IL CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA` 1. Introduzione

IL CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA’
1. Introduzione
Realizzare un prodotto di qualità significa produrre rispettando certe specifiche e livelli di
tolleranza prestabiliti, sulla base delle aspettative e preferenze dei clienti, che possono essere
consumatori finali o le stesse aziende nel caso di prodotti industriali. Nell'accezione più ampia,
infatti, si definisce qualità di un prodotto l'adeguatezza del medesimo all'uso per il quale è stato
realizzato, ovvero la capacità del prodotto di possedere le proprietà garantite dal produttore e di
soddisfare le esigenze del mercato.
Per produrre prodotti di alta qualità è necessario quindi conoscere le esigenze e i desideri dei
clienti; questo è compito del dipartimento marketing di un’azienda. Successivamente sarà
necessario tradurre tali esigenze in un progetto operativo, fino ad arrivare alla completa
ingegnerizzazione del processo produttivo che condurrà, finalmente, alla realizzazione del prodotto
fisico. Infine, l’organizzazione commerciale e distributiva provvederà alla consegna del prodotto al
cliente.
Da quanto appena detto si capisce che, nell’ottica di quella che viene definita qualità totale,
produrre con alti livelli di qualità significa migliorare tutti i processi aziendali che contribuiscono
alla produzione di prodotti o servizi, in vista della piena soddisfazione del cliente. Nello spirito
della qualità totale, gestire per processi vuol dire curare al massimo grado i collegamenti fra le varie
attività attraverso l’idea del “cliente interno”. L’insieme delle attività che si svolgono nell’azienda
viene considerato come un insieme di scambi fra clienti e fornitori interni. Qualità totale significa
non solo qualità esterna (verso il cliente finale) ma anche qualità interna, relativa a tutte le varie
transazioni che avvengono all’interno dell’azienda.
La connotazione dinamica del mercato presuppone un continuo controllo e adeguamento del
livello di qualità del prodotto. Diventa quindi necessario proporre un continuo miglioramento della
qualità, che richiede un coinvolgimento di tutti i processi aziendali. In questo senso la strategia della
qualità totale viene considerata come uno strumento per garantire la sopravvivenza e il successo
dell’azienda nel lungo periodo. Le esigenze del mercato, infatti, non sono statiche e vengono ad
essere, in qualche modo, correlate col livello stesso di qualità. Ad esempio, se la garanzia per le
auto è di 3 anni per quasi tutte le marche, il mercato accetterà questo valore come uno standard di
qualità. Se un produttore porta la garanzia a 5 anni lo standard tenderà ad alzarsi .
In tale quadro di riferimento troverà una sua giustificazione l'applicazione di metodologie
dirette al Controllo Statistico del Processo in quanto sono esse a rappresentare un primo valido
strumento a sostegno dell'attività di Decision Making ad ogni livello organizzativo per il
Controllo statistico di qualità
raggiungimento della qualità. Infatti, nella presentazione dei metodi statistici per il controllo di
qualità, la nostra attenzione sarà focalizzata sul processo di produzione e sul prodotto/servizio che
ne esce. Tentiamo allora di esporre, in sintesi, le logiche che sottendono a questa metodologia.
Cominciamo col definire il Controllo Statistico di Processo. Come universalmente
riconosciuto esso può essere definito come una metodologia che, in riferimento ad una
determinata attività, operazione, fase o processo caratterizzato da ripetitività, fa ricorso a
tecniche statistiche al fine di definire, analizzare e verificare le condizioni che determinano la
variabilità dell'oggetto di analisi. In modo più sintetico, rifacendoci alla definizione fornita da
Juran potremmo definire l'SPCcome "l'applicazione di tecniche statistiche per comprendere ed
analizzare le variabilità di un processo".
Gli studi sull'SPC non sono certo temi nuovi alla Qualità. Già nel 1924, infatti, il dott. W.A.
Shewart iniziò a sviluppare un approccio statistico al controllo di qualità, rilevando che il concetto
di variabilità riferito ai fenomeni naturali era ugualmente adeguato all'analisi e alla descrizione dei
processi produttivi. Con il contributo della statistica inferenziale e della statistica descrittiva, arrivò
allora alla descrizione sintetica di fenomeni più ampi da impiegare come modelli di supporto alle
attività di Problem Solving. Nacquero così le sue Carte di controllo uno degli strumenti statistici più
impiegati nell'analisi dei processi produttivi. Da allora i passi avanti compiuti sul tema sono stati
molti. Primo fra tutti il riconoscimento circa la validità di questi strumenti e un loro più vasto
impiego.
Il controllo Statistico della Qualità ha cessato di essere semplicemente un supporto al
cosiddetto "Scientific Management" per divenire strumento diffuso da collocare all'interno di un
vero e proprio approccio di gestione/organizzazione. In quest'ambito, le metodologie SPC seppur a
livelli differenti di approfondimento sono divenute patrimonio aziendale comune e condiviso a tutti
i livelli. Si è, in pratica, andato diffondendo all'interno dell'organizzazi
one un orientamento
finalizzato a coniugare l'approccio tradizionale ai problemi con un approccio fondato sullo
Statistical thinking come atteggiamento culturale. Va sottolineato, tuttavia, come ciò valga non solo
per ruoli tecnici piuttosto che manageriali, ma anche e soprattutto per coloro che, in quanto
operatori, possono incidere direttamente sul proprio processo attraverso un'analisi che si configura
come un vero e proprio Learning by doing.
Il processo produttivo opera nel tempo realizzando una serie di prodotti che possono essere
considerati elementi della popolazione di pezzi che il processo può produrre. E’ tuttavia presente
una variabilità delle prestazioni del processo in quanto nessun pezzo prodotto è uguale ad un altro.
Ovvero, misurando una medesima caratteristica X (che rappresenta l’elemento di qualità che
interessa) su ogni prodotto, si osserverà una certa variabilità della stessa. La presenza di variabilità
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Controllo statistico di qualità
giustifica pienamente l’approccio statistico. E infatti la modalità o valore della ca ratteristica X,
rilevata sul singolo prodotto, viene vista come la determinazione di una variabile casuale con una
data distribuzione di probabilità.
In particolare, si deve tenere conto che:
•
in ogni punto nel tempo (ricordiamo che una peculiarità del processo di produzione è la
dimensione temporale), la grandezza X può essere descritta da un particolare modello
distributivo. Qui faremo riferimento ad un modello parametrico: conoscendo i valori dei
parametri siamo cioè in grado di identificare perfettamente la distribuzione (ad esempio, nel
modello normale, conoscendo i parametri media e varianza si identifica completamento la
distribuzione);
•
lo specifico valore osservato su un prodotto può essere considerato come un valore generato dal
quel particolare modello e cioè può essere visto come un campione casuale semplice di 1 unità,
estratto dalla popolazione caratterizzata da quel modello distributivo;
•
la distribuzione di X può cambiare nel tempo ovvero possono cambiare nel tempo i valori dei
parametri distributivi (es., nel modello normale, si viene a modificare il valore della media).
Quando intervengono tali modifiche significa che ci sono state variazioni sistematiche ovvero la
popolazione è cambiata.
Obiettivo ultimo quindi, nell'utilizzo di queste ecniche
t
statistiche è quello di dotare l'impresa di
strumenti adeguati per migliorare il livello dei prodotti/servizi offerti/erogati attraverso
l'eliminazione di errori, difformità che causano ripetizioni di lavoro, controlli inutili e quindi
rallentamenti nei cicli di lavorazione. Garanzia di simili risultati sarà quindi, necessariamente una
conoscenza chiara e approfondita dei processi, l'identificazione delle caratteristiche critiche del
processo attraverso l'impiego di dati statisticamente significativ
i, in quanto tali analizzabili, che
consentano di determinare e interpretare performance e cause che determinano "cambiamenti
indesiderati" rispetto al normale funzionamento del processo in analisi.
Dopo queste premesse, il presente studio fornisce una sintetica descrizione delle principali
metodologie statistiche utilizzate nell’ambito del controllo e del miglioramento della qualità di
processo. Elenchiamo quindi tutte le principali tecniche statistiche impiegabili nella metodologia
SPC, utili ad analizzare nel modo più obiettivo il comportamento del processo:
•
Foglio raccolta dati
•
Diagramma di Pareto
•
Diagramma causa-effetto
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Controllo statistico di qualità
•
Istogramma di frequenza
•
Diagramma di correlazione
•
Analisi della stratificazione
•
Carte di controllo
•
Analisi della capability
Accenniamo solo ad alcuni dei possibili impieghi di questi strumenti, la cui descrizione verrà svolta
nei paragrafi successivi:
•
la previsione della possibilità di raggiungere le tolleranze di progetto;
•
la pianificazione di verifiche dei controlli di processo
•
l'analisi di possibili interdipendenze tra i processi
•
gli interventi correttivi durante la lavorazione
•
la valutazione di nuove attrezzature
•
l'elaborazione di specifiche
Molti altri evidentemente ve ne sono associabili alle differenti tecniche, che giustificano quindi
l'impiego e la scelta di uno strumento piuttosto che dell'altro.
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Controllo statistico di qualità
2. Fogli di raccolta dei dati
I fogli di raccolta dati sono semplicemente dei moduli organizzati in modo tale da rendere
facile e rapida la raccolta dei dati, in funzione della loro successiva elaborazione. Risulta pertanto
chiaro che tali schede debbano essere progettate in modo tale da favorire la raccolta dei dati e
facilitare una loro interpretazione. Questo strumento di analisi è molto utilizzato in fase di
localizzazione ed analisi delle cause di dispersione dei processi produttivi e per l’individuazione di
eventuali unità difettose. Il foglio di raccolta dati é il supporto indispensabile sul quale riportare i
dati di cui abbiamo bisogno; esso va costruito in funzione di obbiettivi e finalità che possono essere
molto diversi da una situazione rispetto ad un’altra. Ad esempio:
• tipologia e numero di difetti;
• unità prodotte fuori specifica;
• rispetto di una sequenza di operazioni;
• valutazione complessiva di un problema;
• valutazione in dettaglio di un problema;
• grado di influenza sul problema di aspetti quali il turno, i materiali, le macchine;
Per ognuno di questi casi andrebbe sviluppato un foglio raccolta dati specifico che però
causerebbe difficoltà alla persona incaricata di impostare la raccolta dati. Per rendere agevole questa
operazione sono stati definiti alcuni fogli standard ai quali far riferimento. Questi fogli vengono di
volta in volta adattati alle specifiche esigenze di raccolta dati. I principali fogli standard sono i
seguenti:
• foglio di raccolta per dati numerabili;
• foglio di raccolta per dati misurabili;
• foglio di raccolta dati per posizione o concentrazione;
• foglio di sintesi;
• foglio impostato come lista di controllo;
Ogni tipo di foglio di raccolta dati ha una parte comune che riguarda le informazioni che
inquadrano la raccolta stessa, come ad esempio la data, la macchina o la procedura oggetto della
raccolta e così via. Poiché i dati raccolti servono come base per prendere decisioni, per non
vanificare la fase successiva di elaborazione, è
importante completare il foglio raccolta dati con
le informazioni che inquadrano la raccolta stessa.
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Controllo statistico di qualità
FOGLIO DI RACCOLTA PER DATI NUMERABILI
La progettazione del foglio è vincolata a due decisioni:
•
come raccogliere i dati,
•
per quanto tempo raccoglierli.
I dati possono essere raccolti per tipo di difetto, per macchina, per operatore, per turno, in funzione
delle cause che si sospettano essere più probabili. Il tempo di raccolta dipende invece dalla quantità
di dati che si possono raccogliere in un’unità di tempo e quindi dal ritmo del processo produttivo. Si
può fare l’esempio di un’azienda automobilistica per rilevare la difettosità nei fari al termine della
catena di montaggio. Si decide di raccogliere i dati per tipo di difetto e, supponendo che un
campione per essere rappresentativo debba essere di 5000, se la produzione è di 500 auto al giorno
si adotta un periodo di osservazione di 10 giorni. Si deve quindi dividere il foglio in 11 colonne,
una per ogni giorno più i totali. Dopo aver identificato i tipi di difetto che si riscontrano
maggiormente si divide il foglio in tante righe quanti sono i difetti più una per i difetti non compresi
nelle categorie individuate e uno per i totali. L’operatore, ogni qualvolta è presente un difetto, segna
un trattino sul foglio.
Tipi di difetti individuati:
•
lampada fulminata
•
lampada
male
avvitata
•
baionetta
faro
difettosa
•
faro storto
•
lampada sporca
Tabella 1.1
FOGLIO DI RACCOLTA PER DATI MISURABILI
Un altro tipo di foglio di raccolta è quello per dati misurabili; i dati vengono qui rappresentati sotto
forma di una distribuzione delle frequenze. Ciò richiede la definizione delle dimensioni delle classi
nelle quali distribuire i dati raccolti. In questo modo si ottiene una rappresentazione grafica che
consente di capire in maniera sintetica come si distribuiscono i prodotti esaminati in relazione alle
dimensioni e di valutare il numero di prodotti che non soddisfano le caratteristiche richieste.
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Controllo statistico di qualità
Un esempio può essere dato dalla misurazione di una dimensione di un certo particolare meccanico:
Tabella 1.2
FOGLIO DI RACCOLTA DATI PER POSIZIONE DEL DIFETTO
Per evidenziare difetti che risultano visibili ad un esame esteriore si usano fogli per posizione del
difetto. Nel foglio si rappresenta il prodotto che è oggetto di indagine in modo che sia possibile
identificare il tipo di difetto nella loro effettiva posizione e quindi evidenziare eventuali fenomeni di
concentrazione per poi risalire alle cause.
FOGLIO DI SINTESI
Supponiamo di aver seguito un fenomeno complesso e di aver registrato i dati su diversi fogli di
raccolta. Può essere utile per la piena comprensione del fenomeno sintetizzare successivamente i
dati raccolti in un unico foglio opportunamente costruito rispettando gli stessi criteri di
classificazione impiegati nella raccolta.
Un esempio può essere un foglio di sintesi della difettosità in cui i dati sono divisi per tipo di
difetto, macchina, giorno della settimana, turno (tabella 1.3):
Tabella 1.3
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Controllo statistico di qualità
Una volta terminata la registrazione un foglio di questo tipo può fornire numerose indicazioni: ad
esempio se le macchine o gli operatori dei vari turni hanno lo stesso comportamento in termini di
difettosità, se nel tempo si assiste o meno ad una concentrazione della difettosità.
FOGLIO IMPOSTATO COME LISTA DI CONTROLLO
La lista di controllo è un tipo di rappresentazione molto semplice che viene usata come promemoria
per controllare determinate caratteristiche o per verificare l’avvenuta esecuzione di operazioni.
Nella tabella 1.4 è riportata un lista di controllo relativa a un pannello elettrico.
Tabella 1.4
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Controllo statistico di qualità
3. Istogrammi
Nell’ambito del controllo di processo è di capitale importanza interpretare i dati di output del
processo produttivo analizzato, per fotografarne la dispersione (cioè l’intervallo tra il massimo ed il
minimo dei valori) e capire la variabilità del fenomeno. Una volta che sono stati raccolti i dati (un
esempio di dati potrebbero essere le misure dello spessore delle lamine prodotte) è allora necessario
uno strumento per interpretarli correttamente. L’istog ramma, appunto, è uno strumento grafico che
consente di avere una visione completa e sintetica dei dati raccolti fornendo anche un indirizzo
all’analisi delle cause. Può essere allora utile monitorare, attraverso un istogramma, la dispersione
delle variabili più importanti e critiche del processo produttivo in modo da definire ipotesi e
contromisure per la risoluzione del problema.
L'istogramma, che non è altro che un diagramma a colonne, presenta in ordinata il numero di
osservazioni in ciascuna classe e in ascissa le classi (il centro di ogni colonna coincide con il
valore centrale della classe). Dove per classe si intende la dimensione di un intervallo di variabilità
dei dati che si è preso come base per la rappresentazione dei dati stessi.
Figura 2.1
Alla base della costruzione di un istogramma sta la valutazione dell’escursione dei dati, per
differenza tra il valore massimo ed il valore minimo, e la successiva suddivisione di questa per il
numero di classi, per ottenere l’intervallo d i classe. La scelta del numero di classi non segue
generalmente un criterio prestabilito ma spesso sta nell’esperienza del progettista il segreto per una
corretta decisione; comunque, in alcuni casi, può essere utile adottare dei criteri che fanno uso di
alcune formule empiriche (con K si indica il numero di classi e con N il numero dei dati in esame):
K=3,3 log N + 1
K = N1/2
Ottenuto l’intervallo di classe ( h ) a partire dalla classe più bassa, con intervallo dato da X L
(il valore minimo tra le misurazioni disponibili) e XL + h, le classi superiori saranno date per
successiva somma dell'intervallo di classe.In corrispondenza di ciascun intervallo verranno
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Controllo statistico di qualità
conteggiati il numero di valori, tra i dati raccolti, rientranti nell'intervallo di classe e rip
ortati come
barra verticale sull'asse delle ordinate.
Considerare l’istogramma come uno strumento solo di rappresentazione e non di analisi è
fortemente sbagliato. Dopo avere costruito l’istogramma occorre infatti trarne informazioni utili;
spesso possiamo rilevare l’esistenza di problemi nel processo in esame a seconda dell’aspetto della
distribuzione. Importanti indicazioni sul comportamento del processo produttivo sono ottenibili con
l’analisi di alcuni aspetti dell’istogramma in esame:
FORMA DEL GRAFICO
: può essere utile verificare se la distribuzione dei dati segue un andamento a
campana o al contrario siano presenti due o più picchi di frequenza (distribuzione bimodale o
multimodale) dovuti generalmente alla sovrapposizione di dati di origine diversa (due macchine,
due operatori). L’istogramma può rilevare una asimmetria ( skewness) nella distribuzione dei dati,
sintomatica di qualche errore nella raccolta dati o nella misurazione o nella sovrapposizione di dati
non omogenei; il processo può essere sbilanciato in senso positivo (più valori a sinistra) o negativo
(più valori a destra). Vadere figura 2.2
Figura 2.2
POSIZIONE O TENDENZA CENTRALE
: l’istogramma evidenzia, anche,se la distribuzione de i dati
provenienti dall’output di processo è centrata sull’obbiettivo (valore nominale) fornendo indicazioni
sull’accuratezza del processo.
Infatti dalla sovrapposizione dell’istogramma con la retta del valore obbiettivo si può
verificare il posizionamento del valore centrale dei dati rispetto al target assegnato (figura 2.3).
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Controllo statistico di qualità
PROCESSO CENTRATO
PROCESSO POSIZIONATO
TROPPO IN BASSO
PROCESSO POSIZIONATO
TROPPO IN ALTO
Figura 2.3
DISPERSIONE
: un istogramma consente inoltre di valutare la precisione del processo produttivo
tramite l’analisi di dispersione della distribuzione dei dati, anch e in relazione ai limiti di tolleranza.
Si possono osservare diagrammi a campana fortemente appiattiti, che indicano una forte dispersione
dei valori, e altri fortemente concentrati in corrispondenza del valore centrale. Importanti
valutazioni si ottengono confrontando l’istogramma dei dati con i limiti di tolleranza imposti in fase
di progetto ( figura 2.4).
Il processo è entro i limiti di tolleranza
Il processo non ha margini
va ridotta la variabilità
Processo spostato in basso. Il processo
Processo troppo variabile, va
deve essere centrato sui limiti
ridotta la variabilità
Figura 2.4
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Controllo statistico di qualità
ESEMPIO
Una azienda farmaceutica decide di effettuare un controllo sul processo di iniezione di un
farmaco, per le cure tumorali, all’interno di appositi flaconi. L’azienda assume come tollerabili un
quantitativo minimo di medicinale nei flaconi pari a 82 ml e uno massimo di 118 ml e in fase di
progetto stabilisce un quantitativo obbiettivo di 95 ml . Gli operatori addetti a tale compito hanno a
disposizione le misure del contenuto dei flaconi del prodotto medicinale riportate nella tabella 2.1:
LUN MAR MER GIO VEN SAB LUN MAR MER GIO VEN SAB
8.00
94
97
92
94 106
108
95
98
9.00 108
118
92 100
109
92
105
10.00 105
97
101 102
11.00
85
96
93
93
93
99
94
92
12.00
93
103
95
99 101
80
13.00 111
100
90
98 110
14.00 109
92
108
15.00 102
99
111
85 109
110
111
96 110 108
97
97
109
95
96 103
88
108
99
95
91
88
96
98
101
106
95 103
83
85
111
109
104
97 115
93
89 103
95
91
99
95
93 105
97
86
96 110
92
94
99
87 114 100
102
16.00
99
115
84
89 110
85
93
101
84
89 113
91
17.00
93
104
84
86 109
99
100
100
94
91 113
109
Tabella 2.1
Per un’immediata valutazione sul processo si decide di costruire un istogramma dei dati di
output. Dalla tabella dei dati sono stati ricavati il valore massimo (M) e quello minimo (m). In
questo caso M=118 e m=80. Quindi calcolata l’escursione (R) come differenza tra il valore
massimo e quello minimo: R=M-m=38.
Il numero delle classi, indicato con K, si sceglie in funzione del numero dei dati e viene usato
il criterio della radice quadrata: K2=N. Nel qual caso, poiché N=120 si ottiene K=10.95 e per
approssimazione si ottiene K=10. L’ampiezza di ogni singola classe (h) è ottenuta dividendo
l’escursione di R per il numero delle classi K. Nel nostro caso si ottiene 3,8 arrotondato a 4 per
comodità.
A questo punto si definiscono i limiti delle classi iniziando dal valore minimo, che viene
assunto come limite inferiore della prima classe. Il limite superiore sarà dato da quello inferiore più
l’ampiezza di classe. I limiti delle classi successive si individuano sommando di volta in volta
l’ampiezza di classe.
12
Controllo statistico di qualità
La tabella delle frequenze ed il relativo istogramma che si ottengono sono:
CLASSI
FREQUENZE
80/84
2
84/88
10
88/92
11
92/96
25
96/100
21
100/104
12
104/108
10
108/112
15
112/116
2
116/120
1
Figura 2.5
Dall’istogramma di figura 2.5 si può subito notare come i dati seguano approssimativamente
una distribuzione normale, con una piuttosto accentuata variabilità dei dati. Rispetto al target
aziendale il processo è abbastanza centrato, mentre in termini dei limiti di tolleranza il processo
sembra non avere margini per cui potrebbe essere necessaria una azione correttiva sulla variabilità
del processo.
13
Controllo statistico di qualità
4. Diagramma di Pareto
L’analisi di Pareto è una potente tecnica di supporto all’azione del problem solving
frequentemente utilizzata nell’ambito del controllo statistico di processo. Questa è una metodologia
grafica che consente di individuare su basi oggettive, più che su sensazioni dovute all'urgenza del
momento, le priorità di intervento nella soluzione dei problemi evidenziando, tra una serie di cause,
quelle che incidono maggiormente sul fenomeno in esame. L'obiettivo è sviluppare una mentalità
atta a comprendere quali siano le poche cose più importanti, per concentrarsi solamente su esse.
Il principio alla base di tale analisi stabilisce che tra tutte le possibili cause, poche di esse sono
responsabili della maggior parte dei problemi riscontrati. Se registriamo i problemi che si verificano
a seconda della tipologia o della causa che li ha provocati, possiamo presto scoprire che la maggior
parte di essi (ed il conseguente costo) è attribuibile solamente ad una o poche cause tra le molte
individuate. Il diagramma di Pareto e' una semplice rappresentazione grafica del sopraesposto
principio, solitamente rappresentato come diagramma a barre,nel quale in ascissa sono riportati i
tipi di difetti ed in ordinata la loro incidenza percentuale.
Figura 3.1: Diagramma di pareto
Dal grafico 1 si nota come la particolare struttura del diagramma di Pareto, in cui le colonne
dell’ istogramma sono ordinate in ordine decrescente di frequenza, consenta un’individuazione
immediata degli aspetti prioritari da affrontare (su quanti e quali difetti concentrarci e quali
tipologie di difetti conviene trascurare). Generalmente per una maggiore completezza e chiarezza
grafica , accanto al diagramma a barre, viene tracciata la linea dei valori cumulati (la linea segnata
in rosso nella figura 3.1).
Un aspetto utile dell’analisi di Pareto, da tenere in considerazione se il nostro obiettivo è
ridurre i costi della qualità, è quello relativo ai costi del difetto. Si tratta di analizzare i costi di
riparazione per ogni tipo di difetto o in generale le perdite di denaro dovute ai difetti. Per fare questo
14
Controllo statistico di qualità
si parte dall’analisi di Pareto e si costruisce un nuovo grafico cartesiano con le tipologie dei difetti in
ascisse e in ordinate il costo dei difetti, calcolato come il numero dei difetti moltiplicato il costo della
riparazione di quel difetto. L’analisi di questo nuovo diagramma ci permette di scopri re i reali punti di
intervento e quelli di maggiore convenienza. La figura 3.3 riporta un tipico esempio di analisi dei
costi in cui si può notare, da un confronto con il grafico di figura 3.2, come il difetto più frequente
non corrisponda necessariamente con quello più oneroso.
Figura 3.2
Figura 3.3
Un altro aspetto da tenere in considerazione dell’analisi di Pareto, è che permette di
confrontare due rappresentazioni dello stesso fenomeno in tempi differenti, evidenziando quindi i
risultati dell’azione di miglioramento effettuata. Il diagramma viene ridisegnato dopo l’introduzione
di cambiamenti ed affiancato a quello originario in modo da evidenziare l’effetto delle modifiche.
Nel grafico di figura 3.4 è stato effettuato ad esempio un confronto tra due diagrammi in istanti di
tempo successivi.
Figura 3.4
Vediamo quali sono le fasi principali da seguire per la stesura del diagramma di Pareto:
a)
IDENTIFICAZIONE DELLE CARATTERISTICHE D'
INTERESSE DEL PROCESSO
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Controllo statistico di qualità
vengono individuate le cause principali di errore e non conformità riscontrabili nel processo
produttivo
b)
DEFINIZIONE DEL PERIODO DI OSSERVAZIONE DEL FENOMENO
viene stabilito quando e per quanto tempo raccogliere le informazioni secondo il tempo necessario
per avere dati sufficienti all’analisi
c)
RILEVAZIONE E RACCOLTA DATI
viene determinata la frequenza di non conformità (o di errori ) prodotte, nel periodo di tempo in
questione, da ogni causa individuata. Successivamente i difetti, con le corrispondenti quantità
rilevate, sono registrate all’interno di un foglio di raccolta ordinate in senso decrescente di quantità
di errore.
d)
COSTRUZIONE DEL DIAGRAMMA A BARRE
si calcola il valore percentuale per ogni causa e si costruisce il relativo istogramma, ponendo in
ascissa le diverse tipologie di difetti o cause e in ordinata la loro incidenza percentuale.
ESEMPIO
Andiamo ad analizzare il processo di produzione di uno stabilimento che produce pezzi meccanici
per automobili. Supponiamo che ogni giorno dallo stabilimento escano un certo numero di prodotti
difettosi. Si vuole stabilire quale tipologia di difetti, riscontrati in produzione, incide maggiormente
sulla difettosità dei prodotti.
Attraverso una discussione con i diversi responsabili si individuano le cause che si suppone possano
influire sulla difettosità del prodotto e si stabilisce un periodo di osservazione di quattro mesi per la
raccolta delle informazioni.Una volta deciso come raccogliere i dati non resta che preparare il foglio
di raccolta e rilevare le informazioni utili alla nostra analisi. Il foglio compilato risulta la base per la
costruzione del diagramma di Pareto.
DIFETTI
GEN
FEB
MAR
Guarnizione rotta
\
\
\
Pezzi mancanti
\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\
\\
Pezzi sbagliati
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Montaggio errato
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\
\\\\
Superficie rugosa
\\\\\\\\\\
\\\\\\
Rivestimento graffiato
\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Componente A difettoso
\\
\
Componente B difettoso
\\\\
\
Componente C difettoso
\\\\\
Totale
APR
TOT
\\
5
22
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
147
34
16
\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\
112
3
\
6
5
92
91
84
81
350
Tabella 3.1
16
Controllo statistico di qualità
Riordiniamo i dati in una nuova tabella per ordine di importanza e raggruppiamo i tipi di difetto che
appaiono un numero di volte trascurabile sotto la voce varie, quindi valutiamo il valore percentuale
di ogni tipo di difetto.
DIFETTI
N°
%
Pezzi sbagliati
147
42,0
Rivestimento graffiato
112
32,0
Montaggio errato
34
9,7
Pezzi mancanti
22
6,3
Superficie rugosa
16
4,6
Altre cause
19
5,4
350
100
Totale
Tabella 3.2
Sulla base dei dati ottenuti possiamo compilare il relativo diagramma di Pareto :
Figura 3.5
Nel nostro caso il primo difetto rappresenta il 42% della difettosità ed assieme al secondo difetto
ricopre ben il 74% della difettosità globale; è evidente come una azione correttiva sul processo
debba rivolgersi, in maniera prioritaria, verso le prime due tipologie di difetti.
17
Controllo statistico di qualità
5. Diagramma causa-effetto
Messi a punto in Giappone da Kauru Ishikawa nel 1943, i diagrammi di causa effetto (detti per
questo anche diagrammi di Ishikawa) sono tra gli strumenti più usati per la soluzione dei problemi
di qualità. Il diagramma causa-effetto è un diagramma che mostra le relazioni tra una caratteristica e
i suoi fattori o cause. Esso è dunque la rappresentazione grafica di tutte le possibili cause relative ad
un fenomeno. Può essere inteso sia come mezzo per la rappresentazione sintetica delle cause di un
problema, sia come strumento per l'individuazione delle cause stesse e quindi delle soluzioni del
problema.
Solitamente il diagramma prende una forma a lisca di pesce, da cui il nome alternativo di
diagramma a lisca di pesce (vedi figura). Il problema di cui si vuole studiare la soluzione viene
infatti disposto al termine di una linea, ai lati della quale si innestano altre linee che rappresentano
le diramazioni principali, ovvero le cause primarie del problema; su queste si innestano a loro volta
le cause secondarie, alle quali possono essere congiunte altre sottocause, e così via. In questo modo
sono rappresentate, in modo ordinato, tutte le possibili cause che potrebbero determinare un
problema, fornendo un’ottima base di partenza p er l’indagine delle vere cause che influenzano
l’effetto in esame
CAUSA 1
CAUSA 2
EFFETTO
CAUSA 3
CAUSA 4
CAUSE
EFFETTI
Figura 4.1
L’analisi causa -effetto nel suo significato più completo è il processo che porta alla definizione
precisa dell’effetto che vogliam o studiare e, attraverso la fotografia della situazione ottenuta con la
costruzione del diagramma, permette di fare una analisi delle vere cause che influenzano l’effetto in
esame. Possiamo individuare perciò 3 momenti che costituiscono questa fase di analisi:
18
Controllo statistico di qualità
IDENTIFICAZIONE DELL’ EFFETTO CHE SI VUOLE STUDIARE
L’identificazione dell’effetto è alla base di un’efficace analisi, in quanto meglio sarà definito
l’effetto in esame, tanto più l’analisi sarà mirata ed efficace.
COSTRUZIONE DEL DIAGRAMMA CAUSA EFFETTO
Per la costruzione del diagramma causa-effetto è necessario individuare tutte le possibili cause
dell’effetto studiato; la ricerca delle cause può seguire tre diversi metodi :
•
metodo della classificazione delle cause : si individuano prima di tutto le categorie principali di
cause che serviranno per sviluppare in modo ordinato l’analisi di dettaglio (un criterio di
suddivisione può essere quello di individuare le seguenti categorie: macchine, manodopera,
metodi, materiali) e successivamente si procede alla associazione delle cause specifiche (magari la
ricerca può essere fatta in gruppo con un procedimento di tipo brainstorming). Le cause suggerite
vengono riportate sul diagramma come rametti dei quattro rami principali (le categorie principali).
Le cause riportate possono poi successivamente venire ramificate a loro volta trattandole come
effetti per trovarne le cause. Questo procedimento si porta avanti finché il livello di dettaglio non
si ritiene sufficiente all’analisi.
•
metodo per elencazione delle cause : con questo metodo si parte da una semplice elencazione
delle cause; l’elenco deve essere il più ampio e completo possibile e viene compilato attraverso
un’azione di brainstorming. In una seconda fase le cause devono essere strutturate evidenziando le
relazione reciproche sotto forma di diagramma. La difficoltà è nella costruzione logica delle
relazioni reciproche tra le cause quindi nella loro organizzazione nel diagramma causa-effetto.
•
metodo per fasi di processo : questo metodo è particolarmente utile quando il fenomeno che
vogliamo esaminare avviene attraverso fasi ben definite e separate, per esempio un processo
produttivo composto dalle lavorazioni A,B,C (figura 4.2).
Figura 4.2
19
Controllo statistico di qualità
Un esempio può essere dato dallo studio di un processo costituito da sgrassatura e cromatura.
Figura 4.3
Come si può vedere il vantaggio del metodo per fasi di processo è quello di potere esaminare
singolarmente ogni fase di lavoro.
ANALISI DEL DIAGRAMMA COSTRUITO
Come detto la costruzione del diagramma dà origine a uno schema molto ricco; scopo dell’analisi
sarà quindi esaminare criticamente le cause per individuare quelle più importanti e probabili e
verificare quelle che effettivamente influenzano il problema. L’individuazione delle cause più
probabili avviene attraverso un’analisi critica, se non si possiedono dati si procede attraverso una
discussione. Successivamente si procede alla definizione delle cause più importanti valutando il
peso che ognuna può avere nei confronti dell’effetto ( l’esito dovrebbe essere un elenco ordinato per
importanza delle cause probabili).
Se le cause sono state individuate e ordinate in modo appropriato si riesce presto a determinare la
vera causa che influenza il fenomeno in oggetto; ci si può così concentrare su come rimuoverla
definitivamente.
Il diagramma di causa-effetto è indubbiamente un valido strumento di presentazione dei dati.
Come metodo per la ricerca delle soluzioni di un problema, invece, non sempre risulta efficace. Il
rischio può in effetti essere costituito dalla eccessiva formalizzazione del processo che porta ad
analizzare cause ritenute già in partenza ininfluenti. Altro limite è nel fatto che esaminando una
causa alla volta, si possono facilmente perdere le interazioni tra le diverse cause.
20
Controllo statistico di qualità
ESEMPIO
In un industria manifatturiera vengono valutate le cause che producono delle cattive saldature
durante il processo di produzione. I responsabili del controllo di processo decidono di costruire un
diagramma causa effetto coinvolgendo tutti gli operatori interessati, in modo da rappresentare in
modo ordinato tutte le possibili cause che potrebbero determinare le cattive saldature. Per
l’individuazione delle cause viene adottato il metodo della loro classificazione in categorie gen erali
(macchine,manodopera,metodi,materiali).
Il diagramma che risulta dalla discussione tra i diversi responsabili sarà di questo tipo (figura 4.4):
Figura 4.4
Individuate le cause più probabili ed importanti, vengono poste a verifica per poter così individuare
quella che influisce in maniera decisiva sull’effetto in esame.
21
Controllo statistico di qualità
6. Analisi per stratificazione
L’analisi per stratificazione consiste nella suddivisione dei dati raccolti in una serie di
sottogruppi omogenei, che permettano una migliore comprensione del fenomeno che si sta
analizzando. Attraverso l’analisi per stratificazione è possibile far emergere tutta una serie di
informazioni, già contenute nei dati raccolti, ma che non sarebbero così evidenti senza
l’applicazion e di questo tipo di analisi.
L'obiettivo della stratificazione é quello di farparlare i dati, cioè di individuare il fattore o i
fattori più significativi relativamente ai dati che rappresentano un certo fenomeno. La stratificazione
é un'operazione indis
pensabile per un ottimale sviluppo risolutivo di un problema. Infatti, se i dati
sono mescolati tra di loro, é facile confonderli o non riuscire ad interpretarli, dunque basare le
considerazioni successive su informazioni vaghe o addirittura errate.
Per stratificare è dunque necessario prima di tutto definire la caratteristica da analizzare;
bisogna rappresentare poi i dati relativi al fenomeno in modo complessivo. Una volta individuati i
fattori di stratificazione più adeguati si classificano i dati in gruppi omogenei secondo i fattori
prescelti per poi rappresentarli graficamente e confrontare i gruppi così ottenuti. Se si rivelano
differenze tra i vari gruppi, la stratificazione ha avuto successo.
E’ bene poi tenere presente che la comprensione di un fe nomeno diventa più completa con
l’aumentare del numero dei fattori di classificazione, è necessario quindi stratificare secondo tutti
quei fattori che si ritiene possano essere utili alla definizione del fenomeno. Per individuare i fattori
ci si può domandare: Come incide…………sul fenomeno? La parola mancante il più delle volte è
un fattore di stratificazione.
Consideriamo ad esempio che in un certo reparto si stia studiando un difetto di produzione e
si siano raccolti dei dati rappresentati con un istogramma generale dei difetti (figura 6.1).
Figura 6.1
Stratificando questi dati si possono ottenere delle informazioni utili; ad esempio, se questo
reparto lavora a due turni, può essere utile stratificare i dati stessi nei due turni ed osservare se vi
sono delle differenze.
22
Controllo statistico di qualità
Nel caso in esame, come evidenziato negli altri due istogrammi riportati di seguito,
osserviamo che la dispersione nel primo turno é minore rispetto a quella del secondo.
Istogramma dei difetti nel primo turno
Figura 6.4
Istogramma dei difetti nel secondo turno
Figura 6.3
Questa osservazione ci da una chiave di lettura della situazione; ci dice infatti che il secondo
turno ha una situazione meno positiva. Questa prima informazione ci fornisce la base per
un'ulteriore analisi più approfondita orientata al secondo turno.
In modo analogo a quanto visto per l’istogramma, la stratificazione consente di ottenere degli
utili risultati anche se applicata ai restanti strumenti della qualità, in particolare al diagramma di
Pareto e a quello di correlazione. Le suddivisioni logiche in cui vengono raggruppati i dati sono
dette fattori di stratificazione. Esempi tipici di fattori di stratificazioni sono:
•
tempo (turno, giorno, settimana)
•
operatori (anzianità, esperienza, sesso)
•
macchine e/o attrezzature (modello, tipo, età, tecnologia, utensile)
•
materiale (fornitore, composizione, consegna)
•
metodo di controllo di misura (tipo di strumento di controllo, addetto alle analisi)
23
Controllo statistico di qualità
7. Carte di controllo
Al fine di ottenere livelli di qualità accettabili può essere determinante intraprendere una
azione di monitoraggio della variabilità (la fluttuazione dei valori misurati attorno alla media) del
processo produttivo; una eccessiva variabilità comporterebbe infatti una non rispondenza del
prodotto alle sue caratteristiche funzionali.
In ogni processo produttivo è presente una variabilità intrinseca che non dipende da cause
esterne detta variabilità naturale, originata da una serie di fluttuazioni interne al processo, risultato
di numerose piccole cause che operano casualmente (dette cause comuni o casuali). Tali cause
risiedono nel sistema di produzione e non possono essere attribuite ad esempio a macchine,
dipendenti o fornitori particolari; in questo caso la causa ultima risiede e va ricercata nel sistema di
produzione, che deve essere modificato, e non in un aspetto specifico del processo. Un processo
produttivo la cui fonte di variabilità è imputabile esclusivamente a questo tipo di cause è un
processo prevedibile, che può essere descritto mediante leggi statistiche. Si parla in questo caso di
processo “sotto controllo statistico”.
Sulla variabilità del processo possono però intervenire fattori esterni che ne alterano la
variabilità naturale e generano una variabilità non prevedibile che disturba il funzionamento del
processo. Tali fattori, denominati cause speciali di variazione, determinano la quota eccezionale di
variabilità del processo e rappresentano grosse fluttuazioni nei dati, che non sono imputabili al
processo oggetto di analisi. Queste fluttuazioni sono il risultato di cambiamenti nel processo, che
possono indicare il verificarsi di problemi oppure, al contrario, l’insorgere di novità interessanti da
esplorare. Esempi di fattori di variabilità speciali possono essere: scarsa esperienza e professionalità
del personale, utilizzo di metodologie produttive non appropriate, sistemi di produzione non
adeguati. Un processo la cui variabilità risente oltre che di cause comuni anche di cause speciali di
variazione ha un andamento imprevedibile, per cui si parlerà di processo “fuori controllo statistico”.
Saper distinguere fra le due cause di variabilità è essenziale, in quanto mentre le cause
speciali di variazione possono essere corrette (se necessario) senza modificare il processo, le cause
ordinarie di variazione, essendo fluttuazioni intrinseche al processo produttivo, possono essere
ridotte solo cambiando il processo medesimo. La carta di controllo, supportando l’analista nel
riconoscimento della causa di variazione, consente di individuare un processo fuori controllo
consentendo di evitare due errori tipici. Il primo consiste nell’interpretare una causa comune di
variazione come una causa straordinaria; in questo caso si potrebbe esercitare un’azione correttiva
eccessiva che può a sua volta aumentare la variabilità del processo. Il secondo è l’errore speculare, e
si commette quando una variazione straordinaria viene trattata come una variazione comune. In
questo caso, si rischia di non intervenire prontamente e adeguatamente per “correggere” il sistema.
24
Controllo statistico di qualità
Le carte di controllo rappresentano uno dei metodi più utilizzati per il controllo statistico di
produzione. Messe a punto negli anni '30 da Walter Shewthard, il loro utilizzo si è rapida
mente
diffuso negli Stati Uniti e poi in Giappone già prima della seconda guerra mondiale. Negli anni
successivi alla guerra la loro utilità è stata messa in discussione per il fatto di non fornire alcuno
strumento per la risoluzione dei problemi. Tuttavia ancora oggi le carte di controllo sono lo
strumento principe nel controllo statistico di processo.
Le carte di controllo sono essenzialmente rappresentazioni grafiche di un processo nel tempo
che, basandosi su teorie statistiche, rimangono di facile interpretazione e utilizzo anche per utenti
meno esperti. In letteratura esistono diversi tipi di carte di controllo, la cui forma generale è
riportata in figura.
Figura 7.1
Le tre linee orizzontali continue chiamate linea centrale (CL), limite superiore di controllo
(UCL) e limite inferiore di controllo (LCL) definiscono la tendenza centrale e un range di
variazione naturale per i valori riportati sul grafico. I limiti inferiori e superiori sono calcolati in
base a una distribuzione di frequenza teorica che cambia in funzione del tipo di dati che vengono
analizzati (gaussiana, Poisson, binomiale, …). Tipicamente una carta di controllo stabilisce dei
limiti che si collocano a ± 3 scarti quadratici medi dalla misura statistica di interesse (media,
proporzione, range, ecc.). Quindi in generale per costruire una carta possiamo seguire la seguente
semplice regola (indicando con W una statistica campionaria generica) :
CL = E[W]
UCL = E[W] + 3 (Var[W] ) 1/2
LCL = E[W] – 3 (Var[W]) 1/2
25
Controllo statistico di qualità
Data una distribuzione di frequenza teorica di riferimento, ad esempio la gaussiana,
l’interpretazione dei valori esterni alle linee di controllo inferiore e superiore è simile a quella di un
generico test statistico di ipotesi, indicando come statisticamente significativi i valori che sono fuori
controllo, testimonianza questa di un processo non omogeneo o comunque di un processo che
produce un output sensibilmente diverso da quello di riferimento. Dunque, indipendentemente dal
tipo di carta di controllo utilizzata, la lettura può considerarsi sempre la stessa.
Una volta definiti i limiti di controllo, plottando i dati all’interno del grafico, la carta ci
consente di individuare eventuali andamenti sistematici (pattern) dei valori che rappresentano il
processo nel tempo e di stabilire se ciascun punto cade all’interno o all’esterno dei limiti imposti. In
questo modo si individua immediatamente un processo fuori controllo.
Nella pratica raramente vengono considerate singole osservazioni, il più delle volte i valori
riportati nelle carte di controllo rappresentano a loro volta il risultato di una stima campionaria
(pertanto il singolo valore riportato nella carta di controllo non rappresenta una singola misura, ma,
ad esempio, la media di una serie di misure eseguite campionando vari elementi dallo stesso lotto). I
vari campioni utilizzati (che possono essere più o meno grandi in funzione della produzione presa in
esame) vengono chiamati sottogruppi e si presume che al loro interno presentino la sola variabilità
casuale, mentre le cause speciali di variazione (se presenti) possono determinare solamente la
variabilità fra diversi sottogruppi.
Il grafico 7.2 mostra un tipico esempio di carta di controllo in cui al diciannovesimo periodo
si ha un fuori controllo (un punto fuoriesce dai limiti di controllo), questo è sintomatico di un
processo fuori controllo statistico sulla cui variabilità intervengono cause speciali di variazione.
ALLARM
UCL
LCL
Figura 7.2
La presenza di tutti i punti della carta all’interno dei limiti di contr ollo è solo una condizione
necessaria ma non sufficiente per poter dire che un processo è in controllo. Si possono individuare
sequenze temporali particolari che evidenziano che qualcosa di anomalo sta intervenendo nel
processo.
26
Controllo statistico di qualità
UCL
LCL
Figura 7.3
Nella carta riportata in figura 7.3 la maggioranza dei punti è collocata al di sotto del limite
centrale, questo induce a pensare ad una anomalia nel processo, dovuta ad esempio ad un operatore
inesperto o ad un difetto di macchina. Situazioni analoghe possono presentarsi anche nel caso in cui
si evidenzia un andamento ciclico dei dati dovuto sicuramente a delle cause ricorrenti (un ambiente
climaticamente non controllato durante le stagioni estreme può essere un esempio di causa) o nel
caso in cui i punti del tracciato tendano a cadere vicino ai due limiti di controllo con assenza di
punti nel centro (si parla di mistura), creando un effetto come quello mostrato in figura 7.5 (questo
evidenzia la presenza di due popolazioni distinte che possono essere, ad esempio, il risultato di due
operatori che settano la macchina in modo diverso all’inizio dei turni).
UCL
LCL
Figura 7.4
Figura 7.5
Un caso ancora più evidente si verifica quando il tracciato dei valori segue un trend di crescita
(o di decrescita) indicando una anomalia di processo dovuta ad esempio all’usura dell’utensile (si
parla di tendenza) , ad una diminuzione dell’abilità dell’operatore o ad un peggioram ento
dell’omogeneità del materiale.
27
Controllo statistico di qualità
UCL
LCL
Figura 7.6
L’individuazione di eventuali anomalie nel tracciato di dati di una carta di controllo non è
comunque compito semplice e necessita di esperienza e di una buona conoscenza del processo in
esame. Esistono però delle semplici regole pratiche a supporto del lavoro dell’analista, come il test
delle zone. Questo test è costruito in base al presupposto che la probabilità che una serie successiva
di punti cada, per effetto del caso, in una data zona della carta di controllo sia piccola: ciò consente
di concludere che siamo in presenza di una causa speciale e non di una causa comune di variazione.
Allora un processo è fuori controllo nei seguenti casi:
1) Uno o più punti cadono fuori dei limiti di controllo
2) Nel caso in cui la carta di controllo sia divisa in zone, quando:
+3σ
Lim ite d i C o ntro llo S up erio re
Zo na A
+2σ
Zo na B
+σ
Zo na C
σ
-σ
M ed ia
Zo na C
-2 σ
Zo na B
-3 σ
Zo na A
Lim ite d i C o ntro llo Inferio re
a) 2 punti, tra 3 consecutivi, sono nella zona A,
dalla stessa parte rispetto al valor medio
b) 4 punti, tra 5 consecutivi, sono dalla stessa parte
rispetto al valor medio e in zona B
c) Nove punti consecutivi sono dalla stessa parte
rispetto al valor medio
d) Ci sono 6 punti consecutivi crescenti o decrescenti
e) Ci sono 14 punti consecutivi che si alternano su e giù
f) Ci sono 15 punti consecutivi in zona C (sopra e sotto il valor medio)
Una volta riconosciuto il fuori controllo del processo, compito dell’analista è di identificare le
cause straordinarie di variazione. Se questi fattori determinano un peggioramento del prodotto,
l’esperto deve pianificare strategie volte a eliminarl i; se al contrario i fattori straordinari di
variazione occorsi hanno portato a un miglioramento della qualità, il processo deve essere
modificato in modo da incorporarli al suo interno. In questo modo, la causa straordinaria di
variazione del vecchio processo diventa nel processo modificato una causa comune di variazione. I
limiti di controllo andranno modificati (è necessario ricalcolare tutti gli simatori) quando sono state
28
Controllo statistico di qualità
trovate e rimosse le cause di fuori controllo, fino a quando il processo non viene cambiato. In
questo caso, nel nuovo calcolo vanno tenuti in considerazione solo i dati del nuovo processo.
Le carte di controllo comunemente utilizzate prendono il nome da Shewhart, il quale per
primo utilizzò i dati a sua disposizione formulando diversi modelli grafici che si differenziano in
base alle caratteristiche stesse dei dati e che sostanzialmente si dividono in due gruppi:
• per variabili (utilizzano delle misure quantitative),
• per attributi (utilizzano delle misure qualitative).
Esistono in letteratura anche altri tipi di Carte di controllo; tra queste, la Carta CuSum (Cumulative
Sum) si dimostra molto utile in diverse occasioni.
7.1
CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
Quando la rispondenza della caratteristica del prodotto, ottenuto con il processo oggetto del
controllo, è espressa attraverso una misura, allora si dice cha la qualità è espressa per variabili. . E’
questo il caso di misurazioni di grandezze quali: lunghezza, peso, ecc. che hanno, generalmente,
una precisa unità di misura. Ad esempio si consideri di controllare un processo di tempra attraverso
la rilevazione della misura di durezza dei pezzi in uscita. In questi casi vanno utilizzate le cosidette
carte per variabili.
I dati espressi per variabili hanno le seguenti proprietà :
•
sono misurabili su una scala numerica tramite unità di lunghezza, diametro, peso,
temperatura, ecc. ;
•
sono continui. L’accuratezza della loro misura dipenderà perciò dalla risoluzione dello
strumento di misura ;
•
se riferiti alla stessa unità di misura, possono essere confrontati numericamente,
permettendo di ricavare informazioni come media e dispersione.
Tipicamente, le carte di controllo per dati quantitativi vengono sviluppate in coppia: una ha lo
scopo di monitorare la variabilità del processo (carta X ) e l’altra riguarda la media del processo
(carta R o carta S). Perché un processo possa essere considerato sotto controllo è necessario che
entrambe le carte non presentino valori esterni ai limiti di controllo. La combinazione delle carte di
controllo aumenta la possibilità di individuare un processo fuori controllo e, rispetto alla carta
singola, fornisce una maggiore quantità di informazioni utili per eliminare le cause speciali di
29
Controllo statistico di qualità
variazione. La letteratura ha sviluppato diversi tipi di carte per dati quantitativi; fra queste si è
scelto di presentare le carte più tipiche, per lo studio del range (o escursione) e della media del
processo.
In funzione della numerosità del campione e delle misure effettuate vengono definite le
seguenti carte di controllo:
Statistica
Carta di controllo
Media e escursione
carta X e R
Media e deviazione standard
carta X e S
Media e variazione mobile
carta Moving Range
CARTA DELL’ESCURSIONE E CARTA DELLA MEDIA (CARTA X –
R)
Le Carte X medio e le Carte R sono le più utilizzate nel controllo e nell'analisi delle variabili
di un processo. Le misurazioni inerenti ad una specifica caratteristica del processo sono raccolte in
sottogruppi di limitate dimensioni (n ≤ 10), generalmente da due a sei per ogni campione.
La carta di controllo sul range del processo (dove per range si intende Ri = max(xj) - min(xj)
per j=1,…,n relativo al sottogruppo i-esimo di numerosità n) permette di effettuare un’analisi
preliminare delle cause di variabilità: la presenza di valori esterni ai limiti di controllo in questa
carta segnala l’esistenza di fonti straordinarie di variabilità, le quali devono essere identificate ed
eliminate prima di continuare nell’analisi. Per costruire i limiti di controllo intorno al range occorre
stimare il range medio ( E[R] ) e lo scarto quadratico medio del range ( σ R). Un fuori controllo
rilevato dalla carta del range corrisponderà necessariamente ad un processo fuori controllo anche
per la carta della media, mentre il viceversa non necessariamente si verifica.
La carta di controllo per la media del processo (Carta X ), necessaria alla valutazione del
processo dal punto di vista della media, è costruita sulla base di k sottogruppi (ciascuno per ogni
istante temporale), ognuno composto da n unità. Per calcolare i limiti di controllo della media, è
necessario determinare la media delle medie relative ai sottogruppi (che indicheremo con
) per la
stima della media del processo ( µ ) ed effettuare la stima della deviazione standard del processo
(σ )
30
Controllo statistico di qualità
Vediamo però più in dettaglio come si costruiscono le carte di controllo della media e
dell’escursione per un processo produttivo; in pratica vediamo quali sono le formule che ci
consentono di calcolare i limiti di controllo nei due diversi casi.
Si supponga che una determinata caratteristica dell’output del processo produttivo a bbia
media •µ e deviazione standard σ note entrambe. Come noto la media di un campione di
dimensione n, x = ∑ xi
n
, è uno stimatore della media della popolazione ed è distribuita
normalmente con media µ e deviazione standard σ /
n.
In questo caso i limiti di controllo per la
carta della media sono:
CL = µ
UCL = µ •+3•σ /
LCL = µ •-3•σ /
n
n
L’aver fissato i limiti a 3 volte la deviazione standard corrisponde ad assumere un rischio di prima
specie α = 0,0013. Ciò vuol dire che i campioni la cui variabilità rientra nella normale variabilità
del processo produttivo dovrebbero restare all’interno dei limiti di tolleranza, mentre dovrebbero
uscire quei campioni la cui variabilità è dovuta ad una causa di deriva del processo.
Il problema è che nei casi reali non sono noti né la media né la varianza del processo
produttivo. In tal caso, per costruire la carta della media, occorre una stima della deviazione
standard (la stima di quest’ultima, a causa della piccola numerosità del campi one, non può essere
ottenuta con la stima della d.s. dei dati) e della media del processo produttivo.
A tal proposito può essere utilizzata l’escursione relativa
W=R/ σ
per la quale, media e deviazione standard sono dati da E(W) = d2, D(W) = d3 (i valori d2 e d3
dipendono solo da n e sono tabulati).
In questo modo la deviazione standard del processo σ viene stimata come:
σ
= σ R / d2
⇒ σˆ = R / d2
( come stimatore di E[R] utilizziamo R )
Mentre lo stimatore della media sarà ricavato come:
k
X =
∑x
i =1
i
k
Si hanno quindi i seguenti limiti di controllo per la carta della media :
31
Controllo statistico di qualità
UCL = X + 3 R / (d2
n)
= X + AR
CL = X
LCL = X - 3 R / (d2
n)
= X - AR
dove A è un parametro dipendente dalla numerosità di ciascun sottogruppo ottenibile con l’ausilio
di apposite tabelle del tipo di quella riportata in seguito. Mentre con R si indica la media degli Ri di
ciascun sottogruppo.
Analogo discorso va fatto per la determinazione dei limiti di controllo della carta R. La carta
di controllo teorica a 3 sigma per R ha i limiti teorici E(R) ± 3 σ R.
Il valore stimato della deviazione standard del range σ
R = σ •W ⇒ σ
R
R
sarà:
= σ d3
R
d2
σˆ R = d 3
mentre la stima di E(R) è ottenuta, come accennato, dalla media campionaria delle escursioni :
k
R=
∑R
i =1
i
k
Per cui i limiti di controllo della carta del range saranno:
UCL = R (1 + 3 d3/d2) = B R
CL = R
LCL = R (1 - 3 d3/d2) = C R
anche in questo caso B e C sono dei parametri, introdotti per semplicità, dipendenti dalla
numerosità dei sottogruppi, riportati in apposite tabelle. La tabella 7.1 contiene i valori dei
parametri A,B,C utilizzati nella costruzione delle carte R ed X
32
Controllo statistico di qualità
N°
eleme A
nti
C
B
1
2,660 0,000 3,267
2
1,880 0,000 3,267
3
1,023 0,000 2,575
4
0,729 0,000 2,282
5
0,577 0,000 2,115
6
0,483 0,000 2,004
7
0,419 0,076 1,924
8
0,373 0,136 1,864
9
0,337 0,184 1,816
10
0,308 0,223 1,777
Tabella 7.1
ESEMPIO : costruzione carta R e carta X
Si richiede di porre sotto controllo statistico un processo automatico per la produzione di imbuti
cilindrici. In particolare occorre controllare il diametro interno degli imbuti. A tal fine, si decide di
estrarre 25 campioni o sottogruppi di numerosità 5 ciascuno ad intervalli regolari di una settimana :
k = 25
n=5
E’ evidente come sia necessario utilizzare
una carta di controllo per variabili in
quanto la rispondenza della caratteristica
del prodotto è espressa attraverso una
misura (diametro interno degli imbuti). I
dati ottenuti per ciascun campione sono
mostrati nella tabella 7.2, che oltre ai dati
riporta la media ( x ) e il range ( Ri )
calcolati per ciascun campione.
Tabella 7.2
33
Controllo statistico di qualità
Si calcolano i valori di X e R ottenendo rispettivamente:
X = 74,0014
R = 0,2268
Poiché la numerosità di ciascun sottogruppo è n = 5, dalla tabella 7.1 si evince come i valori dei
parametri A,B,C siano rispettivamente :
A = 0,577
B = 2,115
C=0
Si procede quindi alla valutazione della variabilità del processo tramite la costruzione della carta R
(riportata in figura 7.7), ottenuta plottando i dati del range nella colonna verde, i cui limiti sono:
UCL = 0,0479
CL = 0,02268
LCL = 0
e al monitoraggio della media del processo con la costruzione della carta X (riportata in figura
7.8), ottenuta invece riportando sulla carta i dati delle medie in colonna gialla, i cui limiti sono:
UCL = 74,014
CL = 74,001
LCL = 73,988
Figura 7.7
Figura 7.8
La carta dell’escursione mostra un allarme, cioè un punto fuori dai limiti di controllo, relativo al
sottogruppo 14. Come era facile attendersi anche la carta della media mostra un fuori controllo in
34
Controllo statistico di qualità
corrispondenza del campione 1. A seguito dell’allarme rilevato si analizza quanto accaduto nella
settimana in cui è stato estratto il campione 14 e si evidenzia una causa speciale di variazione che
viene prontamente rimossa.
Al fine di procedere alla nuova costruzione delle carte di controllo, si rianalizzano i dati avendo
cura di rimuovere quelli relativi al campione 14 (k diviene pari a 24). I dati sono riportati nella
nuova tabella 7.3 in base alla quale i nuovi valori di X e R sono pari a :
X = 74,0019
R = 0,0215
Tabella 7.2
Alla luce dei nuovi valori di X e R i limiti di controllo della carta R sono:
UCL = 0,0456
CL = 0,2154
LCL = 0
mentre i nuovi limiti della carta X della media sono:
UCL = 74,014
CL = 74,0019
LCL = 73,988
Figura 7.9
35
Controllo statistico di qualità
Figura 7.10
Le nuove carte, come è facile notare, non evidenziano alcun allarme per quanto concerne la
variabilità del processo produttivo (la carta dell’escursione non presenta punti al di fuori dei limiti)
mentre la carta della media denuncia un fuori controllo sul primo sottogruppo. Al fine di avere un
processo in controllo statistico anche per quanto riguarda la carta della media si analizza quanto
accaduto nella settimana in cui è stato estratto il campione 1 e si individua la causa speciale di
variazione che viene prontamente rimossa.
CARTA DELLA DEVIAZIONE STANDARD E CARTA DELLA MEDIA
(CARTA X – S)
Quando il numero n dei componenti i sottogruppi è maggiore di 10 alla Carta R si preferisce
generalmente la Carta S : il range R infatti, calcola la variabilità di un campione semplicemente
come la differenza tra il campione di valore più alto e quello di valore più basso. Quando il numero
dei campioni diventa alto questo tipo di stima risulta impreciso, e si deve ricorrere al calcolo della
deviazione standard S. La deviazione standard è un indice che tiene conto di quanto i valori che
costituiscono una certa popolazione o campione differiscono dal valore medio.
Anche le carte X - medio e le carte s sono usate in congiunzione. Lo scarto campionario S è
un indicatore molto efficiente della variabilità di un processo, specialmente per campioni di grandi
dimensioni, ma è meno facile da calcolare e meno sensibile alle cause speciali di variabilità che
determinano l'anomalia di un unico valore in un campione; il range, infatti, definito come la
differenza tra il valore massimo e il minimo dei valori all’interno di un campione, mette bene in
evidenza valori che si allontanano eccessivamente dagli altri.
Se consideriamo ciascun sottogruppo, per il calcolo della deviazione standard si preferisce
utilizzare una forma del tipo:
Si =
(
)
2 
 1 n

∑ x i − x 
 n − 1 i =1
36
Controllo statistico di qualità
Esistono poi due importanti relazioni che saranno utili per il calcolo dei limiti di controllo della
carta S;
E [S ] =
2
Γ(n / 2)
σ = c4 ⋅ σ
n − 1 Γ((n − 1)/ 2)
(
σ s = σ ⋅ 1 − c4
2
)
La prima relazione indica che il valor medio E[S] della deviazione standard S dei campioni è
proporzionale alla deviazione standard σ della popolazione tramite il parametro c4, che dipende
dalla numerosità dei campioni n ed è tabulato. La seconda relazione pone invece in relazione la
deviazione standard σ • Sdelle deviazioni standard dei campioni, con quella della popolazione σ •
Alla luce di queste ultime considerazioni è facile ricavare i limiti di controllo delle carte X -S.
Infatti i limiti della carta S a tre sigma, in via teorica hanno la forma :
E[S] ± 3 σ
S
Siano,allora, S1, S2, . . . , Sk gli scarti quadratici medi calcolati sui k campioni di ampiezza n. Come
stima di E(S) utilizziamo la media campionaria delle Si
k
S=
∑S
i =1
i
k
e come stima di σ S utilizziamo (data la stima della deviazione standard del processo σˆ = S / c 4 ):
(
)
2
σˆ S = S / c 4 ⋅ 1 − c 4
I limiti di controllo a tre sigma per la carta S sono allora:
(
)
(
)
UCL = S + 3 ⋅ S / c 4 ⋅ 1 − c 4 2 = B2 S
CL = S
LCL = S − 3 ⋅ S / c 4 ⋅ 1 − c 4 2 = C2 S
37
Controllo statistico di qualità
dove B2 e C2 sono sempre valori tabellati in funzione della numerosità del sottogruppo.
I limiti della carta di controllo della media, in base alla nuova stima di σ • Sattraverso la deviazione
campionaria S, diventano:
(
)
(
)
UCL = X + 3 ⋅ S / c 4 ⋅ n = X + A2 S
CL = X
LCL = X − 3 ⋅ S / c 4 ⋅ n = X - A2 S
anche A2 è un parametro opportunamente tabellato in funzione di n.
Le regole di costruzione e di interpretazione della carta X medio - S sono le stesse della carta
X medio - R.
CARTE PER MISURE SINGOLE
A differenza delle Carte precedenti che raggruppano e valutano campioni di dati composti da
diversi individui, le Carte per misure singole (spesso indicate col nome di Carte per gli Individui),
sono caratterizzate dall'analisi di quantità individua
li di misure. Ogni sottogruppo è cioè composto
di un unico elemento, situazione tipica di produzioni per le quali:
•
il processo lavora con cadenza troppo lenta
•
la misurazione da effettuare su un’unità ne comporta la distruzione
•
la produzione avviene in lotti all’interno dei quali la variabilità è praticamente nulla per cui sono
inutili misure ripetute
•
su ciascun pezzo è impostata un’ispezione automatica
Un campione unitario non fornisce nessuna stima per µ quindi non possiamo utilizzare le carte X ,
R e S. Ecco allora la necessità di introdurre un nuovo tipo di carta di controllo.
Per una Carta individuale l’indice di dispersone viene calcolato utilizzando l’ escursione mobile
(moving range), definita come il valore assoluto della differenza tra due osservazioni successive
MRi = xi +1 − xi
dove xi+1 è la misura presente e xi è la misura precedente.
38
Controllo statistico di qualità
Ovviamente se i campioni sono k il numero dei moving range è k -1 (MR1 non esiste).
Per la compilazione di questo tipo di carta si seguono considerazioni analoghe a quelle fatte
per la carta R e la carta X , tenendo conto che, nella determinazione dei diversi parametri statistici,
al posto della semplice escursione Ri va utilizzato il valore calcolato di MRi. Per cui lo stimatore
della E[R] è ricavato come:
k −1
MR =
∑ MR
i =1
i
k −1
Utilizzando i valori B e C per n = 2 della carta R si ottiene la carta di controllo per le escursioni
campionarie per le osservazioni singole, i cui limiti sono:
UCL = B MR = 3,267 MR
CL = MR
LCL = C MR = 0
Mentre i limiti per la carta di controllo per la media, osservato che lo stimatore della deviazione
standard è dato da σˆ =
MR
d2
(
)
(
)
(con d2 che vale 1,128) , sono:
UCL = x + 3 MR / d 2 = x + 2,66 MR
CL = x
LCL = x - 3 MR / d 2 = x - 2,66 MR
Poiché gli k-1 moving range sono correlati tra loro, si dovrà fare particolare attenzione ai
calcoli e all’interpretazione della carta ed inoltre l’utilizzo di una carta Moving Range deve essere
sempre accompagnato da uno studio della distribuzione di probabilità dei campioni, per valutare che
sia di tipo gaussiano. Non calcolando medie, infatti, il Teorema del Limite Centrale non è
applicabile, a differenza delle carte precedenti.
39
Controllo statistico di qualità
ESEMPIO : costruzione carte di controllo per misure singole
Consideriamo una azienda manifatturiera produttrice di bulloni. Il magement decide di effettuare un
monitoraggio della media e della varianza del processo. L’azienda dispone, in uscita dalla catena di
montaggio, un meccanismo di ispezione automatica di ciascuno dei pezzi prodotti. Il monitoraggio
viene condotto sulla misura del diametro esterno dei pezzi in uscita. I dati a disposizione degli
addetti al controllo sono riportati nella seguente tabella, in cui sono riportati i diametri interni dei
primi 15 bulloni in uscita dal processo.
K = 15
n=1
Tabella 7.3
Per la costruzione della carta di controllo del range è necessario il calcolo del moving range, come
valore assoluto delle differenze tra due osservazioni successive. Nella tabella 7.3 sono riportati i 14
(15-1) valori del moving range, in colonna arancione.
Alla luce dei dati ottenuti è stato possibile determinare i valori di MR e di x :
MR = 0,4429
x
= 10,02
Per cui i limiti di controllo della carta del range saranno:
UCL = 1,4469
CL = 0,4429
LCL = 0
mentre i limiti della carta della media saranno del tipo:
UCL = 11,198
CL = 10,02
LCL = 8,842
Le carte di controllo con i seguenti limiti sono costruite nelle figure seguenti. Per la carta del range
vengono plottati i valori in colonna arancione (relativi ai MR) mentre nella carta della media sono
riportati i dati relativi alla colonna in grigio (le singole misure).
40
Controllo statistico di qualità
Figura 7.11
Figura 7.12
Le
carte non evidenziano alcun allarme sia per quanto concerne la variabilità del processo
produttivo che per quanto riguarda la media. Il processo può essere ritenuto in controllo statistico.
7.2
CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI
Quando la qualità di un processo produttivo è espressa da una variabile binaria che esprime la
conformità o la non conformità del prodotto alle specifiche progettuali, le carte per variabili sono
sostituite dalle carte per attributi.
Ad esempio, si consideri di controllare il diametro di un pezzo cilindrico in uscita da un
processo di tornitura attraverso un calibro passa- non passa; quando il pezzo passa attraverso il
calibro esso è conforme, altrimenti non lo è.
I dati attributi vengono espressi come variabili di tipo dicotomico conformi/non conformi ma
anche come variabili classificate per non conformità. La non conformità è relativa ad un particolare
attributo dell'oggetto prodotto, che non e' conforme alle
specifiche, mentre un pezzo è non
conforme in riferimento alle sue proprietà complessive.
41
Controllo statistico di qualità
Un pezzo non conforme potrà dunque essere caratterizzato da una o più non conformità.
Le carte di controllo per attributi sono quelle per:
•
frazioni di non conformi
carta p
•
numero di non conformi
carta np
•
numero di non conformità
carta c
•
numero di non conformità per unità
carta u
CARTA P
Queste sono le carte per attributi più diffuse ed utilizzate. Sono infatti impiegate per
monitorare la qualità di un processo produttivo attraverso la determinazione della frazione
(proporzione) di pezzi rigettati come non conformi. Tale frazione è definita come il rapporto tra il
numero di pezzi trovati non conformi e il numero totale di pezzi costituenti la popolazione.
In questo caso la misura della qualità X sul singolo prodotto si limita ad una classificazione
del tipo: pezzo conforme, pezzo non conforme (o pezzo difettoso). La v.c. X può assumere solo due
modalità o valori che possiamo codificare come:
X=1
non conformità del prodotto
X=0
conformità del prodotto
La distribuzione adatta a rappresentare questo tipo di popolazione è la Bernoulliana, che ha
funzione di massa di probabilità:
p(x)= px (1-p)1-x
dove p = P(X=1) è la probabilità che il processo produca un pezzo non conforme. Da notare che
E(X) = p
Var(X) = p(1-p);
42
Controllo statistico di qualità
sia la media sia la varianza sono funzioni del parametro p.
In questo caso il monitoraggio attraverso la carta ha lo scopo di tenere sotto controllo il valore di p;
poiché V(X)=p(1–p), accade che tenendo basso p si tiene bassa sia la media sia la varianza del
processo.
Anche in questo caso il sistema di monitoraggio opera mediante l’estrazione di k sottogruppi
estratti dal processo produttivo, ciascuno di dimensione n, sui quali viene stimata la proporzione di
pezzi non conformi
pˆ=
xi
n
essendo xi il numero di pezzi non conformi nel campione;ciascun pˆi verrà plottato sulla carta di
controllo.
In generale, è necessario usare dimensioni campionarie abbastanza elevate, infatti gran parte dei
processi produttivi ha una proporzione p di pezzi non conformi molto bassa (p<0.05) e, quindi, se
scegliessimo ad esempio n=5 molti campioni non conterrebbero alcuna unità non conforme.
Per l’individuazione dei limiti di cont rollo si usa generalmente l’approssimazione normale
della v.c. Binomiale, per il teorema del limite centrale (questo procedimento è giustificato dal fatto
che n assume valori abbastanza alti). Quindi pˆè distribuita approssimativamente come una
gaussiana
 p(1 − p ) 
pˆ≈ N  p,

n


Si possono allora valutare i limiti di controllo indicando, comunque, una distinsione tra il caso in
cui il livello di difettosità del processo p è noto, perché un valore standard o in quanto definito dal
management, dal caso in cui occorre una stima di p.
Quando p è noto i limiti saranno del tipo:
UCL = p + 3 ⋅ ( p (1 − p ))/ n
CL = p
LCL = p − 3 ⋅ ( p(1 − p )) / n
mentre per un livello di difettosità del processo p incognito si adotta una stima del tipo:
43
Controllo statistico di qualità
k
p=
∑ pˆ
i
i =1
k
ed i limiti assumeranno la forma
UCL = p + 3 ⋅
CL = p
LCL = p − 3 ⋅
(p(1 − p ))/ n
(p(1 − p ))/ n
E’ interessante notare che, in conseguenza del basso valore di p, una numerosità troppo ridotta
può determinare LCL<0. Un valore negativo per il limite di controllo inferiore non è assolutamente
informativo, in quanto la proporzione di pezzi non conformi su ogni campione è, al minimo, 0. Se
vogliamo LCL>0 allora dovrà essere :
( p(1 − p ))/ n
p − 3⋅
⇒ n>9(1–p)/p.
(ad esempio, con p=0.05 si avrà n=171)
Si potrà obiettare che, il monitoraggio di p ha lo scopo di individuare eventuali shift verso
l’alto (aumento della probabilità di produrre pezzi non co nformi e quindi peggioramento della
qualità) e che il limite LCL abbia, in pratica, poca importanza. In realtà è utile verificare anche la
presenza di eventuali shift verso il basso quali risultato di miglioramenti operati sul processo
produttivo
Spesso capita che la dimensione dei sottogruppi estratti dal processo sia diversa. In tal caso la
costruzione della carta p si basa sulla determinazione di un valore medio di n (da sostituire ad n
nella formula dei limiti di controllo), calcolato come segue:
k
n=
∑n
i =1
i
k
ed utilizzando come stima di p:
k
k
i =1
i =1
p = ∑ xi / ∑ ni
ESEMPIO : costruzione carta di controllo p
44
Controllo statistico di qualità
Un’azienda manifatturiera vuole sottoporre a controllo statistico di qualità il processo di produzione
di un cuscinetto metallico. Il management dell’azienda decide di monitorare un campione, di
numerosità variabile, di prodotti per un periodo di 32 giorni, valutando per ciascun cuscinetto la
presenza o meno di oggetti difettosi. Ciascun cuscinetto è definito non conforme nel momento in
cui presenta almeno un difetto relativo alle caratteristiche che ne definiscono le specifiche di
qualità.
k = 32
Nella Tabella 7… sono riportati i numeri e le proporzioni di cuscinetti “non conformi” rilevati per
ciascuno dei 28 giorni considerati.
Tabella 7.4
E’ evidente come per questo tipo di dati il monitoraggio del processo deve essere condotto
attraverso la stesura di una carta p per la frazione di non conformi.
Inoltre poiché la dimensione di ciascun sottogruppo è variabile sarà necessaria la valutazione di un
valore medio della numerosità n.
Il valore dell’n medio in questione sarà:
n = 19926/32 =622,69
Il livello di difettosità del processo è incognito e quindi va stimato con il calcolo di p che in questo
caso vale:
p = 666/19926 = 0,0334
Per cui i limiti di controllo della carta p di monitoraggio del processo in questione, avrà i seguenti
limiti di controllo:
45
Controllo statistico di qualità
UCL= 0,0334 + 3 ⋅
(0,0334 ⋅ (1 − 0,0334)) / 622,69 = 0,055
CL= 0,0334
LCL= 0,0334 − 3 ⋅
(0,0334 ⋅ (1 − 0,0334)) / 622,69 = 0,0118
Plottando sulla carta p, con i seguenti limiti, i valori delle proporzioni segnati nella colonna in
verde, otteniamo:
Figura 7.13
Osserviamo che la carta descrive un sistema in stato di controllo statistico (nessun valore esterno ai
limiti di controllo) e non evidenzia nessun andamento sistematico delle osservazioni, le quali
sembrano oscillare casualmente intorno alla media p . In questo caso, come si è visto, non serve
agire sui singoli valori: se le oscillazioni sembrano comunque eccessive, il management dovrà
intervenire sull’intero processo modificandolo radicalmente.
CARTA NP
Invece che costruire la carta per la frazione di non conformi p possiamo costruire direttamente
la carta per il numero di non conformità. Infatti se p è la frazione di pezzi non conformi, np
rappresenta il numero di pezzi non conformi.
L’utilizzo della carta del numero di difettosi è indicata quando la numerosità di ciascun
sottogruppo estratto dal processo è costante.
Si rammenta che utilizzando il numero di eventi e non la frequenza (come nel caso
precedente) il valore della media e della varianza in una distribuzione binomiale sono pari
rispettivamente a np ed a np(1-p).
46
Controllo statistico di qualità
Pertanto i parametri della CC, nel caso sia richiesta la stima della difettosità del processo,
sono:
(
)
(
)
UCL = n p + 3 ⋅ n p ⋅ 1 − p
CL = n p
LCL = n p − 3 ⋅ n p ⋅ 1 − p
Da questa carta di controllo, quando utilizzabile, si ottengono informazioni simili a quelle
ottenibili con la carta p.
ESEMPIO : costruzione carta di controllo np
Consideriamo sempre il caso di un’azienda manifatturiera questa volta dedicata alla produzione di
pezzi metallici. Il monitoraggio del processo viene questa volta condotto mediante una carta np per
numero di pezzi difettosi.
Consideriamo la tabella 7.5 in cui sono riportati i dati necessari all’analisi.
Tabella 7.5
Poiché abbiamo che la numerosità totale dei prodotti campionati è:
N= 10000
ed il numero di sottogruppi e di pezzi che li compongono sono:
k=10
47
Controllo statistico di qualità
n=1000
i valori del parametro p e di conseguenza di n p saranno:
k
p = ∑ x i / (k ⋅ n ) = 78/10000 = 0,078
i =1
n p = 7,8
Per cui i limiti di controllo della carta di controllo saranno:
UCL = 15,845
CL = 7,8
LCL = -0,245 ⇒ LCL = 0
(il limite di controllo inferiore è stato annullato per le stesse considerazioni fatte per la carta p)
Riportando i dati in colonna arancione relativi al numero di pezzi difettosi, la carta di controllo
assumerà il seguente aspetto :
Figura 7.14
La carta evidenzia un processo in controllo statistico, visto che nessun punto oltrepassa i limiti.
CARTA C
In determinate circostanze, la misura di qualità consiste, non nel monitoraggio di prodotti non
conformi in output dal processo, ma nella enumerazione dei difetti (non conformità) presenti sul
prodotto. Questo può esser il caso di prodotti complessi come un’automobile dove è importante la
valutazione di diverse difformità per causare la classificazione del prodotto come non conforme.
48
Controllo statistico di qualità
In tal caso, la misura di qualità X può assumere tutti i valori interi 0,1,2,…,T dove T è il
massimo numero di difetti che il prodotto può possedere. Sotto certe condizioni (la probabilità di
presentarsi di un difetto non dipende dal presentarsi o meno di nessuno degli altri difetti; ogni
difetto ha la stessa importanza, ai fini della valutazione della qualità del prodotto) la X può essere
adeguatamente descritta da un processo di tipo Poisson, con funzione di massa di probabilità:
p ( x) =
c x e −c
x!
,c > 0
per cui si scriverà: X~Poisson(c).
Si ricorda che, per la distribuzione Poisson, vale E(X)=Var(X)=c, e quindi c indica il numero
atteso di difetti presenti sul prodotto ma è anche una misura di variabilità.
Per l’individuazione dei limiti di controllo si usa generalmente l’approssimazione della della
Poisson alla Gaussiana N(c, c). Questo procedimento richiede una numerosità n adeguata.
Quindi noto il numero medio di difetti prodotti dal processo oggetto di analisi (perché
indicato dal management) o stimato attraverso il calcolo di:
k
c=
∑c
i =1
i
k
essendo ci il numero di difetti nell’unità i
i limiti di controllo della carta c a tre sigma saranno del tipo:
UCL = c + 3 ⋅ c
CL = c
LCL = c − 3 ⋅ c
Attraverso questi limiti di controllo è quindi possibile effettuare il monitoraggio dei difetti presenti
per ciascun prodotto, in modo da stabilire se il processo è in controllo o meno.
ESEMPIO : costruzione carta di controllo c
49
Controllo statistico di qualità
Consideriamo una società rivolta all’assembla ggio di moto. Uno dei processi è quello di spruzzare
le moto con una verniciatura finale. Recentemente si sono avuti però dei problemi con i clienti che
protestano su difetti della verniciatura del modello 700D.
Il management del reparto verniciatura, ha deciso di registrare dati sul numero di difetti riscontrati
sulle moto per monitorare e migliorare il processo di verniciatura. Sono stati registrati i dati presenti
nella tabella 7.6, così come le moto uscivano dal processo di verniciatura.
k = 40
Tabella 7.6
Per il monitoraggio del processo utilizziamo una carta di controllo c per numero di difetti, come è
chiaro capire dal tipo di dati a disposizione.
Il valore stimato del numero medio di difetti prodotti dal processo sarà:
c = 448/40 = 11,2
ed i limiti della carta allora saranno:
UCL = 21,23
CL = 11,2
LCL= 1,16
Plottando i dati relativi al numero di difetti per ciascuna moto all’interno dei seguenti limiti si
ottiene un processo in controllo statistico come indicato nella figura 7.15:
Figura 7.15
50
Controllo statistico di qualità
CARTA U
Questo tipo di carta di controllo per attributi è sostanzialmente analoga alla carta c presentata
in precedenza, anche se si basa sul calcolo del numero medio di non conformità per unità di
riferimento. Se vengono rilevate c difformità in n unità di riferimento di un sottogruppo, avremo
che il numero medio di tali difformità per unità di riferimento è:
u =c/n
Anche u la assumiamo distribuita secondo una una v.c. Poisson (n u ). Da questo si ricava che
la media di difetti su un campione di numerosità n ha valore atteso u e varianza u /n. La media
campionaria è anche in questo caso la statistica test.
Infatti il valore stimato del parametro della distribuzione di poisson è:
k
u=
∑u
i =1
i
k
I limiti di controllo a tre sigma, operando sempre una approssimazione della distribuzione ad una
normale, saranno allora:
UCL = u + 3 u / n
CL = u
LCL = u − 3 u / n
Il monitoraggio per questa carta di controllo avviene quindi monitorando i diversi valori del
numero medio di difetti per campione (ui), in relazione ai predetti limiti.
ESEMPIO : costruzione carta di controllo u
Un’azienda manifatturiera vuole sottoporre al controllo statistico di
qualità un certo prodotto.
Viene rilevato il numero di elementi difettosi di un campione composto
da 15 lotti, ognuno dei quali è formato da 50 elementi del prodotto in
esame.
I dati sono riportati in tabella 7.7
k=15
n=50
Tabella 7.7
51
Controllo statistico di qualità
Per costruire la carta di controllo u sarà quindi necessario in primis calcolare per ciascun lotto il
numero medio di difformità ui .I valori ottenuti sono riportati nella tabella 7.8
Tabella 7.8
Il valore medio delle ui allora sarà pari a:
u = 0,2226
e la carta di controllo allora avrà i seguenti limiti di controllo:
UCL = 0,4228
CL =0,2226
LCL =0,02247
Allora la carta di controllo del processo che si ottiene riportando i dati nella colonna gialla
all’interno dei limiti prefissati sarà :
Figura 7.16
Osserviamo che il processo non è perfettamente sotto controllo, poiché, in corrispondenza del lotto
15, il valore eccede il limite superiore di controllo. Compito del management in questo caso sarà
quello di indagare le cause di variazione straordinaria che hanno determinato il “fuori controllo” del
52
Controllo statistico di qualità
sistema e introdurre delle azioni correttive per modificare i risultati nel caso che la causa
straordinaria di variazione si verifichi un’altra volta.
7.3 CARTE DI CONTROLLO CUSUM
Nel caso di monitoraggio del processo attraverso le carte di controllo, la carta CUSUM
(CUmulative SUM) è un’efficace alternativa alla carta di controllo di Shewhart, analizzate fin ora,
per individuare piccoli shift nei parametri.
Nel monitoraggio della media, per esempio, a causa della ridotta dimensione campionaria,
può accadere che la carta della media X non riesca ad individuare piccoli shift del valore della
media. Valori bassi di n comportano, infatti, intervalli di accettazione più ampi e, di conseguenza,
una maggiore probabilità di accettare l’ipotesi nulla quando è falsa . La carta CUSUM risolve questo
problema in quanto incorpora tutta l’informazione della sequenza dei campioni estratti. Questo tipo
di carta di controllo può trovare utile impiego nei casi in cui n assume valori bassi (anche n=1).
Le carte Shewart, infatti, utilizzano le informazioni solo dell’ultimo campione osservato;
all’istante t non tengono conto dell’informazione contenuta nelle osservazioni effettuate agli istanti
t - 1, t - 2, . . . Le carte CUSUM si basano, invece, sull’idea di sommare gli scostamenti (positivi o
negativi) dal valore centrale e quindi risultano più sensibili ad un aumento o ad una diminuzione
della caratteristica che si sta monitorando.
Con riferimento al monitoraggio della media, la più semplice forma di carta CUSUM è quella
basata sulla grandezza S i . Questa per una determinata serie di osservazioni x1,x2,, …, xi è definita
come:
i
S i = ∑ ( xl − µ 0 )
l =1
nella quale µ0 rappresenta il parametro del processo sotto controllo. Ogni valore della S i viene
riportato sulla carta di controllo in corrispondenza del campione i-esimo.
Si può facilmente osservare che E(Si)=0 e quindi, se il processo rimane sotto controllo, Si
fluttuerà casualmente intorno allo 0. Se c’è uno shift verso l’alto (µ>µ0) Si presenterà un trend
verso l’alto.
Nel caso di piccoli spostamenti della media, questi vengono ad essere cumulati e quindi
evidenziati nel grafico del CUSUM. Al contrario, un forte shift può non essere immediatamente
riconosciuto perché, proprio a causa della sommatoria estesa alla sequenza dei campioni, accade
che tale variazione può rimanere nascosta dai dati dei campioni precedenti. Quindi, per individuare
forti shift è preferibile la carta di controllo di Shewhart.
53
Controllo statistico di qualità
Il grafico 7.17 rappresenta un tipico esempio di carta CUSUM per la media in cui è
evidenziato un trend di crescita dei dati, sintomatico di una deriva del processo dai suoi standard.
0.6
0.5
Si (Diametro)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
5
10
15
20
25
30
Campioni
Figura 7.17
Per verificare se i dati rappresentati su una carta CUSUM sono sotto controllo, a volte, si utilizza
una procedura grafica proposta da Barnard nel 1959 conosciuta come maschera a ‘V’. Il suo nome
deriva dalla sua particolare forma a V e viene adoperata sovrapponendola alla classica carta
CUSUM. La Fig. 7.18 mostra un diagramma della maschera a V.
Figura 7.18
Il punto di origine della maschera a V è posto in corrispondenza dell’ultimo punto del
tracciato delle somme cumulate ed il vertice che unisce i due rami è collocato ad una distanza d da
l’origine. I limiti di controllo sono definiti dalla lunghezza di d e dall’angolo è, che possono essere
54
Controllo statistico di qualità
scelti in modo che la maschera offra la stessa probabilità statistica di controllo dei limiti di
intervento/guardia tradizionali, conferendo al grafico di CUSUM una corrispondenza con la carta
Shewhart.
I limiti della maschera a V possono essere definiti anche mediante l’ausilio di altri due
parametri: h e k (vedere figura 7…)
I dati sulla carta CUSUM vengono esaminati appoggiando la maschera sui dati, con
l’estremità sinistra del segmento di lunghezza d allineata di volta in volta a ciascun punto. La linea
d è sempre mantenuta parallela all’asse x. Se i punti corrispondenti ai dati precedenti rientrano nei
bracci della maschera, il sistema è sotto controllo. Quando essi cadono esternamente ai bracci della
maschera, il sistema è fuori controllo. La Fig. 7.19 illustra l’uso di una maschera a V, posizionata su
due posizioni diverse, su dati CUSUM soggetti a deriva. Al punto A della Figura 7.19 tutti i dati
precedenti rientrano visibilmente nei bracci della maschera ed il sistema è sotto controllo, mentre al
punto B alcuni i dati precedenti si trovano al di sotto del braccio inferiore della maschera, indicando
che il sistema è fuori controllo.
0.6
0.5
Si (Diametro)
0.4
A
0.3
0.2
0.1
B
0
-0.1
0
5
10
15
20
25
30
Campioni
Figura 7.19
Pertanto, i limiti di controllo possono essere definiti dalla lunghezza di h e di k, e devono
quindi essere scelti con attenzione. In linea teorica possiamo definire delle formule che permettono
il calcolo dei due coefficienti, appena menzionati, sulla base della conoscenza dei valori di α•(errore
di primo tipo) , di β (errore di secondo tipo) e di δ (l’ammontare dello shift dalla media del processo
che vogliamo investigare):
55
Controllo statistico di qualità
Se ad esempio scegliessimo un α = 0,0027 (equivalente al criterio del ± 3σ usato per le carte di
Shewhart ), un β =0,01 e decidiamo di voler investigare uno schift dalla media di 1, cioè•• otterremo
un k=0,5 ed un h compreso all’incirca tra 2 e 3.
56
Controllo statistico di qualità
8. ANALISI DELLA CAPACITA’ DI PROCESSO
Le carte di controllo, viste in precedenza, sono un potente mezzo per mantenere un processo
sotto controllo statistico, indicando le azioni correttive che devono essere intraprese al fine di
eliminare le cause di variabilità indesiderata, le cause speciali di variazione. Le carte di controllo
non tengono conto, però, delle specifiche a cui il processo deve attenersi, come ad esempio le
tolleranze di lavorazione o altre caratteristiche richieste al prodotto in output al processo. Il loro
utilizzo non è dunque sufficiente a comprendere la reale capacità di un processo, né come questo
può essere migliorato.
Si è già detto come nell’attuale scenario economico è il c liente a stabilire la qualità di un
servizio o di un prodotto. Il management di un’azienda deve prestare ascolto al cliente per poterne
tradurre i bisogni e le aspettative in caratteristiche facilmente misurabili. Il management determina
poi i limiti della specificazione di queste caratteristiche. I limiti di specificazione rappresentano,
dunque, le specificazioni tecniche che il management fissa in risposta ai bisogni e alle aspettative
dei consumatori. Il limite di specificazione superiore (USL) è il più grande dei valori che una
caratteristica, oggetto di analisi, può assumere conformemente alle aspettative del consumatore. Il
limite di specificazione inferiore (LSL) è il più piccolo dei valori che una caratteristica di interesse
può assumere conformemente alle aspettative del consumatore.
Ad esempio, se consideriamo la produzione di palline da golf, secondo gli standard delle
caratteristiche fisiche, tre elementi caratterizzano la qualità della pallina: il diametro, il peso, la
distanza massima raggiungibile in situazioni prestabilite. Ci limitiamo a considerare il diametro che
deve essere all’incirca 4 cm e, supponiamo, non inferiore a 3.5 né superiore a 4.5 cm.
I valori 3.5 e 4.5 rappresentano, rispettivamente, i limiti di specificazione inferiore (LSL:
lower specification limit) e superiore (USL: upper specification limit), 4 cm rappresenta il valore
target A, che, in presenza di due limiti di specificazione, è generalmente centrato rispetto a USL e
LSL:
A =(LSL+USL)/2
Vale la pena notare che i limiti di specificazione non dipendono dalla popolazione ovvero non
dipendono dal modello distributivo (e cioè dai suoi parametri) ma sono stabiliti all’esterno del
processo. Nel caso della pallina da golf, tali specifiche saranno stabilite dalle organizzazioni
internazionali che regolamentano le competizioni sportive.
Se un processo soddisfa i limiti superiori e inferiori ed è centrato rispetto al valore target
assegnato, si dice che è capace di soddisfare il cliente. La capacità del processo si riferisce, allora,
alla capacità che lo stesso ha di soddisfare le richieste dei clienti.
57
Controllo statistico di qualità
In pratica la capacità del processo va valutata monitorando due aspetti caratteristici del
processo :
1) VARIABILITÀ DEL PROCESSO IN CONTROLLO
2) CENTRATURA DEL PROCESSO RISPETTO AD UN TARGET DI RIFERIMENTO
Dalle due figure 8.1 e 8.2 siamo in grado di apprezzare le due possibili cause che influenzano
la probabilità di pezzi non conformi alle specifiche progettuali.
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
3
LSL=3.5
4
USL=4.5
5
Fig. 8.1 Caso di eccessiva variabilità X~N(4;0.04)
0
3
3.5
LSL=3.5
4
4.2
USL=4.5
4.5
5
Fig. 8.2 Processo non centrato sul target X~N(4.2;0.0225)
L’eccessiva variabilità (Fig. 8.1) determina un’ampia porzione di area al di fuori dei limiti di
specificazione, nelle due direzioni. Nell’esempio della figura (consultando le tabelle della
distribuzione normale ) si ha una probabilità pari a 0.0124 di produrre pezzi non conformi (in media
1.24 pezzi su 100).
Nel caso di variabilità molto bassa, la distanza fra media e il valore target (Fig. 8.2) può
determinare un’ampia porzione di area, in questo caso, però, al di fuori di uno solo dei due limiti di
specificazione. Nell’esempio della figura si ha una probabilità pari a 0.0228 di avere pezzi non
conformi (2.28 pezzi su 100).
Certamente le due situazioni di eccessiva variabilità e non ‘centratura’ della distribuzione
rispetto al target possono agire anche simultaneamente. E’ pertanto importante definire misure di
process capability in grado di evidenziare l’effetto delle due possibili cause responsabili di
un’eventuale cattiva prestazione del processo. Per questo motivo sono state introdotte specifiche
misure di process capability.
L’utilizzo di queste misure risulta spesso particolarmente comodo se fatto in congiunzione
con le carte di controllo, poiché in questo modo, oltre a non dover raccogliere appositamente i dati,
58
Controllo statistico di qualità
la capacità del processo può essere analizzata indipendentemente dalla presenza di cause speciali di
variazione (opportunamente individuate dalle carte) la cui influenza incide su variabilità e
centratura del processo.
Un semplice strumento impiegato per l’analisi di capacità di processo è l’istogramma di
frequenze di cui abbiamo già parlato in precedenza. Utile alla valutazione della centratura e della
rispondenza del processo ai limiti di specifica è anche l’impiego di particolari grafici chiamati
CARTE DI TOLLERANZA.
In figura 8.3 è riportato un esempio di carta di tolleranza relativa ad un
processo in cui sono stati campionati 25 sottogruppi di numerosità 5.
USL
LSL
Figura 8.3
Questo semplice strumento grafico riporta in corrispondenza di ciascun sottogruppo i dati
relativi a ciascun elemento ispezionato al suo interno, uniti da una linea verticale. Quindi un
confronto delle linee, così ottenute, con i limiti di specifica e il valore target, fornisce un immediata
visualizzazione della centratura e della dispersione naturale del processo.
Ma la misura della capacità di un processo produttivo viene più spesso effettuata mediante
l’ausilio di particola ri indici statistici, in grado di relazionare le prestazioni o il potenziale del
processo con il soddisfacimento a specifiche imposte.
Il diffuso impiego di tali indici di capacità è imputabile alla possibilità di riassumere in
modo molto conciso i dati di un processo produttivo, con il vantaggio, rispetto ad altri strumenti
statisti, di essere quantità adimensionali, e quindi facilmente interpretabili e paragonabili tra loro; si
prestano a confrontare infatti la capacità di processo rispetto a dimensioni differenti di qualità
nonché a confrontare processi diversi.
Tornando all’esempio delle palline da golf, è possibile confrontare la capacità di processo
rispetto al peso con quella relativa al diametro (diversa unità di misura: grammi, cm.) oppure quella
59
Controllo statistico di qualità
rispetto al diametro con quella relativa alla distanza massima di lancio (si tratta di due misure di
lunghezza ma con diversa scala: cm. e metri).
Descriviamo, a questo punto, gli indici di process capability usualmente impiegati nel
controllo statistico di qualità. Il primo è definito come:
Cp =
USL − LSL
6σ
L’indice Cp confronta l’ampiezza dell’intervallo di conformità, cioè la dispersione ammissibile per
il processo (numeratore) con la variabilità naturale del processo rappresentata dal valore 6σ , detta
anche Tolleranza Naturale (denominatore). A questo proposito è importante dire che, la grandezza
6σ è considerata una misura della cosiddetta variabilità naturale del processo in stato di sotto
controllo. Per una distribuzione normale, l’int ervallo compreso fra i due estremi µ ±3σ•include il
99.73% dei valori di X e, in corrispondenza, si ha il 0.27% di valori esterni. Questa misura di
variabilità naturale si è dimostrata, nella pratica, particolarmente efficace nella costruzione di indici
e misure per il monitoraggio del processo. Infatti processi che sono inferiori alla soglia di
conformità del 99.73%, sono da ritenersi poco capaci.
Per cui, se l’intervallo di specificazione è maggiore di 6σ (ovvero se l’indice Cp>1) significa
che, mediamente, si producono meno del 2.7% di pezzi non conformi e cioè che il processo è
capable. Un valore superiore a 1 è un segnale positivo anche se, attualmente, le aziende tendono a
porsi obiettivi più ambiziosi come l’ottenimento di un valore di Cp pari a 2 (si tratta dell’obiettivo
della strategia 6-SIGMA, introdotta dalla Motorola).
Si può facilmente notare, però, che l’indice Cp è funzione solo della variabilità del processo e
non tiene conto della posizione della media rispetto ai limiti di specificazione. Con riferimento alle
figure 8.1 e 8.2, ad esempio, vediamo che il secondo processo (2.28 pezzi non conformi su 100) ha
una capacità inferiore al primo (1.24 pezzi non conformi su 100) ma ciò non viene segnalato da Cp
che, addirittura, ci fa apparire migliore il processo di Fig. 8.2:
USL=4.5, LSL=3.5; target 4
Cp=0,83
relativo a
X~N(4;0.04)
Cp=1,11
relativo a
X~N(4.2;0.0225)
60
Controllo statistico di qualità
Quindi poiché Cp controlla solo la dispersione del processo, senza fornire alcuna informazione
sulla sua centratura, si introduce l’indice Cp,k , che tiene conto anche del grado di ‘centratura’ del
processo rispetto al target:
C p ,k =
min{µ − LSL ;USL − µ }
3σ
E’ interessante notare che Cp e Cp,k sono legati dalla seguente relazione:
Cp,k= (1-k) Cp,
0≤ k ≤ 1
dove
k=
| 0.5( USL + LSL ) − µ |
0.5( USL − LSL )
Come si può facilmente verificare, se A=(LSL+USL)/2 e cioè se la media è centrata rispetto ai
limiti di specificazione allora k=0 e i due indici coincidono. Se ciò non accade è da preferire il
calcolo di Cp,k che tiene conto anche della distanza della media dal valore target (che, ripetiamo, è
centrato rispetto ai limiti di specificazione).
Anche per Cp,k il valore 1 separa situazioni di cattiva prestazione (inferiori a 1) da quelle di
buona prestazione del processo. Calcolando questo indice per i casi in figua 8.1 e 8.2 vediamo che
Cp,k è in grado di segnalare il peggiore rendimento del processo :
USL=4.5, LSL=3.5; target 4
Cp,k =0,83
relativo a
X~N(4;0.04)
Cp,k =0,67
relativo a
X~N(4.2;0.0225)
In generale, è consigliabile utilizzare tutti e due gli indici. Con riferimento al caso
X~N(4.2;0.0225), ad esempio, il valore Cp,k<1 ci segnalerebbe una cattiva capacità del processo,
mentre il valore Cp >1 indica una situazione buona relativamente alla variabilità del processo. Si
conclude che, nel complesso, il processo non è capace (Cp,k<1), ma ciò è da attribuire soprattutto al
fatto che la media non è centrata rispetto all’intervallo di conformità (ovvero la media è lontana dal
valore target), mentre la varianza appare adeguatamente bassa (Cp>1). Un miglioramento potrà
essere pertanto realizzato abbassando il valore σ in modo da avvicinarlo al valore target.
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