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Le lenti
Definizioni riguardo alle lenti sferiche
Una lente è un mezzo trasparente limitato da due
superfici di cui almeno una curva.
Si chiama asse ottico della lente la retta che congiunge i
centri di curvatura C1 e C2 delle due calotte sferiche;
queste incontrano l’asse ottico nei
punti V1 e V2 detti vertici della lente.
Se la distanza V1V2 è trascurabile
rispetto ai raggi di curvatura, si tratta
di lente sottile. In questo caso i due vertici si confondono con il punto O, il
centro ottico della lente, ottenuto dall’intersezione tra la lente e l’asse ottico. In
una lente sottile ogni raggio luminoso che passa per il centro ottico non subisce
alcuna deviazione.
Prima classificazione delle lenti
 Lenti convergenti: un raggio luminoso che attraversa una lente convergente viene rifratto verso
l’asse ottico
 Lenti divergenti: un raggio luminoso che attraversa una lente divergente viene allontanato
dall’asse ottico.
Le lenti convergenti hanno il bordo sottile e il centro spesso, quelle divergenti hanno il centro sottile
e il bordo spesso.
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Seconda classificazione delle lenti
Le lenti possono essere classificate in base alla loro forma:
Lente convergente
I raggi luminosi che attraversano una lente sottile convergente parallelamente all’asse ottico
convergono tutti in un punto F dell’asse stesso, detto fuoco della lente. Ciò accade sia che si
inviino i raggi da una parte che dall’altra della lente, per cui la lente ha due fuochi, F e F’. I due
fuochi hanno la stessa distanza dal centro O della lente. Tale distanza si chiama distanza focale f.
Se poniamo una sorgente luminosa in un fuoco della lente, per il principio di invertibilità del
cammino ottico dall’altra parte di essa emergerà un fascio di raggi paralleli all’asse ottico.
Possiamo quindi concludere che ogni raggio incidente su una lente sottile convergente, parallelo
all’asse ottico, emerge passando per il fuoco della lente; viceversa, ogni raggio incidente e passante
per il fuoco della lente, emerge parallelo all’asse ottico.
La costruzione geometrica delle immagini di una lente convergente
Se poniamo una sorgente luminosa davanti a una lente sottile convergente, oltre la lente si formerà
una immagine della sorgente.
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Partendo dalla posizione della sorgente rispetto alla lente, possiamo costruire geometricamente la
sua immagine.
Consideriamo un punto luminoso S; per costruire la sua immagine S’ tracciamo due raggi uscenti da
S, scelti tra le seguenti possibilità:
 il raggio incidente SO passante per il centro della lente,
che prosegue in linea retta;
 il raggio incidente SL parallelo all’asse ottico, che emerge
dalla lente passando per il fuoco F;
 il raggio incidente SF’ passante per il fuoco F’, che
emerge dalla lente in modo parallelo all’asse ottico.
L’intersezione di due raggi emergenti scelti tra i tre forma
l’immagine S’; qualunque altro raggio uscente da S, dopo
aver attraversato la lente, passa per S’.
Un oggetto AB è formato da infiniti punti luminosi; l’immagine di ciascuno di essi può essere
costruita oltre la lente con il metodo appena descritto. L’unione di tutti i punti immagine forma
l’immagine A’B’ della sorgente AB.
Formula dei punti coniugati per una lente sottile convergente
Consideriamo una lente sottile convergente. Indicata con f la distanza focale della lente, con p la
distanza della sorgente luminosa e con q la distanza dell’immagine misurate dal centro O della
lente, si può dimostrare che le tre distanze sono legate tra loro dalla seguente relazione, detta
1 1 1
formula dei punti coniugati:
 
p q
f
Per la lente sottile convergente p e f sono distanze positive, mentre q è positiva se l’immagine è
reale, ossia se i raggi si incontrano dalla parte opposta rispetto alla sorgente, è negativa se
l’immagine è virtuale, ossia se si incontrano i prolungamenti dei raggi dalla stessa parte della
sorgente.
Ingrandimento lineare di una lente convergente
Definiamo ingrandimento lineare di una lente convergente il rapporto G tra l’altezza hi
hi
q

dell’immagine e l’altezza ho della sorgente. Si può dimostrare che vale:
per
cui
ho
p
q
l’ingrandimento lineare è dato da: G = ─ .
L’ingrandimento G è un numero puro perché è il
p
rapporto tra due grandezze omogenee. È positivo per le immagini diritte rispetto all’oggetto,
negativo per le immagini capovolte.
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Esempio 1 – Calcolo della posizione dell’immagine, delle sue caratteristiche e
dell’ingrandimento prodotto da una lente sottile convergente
Consideriamo una lente sottile convergente di distanza focale f = 5,0 cm. Una sorgente luminosa a forma di
freccia, alta 4,0 cm, viene posta perpendicolarmente all’asse ottico alla distanza p = 12,0 cm dal centro O
della lente. Vogliamo determinare la distanza q dell’immagine dal centro O, il valore dell’ingrandimento
lineare G e le caratteristiche dell’immagine.
Scriviamo i dati del problema
Distanza focale della lente
f = 5,0 cm
distanza sorgente-lente p = 12,0 cm
altezza della sorgente
ho = 4,0 cm
Incognite
Distanza immagine-lente
ingrandimento lineare
caratteristiche dell’immagine
p
G
Analisi e soluzione
Per determinare la distanza q utilizziamo la formula dei punti coniugati:
5,0 cm  12,0 cm
 8,6 cm
12,0 cm - 5,0 cm
q
8,6 cm
Calcoliamo ora l’ingrandimento lineare: G    
  0,72 .
p
12,0 cm
1
1
1
 
12,0 cm q 5,0 cm
da cui ricaviamo:
q
Utilizzando la formula dell’ingrandimento calcoliamo l’altezza dell’immagine:
hi = │G│∙ ho = 0,72 ∙ 4,0 cm = 2,9 cm: l’immagine risulta rimpicciolita.
Costruiamo ora geometricamente l’immagine. Disegniamo l’asse ottico, il simbolo della lente convergente e
i due fuochi a ugual distanza da O. Disegniamo la freccia AB a una distanza da O più del doppio della
distanza focale (p > 2f). Tracciamo due raggi che partono dal punto B: il primo parallelo all’asse ottico e il
secondo passante per il centro O; essi si intersecano nel punto B’ dopo aver attraversato la lente. Proiettiamo
B’ sull’asse ottico determinando il punto A’. Otteniamo l’immagine A’B’ reale, rimpicciolita e capovolta.
Lente divergente
I raggi paralleli all’asse ottico che incidono su una lente sottile divergente emergono in modo che i
loro prolungamenti si intersecano tutti in un punto F dell’asse, detto fuoco della lente, dalla stessa
parte della sorgente. Poiché non ci sono raggi luminosi che lo attraversano effettivamente, il fuoco
della lente divergente è virtuale.
Costruzione delle immagini, formula dei punti coniugati e ingrandimento per una lente
divergente
Per costruire l’immagine di una sorgente luminosa prodotta da una lente divergente disegniamo due
raggi scelti tra le seguenti possibilità:
 un raggio parallelo all’asse ottico, divergente in modo che il suo prolungamento passi per il
fuoco F;
 un raggio che passa per il centro della lente e che prosegue senza essere deviato;
 un raggio diretto verso il fuoco al di là della lente, quando incontra la lente viene deviato in
modo parallelo all’asse ottico.
Il punto di intersezione dei due raggi è l’immagine della sorgente luminosa. L’immagine è sempre
virtuale, diritta e rimpicciolita. L’immagine ottenuta dalla lente divergente può essere vista
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solamente guardando la sorgente luminosa attraverso la lente stessa e non può essere proiettata su
uno schermo oltre la lente, quindi è virtuale.
1 1 1
 
p q
f
dove la distanza focale f è negativa perché i fuochi di una lente divergente sono virtuali.
Anche per la lente divergente vale la formula dei punti coniugati:
Esempio 2 – Calcolo della posizione dell’immagine e dell’ingrandimento prodotto da una lente
divergente
Consideriamo una lente divergente di distanza focale f = − 25,0 cm. Un oggetto luminoso è posto alla
distanza p = 1,20 m dalla lente. Vogliamo determinare a quale distanza q dalla lente si forma l’immagine e
calcolare l’ingrandimento lineare.
Scriviamo i dati del problema
Distanza focale
f = − 25,0 cm
distanza sorgente-lente p = 1,20 m = 120 cm
Incognite
Distanza immagine-lente q
ingrandimento lineare G
Analisi e soluzione
Utilizziamo la formula dei punti coniugati:
1
1
1


q  25 cm 120 cm
da cui otteniamo:
Calcoliamo l’ingrandimento G  
q
25 cm  120 cm
  20,7 cm
25 cm  120 cm
 20,7 cm
1
 0,173  .
120 cm
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L’immagine è virtuale (q < 0), rimpicciolita (G < 1) e diritta.
Potere diottrico o convergenza di una lente
Abbiamo visto che un fascio di raggi paralleli all’asse ottico passando attraverso una lente sottile
convergente converge nel fuoco della lente; la lente tanto più devia i raggi emergenti, quanto più
piccola è la distanza focale.
Definiamo quindi potere diottrico, o convergenza della lente la grandezza D espressa dalla
1
formula: D = .
f
Il potere diottrico D si misura in m−1, che nella pratica si chiama diottria: 1 diottria = 1 m−1. Il
potere diottrico si calcola anche per una lente divergente ed ha segno negativo (convergenza
negativa).
La lente di ingrandimento
La lente di ingrandimento è
una
lente
sottile
convergente; un oggetto
viene posto tra il suo fuoco
e il centro ottico. L’occhio
osserva l’oggetto attraverso
la lente e vede la sua
immagine virtuale, diritta e
ingrandita.
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L’occhio umano
L’occhio umano è un organo che permette all’uomo di vedere un oggetto luminoso.
L’occhio è una sfera di circa 25 mm di diametro. Sulla parete interna posteriore si trova la retina
costituita da cellule sensibili alla luce. Tali cellule si dividono in bastoncelli sensibili all’intensità
luminosa, e in coni sensibili ai colori.
Il nervo ottico trasmette al cervello, per mezzo di impulsi elettrici, le informazioni ricevute dalla
retina. Il cervello elabora queste informazioni costruendo l’immagine.
La luce entra nell’occhio attraversando vari organi trasparenti, ognuno con la propria funzione:
 la cornea è una membrana che protegge l’occhio da polvere o da altri agenti esterni;
 l’iride, al cui centro si trova il foro della pupilla, è un diaframma che regola la quantità di luce
che entra nell’occhio;
 tra la cornea e l’iride si trova l’umor acqueo che funziona da lubrificante;
 dietro l’iride c’è il cristallino: è una lente convergente che rende nitida (focalizza) sulla retina
l’immagine dell’oggetto osservato. Il muscolo ciliare modifica di volta in volta, in modo da
variare la sua distanza focale, la forma del cristallino cambiandone il raggio di curvatura
(accomodamento dell’occhio);
 l’occhio è mantenuto sferico dall’umor vitreo, una sostanza gelatinosa e trasparente.
La massima distanza alla quale può trovarsi un oggetto per essere visto distintamente si chiama
punto remoto; la minima distanza, detta distanza della visione distinta, al di sotto della quale un
oggetto non è più visibile distintamente e appare confuso, si chiama punto prossimo. Per un occhio
normale il punto prossimo si trova a circa 10 cm dal cristallino.
Due difetti dell’occhio
Miopia: si ha quando l’immagine di un oggetto viene focalizzata davanti alla retina anziché su di
essa. Si corregge ponendo una lente divergente davanti all’occhio, in modo da portare
l’immagine sulla retina.
Presbiopia: si manifesta quando l’immagine è focalizza dietro la retina. Si corregge per mezzo di
una lente convergente posta davanti all’occhio che riporta l’immagine sulla retina.
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Verifiche di comprensione
1. Spiega che cos’è una lente
2. Spiega che cosa si intende per lente sferica
3. Che cos’è l’asse ottico di una lente?
4. Quali sono i vertici di una lente?
5. Che cos’è il centro ottico?
6. Descrivi come si comporta un raggio luminoso quando attraversa il centro ottico di una lente
7. Che cosa si intende per lente sottile e qual è l’approssimazione che si compie?
8. Spiega qual è la prima classificazione delle lenti illustrandone i tipi
9. Spiega qual è la seconda classificazione delle lenti illustrandone i tipi
10. Spiega come si ottiene il fuoco della lente convergente
11. Che cos’è la distanza focale?
12. Che cosa succede se si pone una sorgente luminosa nel fuoco di una lente convergente?
13. Descrivi i tre raggi che permettono di disegnare la costruzione dell’immagine di un oggetto attraverso la
lente convergente
14. Scrivi la formula dei punti coniugati per una lente convergente
15. Che cosa si intende per immagine virtuale e che segno ha la sua distanza dal centro ottico?
16. Che cos’è l’ingrandimento lineare di una lente convergente?
17. In che unità si misura l’ingrandimento lineare?
18. Come si comportano i raggi paralleli all’asse ottico che attraversano una lente divergente?
19. Perché il fuoco di una lente divergente è virtuale?
20. Com’è l’immagine generata da una lente divergente?
21. Come sono i segni delle grandezze nella formula dei punti coniugati per una lente divergente?
22. Che cosa si intende per potere diottrico di una lente?
23. Come sono i segni del potere diottrico rispettivamente per una lente convergente e per una lente
divergente?
24. Qual è l’unità di misura del potere diottrico?
25. Che tipo di lente è la lente d’ingrandimento e dove deve essere posto l’oggetto da osservare?
26. Che cos’è la retina dell’occhio umano?
27. A che cosa sono sensibili i bastoncelli della retina?
28. A che cosa sono sensibili i coni della retina?
29. Che cos’è e a che cosa serve la cornea?
30. Che cos’è e a che cosa serve l’iride?
31. Che cos’è la pupilla?
32. Che cos’è e a che cosa serve l’umor acqueo?
33. Che cos’è e a che cosa serve il cristallino?
34. Che cos’è e a che cosa serve il muscolo ciliare?
35. Che cos’è il punto remoto?
36. Che cos’è il punto prossimo?
37. Che cos’è la distanza della visione distinta?
38. Spiega quando si manifesta la miopia e come si corregge
39. Spiega quando si manifesta la presbiopia e come si corregge
Verifiche di conoscenza
1. In mancanza di fiammiferi per accendere un fuoco si possono utilizzare gli occhiali e i raggi del Sole.
Quale tipo di occhiali è opportuno utilizzare?
a. Gli occhiali di una persona presbite
b. Gli occhiali di una persona miope
c. Indifferentemente gli occhiali per presbite o per miope
2. Un oggetto è posto a una distanza dal centro ottico di una lente convergente più del doppio della distanza
focale. L’immagine che si ottiene è:
a. reale, ingrandita e diritta
b. reale, rimpicciolita e capovolta
c. reale, ingrandita e capovolta
d. virtuale, ingrandita e diritta
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3. Un oggetto si trova a una distanza pari al doppio della distanza focale di una lente convergente.
L’ingrandimento che si ottiene vale:
a. 1
b. 2
c. ½
4. Un oggetto è posto a una distanza pari alla metà della distanza focale di una lente divergente. Dove si
può mettere lo schermo su cui si forma l’immagine?
a. A una distanza doppia della distanza focale dalla parte opposta dello schermo
b. A una distanza doppia della distanza focale dalla stessa parte dello schermo
c. Non è possibile ottenere l’immagine sullo schermo
5. Associa a ogni situazione l’immagine che si ottiene con una lente convergente:
a) oggetto tra fuoco e centro della lente
1) immagine reale, ingrandita e capovolta
b) oggetto nel fuoco
2) non si forma l’immagine
c) oggetto tra il fuoco e il doppio della distanza
3) immagine virtuale, ingrandita e diritta
focale
d) oggetto posto nel doppio della distanza focale
4) immagine reale, rimpicciolita e capovolta
e) oggetto posto al di là del doppio della distanza 5)immagine reale, uguale all’oggetto e capovolta
focale
6. Vero/Falso
V
F
a. Il segno della distanza dell’oggetto dalla lente è sempre positivo


b. La distanza dell’immagine dalla lente è negativa quando l’immagine è virtuale


c. L’ingrandimento è sempre positivo perché è un numero puro


d. L’immagine che si osserva con la lente di ingrandimento è capovolta


e. Il potere diottrico è un numero puro


Problemi
1. Un oggetto è posto alla distanza di 25 cm da una lente convergente e la sua immagine reale si forma a 64
cm dalla lente. Calcola la distanza focale della lente.
2. La distanza focale di una lente convergente è di 5,0 cm. Ponendo un oggetto alto 2,0 cm alla distanza p
di 8,0 cm, determina dove si forma l’immagine, il valore dell’ingrandimento, le caratteristiche
dell’immagine e la sua altezza.
3. L’immagine reale prodotta da una lente convergente si trova a 12 cm dal centro ottico, mentre la distanza
focale vale 6,0 cm. Determina la posizione dell’oggetto luminoso e l’ingrandimento ottenuto.
4. Un oggetto è posto a 24,0 cm da una lente convergente; l’altezza dell’immagine reale coincide con
quella dell’oggetto. Calcola l’ingrandimento ottenuto, la distanza dell’immagine dalla lente e la distanza
focale.
5. Una lente convergente ha una distanza focale di 8,00 cm. Poniamo un oggetto a 6,00 cm, a 12,0 cm, a
16,0 cm e a 40,0 cm dalla lente. Calcola per ogni caso la posizione dell’immagine e le sue caratteristiche.
6. Il potere diottrico di una lente convergente è di 25 diottrie. Calcola la distanza focale. Ponendo un
oggetto alla distanza p dalla lente si ottiene una immagine reale con un ingrandimento uguale a 2,0.
Calcola a che distanza si trovano l’oggetto e la sua immagine.
7. La distanza focale di una lente divergente è di − 10 cm. Determina dove si trova l’immagine di un
oggetto posto alla distanza di 15 cm dalla lente.
8. Un oggetto è posto a 10 cm dal centro di una lente divergente con distanza focale − 8,0 cm. Determina la
posizione dell’immagine e le sue caratteristiche. Calcola inoltre l’ingrandimento che si ottiene.
9. Un oggetto è posto a 20 cm dal centro di una lente divergente; la sua immagine si forma a − 12 cm dalla
lente. Calcola la distanza focale della lente.
10. L’ingrandimento di una lente divergente è pari a 0,54. L’immagine di un oggetto si forma a −3,0 cm dal
centro della lente. Determina dove si trova l’oggetto e la distanza focale della lente.
11. Una persona miope non riesce a distinguere gli oggetti posti a una distanza superiore a 1,20 m dai propri
occhi (punto remoto). Determina quale tipo di lente deve utilizzare per poter distinguere gli oggetti posti
molto lontano, la distanza focale di tale lente e il suo potere diottrico. (Suggerimento: la lente deve
produrre a 1,20 m dagli occhi l’immagine di un oggetto posto all’infinito)
12. Un anziano per leggere utilizza lenti da 2,3 diottrie. Con esse può leggere il giornale posto a 25 cm dagli
occhi. Calcola dove deve porre il giornale (punto prossimo) per leggerlo senza l’uso degli occhiali.
(Suggerimento: quando il giornale è posto a 25 cm dall’occhio, gli occhiali formano un’immagine
virtuale nel punto prossimo, alla distanza q dall’occhio)