estremo e punti critici
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Punti stazionari (o critici)
Teorema (di Fermat). Sia f definita in un intorno Ir (x0 ) del punto x0
e derivabile in x0 . Se x0 è un punto di massimo o minimo relativo per
f allora f 0 (x0 ) = 0, ovvero x0 è un punto stazionario per f .
Def. Un punto x0 ∈ domf si dice punto stazionario (o punto critico) per
f , se f è derivabile in x0 e f 0 (x0 ) = 0 (ovvero la tangente ad f in x0 è
una retta orizzontale).
Osservazione 1.
y
y
PSfrag replacements
f definita solo sull’intervallo [a, b]
e sia x0 = b.
PSfrag replacements
a
x1
x0
x2
b
x
f è derivabile in x0 , ma f NON è definita in tutto un intorno di x0 .
In questo caso x0 è di massimo relativo (e di massimo assoluto), ma
f 0 (x0 ) 6= 0 perchè non è soddisfatta una delle ipotesi del teorema di
Fermat.
In particolare i punti stazionari possono essere:
1. punti di massimo relativo, (x0 nella figura)
2. punti di minimo relativo, (x1 nella figura)
3. punti di flesso a tangente orizzontale, (x2 nella figura).
Punti di estremo e punti critici
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x
Punti di estremo e punti critici
Osservazione. Se f è definita solo in un intorno sinistro di x0 ed esiste
0
(x0 ) si assume che f sia derivabile in x0 e si definisce
f−
0
f 0 (x0 ) = f−
(x0 ). (x0 = b.)
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Osservazione 2.
y
y
f è definita solo sull’intervallo
[a, b].
PSfrag replacements
a
PSfrag replacements a
b
x
0
(x0 ) si
Se f è definita solo in un intorno destro di x0 ed esiste f+
0
0
(x0 ).
assume che f sia derivabile in x0 e si definisce f (x0 ) = f+
(x0 = a)
Punti di estremo e punti critici
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x0
b
x
f è definita in un tutto un intorno di x0 , ma f non è derivabile in x0 , x0
è un punto angoloso.
x0 è punto di minimo relativo, ma f 0 (x0 ) 6= 0 perchè non è soddisfatta
una delle ipotesi del teorema di Fermat.
Punti di estremo e punti critici
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Ricerca dei punti di estremo
Dim. del teorema di Fermat
Sia x0 punto di minimo relativo per f , x0 interno a domf e ∃f 0 (x0 )
finita. Devo dimostrare che f 0 (x0 ) = 0.
PSfrag replacements y
Se x0 è punto di minimo relativo, si
ha f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ I(x0 ), ovvero
f (x) − f (x0 ) ≥ 0.
I punti di estremo di una funzione vanno ricercati tra i punti x ∈ domf :
I punti stazionari, f 0 (x0 ) = 0 (per il teorema di Fermat)
I punti di non derivabilità (punti angolosi e cuspidi)
I estremi finiti (in R) del dominio.
x0 x
a
b
x
y
PSfrag replacements
f (x) − f (x0 )
≥0
Sia x > x0 (ovvero x − x0 > 0), allora
x − x0
e facendo tendere x → x+
0 si ha
f (x) − f (x0 )
0
f+
(x0 ) = lim+
≥ 0.
x − x0
x→x0
y
y
a
x
x0
x0 x
x
x0
Se così non fosse, si arriverebbe ad un assurdo per il teorema di
permanenza del segno.
Punti di estremo e punti critici
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Punti di estremo e punti critici
e facendo tendere x → x−
0 si ha
0
f−
(x0 ) = lim−
x→x0
Sia f una funzione continua sull’intervallo chiuso e limitato [a, b] e
derivabile su (a, b). Se f (a) = f (b), allora esiste un punto c ∈ (a, b) tale
che f 0 (c) = 0.
x x0
a
b
x
y
f (x) − f (x0 )
≤ 0.
x − x0
Poichè f è derivabile in x0 si deve avere
0
0
f 0 (x0 ) = f−
(x0 ) = f+
(x0 )
ovvero
0
0
(x0 ) = f 0 (x0 ) = f−
(x0 ) ≤ 0
⇒
f 0 (x0 ) = 0.
0 ≤ f+
Se x0 è punto di massimo relativo la dimostrazione è analoga.
Punti di estremo e punti critici
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Teorema di Rolle
PSfrag replacements y
Ora prendo x < x0 (ovvero x − x0 < 0),
f (x) − f (x0 )
allora
≤0
x − x0
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PSfrag replacements
y
PSfrag replacements
f (a) = f (b)
f (a) = f (b)
a
c
b
x
a
b
x
2
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Punti di estremo e punti critici
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Dim.
f è continua su un intervallo chiuso e limitato, allora per il teorema di
Weierstrass, f ammette massimo M e minimo m (assoluti), con
xm , xM ∈ [a, b] (xm e xM punti di minimo e di massimo).
Caso a. m = M .
Allora f è costante su [a, b] e f 0 (x) = 0 ∀x ∈ [a, b].
Caso b. m ≤ f (a) = f (b) < M .
f assume massimo in un punto interno ad [a, b].
Il punto di massimo assoluto xM è anche punto di massimo relativo,
f è definita in un tutto un intorno di xM ed f è derivabile in un intorno
di xM .
Ho le ipotesi per applicare il teorema di Fermat e concludere che xM è
un punto stazionario, ovvero f 0 (xM ) = 0.
Caso c. m < f (a) = f (b) ≤ M .
f assume minimo in un punto interno ad [a, b]. La dimostrazione è
analoga al Caso b.
2
Punti di estremo e punti critici
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Teorema di Lagrange
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f (x2 )
Esiste un punto c per cui la tangente ad f in c è parallela alla
retta passante per i punti A =
(a, f (a)) e B = (b, f (b)).
a
c
Punti di estremo e punti critici
b
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Sia I il dominio di una funzione f reale a valori reali, oppure un
intervallo contenuto nel dominio di f .
Def. La funzione f si dice monotona crescente su I se
∀x1 , x2 ∈ I,
x 1 < x2
⇒
f (x1 ) ≤ f (x2 ).
PSfrag replacements
B
A
(a) = f (b)
Punti di estremo e punti critici
Ricordiamo:
Sia f una funzione continua sull’intervallo chiuso e limitato [a, b] e
derivabile su (a, b). Allora esiste un punto c ∈ (a, b) tale che
f (b) − f (a)
.
f 0 (c) =
b−a
y
acements
f (b) − f (a)
(x − a).
b−a
h(x) è una funzione continua in [a, b] (perchè somma di funzioni
continue in [a, b]), derivabile in (a, b) (perchè somma di funzioni
derivabili in (a, b)), e
f (b) − f (a)
· 0 = f (a)
h(a) = f (a) −
b−a
f (b) − f (a)
· (b − a) = f (b) − f (b) + f (a)
h(b) = f (b) −
b−a
La funzione h(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, quindi esiste
un punto c ∈ (a, b) tale che h0 (c) = 0.
f (b) − f (a)
Ma
h0 (x) = f 0 (x) −
e dire
b−a
f (b) − f (a)
h0 (c) = 0 equivale a dire
f 0 (c) =
.
2
b−a
Dim. Si consideri la funzione h(x) := f (x) −
f (x1 )
f (x1 ) = f (x2 )
I
I
x1 x2
x1
x2
Def. La funzione f si dice monotona strettamente crescente su I se
∀x1 , x2 ∈ I,
x 1 < x2
⇒
f (x1 ) < f (x2 ).
x
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Punti di estremo e punti critici
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Teorema.
Sia I ⊆ domf un intervallo e sia f derivabile su I. Allora
f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ I
⇔
f è crescente su I e
0
f (x) > 0, ∀x ∈ I
⇒
f è strettamente crescente su I.
(Per la dimostrazione, si vedano gli appunti o il libro a pag. 191).
100
Derivata seconda
Def. Se f 0 è derivabile in x0 , si dice che f è derivabile due volte in x0 e
si pone
f 00 (x0 ) := (f 0 )0 (x0 ).
00
f (x0 ) è detta derivata seconda di f in x0 .
y=f(x)
50
La funzione che associa ad x il valore f 00 (x), ove questo sia definito, è
detta funzione derivata seconda.
0
−50
−100
−3
−2
−1
0
1
2
x
3
4
5
6
7
6
7
Es. f (x) = x3 − 6x2 − 1,
y=f‘(x)
100
+
50
f 0 (x) = 3x2 − 12x,
f 00 (x) = 6x − 12
+
0
−
−50
−3
−2
−1
0
1
2
x
3
4
5
Studiare il segno della derivata prima permette di sapere dove f è crescente o
decrescente.
Crescenza/decrescenza e segno della derivata prima
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Oss. f strett. crescente 6⇒ f 0 (x) > 0.
Es. f (x) = x3 è strettamente crescente su R, ma f 0 (0) = 0, ovvero f
strett. crescente. non implica f 0 (x) > 0
Corollario Se x0 è punto di max relativo per f , allora f è crescente a
sinistra di x0 e decrescente a destra.
Se x0 è punto di min relativo per f , allora f è decrescente a sinistra di
x0 e crescente a destra.
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
−1
−1
−2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−2
−2
x0 = 0 è p.to di max. rel.
Crescenza/decrescenza e segno della derivata prima
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Derivata seconda, flessi, concavità
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Convessità e flessi
Consideriamo la funzione f (x), definita in un intorno del punto x0 e
l’equazione della retta t tangente ad f nel punto x0 ∈ domf :
t : y = t(x) = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).
Def. La funzione f si dice convessa (o volge la concavità verso l’alto)
in x0 se esiste un intorno Ir (x0 ) di x0 tale che:
∀x ∈ Ir (x0 )
f (x) ≥ t(x)
e si dice strettamente convessa in x0 se f (x) > t(x) x 6= x0 .
y
y = f (x)
PSfrag replacements
y = t(x)
2
x0 x
x0 = 0 è p.to di min. rel.
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Derivata seconda, flessi, concavità
x
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Def. La funzione f si dice concava in x0 se esiste un intorno Ir (x0 ) di
x0 tale che:
∀x ∈ Ir (x0 )
f (x) ≤ t(x)
e si dice strettamente concava in x0 se f (x) < t(x) x 6= x0 .
y = t(x)
y
PSfrag replacements
Osservazione. Se f è strettamente convessa su I, non è detto che
f 00 (x) > 0 su I.
Es.: f (x) = x4 . In x = 0 si ha f 00 (0) = 0 ed f strettamente convessa su
tutto R.
y = f (x)
x0
x
Corollario. Sia f derivabile due volte in un intorno di x0 . Se x0 è punto
di flesso per f , allora f 00 (x0 ) = 0.
x
Def. Sia I un intervallo e f derivabile su I. f si dice convessa (risp.
concava) su I, se è convessa (risp. concava) in ogni punto di I.
Derivata seconda, flessi, concavità
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Teorema. Se f è una funzione derivabile due volte su I, si ha:
f 00 (x) ≥ 0,
∀x ∈ I
⇐⇒
f è convessa su I.
e
f 00 (x) > 0,
∀x ∈ I
=⇒
f è strettamente convessa su I.
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Oss. Un punto di flesso x0 per cui si ha f 0 (x0 ) = 0 è detto punto di
flesso a tangente orizzontale, mentre un punto di flesso x0 per cui si
ha f 0 (x0 ) 6= 0 è detto punto di flesso a tangente obliqua.
Derivata seconda, flessi, concavità
Def. Sia f una funzione definita e derivabile in un intorno del punto x 0 .
Il punto x0 si dice punto di flesso per f se esiste un intorno sinistro di
x0 in cui f è concava ed esiste un intorno destro di x0 in cui f è
convessa o, viceversa, se esiste un intorno sinistro di x0 in cui f è
convessa ed esiste un intorno destro di x0 in cui f è concava.
acements
y
PSfrag replacements
y = f (x)
y = t(x)
x0
Derivata seconda, flessi, concavità
x
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Studio di funzione completo
Punti di flesso
y
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x0
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x
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Obiettivo: disegnare il grafico di una funzione y = f (x).
Passi da seguire.
1. Determinare il domf
2. Determinare le intersezioni di y = f (x) con gli assi cartesiani.
3. Determinare possibili asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) [questo
vuol dire calcolare i limiti di f agli estremi del dominio].
4. Individuare eventuali punti di discontinuità.
5. Calcolare la derivata prima e determinare il suo dominio.
6. Studiare il segno della derivata prima per individuare dove la
funzione è crescente/decrescente. Determinare, se esistono, i punti di
estremo della funzione ed i punti di non derivabilità.
7. Calcolare la derivata seconda di f .
8. Studiare il segno della derivata seconda per individuare dove la
funzione è convessa/concava. Determinare, se esistono, i punti di
flesso della funzione.
Studio di funzione
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Funzioni iperboliche
sinh(x) =:
ex − e−x
2
cosh(x) =:
ex + e−x
2
10
sinh(x)
cosh(x)
8
6
4
2
0
−2
−4
Riferimenti bibliografici: Canuto Tabacco, Sez. 6.4, 6.7, 6.8, 6.9, 6.10.
Esercizi: Svolgere i vari passi dello studio di funzione per le funzioni
elementari viste.
Fare lo studio delle seguenti funzioni:
√
1. f (x) = 4 − x2
log(x)
2. f (x) =
x
3. f (x) = x log(x)
2
4. f (x) = e1/x
5. f (x) = e1/x
−6
−8
−10
−10
−5
0
5
Funzioni iperboliche
10
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La relazione fondamentale tra sinh e cosh è:
cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
∀x ∈ R.
sinh(x) e cosh(x) sono dette funzioni iperboliche perchè un punto
P = (xP , yP ) del piano cartesiano con xP = cosh(x) e yP = sinh(x), al
variare di x appartiene all’iperbole di equazione x2 − y 2 = 1.
Le derivate prime sono:
(sinh(x))0 = cosh(x)
(cosh(x))0 = sinh(x)
Esercizio In base alla loro definizione, ricavare le proprietà
fondamentali delle funzioni sinh(x) e cosh(x), ovvero:
dominio, simmetrie, positività e negatività, crescenza e decrescenza,
punti di estremo relativo e assoluto, convessità e concavità, flessi,
regolarità (classe C k (R) di appartenenza).
Funzioni iperboliche
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Funzioni iperboliche
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