SOLUZIONI GARA A SQUADRE FEBBRAIO 2013 1. Mandando da

SOLUZIONI GARA A SQUADRE FEBBRAIO 2013
1. Mandando da O le due perpendicolari ai cateti otteniamo i due raggi congruenti OH e OK. Inoltre i due triangoli AOH e OBK sono simili fra
loro, perciò: AH : OK = AO : OB e quindi
AH = (3/4)OK = (3/4)OH. Dal teorema di Pitagora applicato al triangolo AOH segue allora facilmente che OH = (4/5)AO = 12.
6. Ogni casella della scacchiera ha il lato di (60 cm)/8=7,5 cm e quindi un’area di
(7,5 cm)2 . Affinché la moneta sia interamente dentro una casella, il suo centro
deve trovarsi all’interno di un quadrato concentrico con la casella ma avente il lato
di 2 cm inferiore, quindi all’interno di un’area di (5,5 cm)2 . Quindi la probabilità
che ciò accada è 5,52 /7,52 = (11/15)2 .
C
K
H
A
O
B
2. Ogni multiplo di 1995 ha come cifra delle unità 0 o 5, mentre ogni multiplo di
1996 ha come cifra delle unità una fra: 0, 6, 2, 8, 4. Il numero n − 29 è multiplo
sia di 1995 che di 1996, perciò la sua cifra delle unità deve necessariamente essere
0 e dunque la cifra delle unità di n è 9.
sı̀
1=7
3. La probabilità che le due squadre s’incontrino ai
no
3=4
quarti di finale è 1/7 (una delle due squadre itası̀
1=3
liane ha la stessa probabilità di incontrare una
6=7
no
1=4
della altre 7 squadre, una sola delle quali è ita3=4
liana). Con probabilità 6/7 esse giocheranno in2=3
vece in incontri diversi ai quarti ed in tal caso con
1=4
sı̀
probabilità 1/4 passeranno entrambe il turno.
Ragionando come prima, a questo punto la probabilità che le squadre italiane s’incontrino in semifinale è 1/3, mentre con probabilità 2/3 esse giocheranno in partite
separate e giocheranno la finale con probabilità 1/4. La situazione è ricapitolata
nel diagramma ad albero qui a lato e quindi la probabilità che le due squadre
s’incontrino nel torneo è data da:
1 6 1 1 6 1 2 1
1
+ · · + · · · = .
7 7 4 3 7 4 3 4
4
4. Sostituendo y = 1 − 2x nella seconda equazione si ottiene l’equazione di secondo
grado 12x2 − 6x + 1 − k = 0, il cui discriminante è ∆ = 48k − 12. L’equazione
ammette una e una sola soluzione solo se ∆ = 0 e quindi nell’unico caso k = 1/4.
5. Come per ogni piramide, il volume del tetraedro si può calcolare moltiplicando
l’area di base per la relativa altezza e dividendo il risultato per 3. Prendiamo
come base AOB, che è un triangolo avente due lati di misura 1: la sua area è data
dal semiprodotto della base AO = 1 per l’altezza BH. Ma BH ≤ BO quindi il
valore massimo dell’area si ha quando BH = BO, cioè quando BO e AO sono
perpendicolari: il tal caso l’area di AOB misura 1/2. Analogamente, se CK è
l’altezza della piramide si ha CK ≤ CO e quindi il volume massimo si ha quando
CK = CO, cioè quando CO è perpendicolare al piano AOB. Il volume massimo
è quindi:
(1/2) · 1
1
= .
3
6
7. Il numero k = 7777 = 101 · 77 è un multiplo di 101. Quindi è un multiplo di 101
anche 77777777 = 10000k+k = 10001k ed in generale qualunque numero composto
solo da cifre 7 in quantità multipla di 4. In particolare il numero formato da 76
cifre uguali a 7 è un multiplo di 101 e dunque è un multiplo di 101 anche il numero
che si ottiene da questo moltiplicandolo per 10, formato da 76 cifre uguali a 7 e
uno zero. Il numero formato da 77 cifre uguali a 7 supera questo numero di 7,
quindi 7 è il resto cercato.
8. Siano A, B, C, D, E le promesse. Ci può essere un solo partito che fa tutte e 5
le promesse (ABCDE), poi ce ne possono essere cinque che fanno solo 4 promesse
(ABCD ABCE ABDE ACDE BCDE) e dieci che fanno solo 3 promesse (ABC
ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE). Notare che due qualunque
di questi partiti hanno sempre almeno una promessa in comune. Invece non è
possibile aggiungere a questi un partito che faccia solo 2 promesse (ad es. AB),
a meno di togliere quel partito (CDE) che fa le 3 promesse complementari, col
che il numero di partiti non aumenterebbe. Ragionando in modo analogo si vede
che anche aggiungere partiti che fanno solo 1 promessa non può far aumentare il
numero totale. Il numero massimo di partiti è quindi 16.
9. Una delle tre donne può essere accoppiata al primo turno con 15 persone, 13
dei quali uomini: la probabilità che essa venga accoppiata con un uomo è quindi
13/15. Una delle due donne rimanenti può ora essere accoppiata con 13 persone,
12 dei quali uomini: la probabilità che essa venga accoppiata con un uomo è quindi
12/13. Questi eventi disgiunti devono verificarsi contemporaneamente, quindi la
probabilità che tutte le donne vengano accoppiate con un uomo è il prodotto delle
singole probabilità:
13 12
12
4
·
=
= .
15 13
15
5
C
10. Nella figura a lato abbiamo eliminato per chiarezza il
cerchio interno ed abbiamo evidenziato un quadrato √
che
B A
ha le diagonali lunghe 2 e quindi area 2 e lato 2.
O
L’area dei quattro settori circolari più esterni (tratteggiati) è la differenza tra l’area del cerchio e quella del
quadrato, quindi vale π − 2. Questa è anche l’area dei
quattro settori circolari interni (bianchi).
L’area della parte ombreggiata è la differenza fra l’area del quadrato e quella dei
quattro settori circolari interni, quindi vale 2 − (π − 2) = 4 − π. Infine, per trovare
l’area richiesta bisogna sottrarre da questa l’area del cerchio di raggio
√ OA. Ma
OA = OB − AB = OB − BC = OB − √
(OC − OB) = 2OB√
− OC = 2 − 1 quindi
2
l’area del cerchio di raggio OA
la risposta
√
√ vale π( 2 − 1)√ = π(3 − 2 2). Perciò
corretta è (4 − π) − π(3 − 2 2) = 4 − π(4 − 2 2) = 4 − 2π(2 − 2).
Q C
D
P
11. Dai dati del problema si ricava che AB = DC =
7 e quindi P C = P D = 3,5. Siccome il triangolo EP F è rettangolo isoscele la sua altezza
rispetto all’ipotenusa è la metà dell’ipotenusa,
quindi BC = AD = 2, 5. Questa è anche l’alF B
A E
tezza rispetto all’ipotenusa del triangolo AQB,
quindi per il secondo teorema di Euclide si ha CQ · DQ = 2,52 . Posto CQ = x
2
e DQ = 7 − x √
si ottiene dunque l’equazione x(7
√ − x) = 2,5 , che risolta dà
x = QC = 3,5 − 6. Perciò: P Q = P C − CQ = 6.
12. Il modo più semplice per arrivare alla risposta consiste nell’osservare che se consideriamo un biliardo immaginario, simmetrico di quello reale rispetto alla sponda su
cui rimbalza la bilia, allora la traiettoria della bilia in questo biliardo fittizio (linea
tratteggiata in figura) è la simmetrica della traiettoria reale e quindi non è altro
che il prolungamento della traiettoria della bilia prima dell’urto. Lo stesso ragionamento si può ripetere per i rimbalzi successivi al primo, sicché il punto di massimo
avvicinamento H corrisponde al punto H 0 , proiezione di V sulla traiettoria fittizia.
Quindi la minima distanza da V a cui arriva la bilia è V H = V H 0 = 50 cm.
H0
S
50 cm
H
V
13. Per poter entrare il tavolo deve essere disposto come il rettangolo
ABCD in figura. I due triangoli
ABE e CDF sono uguali, quindi
il rettangolo ABCD è equivalente
al parallelogramma AEF D. L’area di quest’ultimo è data dal prodotto della base DF = 2 m per
l’altezza, che è uguale alla distanza
fra le rette DF e AE, cioè a 4 m.
L’area del tavolo è quindi di 8 m2 .
C
D
F
3;5 m
B
0;5 m
A
2m
2m
E
3m
V
14. Sia V ABCDEF la piramide (come in
figura) e poniamo per semplicità che
ogni lato di base misuri 2 unità. Allora
V H = V K = 3, AD = 4 e HK =
L
3, dove H e K sono i punti medi dei
lati AB e CD. Vogliamo determinare
D
E
l’angolo diedro formato dai due piani
K C
F
AV B e CV D. A tal fine prolunghiamo
A
I
H
B
i lati AB e CD fino ad incontrarsi in
I. Il triangolo BCI è equilatero, quindi
BI = CI = 2 e inoltre HI = KI = 3.
Ne segue che i triangoli V HI e V KI sono rettangoli isosceli: se L è il punto
√ medio
di V I, HL e KL risultano perpendicolari a V I e inoltre HL = KL = 3/ 2. Ma
allora anche il triangolo isoscele HLK è rettangolo in L, perché le misure dei suoi
b è proprio
lati soddisfano il teorema di Pitagora. D’altra parte l’angolo retto H LK
una sezione normale del diedro in esame, quindi la risposta è 90◦ .
15. I tre triangoli interni sono simili fra loro
A
e al triangolo ABC. Poiché le aree di
figure simili stanno tra loro come i quadrati dei rapporti dei lati, i lati dei tre
9
triangoli interni stanno tra loro nei rap4
porti 2 : 3 : 4. Se indichiamo con 2x la
P
misura del lato parallelo a BC del trian16
golo più piccolo (quello di area 4) i lati
C
B
paralleli a BC degli altri due triangoli
misurano quindi 3x e 4x. Ma BC è la
somma di questi lati, quindi misura 9x.
Perciò il rapporto di similitudine fra il triangolo ABC e il triangolo di area 4 è
9 : 2, il rapporto fra le loro aree è 81 : 4 e dunque l’area del triangolo ABC misura
81.