Propagazione delle onde

1
2 PROPAGAZIONE DELLA LUCE
Vogliamo analizzare che cosa succede quando un fronte d’onda incontra sul suo cammino una
superficie estesa. Dobbiamo distinguere i caso in cui la superficie sia una superficie dielettrica o
conduttrice. Analizziamo innanzitutto il caso in cui la superficie separa il mezzi dielettrico in cui
l’onda si propaga, da un secondo mezzo, ancora dielettrico, omogeneo e isotropo. In questo caso si
hanno i fenomeni della riflessione e delle rifrazione. Analizzeremo poi il caso in cui il secondo
mezzo sia un mezzo trasparente ma non più isotropo, il che porta al fenomeno delle birifrangenza.
Faremo anche un cenno al fenomeno della riflessione da superficie metallica.
2,1 Formule di Fresnel. Coefficienti di riflessione e trasmissione
Quando un’onda luminosa che si propaga in un mezzo dielettrico, omogeneo e isotropo,
incontra la superficie di separazione di un secondo mezzo, pure omogeneo e isotropo, con diverso
indice di rifrazione, si ha il fenomeno della riflessione e rifrazione. Il fascio incidente si separa in
due fasci: un fascio che procede nel secondo mezzo (fascio rifratto) ed uno che viene riflesso e si
propaga all’indietro nel primo mezzo (fascio riflesso). Onda incidente ( i ), onda riflessa ( r ) e
onda rifratta ( t ), sono legati dalle “leggi della riflessione e rifrazione” che nel caso di onda piana
possono essere dedotte, assieme alle relazioni tra le ampiezze dei campi incidente, riflesso e rifratto,
in maniera diretta applicando le condizioni al contorno sulla superficie di separazione dei due
mezzi, cioè imponendo la continuità della componente del campo elettrico e magnetico tangenti alla
superficie di separazione.
z
&
kr
ki
mezzo 1
n1 , v1
θi
&
n
θi
& θr
kt
O
θt
x
y
mezzo 2
n2 , v2
&
&
&
Indichiamo con k i , k r e k t rispettivamente i vettori d’onda del fascio incidente, rifratto e
&
riflesso dalla superficie. Il piano formato dalla normale n alla superficie e da k i si definisce
&
&
“piano di incidenza” (piano Oxz ). Si può dimostrare che anche k r e k t giacciono in questo
piano. Se θi, θr e θt sono gli angoli che rispettivamente l’onda incidente, riflessa e trasmessa
formano con la normale alla superficie di separazione (coincidente con asse z), si può dedurre che:
1
2
θr = π - θi (Legge della riflessione) ;
senθ i n 2
=
= n1,2 (Legge delle rifrazione)
senθ t n1
con le condizione che le direzioni di propagazione dell’onda riflessa e dell’onda trasmessa
giacciano nel piano di incidenza.
Se n2 > n1 , quindi il secondo mezzo è otticamente più denso del primo, sen θt < senθi , per
cui per ogni angolo di incidenza θi ci sarà un angolo di rifrazione θt reale . Viceversa se n2 < n1
(passaggio da un mezzo più rifrangente ad uno meno rifrangente), si avrà un valore reale per θt solo
per un angolo di incidenza minore di un certo valore θi∗ per cui si ha sen θi ≤ n1,2 . Per angoli di
incidenza maggiori di questo angolo θi∗ si ha riflessione totale e la radiazione non viene trasmessa
nel mezzo meno rifrangente. Va però osservato che pur non propagandosi la radiazione, il campo
elettromagnetico nel secondo mezzo non può sparire, perché ciò sarebbe in contrasto con le
condizioni di continuità imposta sulla superficie di separazione dei due mezzi. Si ha quindi un’onda,
che si propaga sulla superficie di separazione con ampiezza che decresce esponenzialmente e viene
detta “onda di superficie” o “onda evanescente”. Nel visibile tale onda penetrerebbe nel mezzo
meno denso per una profondità dell’ordine del micron.
Può essere utile per comodità di trattazione anticipare una proprietà delle onde
elettromagnetiche, la polarizzazione, che svilupperemo più avanti. Le classiche sorgenti luminose
(sole, lampade ad incandescenza, lampade ad arco, LED, etc.) emettono naturalmente radiazione
incoerente. La radiazione emessa è il risultato della sovrapposizione delle emissioni di ciascun
atomo o molecola della sorgente che può avvenire in una qualunque direzione e con fase
&
completamente scorrelata le une dalle altre. In generale in ogni punto r0 dello spazio il campo
&
& &
elettrico E( r0 ,t ) , associato alla radiazione, pur mantenendosi sempre perpendicolare al vettore k ,
nel tempo cambia direzione in maniera del tutto casuale in modo che l’insieme di tali direzioni
&
risulta statisticamente simmetrico rispetto al vettore d’onda k . Viceversa se la vibrazione del
vettore elettrico presenta qualche preferenza circa la direzione (sempre trasversale), l’onda si dice
“polarizzata ”. La possibilità di essere polarizzata è una caratteristica che hanno solo le onde
&
&
trasversali. Nel caso particolare in cui il vettore E , rimanendo perpendicolare al vettore k , vibra in
una direzione costante, si dice che è polarizzata linearmente e può essere scomposto secondo due
direzioni tra loro ortogonali, quindi secondo due onde anch’esse polarizzate linearmente, della
stessa frequenza e fase. Nel caso di luce naturale possiamo pensare di effettuare questa
2
3
scomposizione ad ogni istante, anche se non costante nel tempo. Poiché la proprietà della
polarizzazione è una proprietà spaziale che non interessa il comportamento temporale (frequenza)
della radiazione, e sfruttando il principio di sovrapposizione, valido in ottica lineare, possiamo
trattare alcuni fenomeni riguardanti la luce naturale, quali la riflessione e la rifrazione, facendo
riferimento all’onda polarizzata. Le onde che derivano da tali fenomeni saranno la sovrapposizione
di onde polarizzate linearmente della stessa frequenza, ma con fasi che variano casualmente
(sovrapposizione incoerente)
Consideriamo adesso la riflessione e rifrazione di un’onda piana, polarizzata linearmente e
&
monocromatica di vettore d’onda k i , che incide sulla superficie di separazione di due mezzi
isotropi, non conduttori, di indice di rifrazione rispettivamente n1 e n2 secondo un angolo θi.
z
E t//
&
Et ⊥
(x, z) piano di incidenza
θt
n2
n1
Ei //
&
kt
Ei ⊥
θr
&
ki
θi
x
θi
E r //
&
n kr
Er ⊥
Le leggi dell’elettromagnetismo dimostrano che lo stato di polarizzazione con campo elettrico
&
E parallelo al piano di incidenza (convenzionalmente si indica come “stato p”) e lo stato di
&
polarizzazione con campo elettrico E perpendicolare al piano di incidenza (convenzionalmente si
indica come “stato s”) sono detti autostati di polarizzazione per il fenomeno delle riflessione e
trasmissione. In altre parole un’onda incidente polarizzata parallelamente al piano di incidenza (//)
(o perpendicolare ⊥) genera un’onda riflessa e rifratta ancora in uno stato “p” (o “s”). Poiché un
qualunque stato di polarizzazione lineare lo si può scrivere in termini di questi autostati, con
opportune ampiezze ed differenza di fase zero, se incide un’onda piana, polarizzata linearmente e
&
&
&
monocromatica Ei , anche l’onda riflessa E r e l’onda rifratta Et sono onde piane polarizzate
linearmente della stessa frequenza e fase costante rispetto alla fase dell’onda incidente. Indicando
con A , R e T le ampiezze corrispondenti ai due autostati, possiamo ricavare i coefficienti di
3
4
riflessione “ r “ (o riflettività) e trasmissione “ t ” (o trasmissività), per le corrispondenti
componenti delle ampiezze, detti “coefficienti di Fresnel ” :
R //
n 2 cosθ i − n1 cosθ t

r// = A = n cosθ + n cosθ
//
2
i
1
t



R⊥ n1 cosθ i − n 2 cosθ t
=
 r⊥ =
A⊥ n1 cosθ i + n 2 cosθ t

T //
2 n1 cosθ i

t // = A = n cosθ + n cosθ
//
2
i
1
t



2 n1 cosθ i
T⊥
=
t⊥ =
A⊥ n1 cosθ i + n 2 cosθ t

(2,1a)
Utilizzando la legge della riflessione (nota anche come legge di Snell), si ottiene:
R // tan ( θ i - θ t )

 r // = A = tan ( θ + θ )
//
i
t



sen( θ i - θ t )
R
r⊥ = ⊥ = 
A⊥
sen( θ i + θ t )
T //
2 senθ i cos θ i

t // = A = sen( θ + θ ) cos( θ − θ )
//
i
t
i
t



2 senθ i cos θ i
T
t⊥ = ⊥ =


A⊥
sen( θ i + θ t )
(2,1b)
Nel caso di incidenza su mezzo dielettrico, i vari coefficienti sono tutti reali e questo significa
che non vi è alcuna variazione di fase tra le onde incidente, riflesse e rifratte, ad eccezione forse
della variazione di fase di 180° per l’onda riflessa . Questo spiega ancora il fatto che se l’onda
incidente è polarizzata linearmente lo sono anche l’onda riflessa e rifratta. Lo stesso non si può più
dire quando l’onda incide su una superficie metallica.
Nel caso particolare di incidenza normale, θi = 0 e quindi θt = 0 , le (2,1) diventano:
n-1

 r// = n + 1

n-1
r⊥ = n+1

2

t // = n + 1

2
 t⊥ =
n+1

con
n=
senθ i
n2
=
n1 senθ t
(2,2)
Da queste relazioni si osserva che sparisce la differenza tra le onde riflesse parallela al piano
di incidenza e perpendicolare. La differenza dei segni deriva dalla scelta dei versi positivi dei
vettori di propagazione, che per incidenza normale sono opposti. Possiamo anche notare che se:
n1< n2, cioè n >1 r⊥ < 0
(l’onda riflessa è sfasata di 180° rispetto a quella incidente)
n1> n2, cioè n >1 r⊥ > 0
(l’onda riflessa non è sfasata rispetto a quella incidente)
Nel caso di incidenza radente, cioè
θi ≈ 90°,
r// = r⊥ → - 1 e la luce viene quasi
completamente riflessa. Questo è il motivo per cui al tramonto l’immagine del sole che si specchia
su una superficie di un lago inquiete ha la stessa brillantezza del sole stesso.
4
5
Si può anche osservare che mentre r⊥ non si annulla mai (tranne il caso banale di n =1, cioè
sen θi = sen θt o che è lo stesso n1 = n2); al contrario quando θi +θt = π / 2, tan (θi +θt) → ∞ e
in allora r// = 0 , cioè l’onda riflessa non ha più componente nel piano di incidenza. Vedremo che
questo avviene quando l’onda incide secondo un angolo particolare θB detto angolo di Brewster . In
questo caso la luce riflessa è sempre polarizzata parallelamente alla superficie.
È opportuno osservare che le relazioni trovati sono stati dedotti nell’ipotesi di onda
monocromatica. In realtà la costante dielettrica di un mezzo, che in qualche modo influenza la
propagazione della radiazione, e quindi l’indice di rifrazione ha valori differenti a seconda della
lunghezza d’onda della radiazione, cioè n = n(λ). Questo comporta che i vari coefficienti ricavati
sono funzione della lunghezza d’onda della radiazione incidente. Una prova evidente è il Prisma a
dispersione
Consideriamo un fascio di luce monocromatico che incide su un prisma (isoscele) di cui è
mostrata una sezione. Indichiamo con α l’angolo del prisma opposto a quella che consideriamo
come base.
A
α
θ1
δ
B
D
θ2'
θ2 θ1'
n
C
α
Un’onda individuata al vettore d’onda che incide secondo un angolo θ1 emergerà dal prisma
deviato di un angolo δ , detto angolo di deviazione del prisma. Attraverso qualche considerazione
geometrica geometria si ricava che:
δ = (θ1 – θ2) + (θ2’ – θ1’) ; α = θ2 + θ1’
→
δ = θ1 + θ2’– α
Utilizzando la legge delle rifrazione si può scrivere δ come
δ = θ 1 − α + f(n ,α ,θ 1 )
5
6
Ne segue che poiché nel vetro n = n(1/λ), quando incide luce policromatica, la deviazione è
inversamente proporzionale alla lunghezza d’onda (rosso meno deviato dl blu).
A
α
δ
θ1
n
2,5 Riflettanza, trasmittanza e angolo di Brewster
Vogliamo valutare come l’energia del fascio incidente si suddivide tra fascio riflesso e rifratto.
Ricordiamo che l’intensità di un’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezza del campo elettrico
cioè I = C 0 n ∗ A 2 , C0 costante. Quando un fascio di luce di intensità Ii viene riflessa sotto un
angolo di incidenza θi , la porzione di energia dell’onda incidente che nell’unità di tempo incide su
una superficie unitaria S all’interfaccia dei due mezzi sarà data da:
Ji = Ii cosθi = C0 n1*A2cosθi
mentre l’energie che dall’area unitaria si propaga nei due mezzi di indici di rifrazione n1 e n2, a
causa della riflessione e rifrazione, sarà rispettivamente:
 J r = I r cosθ r = C 0 n1 R 2 cos θ i

2
 J t = I t cosθ t = C 0 n 2 T cos θ t
θi = θr
Si definiscono“riflettanza” e “trasmittanza ”, rispettivamente, i rapporti:
J
 R
ℜ = r =  
Ji
 A
2
e
J
n cosθ t  T 
ℑ = t = 2
 
Jii
n1 cosθ i  A 
2
(2, 3)
In accordo con il principio di conservazione dell’energia ℜ + ℑ = 1. ℜ e ℑ dipendono dallo
stato di polarizzazione dell’onda incidente.
6
7
ℜ e ℑ
possono essere espressi in termini dei coefficienti di riflettanza e trasmittanza
associate con la polarizzazione “p” ed “s” cioè parallela e perpendicolare al piano di incidenza
rispettivamente.
&
Indichiamo con αi l’angolo che il vettore E , associato al fascio, forma con il piano di
incidenza. Allora A// = A cosαi
A⊥ = A senαi e si può scrivere:
,
 J i // = C o n1 ( A // ) 2 cos θ i = C o n1 (A cosα i ) 2 cos θ i = J i cos 2α i

2
2
2
 J i ⊥ = C o n1 ( A⊥ ) cos θ i = C o n1 (A senα i ) = J i sen α i
J i//

 J i = cos 2α
i
da cui 
J i⊥
J i =
sen 2α i

 J r // = C 0 n1 ( R // )2 cos θ i

2
 J r ⊥ = C 0 n1 ( R⊥ ) cos θ i
e analogamente si può ricavare
(2,4)
(2,5)
Dalla (2,3), (2,4) e (2,5) si ottiene:
ℜ=
J
J r J r // + J r / ⊥
J
=
= r // cos 2α i + r ⊥ sen 2α i = ℜ // cos 2α i + ℜ ⊥ sen 2α i
Ji
Ji
J i//
Ji⊥
dove, tenendo conto anche del coefficiente di riflessione di Fresnel (2,1):

J r //
C n (R
= 0 1 //
ℜ // =
J i //
C 0 n1 ( A //



C n (R
J
 ℜ⊥ = r⊥ = 0 1 ⊥
J i⊥

C 0 n1 ( A⊥
Il coefficiente di riflessione
) 2 cos θ i ( R // ) 2
tan 2 ( θ i − θ t )
2
=
= (r // ) =
) 2 cos θ i ( A // ) 2
tan 2 ( θ i + θ t )
(2,6)
) cos θ i
2
) cos θ i
2
=
sen ( θ i − θ t )
( R⊥ )
= (r⊥ ) 2 =
2
( A⊥ )
sen 2 ( θ i + θ t )
2
2
ℜ corrispondente ad
incidenza normale si chiama potere
riflettente e vale:
 n-1 
ℜ=

 n+ 1
2
dove
n=
n2
n1
Per il vetro (n =1,5), ℜ = 0,04 = 4% ; per l’acqua (n = 1,33), ℜ = 2%. Per la riflessione
sull’acqua di onde elettromagnetiche lunghe (n =
ε = 9), ℜ = 64%. Da questi esempi si deduce
che l’acqua e il vetro non possono esser usati come specchi.
7
8
Ritroviamo che nella (2,6) il denominatore è finito tranne che nel caso in cui θi + θt = π/2. In
questo caso tan (θi + θt) = ∞ e di conseguenza
ℜ// = 0 ; inoltre l’onda riflessa e rifratta sono
perpendicolari l’una all’altra. Tenendo conto che senθt = (π/2-θi) = cosθi, dalla legge della
rifrazione si ha:
tanθi = n
(Legge di Brewster)
(2,8)
L’angolo θB dato dalla (2,8) è “l’angolo di Brewster” o “angolo di polarizzazione” e
possiamo enunciare la legge di Brewster nel modo seguente: “se luce naturale incide sopra una
superficie non conduttrice sotto un angolo tale per cui valga la (2,8) , il campo elettrico associato
alla luce riflessa non ha componente nel piano di incidenza; la luce riflessa è polarizzata
linearmente parallelamente al piano di riflessione”.
Luce incidente non
poalarizzata
&
ki
Luce riflessa completamente
polarizzata
&
θr = θi
θi
kr
&
n
θi = Angolo di Brewster
Luce parzialmente
polarizzata
&
kt
Per la riflessione aria-vetro (n1=1, n2=1,5) θB vale circa 56° e ℜ⊥ vale circa 0,15
Per la trasmittanza, possiamo definire
ℑ // = 1 - ℜ//
e
ℑ ⊥ = 1 - ℜ⊥ e procedendo in
maniera analoga quanto fatto per ricavare ℜ// e ℜ⊥ si trova :
J t //
sen2θ i cos 2θ t

=
ℑ // = J
2
sen ( θ i + θ t ) cos 2 ( θ i + θ t )
i //



J
sen2θ i cos 2θ t
ℑ⊥ = t⊥ =


J i⊥
sen 2 ( θ i + θ t )
(2,7)
8
9
Il coefficiente di trasmissione ℑ corrispondente ad incidenza normale si chiama trasparenza
superficiala e vale:
 4n 
ℑ=

 n+ 1
2
dove
n=
n2
n1
Le misure del potere riflettente e della trasparenza superficiale n costituiscono un comodo
metodo di misura per determinare gli indici di rifrazione nell’infrarosso
Va osservato che la trattazione è stata fatta per onde monocromatiche.
Nel caso di luce naturale la direzione di vibrazione del vettore elettrico e quindi lo stato di
polarizzazione, varia casualmente e molto rapidamente Si parlerà allora di riflettività media ℜ e
trasmittanza media ℑ , ottenute mediando su tutte le direzioni. Si può dimostrare che :
1
ℜ = ( ℜ // + ℜ⊥ )
2
e
ℑ=
1
( ℑ // + ℑ⊥ )
2
2,6 Propagazione in mezzi conduttori
Quando un’onda elettromagnetica investe un metallo il campo elettrico associato all’onda
&
agisce sugli elettroni liberi del metalli producendo una corrente e il vettore densità di corrente J è
&
&
&
legato al vettore E dalla relazione J = σ E (σ = conducibilità del mezzo). Nei metalli ideali, cioè
con σ =∞ e di conseguenza resistività ρ = 1/σ = 0 gli elettroni, forzati ad oscillare dal campo
dell’onda incidente, non essendoci assorbimento o dissipazione, riemetterebbero senza perdita di
energia. Nei metalli reali tuttavia gli elettroni interagiscono con il reticolo cristallino e dissipano
energia per effetto Joule e quindi assorbono parte dell’energia incidente. Tuttavia accanto
all’assorbimento dell’energia raggiante, i metalli hanno un’alte riflettività e le superfici metalliche
si comportano come specchi.
Dalle leggi dell’elettromagnetismo si può dimostrare che il fatto che nei metalli ρ ≠ 0 è
necessario introdurre nei metalli una costante dielettrica complessa e quindi di conseguenza i
metalli hanno indice di rifrazione complesso.
Ricordiamo le equazioni di Maxwell eliminando l’ipotesi fatte per i dielettrici di σ = 0 . Va
osservato che caso dei metalli nella prima equazione possiamo porre ρ = 0 in quanto qualunque
eccesso di carica libera localizzata, a causa della facilità di propagazione degli elettroni liberi nel
9
10
reticolo, decade tendendo a zero in un tempo caratteristico τ che si può dimostrare, sempre
partendo dalle equazioni di Maxwell, essere dato da τ = ε/σ e quindi dell’ordine dei 10-18 sec che
risulta di tre ordini di grandezza inferiori al periodo di oscillazione del campo (ν = 1015 Hz;
T = 1/ ν = 10-15 sec) .
Elaborando le equazioni di Maxwell , scritte nel caso di mezzio conduttori, si può dimostrare
che l’equazione delle onde diventa:
&
&
& µ ε ∂ 2 E µ σ ∂E
∇ E= 2
+ 2
c ∂t 2
c ∂t
2
(2,9)
Il terzo termine nell’equazione, può giustificare l’attenuazione dell’onda man mano che si
propaga nel metallo. Nell’ipotesi di onda incidente perfettamente monocromatica di frequenza
& &
&
angolare ω, assumendo per il vettore E una dipendenza temporale del tipo E = E 0 e -i ω t , possiamo
scrivere la (2,8) nella forma:
&
&
∇ 2 E + k̂ 2 E = 0
con
dove k̂
(2,10)
ω 2µ 
σ
è in numero d’onda e k̂ = 2  ε + i 
ω
c 
2
Questa equazioni è formalmente identica alla corrispondente equazione delle onde nei mezzi
dielettrici1 se alla costante dielettrica ε, che nei dielettrica è reale, si sostituire l’ espressione
complessa:
σ

εˆ =  ε + i 
ω

e l’espressione dell’onda armonica piana che si propaga in un mezzi conduttore sarà nella forma:
& &
E = A e i [ k̂ ( r ⋅ s ) - ω t ]
(2,11)
L’analogia con il caso dielettrico è completa se oltre a costante dielettrica complessa e
vettore d’onda complesso si introducono anche:
µε ∂ 2 E
Dall’equazione delle onde ∇ E 1
2
∇2E + k 2 E =0
dove k2 =
c 2 ∂t 2
µεω2
c2
= 0 , supponendo una dipendenza temporale di
&
E = Ae − i ω t si ottiene
. k è il numero d’onda, modulo del vettore d’onda k
10
11
v̂ =
n̂ =
c
(velocità di fase complessa )
µ εˆ
c
c
= µ εˆ = k̂ (indice di rifrazione complesso)
v̂
ω
L‘indice i rifrazione complesso può essere espresso anche come
n̂ = n(1 + iκ ) dove n e κ sono
reali e κ è detto coefficiente di estinzione o indice di attenuazione. Possiamo allora scrivere anche :
k̂ =
ω n̂ ω n(1 + iκ )
=
c
c
e sostituendo questa espressione nella (2,11) si ha:
& & - ω nκ ( r ⋅ s ) i ω
E = Ae c
e
 n

 c ( r ⋅s) - t 


e considerando solo parte reale che rappresenta fisicamente il campo elettrico, abbiamo :
& & - ω nκ ( r ⋅ s )

E = Ae c
cos ω

n & &

 c ( r ⋅ s ) − t 


(2,12)
che rappresenta un’onda armonica piana, di lunghezza d’onda λ = 2πc/ω n, che si propaga in un
mezzo conduttore, con attenuazione data dal termine esponenziale. Poiché la densità di energia W è
proporzionale alla media nel tempo di E2 vediamo che W decresce secondo la relazione :
W = W0 e - χ ( r ⋅ s )
dove
χ =
2ω
4π ν
4π
4π
nκ =
nκ =
nκ =
κ
c
c
λ 0
λ
con
λ0 = lunghezza d’onda nel vuoto e
λ = lunghezza d’onda nel mezzo. La costante χ è
detta coefficiente di assorbimento. L’energia si riduca ad fattore 1/e del valore iniziale quando si
procede di un tratto :
d=
λ0
1
λ
=
=
χ 4π n κ 4π κ
11
12
che risulta essere una frazione molto piccola di lunghezza d’onda come si può vedere dalla
seguente tabella:
Radiazione
Infra-rosso
Microonde
Onde radio
λ0
10-3 cm
10 cm
105 cm
d
6.1 10-7 cm
6.1 10-5 cm
6.1 10-3 cm
È possibile esprimere la parte reale e la parte immaginaria dell’indice di rifrazione ai
parametri caratteristici del mezzo. Ricordando che l’indice di rifrazione n è tale che n 2 = ε µ , per
analogia possiamo scrivere :
σ
µσ

n̂ 2 = εˆ µ =  ε + i  µ = µε + i
ω
ω

ma
n̂ 2 = n(1 + iκ ) 2 = n 2 ( 1 − κ 2 ) + i 2 nκ
ed eguagliando le parti reali ed immaginarie delle
due espressioni possiamo scrivere:
n2 (1 - k2) = µ ε
e
2nκ=µσ/ω
da cui in particolare si può dedurre che il coefficiente di assorbimento è proporzionale a σ, cioè
tanto più è alto σ (buon conduttore) maggiore è l’attenuazione dell’onda. In un conduttore ideale
σ→∞ e quindi d = 1/χ → 0 e l’onda verrebbe completamente riflessa. Nei metalli reali d≠0 ma è
comunque molto piccolo; per esempio nel rame la profondità di penetrazione d dell’onda è di circa
0,6 nm in corrispondenza delle lunghezza d’onda dell’ U.V.(λ ≅ 100 µm) e vale 6 nm per l’I.R.
(λ≅ 10 nm).
In tutta questa trattazione si è trascurato il fatto che σ e tutte le altre costanti ottiche che il
metallo presenta alla radiazione metallo dipendono dalla lunghezza d’onda della radiazione stessa.
Conseguenza di questo è il fatto che per certe frequenze il metallo risulta completamente opaco, ma
per altre può essere completamente trasparente (raggi X)
Le formule di Fresnel sono applicabili anche al caso ai metalli a condizione di prendere come
legge di rifrazione la relazione:
senθ t
= n̂
senθ i
12
13
Nel caso in cui il primo mezzo sia un dielettrico (es. aria) e il secondo sia un conduttore,
questa sostituzione porta a relazioni che sono formalmente identiche a quelle del caso dielettrico,
ma dove compare un θt complesso, per cui lo sono anche i coefficienti r// e r⊥ e questo comporta
uno sfasamento tra le componenti E// ed E⊥ dell’onda riflessa. In particolare se sulla superficie
metallica incide luce polarizzata linearmente secondo un certo angolo α (azimut di polarizzazione)
rispetto al piano di incidenza, la luce riflessa in uno stato di polarizzazione che si definisce ellittico.
Dall’analisi dello stato di polarizzazione ellittico della luce riflessa si possono determinare le
costanti n e κ di un metallo. È un esempio di applicazione di una tecnica di indagine non invasiva
chiamate “ellisometria” .
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