Matematica Generale - Facoltà di Economia

Matematica Generale
Marco Castellani
Facoltà di Economia
[email protected]
Lezione 35
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
1 / 24
Lezione 35
Massimi e minimi
Problema di massimo e minimo. Trovare i punti estremali (massimi e
minimi locali e globali) della funzione f : A −→ R con A ⊆ R2 .
Puntualizziamo subito due cose.
1
2
Se A è aperto si parla di problema di estremo libero; se A non è
aperto (accade soprattutto quando A è definito da vincoli di
uguaglianza o diseguaglianza) parliamo di problema di estremo
vincolato. La differenza di fatto viene dalla presenza dei punti di
frontiera. Per indagare sulla presenza, fra essi, di punti estremali
occorrono tecniche diverse che rendono più difficili i problemi di
estremo vincolati.
Ci limitiamo ad analizzare casi in cui f è di classe C 2 e quindi,
rispetto al caso di una variabile, lasciamo da parte i problemi
legati alla non continuità ed alla non derivabilità.
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
dsm
2 / 24
Lezione 35
Problema di estremo libero
Problemi di estremo libero
Iniziamo spiegando come si determinano punti di massimo e minimo
locale; poi vediamo sotto quali condizioni i punti di estremo locale
possono essere globali.
Abbiamo a disposizione tre risultati analoghi a quelli per le funzioni di
una variabile:
condizione necessaria del primo ordine,
condizione necessaria del secondo ordine,
condizione sufficiente del secondo ordine.
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
3 / 24
Lezione 35
Condizione necessaria del primo ordine
Poiché ∇f (x) indica la direzione di massima crescita, se siamo in un
punto di massimo locale necessariamente deve essere ∇f (x) = 0!
Teorema (di Fermat)
Sia f : A −→ R derivabile su A ⊆ R2 aperto; se x ∈ A è punto di
minimo (oppure massimo) locale per f allora x è un punto stazionario
cioè ∇f (x) = 0.
Esercizio
Determinare i punti stazionari di f (x, y ) = 3x 4 − x 3 y + 2y 2 .
Calcolando le derivate parziali otteniamo il gradiente
∇f (x, y ) = (12x 3 − 3x 2 y , −x 3 + 4y ).
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
4 / 24
Lezione 35
Condizione necessaria del primo ordine
Per determinare i punti stazionari dobbiamo risolvere il sistema
12x 3 − 3x 2 y = 0
−x 3 + 4y = 0
Partiamo dalla prima equazione; mettendo in evidenza 3x 2 si ottiene
3x 2 (4x − y ) = 0 e quindi si presentano due casi.
Se x = 0, dalla seconda equazione si ottiene y = 0 e quindi il
punto stazionario A = (0, 0).
Se y = 4x, dalla seconda equazione si ottiene x 3 − 16x = 0 che
implica
I
I
I
x = 0 da cui y = 0 e quindi nuovamente il punto stazionario A,
x = 4 da cui y = 16 e quindi il punto stazionario B = (4, 16),
x = −4 da cui y = −16 e quindi il punto stazionario C = (−4, −16).
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
5 / 24
Lezione 35
Condizione necessaria del primo ordine
Abbiamo tre punti stazionari: A = (0, 0), B = (4, 16) e C = (−4, −16).
Domanda: come fare per scoprire quale tra questi punti stazionari
risulta punto di minimo e quale punto di massimo?
Per le funzioni in una variabile abbiamo due criteri per stabilire la
natura di un punto stazionario x:
1
studiando il segno di Df si determina la monotonia di f e quindi:
I
I
2
se f prima decresce e poi cresce allora x è punto di minimo,
se f prima cresce e poi decresce allora x è punto di massimo;
studiando il segno delle derivate di ordine superiore calcolate in x;
in particolare
I
I
I
se D 2 f (x) > 0 allora x è punto di minimo,
se D 2 f (x) < 0 allora x è punto di massimo,
se D 2 f (x) = 0 allora niente si può dire sulla natura di x.
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
6 / 24
Lezione 35
Condizioni del secondo ordine
Domanda: quale dei due criteri risulta più facilmente adattabile alle
funzioni in due variabili?
Risposta: il primo criterio ha un grosso inconveniente: studia la
monotonia di una funzione! Ma non ha significato dire se una funzione
in due variabili cresce o decresce in quanto la monotonia è legata
all’ordinamento sia del dominio sia del codominio (un titolo azionario
sale se ad istanti successivi –e possiamo dire quando un istante
temporale viene prima di un altro– il suo valore monetario aumenta –e
sappiamo dire quando un costo è superiore ad un altro): abbismo visto
che su R2 ci sono problemi a definire un ordinamento. Quindi. . .
. . . non ci resta che adattare il secondo criterio!
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
7 / 24
Lezione 35
Condizioni del secondo ordine
Teorema (Condizione necessaria del secondo ordine)
Siano f : A −→ R di classe C 2 su A ⊆ R2 aperto e x ∈ A punto
stazionario cioè ∇f (x) = 0;
se x è di minimo locale allora ∇2 f (x) è semidefinito positivo;
se x è di massimo locale allora ∇2 f (x) è semidefinito negativo.
Teorema (Condizione sufficiente del secondo ordine)
Siano f : A −→ R di classe C 2 su A ⊆ R2 aperto e x ∈ A punto
stazionario cioè ∇f (x) = 0;
se ∇2 f (x) è definito positivo allora x è di minimo locale;
se ∇2 f (x) è definito negativo allora x è di massimo locale.
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
8 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi
Metodi
La ricerca dei punti di massimo e minimo locale si base sulla seguente
procedura.
1
2
Si determinano i punti stazionari cioè quei punti x ∈ R2 interni al
CE(f ) per cui
∇f (x) = 0.
Tali punti sono i candidati ad essere punti di massimo e minimo.
Si calcola l’Hessiano ∇2 f (x) e lo si valuta nei punti stazionari:
I
I
I
se ∇2 f (x) è definita positiva allora x è punto di minimo;
se ∇2 f (x) è definita negativa allora x è punto di massimo;
se ∇2 f (x) è indefinita allora x non è né punto di minimo né punto di
massimo e prende il nome di punto di sella.
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
9 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi
Esercizio
Studiare la natura dei punti stazionari di f (x, y ) = x 2 + 4y 2 − xy − 5x.
Il gradiente risulta ∇f (x, y ) = (2x − y − 5, 8y − x) e quindi i punti
stazionari risolvono il sistema
2x − y − 5 = 0
8y − x = 0
8 1
3, 3
L’unica soluzione del sistema è A =
2
e la matrice Hessiana è
∇ f (x, y ) =
2 −1
−1 8
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
10 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi
Per studiare il carattere della matrice Hessiana calcoliamone il
determinante. Poiché
8 1
2 −1
2
,
= det
= 15
det ∇ f
−1 8
3 3
deduciamo che è definita; per sapere se lo è positivamente oppure
negativamente dobbiamo calcolarne la traccia
8 1
2 −1
2
,
= 10
tr ∇ f
= tr
−1 8
3 3
Quindi la matrice Hessiana risulta definita positiva e quindi A è punto
di minimo locale. In seguito mostreremo una condizione che ci
garantisce che il minimo sia globale.
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
11 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi
Esercizio
Studiare la natura dei punti stazionari di f (x, y ) = 3x 4 − x 3 y + 2y 2 .
I punti sono A = (0, 0), B = (4, 16) e C = (−4, −16): non ci resta che
determinare la matrice Hessiana. Le derivate parziali seconde sono
2 f (x, y ) = 24x 2 − 6xy
Dxx
2 f (x, y ) = −3x 2
Dxy
2 f (x, y ) = 4
Dyy
e quindi abbiamo la seguente matrice Hessiana
24x 2 − 6xy −3x 2
2
∇ f (x, y ) =
−3x 2
4
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
12 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi
Determiniamo il carattere di ∇2 f (x, y ) valutata nei tre punti stazionari
Nel caso A = (0, 0) otteniamo
2
∇ f (0, 0) =
0 0
0 4
Poiché det ∇2 f (0, 0) = 0 e tr ∇2 f (0, 0) = 4 la matrice Hessiana
risulta semidefinita positiva e quindi l’unica cosa che possiamo
dire è che A non è un punto di massimo.
Nel caso B = (4, 16) otteniamo
2
∇ f (4, 16) =
0
−48
−48
4
Poiché det ∇2 f (4, 16) = −2304 la matrice Hessiana è indefinita e
dsm
quindi B è un punto di sella.
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
13 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi
Nel caso C = (−4, −16) otteniamo
∇2 f (−4, −16) =
0
.48
−48 4
Poiché det ∇2 f (−4, −16) = −1408 la matrice Hessiana è
indefinita e quindi C è un punto di sella.
Abbiamo ottenuto una risposta definitiva per i punti B e C che risultano
punti di sella ma solamente parziale per A avendo escluso solamente
che fosse punto di massimo.
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
14 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi
Quindi se ∇2 f (x) è definito oppure indefinito abbiamo una
informazione completa e sappiamo che il punto è di minimo o di
massimo o di sella. I problemi sorgono quando ∇2 f (x) è solamente
semidefinito; in particolare
se ∇2 f (x) è non nullo e semidefinito positivo ma non definito
positivo (quindi con tutti gli autovalori non negativi ed almeno uno
nullo) abbiamo la seguente informazione parziale: x non è punto
di massimo ma resta da decidere se è punto di minimo o di sella;
se ∇2 f (x) è non nullo e semidefinito negativo ma non definito
negativo (quindi con tutti gli autovalori non positivi ed almeno uno
nullo) abbiamo la seguente informazione parziale: x non è punto
di minimo ma resta da decidere se è punto di massimo o di sella.
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
15 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi
Vediamo alcune idee per poter dirimere la diatriba quando ∇2 f (x) è
solamente semidefinito.
Inoltre queste idee possono essere anche utilizzate per vedere se i
punti stazionari sono punti estremali globali; tuttavia. . .
. . . purtroppo non vi sono metodi “sicuri”!
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
16 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi: casi particolari
Primo criterio. Utilizzare la definizione di minimo oppure di massimo
locale e/o globale risolvendo una disequazione.
Esercizio
Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo locali e globali
della funzione f (x, y ) = x 4 + y 4
La funzione f è di classe C 2 e quindi proviamo ad applicare la
condizione necessaria di Fermat e quelle del secondo ordine. Il
gradiente è ∇f (x, y ) = (4x 3 , 4y 3 ) ed i punti stazionari sono le soluzioni
del sistema
4x 3 = 0
4y 3 = 0
L’unico punto stazionario è 0 = (0, 0).
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
dsm
Lezione 35
17 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi: casi particolari
La matrice Hessiana risulta
12x 2
0
∇ f (x, y ) =
0
12y 2
2
e valutata nel punto stazionario diventa la matrice nulla
0 0
∇2 f (0, 0) =
0 0
che non ci fornisce nessuna informazione. Tuttavia f (0, 0) = 0 e
f (x, y ) = x 4 + y 4 ≥ 0 = f (0, 0),
∀(x, y ) ∈ R2 ;
quindi 0 è punto di minimo assoluto.
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
18 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi: casi particolari
Secondo criterio. Studiare le restrizioni di f rispetto ad opportune rette
passanti per il punto stazionario.
Tale metodo serve solamente per far vedere che il punto stazionario è
punto di sella e si basa sul seguente risultato.
Teorema (sulla restrizione locale)
Se f ha un punto di minimo oppure massimo locale in x allora ogni
restrizione di f a rette passanti per x ha in x un minimo oppure
massimo locale.
Esercizio
Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo della funzione
f (x, y ) = x 4 + (y − 1)3 .
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
19 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi: casi particolari
La funzione f è di classe C 2 e quindi iniziamo ad utilizzare gli strumenti
che abbiamo a disposizione. Il gradiente è ∇f (x, y ) = (4x 3 , 3(y − 1)2 )
ed i punti stazionari sono le soluzioni del sistema
4x 3 = 0
3(y − 1)2 = 0
L’unico punto stazionario è A = (0, 1). La matrice Hessiana risulta
12x 2
0
2
∇ f (x, y ) =
0
6(y − 1)
ed anche questa volta valutata nel punto stazionario diventa la matrice
nulla che non ci fornisce informazioni.
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
20 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi: casi particolari
Anche questa volta f (0, 1) = 0 ma, a differenza dell’esercizio
precedente, si osserva che il primo addendo di f è sempre positivo
mentre il secondo addendo
è negativo per y < 1,
è positivo per y > 1.
Quindi, ponendo x = 0 (cioè restringendoci alla retta r delle ordinate),
otteniamo fr (y ) = f (0, y ) = (1 − y )3 che risulta
fr (y ) < 0 se y < 1,
fr (y ) > 0 se y > 1.
La funzione non ha né minimo né massimo in y = 1 (che infatti è un
punto di flesso per fr ) e quindi A è un punto di sella.
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
21 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi: casi particolari
Terzo criterio. Utilizzare le proprietà di convessità e concavità locale.
Il seguente risultato può essere di aiuto per determinare il carattere di
un punto stazionario.
Teorema
Siano f : A −→ R derivabile su A ⊆ Rn aperto convesso e x punto
stazionario.
Se f è convessa allora x è punto di minimo globale su A; se
invece f è convessa solamente in I(x, r ) ∩ A con r > 0
opportunamente fissato allora x è punto di minimo locale su A.
Se f è concava allora x è punto di massimo globale su A; se
invece f è concava solamente in I(x, r ) ∩ A con r > 0
opportunamente fissato allora x è punto di massimo locale su A.
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
22 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi: casi particolari
Utilizzando tale risultato assieme al Teorema di caratterizzazione delle
funzioni convesse e concave possiamo dedurre se un punto
stazionario è di minimo o massimo locale o globale su A studiando il
segno dell’Hessiano.
Esercizio
Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo della funzione
f (x, y ) = x 4 + y 4 .
Abbiamo già visto che l’unico punto stazionario della funzione è
l’origine e che la matrice Hessiana risulta
12x 2
0
2
∇ f (x, y ) =
0
12y 2
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
23 / 24
Lezione 35
Problemi di estremo liberi: casi particolari
Poiché
det ∇2 f (x, y ) = 144x 2 y 2 ≥ 0 per ogni (x, y ) ∈ R2 ,
tr ∇2 f (x, y ) = 12x 2 + 12y 2 ≥ 0 per ogni (x, y ) ∈ R2 ,
allora ∇2 f (x, y ) è semidefinita positiva e quindi f è convessa: tutti i
punti stazionari di funzioni convesse sono punti di minimo assoluto
confermando il risultato ottenuto precedentemente.
Esercizio per casa
Determinare punti di massimo e minimo delle seguenti funzioni
1
f (x, y ) = x 3 − y 2 + xy − y + 1,
2
f (x, y ) = x 4 + 8y 4 − 8x 2 y ,
3
f (x, y ) = ln(x + 12y ) − x 2 y ,
4
f (x, y ) = xey − x 2 y 2 (difficile).
dsm
Marco Castellani (L’Aquila)
Matematica Generale
Lezione 35
24 / 24