Soluzione - Istituto Romano Bruni

Liceo Scientifico Paritario “R. Bruni” Padova, loc. Ponte di Brenta, 22/04/2015 Verifica di Matematica Classe V Soluzione Problemi. Risolvi uno dei due problemi: Problema 1. Curva nord Sei il responsabile della gestione del settore “Curva Nord” dell’impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all’ingresso e all’uscita degli spettatori, nonché alla sicurezza e all’assistenza agli spettatori stessi. La forma del settore sotto la tua gestione è una porzione di corona circolare come rappresentata in Figura 1. Tenendo presente che le normative di sicurezza emanate dal Comune prevedono un indice di af-­‐
follamento massimo di 3,25%persone m2 , e il 9,5% della superficie della “Curva Nord” è inagibile in quanto necessita di lavori di manutenzione, i.
Determina la capienza massima Nmax attuale del settore “Curva Nord”, approssimata alle centinaia. 1 di 17
La polizia municipale propone di aprire i cancelli di ingresso un’ora prima dell’inizio della manife-­‐
stazione sportiva. È necessario non aprirli con troppo anticipo, per limitare i costi, ma anche evita-­‐
re un afflusso troppo intenso, per motivi di sicurezza: la velocità massima di accesso degli spetta-­‐
tori non deve essere superiore a 350 ingressi al minuto. In base alle osservazioni degli anni prece-­‐
denti, sai che l’andamento del numero di spettatori, aprendo gli ingressi un’ora prima dell’inizio della manifestazione, segue una curva come quella riportata in Figura 2: Figura 2 ii.
()
Esprimendo il tempo t in minuti, determina il polinomio p t di terzo grado che meglio ri-­‐
produce questo andamento, ipotizzando che il numero di spettatori sia 0 all’apertura dei cancelli di ingresso ( t = 0 ) e sia pari al numero massimo consentito Nmax dopo un’ora ( t = 60 ), e che la velocità di accesso sia 0 al momento dell’apertura iniziale degli ingressi e sia ancora 0 dopo un’ora, quando l’afflusso termina e il settore è riempito completamente. Verifica che la funzione rispetti il vincolo di sicurezza sulla massima velocità di accesso degli spettatori nello stadio. Al termine della manifestazione gli spettatori defluiscono dall’impianto; in base alle osservazioni degli anni scorsi ogni minuto esce dall’impianto il 5% degli spettatori presenti all’interno nel minu-­‐
to precedente. iii.
Determina la funzione che meglio rappresenta il deflusso degli spettatori e, indicato con t = 0 l’apertura dei cancelli e tc (da determinare) l’istante in cui, durante il deflusso, nell’impianto restano meno di 100 spettatori, disegna il grafico della funzione che rappre-­‐
senta il numero di spettatori presenti nell’impianto nell’intervallo !"0;#tc #$ ; ipotizza che l’impianto sia riempito alla massima capienza e che la manifestazione sportiva duri un’ora. Determina inoltre la massima velocità di deflusso degli spettatori dall’impianto. Devi organizzare i servizi di assistenza e ristoro per gli spettatori, sulla base del numero medio di presenze nell’impianto. iv.
Determina il numero medio di spettatori presenti nell’impianto, nell’intervallo di tempo dall’istante t = 0 (apertura dei cancelli) all’istante t = tc . 2 di 17
Risoluzione. i. Determina la capienza massima Nmax attuale del settore “Curva Nord”, approssimata alle centinaia. Prima di tutto determino l’area del settore di corona circolare di raggi R = 80#m , r = 50#m e am-­‐
piezza α = 120° : essendo un terzo di corona, ottengo 1
1
A = π 802 −502 = π 80 −50 80 +50 = 1300π 'm2 . 3
3
La superficie agibile è il 90,5% di A, ovvero 2253
Aagibile = 1176,5&π =
π )m2 . 2
Essendo la densità (indice di affollamento massimo) pari a 3,25%persone m2 , la capienza massima (
)
(
)(
)
(
)
si trova semplicemente tramite la proporzione 3,25:1 = Nmax : 1176,5,π . Ottengo Nmax ≈ 12012,272 ⇒ Nmax = 12000 persone (approssimato alle centinaia). ii.
()
Esprimendo il tempo t in minuti, determina il polinomio p t di terzo grado che meglio ri-­‐
produce questo andamento, ipotizzando che il numero di spettatori sia 0 all’apertura dei cancelli di ingresso ( t = 0 ) e sia pari al numero massimo consentito Nmax dopo un’ora ( t = 60 ), e che la velocità di accesso sia 0 al momento dell’apertura iniziale degli ingressi e sia ancora 0 dopo un’ora, quando l’afflusso termina e il settore è riempito completamente. Verifica che la funzione rispetti il vincolo di sicurezza sulla massima velocità di accesso degli spettatori nello stadio. Il polinomio che descrive la numerosità ha la forma p t = at 3 + bt 2 + ct + d , dove t esprime il tem-­‐
()
po in minuti. Valgono le seguenti condizioni: • Il numero di spettatori sia 0 all’apertura dei cancelli: p 0 = 0 . Quindi d = 0 . ()
•
Il numero di spettatori sia Nmax dopo un’ora: p 60 = 12000 . Quindi •
216000a + 3600b +60c + d = 12000 . La velocità di accesso sia 0 all’apertura dei cancelli: p! 0 = 0 . Poiché ( )
()
p! t = 3at 2 +2bt + c , si ottiene c = 0 . ()
•
( )
La velocità di accesso sia 0 dopo un’ora: p! 60 = 0 .Quindi 10800a +120b + c = 0 . Mettendo le quattro condizioni a sistema ottengo !d = 0
!3600a +60b = 200 !a = −1 9
#
#
#
#216000a + 3600b +60c + d = 12000 #b = −90a
#b = 10
. ⇔"
⇔"
"
#c = 0
#c = 0
#c = 0
#$10800a +120b + c = 0
#$d = 0
#$d = 0
3 di 17
1 3
t2
2
Quindi il polinomio richiesto è p t = − t +10t , ovvero p t = 90 −t . 9
9
t
La velocità di accesso è espressa dalla funzione p! t = 60 −t . Si chiede di verificare se
3
p! t ≤ 350 $ingressi min . Per far ciò, determino il massimo assoluto di p! t in !"0;#60#$ , la cui esi-­‐
()
()
(
)
() (
)
()
()
stenza è garantita dal Teorema di Weierstrass: 2
p!! t = 30 −t ≥ 0 ⇔ t ≤ 0 , la funzione p! t ammette un massimo relativo all’istante t = 30 3
30
!0;#60# ) il cui valore è p! 30 =
60 − 30 ⇒ (e quindi assoluto in "
$
3
⇒ p" 30 = 300#ingressi min ≤ 350#ingressi min . Il vincolo di sicurezza sulla massima velocità di ac-­‐
() (
)
()
( )
(
)
( )
cesso è quindi rispettato. iii. Determina la funzione che meglio rappresenta il deflusso degli spettatori e, indicato con t = 0 l’apertura dei cancelli e tc (da determinare) l’istante in cui, durante il deflusso, nell’impianto restano meno di 100 spettatori, disegna il grafico della funzione che rappre-­‐
senta il numero di spettatori presenti nell’impianto nell’intervallo !"0;#tc #$ ; ipotizza che l’impianto sia riempito alla massima capienza e che la manifestazione sportiva duri un’ora. Determina inoltre la massima velocità di deflusso degli spettatori dall’impianto. Presumibilmente in questo punto, quando si dice che ‘gli spettatori defluiscono dall’impianto’, si fa riferimento agli spettatori presenti nel settore “Curva Nord”. Sia N la capienza massima dell’impianto (presumibilmente N ≥ Nmax , nell’ipotesi che nell’impianto ci siano altri settori oltre a quello denominato “Curva Nord”). Poiché all’istante t = 0 avviene l’apertura dei cancelli e tenendo conto che: • L’inizio della manifestazione avviene all’istante t = 60 . • L’inizio del deflusso avviene all’istante t = 120 (la manifestazione dura un’ora) Costruiamo la funzione che descrive il deflusso delle persone in modo induttivo: • Dopo un minuto dall’inizio del deflusso (istante t = 121 ) all’interno dell’impianto ci sono ancora N1 = N − 0,05N = N 1− 0,05 . (
)
2
•
) (
)
Dopo tre minuti N = N (1− 0,05) = N (1− 0,05) . •
… •
Dopo un tempo t = tc : Nt = Nt −1 1− 0,05 = N 1− 0,05
•
(
Dopo due minuti N2 = N1 1− 0,05 = N 1− 0,05 . 3
3
2
c
c
(
) (
)
tc −120
. (
)
L’espressione analitica che descrive il deflusso al tempo t è Nt = N 1− 0,05
Nt = N!0,95t−120 . 4 di 17
t−120
, ovvero Determino ora tc : t −120
N!0,95 c
< 100 ⇒ tc > 120 +log 0,95
100
2−logN
⇒ tc > 120 +
. N
log95−2
Quindi "
2−logN $
tc = #120 +
% , dove !" x #$ indica la parte intera di x +1 . log95−2 %
#
Se nell’impianto è solo presente la “Curva Nord”, allora è possibile determinare un valore numeri-­‐
co di tc : procedendo come sopra, ponendo N = 12000 , ottengo tc = 214$minuti . È presumibilmente richiesto di rappresentare la funzione # 2
% t 90 −t
0 ≤ t < 60
% 9
%%
, f t = $ 12000
60 ≤ t < 120
%
%
t−120
120 ≤ t ≤ 214
% 12000&0,95
%&
ovvero nell’ipotesi che nell’impianto sia agibile solamente il 90,5% della “Curva Nord”. Se così non fosse non avrei dati sufficienti per tracciare un grafico qualitativo, mancando completamente i dati relativi all’andamento degli spettatori che entrano nell’impianto e la capienza massima di quest’ultimo. Si tratta di una funzione definita per casi: • Del primo caso il grafico è dato. • Il secondo caso è la funzione costante. • Il terzo caso è un’esponenziale con base minore di 1, quindi decrescente, traslata di 120 unità sull’asse t. Ottengo il seguente grafico: (
)
()
5 di 17
iv. Determina il numero medio di spettatori presenti nell’impianto, nell’intervallo di tempo dall’istante t = 0 (apertura dei cancelli) all’istante t = tc . Anche qui considero l’ipotesi che l’impianto sia costituito dalla sola “Curva Nord”. Per determinare il numero medio degli spettatori presenti basta applicare il Teorema della media integrale di f x (che è continua) nell’intervallo di tempo dato. Il valore medio f c si ottiene ()
()
quindi dalla relazione Calcolo l’integrale:
∫
∫
214
0
214
0
()
(
) ()
f x %dx = 214 − 0 f c . ()
f t dt =
1
9
∫
60
0
(90t −t ) dt +12000 ∫
2
3
60
0
60
dt +12000 ∫ 0,95t−120 dt 0
60
120
4
0,95t−120
= 80 −t t 3 +12000t +12000
60
9
ln0,95
0
(
(
)
) (
)
= 360000 − 0 + 1440000 − 720000 +
214
120
12000
0,9594 −1 ln0,95
(
)
≈ 1312064,46 . ()
Quindi f c ≈
1312064,46
≈ 6131,14 e il numero medio di spettatori è 6131. 214
6 di 17
Problema 2: Il vaso L’azienda in cui lavori produce articoli da giardino e sei stato incaricato di rivedere il disegno di un vaso portafiori realizzato da un tuo collega. Il vaso, di altezza h = 18#cm , è composto da due tron-­‐
chi di cono aventi la base maggiore in comune e il disegno che ti è stato fornito (Figura 1) ne rap-­‐
presenta la sezione longitudinale: Figura 1 Nel riferimento cartesiano utilizzato in Figura 1 l’unità corrisponde a 1 cm. Il direttore del tuo re-­‐
parto ti chiede di: i.
Verificare il valore del volume del vaso progettato dal tuo collega. Se il volume risulta minore di 1,5 litri, bisogna rendere il vaso più alto, fino a fargli raggiungere il volume di 1,5 litri, lasciando però invariate le misure dei diametri corrispondenti ai punti A, S e V, rendendo inoltre la forma meno spigolosa. Per chiarire meglio la sua richiesta, il direttore ti dà un suo disegno, modificato rispetto al precedente (Figura 2). Figura 2 La curva passante per i punti S, V e G, disegnata dal direttore, può essere approssimata con un’iperbole di equazione y = a x (dove a è un parametro reale). 7 di 17
ii.
Determina, approssimando per eccesso al millimetro, i valori delle coordinate h e k del punto G che consentono di soddisfare la richiesta di modifica del vaso. Dopo che un primo esemplare di vaso è stato prodotto, il responsabile della produzione fa rilevare che l’eccessiva spigolosità del profilo del vaso nel punto S ne rende costosa la produzione. iii.
Considera la funzione il cui grafico è rappresentato nella Figura 2, nel semipiano y ≥ 0 ; de-­‐
scrivi la natura del punto S giustificando le tue affermazioni. Lasciando ancora invariate le misure dei diametri corrispondenti ai punti A ed S, individua la funzione razionale intera di secondo grado che consente di congiungere i punti A ed S, eliminando il punto angoloso in S; disegna la nuova sagoma del vaso e individua il punto della curva AS in cui la pendenza del grafico è rimasta immutata rispetto alla sagoma pre-­‐
cedentemente proposta. iv.
Risoluzione. i.
Verificare il valore del volume del vaso progettato dal tuo collega. Per calcolare il volume del vaso, la cosa più semplice è utilizzare la formula del volume del tronco 1
di cono VTC = π H R2 + r 2 + R$r , dove H indica l’altezza del tronco, R il raggio della base maggiore 3
ed r il raggio della base minore. Il vaso è formato da due tronchi di cono: • Il primo con H = x S − x A = 12#cm , R = y S = 6"cm ed r = y A = 3"cm . (
•
)
Il secondo con H = xV − x S = 6"cm , R = y S = 6"cm ed r = yV = 4"cm . 1
1
Ottengo V = π #12 36 + 9+18 + π #6 36 +16 +24 = 404π ≈ 1269,2+cm3 ≈ 1,3+ℓ . 3
3
Alternativamente, è possibile determinare l’espressione analitica della funzione (sono due rette non parallele agli assi e passanti ognuna per due punti dati, basta utilizzare la relazione x − x1 y − y1
): =
x1 − x2 y1 − y2
(
)
(
)
# x
% +3
%
f x =$ 4
% − 1 x +10
%& 3
()
0 ≤ x < 12
12 ≤ x ≤ 18
Quindi V = π
∫
18
0
2
()
f x "dx = π
∫
12
0
2
"x %
$ + 3' "dx + π
#4 &
2
" x
%
∫ 12 $− 3 +10' "dx #
&
18
8 di 17
. ∫
=π
12
0
! x2 3
$
## + x + 9&&&dx + π
" 16 2
%
∫
! x 2 20
$
## − x +100 &&&dx
12
"9 3
%
18
12
18
! x3 3
$
! x 3 10
$
= π ## + x 2 + 9x && + π ## − x 2 +100x &&
" 48 4
%0
" 27 3
% 12
(
) (
)
= π 252− 0 + π 936 − 784 = 404π ≈ 1,3,ℓ . ii.
Determina, approssimando per eccesso al millimetro, i valori delle coordinate h e k del punto G che consentono di soddisfare la richiesta di modifica del vaso. Come prima cosa determino l’equazione dell’iperbole equilatera. Poiché il grafico passa per il pun-­‐
to S 12;$6 , ottengo 12 = a 6 , ovvero a = 72 . La funzione avrà espressione y = 72 x . (
)
Per soddisfare la richiesta del direttore, dovrò porre V = 1500$cm3 . Ora, posso trovare il volume in funzione di h considerando la seguente funzione: " x
$ +3
0 ≤ x < 12
$ 4
g x =#
$ 72
12 ≤ x ≤ h
$% x
()
e calcolando l’integrale V = π
∫
h
0
2
()
g x "dx = π
∫
12
0
2
"x %
$ + 3' "dx + π
#4 &
12
h
2
" 72 %
∫ 12$ x ' "dx
# &
h
! x3 3
$
! 5184 $
= π ## + x 2 + 9x && + π # −
& x % 12
"
" 48 4
%0
" 1 1%
= 252π +5184π $ − ' # 12 h &
"
144 %
= $19 −
'36π . h &
#
Confrontando le due espressioni che danno il volume, riesco a determinare il valore di h: "
144 %
144
125 1 57π −125
432π
= $19 −
= 19 −
⇒ =
⇒h=
⇒ h ≈ 25,1+cm . '36π = 1500 ⇒
h &
h
3π
h
432π
57π −125
#
Infine, osservo che k = g h ≈ 72 25,1 ≈ 2,9'cm (approssimata per eccesso al millimetro). ()
iii.
Considera la funzione il cui grafico è rappresentato nella Figura 2, nel semipiano y ≥ 0 ; descrivi la natura del punto S giustificando le tue affermazioni. La funzione 9 di 17
"
$
$
g x =#
$
$%
()
x
+3
4
72
x
0 ≤ x < 12
12 ≤ x ≤ 25,1
risulta essere ovviamente continua in S volendo descrivere il profilo di un vaso. Comunque sia ne verifico analiticamente la continuità: () ( )
()
6 = lim− g x = g 12 = lim+ g x = 6 . x→12
x→12
Verifico se la funzione e anche derivabile in S: # 1
%
0 < x < 12
% 4
, g! x = $
% − 72
12 < x < 25,1
%& x 2
1
1
ma = lim− g# x ≠ lim+ g# x = − . Quindi S è un punto angoloso e ivi la funzione non è derivabile. x→12
4 x→12
2
iv.
Lasciando ancora invariate le misure dei diametri corrispondenti ai punti A ed S, indi-­‐
vidua la funzione razionale intera di secondo grado che consente di congiungere i punti A ed S, eliminando il punto angoloso in S; disegna la nuova sagoma del vaso e individua il punto della curva AS in cui la pendenza del grafico è rimasta immutata ri-­‐
spetto alla sagoma precedentemente proposta. La funzione richiesta ha la forma y = ϕ x = ax 2 + bx + c . Della funzione ϕ so che ()
()
()
()
•
( )
Il suo grafico passa per il punto S (12;$6) , quindi 144a +12b + c = 6 . •
La sua pendenza in S deve essere pari a −1 2 (così elimino il punto angoloso), •
Il suo grafico passa per il punto A 0;#3 , quindi c = 3 . ovvero 24a + b = −1 2 . Mettendo le tre condizioni a sistema ottengo "24a + b = −1 2
"a = −1 16
$
$
. #144a +12b + c = 6 ⇒ #b = 1
$c = 3
$c = 3
%
%
1 2
x + x + 3 . 16
È richiesto di rappresentare la funzione # 1
% − x 2 + x + 3 0 ≤ x < 12
%
h x = $ 16
% 72
12 ≤ x ≤ 25,1
%& x
e la sua simmetrica rispetto all’asse x. Mediante la trasformazione ()
Quindi la funzione richiesta è ϕ x = −
()
10 di 17
#% x ! = x
, σx :$
%& y! = −y
ottengo la funzione # 1
2
%
% 16 x − x − 3
h x =$
% − 72
%& x
0 ≤ x < 12
()
. 12 ≤ x ≤ 25,1
( )
Il primo caso della funzione h è una parabola con vertice V 8;#7 ; per disegnarlo basta considerare anche i due punti dati A ed S. Del secondo caso della funzione h il grafico è dato. Il primo caso della funzione h è una parabola con vertice V 8;# − 7 ; per disegnarlo basta conside-­‐
(
(
)
(
)
)
rare anche i due punti A! 0;# − 3 ed S! 12;$ −6 , simmetrici rispettivamente di A ed S rispetto all’asse x. Del secondo caso della funzione h il grafico è dato. La nuova sagoma del vaso è rappresentata dal seguente grafico: (
( ))
Per il Teorema del valor medio di Lagrange, esiste almeno un punto P xP ;"ϕ xP con xP ∈ "#0;#12$% del grafico della funzione ϕ che ha la stessa pendenza della retta passante per A e per S (la fun-­‐
zione g). Ottengo ( )
ϕ ! xP =
( ) ( ) ⇒ −1 x
ϕ 12 − ϕ 0
12− 0
8
! 27 $
Il punto richiesto quindi è P #6;# & . 4%
"
11 di 17
P
+1 =
1
⇒ xP = 6 . 4
Quesiti. Risolvi cinque dei dieci quesiti: 3
Quesito 1. Assegnata la funzione y = e x −8 : i.
verificare che è invertibile; ii.
stabilire se la funzione inversa f −1 è derivabile in ogni punto del suo dominio di definizio-­‐
ne, giustificando la risposta. Risoluzione. 3
Suppongo verosimilmente che f x = e x −8 . i.
()
Il dominio della funzione è R. Suppongo quindi che f : R → R . 3
Osservo che lim f x = 0 e lim f x = +∞ . Inoltre f ! x = 3x 2e x −8 > 0 per ogni x ∈ R , ov-­‐
x→−∞
()
x→+∞
()
()
vero la funzione risulta essere sempre crescente. Se ne deduce che la funzione è iniettiva ma non suriettiva, essendo Im f = "#0;% +∞$% . La funzione data quindi non è invertibile, con-­‐
()
trariamente a quanto affermato nel testo. Si presume quindi che devo renderla invertibile. Per fare ciò basta restringere il codominio 3
all’insieme immagine. Ora, la funzione f : R → #$0;$ +∞%& , definita come x ! f x = e x −8 , è invertibile. ()
ii.
3
Essendo la funzione f invertibile, determino l’inversa: y = e x −8 ⇒ x 3 − 8 = lny ⇒ x = 3 8 +lny . Quindi f −1 x = 3 8 +lnx , f −1 : #$0;% +∞%& → R . ()
( ( ))" =
1
Determino l’espressione della derivata: f −1 x
3x
3
(8 +lnx )
2
. Osservo che il suo domi-­‐
nio non coincide con il dominio di f −1 , in quanto D! = { x|x ∈ R∧ x > 0∧8 +lnx ≠ 0} =
= "#0;# +∞$% \ e−8 ( 8 +lnx = 0 ⇒ x = e−8 ), quindi f −1 non è derivabile in "#0;# +∞$% . { }
1
, determinare la soluzione del 2x −1
problema di Cauchy, tenendo conto della condizione iniziale y 1 = 0 . Quesito 2. Data l’equazione differenziale del primo ordine y! =
()
Risoluzione. L’equazione data è a variabili separabili, quindi dy
1
1
=
⇒ dy =
dx ⇒ ∫ dy =
dx 2x −1
2x −1
1
∫ 2x −1 dx ⇒ 1
2
1
dx ⇒ y x = ln 2x −1 + c . Applicando la condizione iniziale determino il valore di ∫
2 2x −1
2
1
1
c: 0 = ln 2−1 + c ⇒ c = 0 . Il problema di Cauchy dato ammette come soluzione y x = ln 2x −1 . 2
2
⇒y=
()
()
12 di 17
(
)
Quesito 3. Di quale delle seguenti equazioni differenziali è soluzione la funzione y = ln x − 3 ? (
2
iii.
) ( )
xy!! − ( x − 3) y! + x +2 = 0 ( x − 3) y"" − ( x − 3) y" +2 = 0 iv.
x 2 y!! + y! + 3x − 9 = 0 i.
ii.
x − 3 y"" − x − 3 y" +2 = 0 2
Giustificare la risposta. Risoluzione. 1
1
. Sostituendo quanto appena trovato nell’equazione iii y = ln x − 3 ⇒ y# =
⇒ y## = −
2
x −3
x −3
(
)
(
)
trovo che ne è proprio la soluzione: 2
( x − 3) y"" − ( x − 3) y" +2 = 0 ⇒ ( x − 3)
2
−1
( x − 3)
2
) x 1− 3 +2 = 0 ⇒ −1−1+2 = 0 ⇒ 0 = 0 . (
− x −3
1
e, nel caso in cui sia convergente, de-­‐
n=0 n + 7n+12
+∞
Quesito 4. Verificare il carattere della serie ∑
2
terminare la sua somma. Risoluzione. Provo a capire il carattere della serie maggiorandola con una serie di carattere noto. Poiché +∞
+∞
1
1
1
1
n2 + 7n+12 > n2 per ogni n ∈ N , 2
< 2 ⇒∑ 2
< ∑ 2 < +∞ , essendo la serie n + 7n+12 n
n=0 n + 7n+12
n=0 n
+∞
1
1
armonica generalizzata ∑ 2 notoriamente (!) convergente (la serie armonica generalizzata ∑ α n=0 n
n=0 n
è convergente quando il parametro reale α > 1 ). n
1
Per trovarne la somma, considero la sua ridotta n-­‐esima ∑ 2
. Noto che i=0 i + 7i +12
+∞
(
) (
)
( )( )
A+ B i + 4A+ 3B
1
1
1
A
B
=
=
+
=
e che , da cui i + 7i +12 i + 3 i + 4
i +3 i +4 i +3 i +4
i +3 i +4
2
( )( )
( )( )
!# A+ B = 0
!# A = 1
. ⇔"
"
#$4A+ 3B = 1 #$B = −1
Ne consegue che n
n #
# 1
1
1
1 & #1 1 & # 1 1& #1 1 &
1 & # 1
1 &
∑ i 2 + 7i +12 = ∑% i + 3 − i + 4 ( = % 3 − 4 (+ % 4 − 5 (+ % 5 − 6 (+!+ % n+2 − n+ 3 (+ % n+ 3 − n+ 4 ( . ' $
' $
' $
'
$
' $
'
i=0
i=0 $
13 di 17
Noto che il secondo addendo di ogni parentesi (tranne nell’ultima) è opposto al primo addendo n
1
1
1
della parentesi successiva. Quindi ∑ 2
. Passando al limite trovo la somma ri-­‐
= −
3
n+
4
i
+
7i
+12
i=0
(i=n) +∞
n
%1
1
1 ( +∞
1
1
1
1
= lim ' −
= ⇒∑ 2
= . chiesta: lim ∑ 2
*⇒∑ 2
n→+∞
n→+∞ 3
n+ 4 ) i=0 i + 7i +12 3 n=0 n + 7n+12 3
&
i=0 i + 7i +12
Quesito 5. Per progettare un sito web è necessario generare dei codici unici di accesso. Si vogliono utilizzare, a tale scopo, due lettere maiuscole dell’alfabeto inglese seguite da una serie di numeri compresi tra 0 e 9. Tutti i codici di accesso dovranno avere lo stesso numero di cifre ed è ammessa la ripetizione di lettere e numeri. Qual è il numero minimo di cifre da impostare in modo da riusci-­‐
re a generare almeno 5 milioni di codici di accesso diversi? Giustificare la risposta. Risoluzione. Si tratta di calcolare una disposizioni con ripetizione. Supposto di utilizzare n cifre, il numero di 2
n
possibili codici distinti sarà 26#26#10#10#…#10
!#"#$ , ovvero 26 #10 . È richiesto di generare almeno 5 mi-­‐
n−1&volte
5#106
⇒ n ≥ 6 +log5−2log26 ⇒ n = 4 . Dunque devo 262
utilizzare due lettere seguite da quattro cifre per ogni codice. Quesito 6. La base di un solido, nel piano Oxy, è il cerchio avente come centro l’origine e raggio 3. Le sezioni del solido perpendicolari all’asse delle x sono quadrati. Calcolare il volume del solido. Risoluzione. Consideriamo la figura seguente, dove è evidenziata la base e una sezione del solido. lioni di codici, quindi 262 #10n ≥ 5#106 ⇒ n ≥ log
Il volume è dato dalla somma (continua) dei volumi dei prismi elementari a base quadrata di lato ℓ x e altezza infinitesima dx , per −3 ≤ x ≤ 3 . Il volume di un prisma elementare è v = ℓ2 x dx . ()
()
Dunque il volume del solido è 3
V = ∫ ℓ2 x dx . −3
()
14 di 17
Resta il problema di determinare la lunghezza del lato del quadrato in funzione della variabile x. A tal fine considero l’equazione della circonferenza di centro O e raggio 3: C: x 2 + y 2 = 9 . Da tale equazione determino le coordinate generiche dei punti A e B, aventi la stessa ascissa x: x 2 + y 2 = 9 ⇒ y = ± 9 − x 2 , quindi (
)
(
)
A x;" − 9 − x 2 e B x;" 9 − x 2 . Ne consegue che ℓ x = AB = 2 9 − x 2 . ()
3
3
#
4 &
Quindi V = ∫ 4 9 − x dx = % 36x − x 3 ( = 72− −72 = 144 . 3 ' −3
$
−3
(
2
)
( )
Quesito 7. Trovare l’equazione del piano tangente alla superficie sferica avente centro nell’origine e raggio 2, nel suo punto di coordinate 1;#1;#z , con z reale negativo. (
)
Risoluzione. La situazione è descritta dalla figura seguente: Come prima cosa determino l’equazione della sfera: S: x 2 + y 2 + z 2 = 4 . Ora, la quota del punto (z<0)
2
2
2
B ∈ S è 1 +1 + z = 4 ⇒ z = ± 2 ⇒ z = − 2 . Il piano tangente alla sfera S in B è perpendicolare al raggio della sfera in B, ovvero è perpendicolare alla retta r passante per O e per B. L’equazione del-­‐
la retta r si determina facilmente dalla relazione x − xB
y − yB
z − zB
. =
=
xB − xO yB − yO zB − zO
15 di 17
Per cui "$ x − y = 0
r :#
. %$ 2y + z = 0
Sia Γ : ax + by + cz + d = 0 l’equazione del piano da trovare. Tale piano avrà gli stessi coefficienti di-­‐
rettivi della retta r ad esso perpendicolare. Determino allora i coefficienti direttivi della retta. Posto y = t , ottengo "x = t
$
r: r : # y = t
. $
% z = − 2t
(
)
Ovvero 1;#1;# − 2 . Quindi Γ : x + y − 2z + d = 0 . Resta da determinare il valore di d. imponendo il passaggio di Γ per B, trovo 1+1+ 2# 2 + d = 0 , cioè d = −4 . Quindi il piano richiesto ha equazione Γ : x + y − 2z − 4 = 0 . Quesito 8. Calcolare l’integrale indefinito ∫ arcsinx + arccos x dx e rappresentare graficamente la (
)
(
)
funzione primitiva passante per il punto 2 π ;#2 . Risoluzione. # π π&
Risolvo l’integrale con il metodo della sostituzione, ponendo x = sint , con t ∈ %− ;# ( , da cui $ 2 2'
dx = cost$dt . " " π %% π
Dunque arcsinx = arcsin sint = t e arccos x = arccos sint = arccos $$ cos $ −t ''' = −t . # # 2 && 2
# π &
π
Andando a sostituire trovo I x = ∫ arcsinx + arccos x dx = ∫ %t + −t (cost)dt = ∫ cost)dt = 2
$ 2 '
( )
( )
() (
=
)
π
π
sint + c = x + c . 2
2
(
)
Imponendo il passaggio per 2 π ;#2 trovo la primitiva richiesta: π 2
+ c = 2 ⇒ c = 1 , da cui: 2π
π
x +1 . 2
Il grafico è semplicemente quello di una retta con coefficiente angolare π 2 e ordinata all’origine pari a 1: ()
I x =
16 di 17
Quesito 9. Calcolare il seguente integrale improprio: ∫
+∞
2
1
dx . x"ln2 x
Risoluzione. I modo. +∞
x
1
1
lim ∫
dt . Determino il valore di I x =
∫ 2 x"ln2 x dx = x→+∞
2
t"ln2 t
() ∫
1
I x = ∫ " lnt
2
t
()
x
( )
−2
(lnt )
dt =
x
−2+1
−2+1
2
Passando al limite trovo ∫
+∞
2
x
% 1
1
1 ( 1
. dx
=
lim
−
'
*=
x→+∞ ln2
lnx ) ln2
x"ln2 x
&
() ∫
∫
2
1
dt =
t"ln2 t
1
dt : t"ln2 t
1
1
1
=−
=
−
. lnt 2 ln2 lnx
II modo. +∞
x
1
1
lim ∫
dt . Determino il valore di I x =
∫ 2 x"ln2 x dx = x→+∞
2
t"ln2 t
x
x
2
x
x
2
1
dt : t"ln2 t
x
"
x
x
1 1
1 %
−2
1
1
∫ 2 t "ln2 t dt = $lnt"ln2 t ' − ∫ 2 lnt"t"ln3 t dt = lnt +2 ∫ 2 t"ln2 t dt . Noto che nell’ultimo #
&2
2
x
membro ho riottenuto l’integrale di partenza. Prendendo in considerazione il primo e l’ultimo x
x
1
1
+2I x che ha come soluzione I x = −
membro, ottengo l’equazione I x =
. Quindi lnt 2
lnt 2
()
∫
x
2
()
1
1
1
. Passando al limite trovo dt =
−
2
ln2 lnx
t"ln t
∫
()
+∞
2
% 1
1
1 ( 1
. dx
=
lim
−
'
*=
x→+∞ ln2
lnx ) ln2
x"ln2 x
&
Quesito 10. In una stazione ferroviaria, fra le 8 e le 10 del mattino, arrivano in media ogni 20 mi-­‐
nuti due treni. Determinare la probabilità che in 20 minuti: i.
non arrivi alcun treno; ii.
ne arrivi uno solo; iii.
ne arrivino al massimo quattro. Risoluzione. λ x −λ
Si tratta chiaramente di una distribuzione di Poisson, descritta dalla relazione P X = x = e , x!
dove λ rappresenta il numero medio di eventi nell’intervallo di tempo dato. 20
i.
P X = 0 = e−2 ≈ 0,135 = 13,5% . 0!
21
ii.
P X = 1 = e−2 ≈ 0,271 = 27,1% . 1!
iii.
In quest’ultimo caso faccio ricorso alla funzione di ripartizione (
(
)
(
)
4
() ( ) ( )
F ( 4) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3) + P ( X = 4) F 4 = P X ≤ 4 = ∑P X = i . Ottengo: i:0
! 20 21 22 23 24 $
!
4 2$
= ## + + + + && e−2 = #1+2+2+ + &e−2 = 7e−2 ≈ 0,947 = 94,7% 3 3%
"
" 0! 1! 2! 3! 4! %
17 di 17
)