lenti e specchi

Dall’appello del 16/7/04
Due lenti sottili una convergente di focale |f1|=10cm e l’altra divergente di focale |f2|=15cm distano tra
loro D = |f1|+|f2|. Un ago di altezza h=2cm è posto a distanza s=20cm dalla lente di focale f1. Si
determini la posizione dell’immagine dell’ago formata dal sistema di lenti e l’altezza di tale immagine.
Soluzione
Questo tipo di problemi con le lenti hanno una soluzione veramente standard, una volta che ci si ricorda
le convenzioni dei segni, basta seguire la luce da dove parte a dove arriva e si risolve.
Le convenzioni sono che una lente convergente ha le coordinate dei fuochi positive, una divergente ha
le coordinate dei fuochi negative. Chiamiamo primo fuoco il punto tale che i raggi che arrivano alla
lente passando per esso (o puntando ad esso, lenti div.), dopo la lente procedono parallelamente all’asse
ottico, secondo fuoco il punto in cui convergono i raggi (o i loro prolungamenti, lenti div.) che arrivano
sulla lente parallelamente all’asse ottico. Allora una lente convergente ha il primo fuoco dalla parte in
cui arrivano i raggi ed il secondo fuoco dalla parte opposta, mentre per una lente divergente le posizioni
dei fuochi sono invertite. Inoltre si considerano reali oggetti e immagini che si trovano nel punto
d’incontro di raggi e virtuali quelli che si trovano nel punto d’incontro di prolungamenti dei raggi. Per
quanto riguarda i segni: immagini e oggetti reali hanno segno positivo mentre quelli virtuali hanno
segno negativo. Detto questo la maggior parte dell’esercizio è fatta!
Cominciamo considerando solo la prima lente e dimenticandoci della seconda:
L’oggetto è posto a sinistra della lente convergente quindi posso scrivere:
1
1 1
+ =
p1 i1 f1
p − f1
1 1
1
=
−
= 1
i1 f1 p1
p1 f1
i1 =
p1 f1
20 ⋅ 10
=
= 20cm
p1 − f1 20 − 10
Quindi l’immagine della prima lente si trova 20 cm a destra ed è quindi reale. A questo punto questa
immagine diventa l’oggetto per la seconda lente, con un accorgimento importante: la sua coordinata va
ricalcolata perché bisogna passare dall’asse delle p1 con origine sulla prima lente e diretto verso destra,
a quello delle p2 con origine sulla seconda lente e diretto verso sinistra:
p 2 = L − i1 = 5cm
da notare che questa sottrazione poteva benissimo risultare negativa: in questo caso voleva dire che
l’immagine reale della prima lente era l’oggetto virtuale per la seconda lente (perché trovandosi a
destra di essa sarebbe stato formato dai prolungamenti dei raggi). Ma torniamo al nostro semplice caso.
Dimentichiamoci che il nostro nuovo oggetto è in realtà l’immagine di un’altra lente e usiamo
tranquillamente la solita formula per trovarne l’immagine:
1
1
1
+ =
p 2 i2
f2
p − f2
1
1
1
=
−
= 2
i2
f 2 p2
p2 f 2
i2 =
p2 f 2
− 15 ⋅ 5
=
= −3.75cm
p 2 − f 2 5 + 15
il fatto che sia negativa vuol semplicemente dire che si trova a sinistra della seconda lente ed è quindi
virtuale. Detto in modo grafico:
Si possono notare i fuochi della seconda lente che hanno le posizioni rovesciate rispetto a quelli della
prima. Inoltre il raggio che dall’oggetto punta verso il primo fuoco, dopo la lente procede parallelo
all’asse ottico; mentre il raggio che arriva sulla lente parallelamente all’asse ottico viene deviato come
se provenisse dal secondo fuoco ( il fatto che i due secondi fuochi delle lenti coincidano in questo
momento è del tutto ininfluente).
Possiamo ora trovare i due ingrandimenti delle lenti:
m1 = −
i1
i
= −1 e m 2 = − 2 = 0.75
p1
p2
quindi alla fine l’ago risulta di dimensione:
h ′ = mT ⋅ h = m1 ⋅ m 2 ⋅ h = −1.5cm
dove il segno negativo indica che l’immagine finale è capovolta rispetto all’oggetto iniziale.
Appello del 1/7/2004 versione A
Una diapositiva illuminata è montata ad una distanza D = 44 cm da uno schermo. Se vogliamo che una
lente di lunghezza focale f =11 cm metta a fuoco l’immagine sullo schermo, determinare:
a) la distanza dalla diapositiva alla quale deve essere posta la lente;
b) se l’immagine è reale o virtuale, l’ingrandimento e l’orientazione rispetto all’oggetto nella
diapositiva.
c) Se si vuole riflettere con uno specchio sferico (di raggio |R| = 10 cm) tale immagine in un punto
dell’asse ottico in modo che questa seconda immagine sia reale, orientata come l’oggetto in diapositiva
e con ingrandimento uguale ad 1 rispetto alla diapositiva, determinare il tipo di specchio e la posizione
del suo vertice rispetto alla prima immagine.
Soluzione
La prima cosa da fare è disegnare cosa sta succedendo: abbiamo una lente con focale positiva, quindi
convergente che sta fra una diapositiva ed uno schermo:
A questo punto abbiamo 2 strade per risolvere il problema: chi è molto preciso può tentare la
risoluzione grafica, mentre per gli altri bisogna fare un minimo di conti. Vediamoli entrambi.
Se cerco graficamente l’immagine della diapositiva per la posizione che ho scelto della lente ottengo:
Per trovarla mi devo ricordare la proprietà dei fuochi delle lenti sottili: ogni raggio che arriva sulla
lente passando dal primo fuoco, dopo la lente procede parallelamente all’asse ottico; ogni fascio che
arriva sulla lente parallelamente all’asse ottico, deve passare per il secondo fuoco. Il punto in cui
s’incontrano due raggi corrisponde all’immagine del punto di partenza. In figura ho preso come
riferimento per sapere dov’è l’immagine della diapositiva, la punta della freccia (il fatto che uno dei
due raggi passi sotto la lente senza toccarla, non è importante, le informazioni che contano per fare il
disegno sono: le posizioni dei fuochi, l’asse ottico e la posizione della lente su tale asse). Come si vede
la posizione attuale della lente non va bene, perché l’immagine si forma dietro lo schermo e non sopra
di esso. Se inizio a spostare a poco a poco la lente verso destra, l’immagine si sposta verso sinistra e
diventa sempre più piccola. Alla fine si sovrapporrà allo schermo, dando la soluzione cercata:
In effetti essere molto precisi non è facile, ma da qui s’intuisce già quale potrebbe essere la soluzione
numerica. Quello che sicuramente possiamo dire subito è che l’immagine è capovolta ed è reale in
quanto formata dai raggi e non dai loro prolungamenti.
Per la soluzione numerica iniziamo con le condizioni: la lente sta nel mezzo fra lo schermo e la
diapositiva, quindi la somma delle distanze dalla lente di schermo e diapositiva deve essere uguale a D.
Inoltre queste distanze devono essere legate dalla legge delle lenti sottili. Queste condizioni devono
valere contemporaneamente, quindi bisogna mettere le equazioni in un sistema:
1 1 1
+ =
p i
f
p+i= D
1
1
1
+
=
p D− p
f
i= D− p
p 2 − Dp + Df = 0
i= D− p
p=
D±
D 2 − 4 Df
= 22 cm
2
i = D − p = 22 cm
Quindi la lente va messa esattamente a metà strada fra la diapositiva e lo schermo. Per sapere
l’ingrandimento basta fare:
−i
m=
= −1
p
cioè l’immagine è capovolta rispetto all’oggetto ed ha la stessa dimensione. Inoltre è reale perché la sua
coordinata è maggiore di zero.
In effetti forse il metodo più efficace per risolvere problemi di questo tipo è quello di fare un disegno di
massima tanto per vedere quali sono le condizioni da imporre; fare i conti per trovare la soluzione
numerica e poi se si vuol essere più sicuri disegnare la soluzione grafica conoscendo già come mettere
gli oggetti.
Anche per l’ultima domanda del problema abbiamo la scelta della soluzione grafica o di quella
analitica. Prima di cominciare però possiamo subito dire qualcosa: l’oggetto che si rifletterà sullo
specchio (che chiameremo ps) è l’immagine formata dalla lente ( il ). L’immagine successiva formata
dallo specchio ( is ) deve essere rovesciata rispetto all’immagine fatta dalla lente in modo da essere
orientata come la diapositiva. Uno specchio convesso non può dare un’immagine rovesciata e reale allo
stesso tempo, quindi lo specchio che cerchiamo deve essere concavo. In più anche prendendo uno
specchio concavo, l’immagine è rovesciata solo se l’oggetto si trova ad una distanza dallo specchio
maggiore del fuoco (che si trova a metà del raggio). Facciamo un primo tentativo:
Per trovare l’immagine ho usato le proprietà di due raggi particolarmente importanti: il raggio che
arriva sullo specchio parallelamente all’asse ottico che viene riflettuto in direzione del fuoco; il raggio
che passa per il centro che viene riflettuto su se stesso. Come si vede l’immagine formata dallo
specchio è rovesciata, solo che è troppo piccola rispetto all’originale. Se avviciniamo lentamente lo
specchio al suo oggetto (cioè all’immagine formata dalla lente) l’immagine s’ingrandisce e si sposta
verso sinistra. Alla fine otteniamo:
Questa volta la soluzione grafica è ancora più chiara, ma veniamo ai conti. La formula per gli specchi è
la stessa che si usa per le lenti sottili, basta ricordarsi che ora il fuoco è uguale a metà del raggio e che
per uno specchio concavo le coordinate di oggetto e immagine si considerano positive se sono dalla
parte del fuoco. Inoltre dato che lo specchio è concavo il fuoco è positivo. L’altra condizione è che
l’ingrandimento sia uguale a –1 (immagine rovesciata e della stessa dimensione).
1 1 2
+ =
p i R
−i
= −1
p
2 2
=
p R
i= p
p=R
i=R
Quindi il vertice dello specchio deve stare ad una distanza dalla prima immagine uguale a 10cm.