Avvertenza - Università degli Studi di Trento

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Avvertenza - Università degli Studi di Trento

Avvertenza
Trento, 31 maggio 2012
Queste dispense sono state preparate da Luca Sittoni e Alvise Bozzo nel 2005-2006
come supporto per il corso di Idrodinamica tenuto dal prof. Marco Tubino.
Si noti che gli esercizi d’esame hanno subito un’evoluzione nel corso degli anni verso
casi più complessi. Per questo motivo la casistica degli esercizi svolti non può essere
ritenuta esaustiva.
Si prega di segnalare eventuali errori a [email protected]
Esercizi di Idrodinamica
Bozza 16 gennaio 2006
Facoltà di Ingegneria
Università degli Studi di Trento
2
BOZZA - 16 gennaio 2006
Indice
Introduzione
4
1 Tracciamento dei profili di rigurgito
1.1 Natura dell’alveo . . . . . . . . . .
1.2 Profili di rigurgito in alvei cilindrici
1.2.1 Alveo fluviale . . . . . . . .
1.2.2 Alveo torrentizio . . . . . .
1.2.3 Alveo critico . . . . . . . . .
1.3 Localizzazione dei risalti . . . . . .
in alvei
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cilindrici
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11
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12
14
16
18
2 Problema di imbocco
19
2.1 Alveo fluviale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Alveo torrentizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Salto di fondo
3.1 Schema di svolgimento dislivello
3.1.1 Salto basso . . . . . . .
3.1.2 Salto alto . . . . . . . .
3.2 Schema di svolgimento dislivello
3.2.1 Salto basso . . . . . . .
3.2.2 Salto alto . . . . . . . .
positivo
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negativo
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4 Deflusso laterale di portata
4.1 Nota L, determinare Qu e il profilo della corrente . . . . . . . .
4.1.1 Alveo fluviale a monte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Alveo torrentizio a monte . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Nota Qu , determinare la L necessaria e il profilo della corrente .
4.2.1 Alveo torrentizio a monte . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Alveo fluviale a monte e a valle . . . . . . . . . . . . . .
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31
31
31
34
35
35
37
5 Afflusso laterale di portata
39
5.1 Corrente lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Corrente veloce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3
4
5.2.1
5.2.2
INDICE
Corrente veloce senza transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Corrente veloce con transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Luce di fondo
43
6.1 Luce libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2 Luce rigurgitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7 Brusco restringimento di sezione
47
7.1 Corrente lenta e veloce con transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.2 Corrente lenta senza transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.3 Corrente veloce senza transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8 Soluzione di prove
8.1 Esame 09-10-02
8.2 Esame 05-02-03
8.3 Esame 16-04-03
8.4 Esame 07-01-04
8.5 Esame 04-07-02
8.6 Esame 12-09-02
8.7 Esame 26-02-03
8.8 Esame 02-07-03
di esame
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BOZZA - 16 gennaio 2006
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55
63
73
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90
95
101
106
Introduzione
Queste dispense iniziano con la presentazione di un possibile approccio generale alla soluzione dei problemi sui profili di rigurgito. Lo scopo è quello di evidenziare le domande
che è utile porsi nell’affrontare un esercizio qualunque, per poter reperire le informazioni
necessarie nella giusta sequenza. L’approccio proposto ha un carattere generale e indicativo al tempo stesso, nel senso che non intende essere una forzatura agli stili personali
di apprendimento, nè un limite alla creatività di ognuno nel proprio modo di affrontare e
risolvere i problemi.
L’analisi di un profilo di rigurgito fa riferimento ai principi generali di conservazione
della quantità di moto e della massa liquida. Tali principi sono espressi da equazioni che
assumono forma differente nelle diverse regioni in cui si può suddividere l’alveo oggetto
di studio (conservazione dell’energia, equazione dei profili, bilancio delle spinte, etc...).
Un possibile approccio al problema, del tutto generale, è quello di affrontare in sequenza le seguenti domande:
1. Conosco la portata? (se no, come la calcolo?)
2. Qual è la natura degli alvei con cui ho a che fare? (torrentizio, fluviale, critico: si
determina calcolando e confrontando i valori del tirante critico e di moto uniforme,
oppure calcolando la pendenza critica e confrontandola con quella dell’alveo)
3. Da dove parto a tracciare i profili?
Si individuano le sezioni di controllo che è possibile definire con certezza con i dati
a disposizione, esaminando per esempio cambi di pendenza, imbocchi da serbatoi,
luci di fondo, etc... Dall’analisi sono inizialmente esclusi fenomeni localizzati e/o
distribuiti in tronchi brevi (restringimenti, afflussi, salti di fondo, etc.) per la cui
soluzione è necessario un primo tracciamento dei profili possibili.
4. Quali sono i possibili profili a partire dalle condizioni al contorno (quote del pelo
libero) imposte nelle sezioni di controllo individuate?
La risposta consente di precisare le condizioni di moto indisturbato o di riferimento
per lo studio degli eventuali fenomeni localizzati e/o distribuiti in tronchi brevi
(restringimenti, afflussi, etc.).
5. In quali condizioni si svolge il deflusso in corrispondenza degli eventuali fenomeni
localizzati e/o distribuiti in tronchi brevi (restringimenti, afflussi, etc.)?
L’analisi si può svolgere secondo la traccia seguente:
5
6
INDICE
a. Con quali ipotesi analizzo il fenomeno? (quale grandezza si ipotizza costante?)
b. Quali sono le condizioni di moto indisturbato o di riferimento? (qual è il valore
della grandezza che si mantiene costante?)
c. I valori di portata in gioco possono defluire in quelle condizioni?
d. Determinazione del profilo e delle quote della superficie libera imposte come
condizioni al contorno per il tracciamento dei profili a monte e/o a valle
6. Quali sono i profili possibili con le condizioni al contorno appena determinate?
7. Quale profilo si realizza effettivamente?
Si determina localizzando la posizione di eventuali risalti (con la massima precisione
consentita), attraverso il principio di conservazione della spinta in forma integrale
(o ”bilancio delle spinte”).
Dopo questo cappello introduttivo, viene sviluppato l’approccio proposto attraverso
la suddivisione in 3 capitoli:
• Capitolo 1
Richiami teorici sulla determinazione della natura degli alvei (1.1), dei profili di
rigurgito (1.2) e sulla localizzazione di eventuali risalti (1.3).
• Capitoli 2 ÷ 7
Richiami teorici sulla determinazione delle condizioni imposte da fenomeni localizzati e distribuiti in tronchi brevi.
• Capitolo 8
Soluzione di alcune prove di esame degli anni 2002, 2003, 2004.
Di seguito vengono riportati i principali simboli e notazioni utilizzati.
BOZZA - 16 gennaio 2006
INDICE
7
Simbologia grafica
Simbologia adottata nelle relazioni principali
BOZZA - 16 gennaio 2006
8
INDICE
3
portata
[m
]
sm
3
portata specifica
Y
[m]
tirante o profondità
Ω
[m2 ]
area della sezione bagnata
B
[m]
contorno bagnato della sezione
b
[m]
larghezza della sezione
C
[−]
conduttanza idraulica (coefficiente adimensionale di Chezy)
g
[ sm2 ]
accelerazione di gravità
ρ
]
[ Kg
m3
densità del fluido
γ
[ mN3 ]
peso specifico
if
[−]
pendenza del fondo
S
[N ]
spinta
Ks
[ ms3 ]
Coefficiente di Strickler
H
[m]
energia meccanica totale
E
[m]
energia meccanica specifica
Fr
[−]
numero di Froude
c
[−]
coefficiente di contrazione della vena
a
[m]
altezza della luce di fondo
cq
[−]
coefficiente di portata
ξ
[−]
coefficiente perdita localizzata
Rr
[−]
rapporto di restringimento
Q
[ ms ]
q
1
BOZZA - 16 gennaio 2006
INDICE
9
Elenco dei pedici più diffusi
Si riportano due esempi di lettura dei pedici:
YM ⇒ tirante di monte
Emin |Q ⇒ energia minima a portata costante
0
valore relativo al moto di riferimento
M
monte
V
valle
max
massimo
min
minimo
u
uniforme
cr
critico
r
ristretta
l
luce
co
coniugata
luce
luce
lago
lago-serbatoio
L
laterale
BOZZA - 16 gennaio 2006
10
INDICE
BOZZA - 16 gennaio 2006
Capitolo 1
TRACCIAMENTO DEI PROFILI
DI RIGURGITO IN ALVEI
CILINDRICI
1.1
Natura dell’alveo
La natura del canale può essere calcolata attraverso 2 procedure equivalenti:
– dal confronto tra la pendenza del canale, if , e la pendenza critica, funzione delle
caratteristiche geometriche e di scabrezza dello stesso, nonchè della portata
transitante:
µ
if cr|Q =
Ω
2
C bRh
µ
¶
=
Ycr|Q
B
C 2b
¶
(1.1)
Ycr|Q
– confronto fra il tirante critico Ycr e il tirante di moto uniforme Yu , per l’assegnata portata Q. In alveo rettangolare:
"
Yu =
bks
s
# 35
Q
p
if o
Ycr =
3
Q2
gb2
Per un alveo con pendenza pari alla pendenza critica relativa alla portata in esame, il
tirante di moto uniforme coincide col tirante critico.
Dal confronto tra la pendenza del corso d’acqua e la pendenza critica a portata assegnata
o tra il tirante di moto uniforme e quello critico, si ha:
11
12
1.2. Profili di rigurgito in alvei cilindrici
if > if cr |Q
Yu < Ycr
alveo torrentizio per la portata assegnata
if < if cr |Q
Yu > Ycr
alveo fluviale per la portata assegnata
if = if cr |Q
Yu = Ycr
alveo critico per la portata assegnata
Si ricorda che variazioni di portata possono far variare la natura dell’alveo; in particolare
un aumento di Q può far diventare torrentizio un alveo fluviale e viceversa. Quindi, tutte
le volte che nei capitoli 2 ÷ 7 si farà riferimento ad ”alvei di natura fluviale o torrentizia”,
si intenderà più correttamente alvei che ”per la portata a cui si fa riferimento assumono
un assetto di moto indisturbato fluviale o torrentizio”.
Indipendentemente dalla sua natura un alveo può essere percorso da:
⇒ correnti lente o subcritiche: corrispondono a valori di profondità maggiori del tirante
critico. Sono governate dalla condizione al contorno di valle e devono pertanto essere
tracciate da valle verso monte.
⇒ correnti veloci o supercritiche: corrispondono a valori di profondità minori del tirante
critico. Sono governate dalla condizione al contorno di monte e devono pertanto essere
tracciate da monte verso valle.
1.2
1.2.1
Profili di rigurgito in alvei cilindrici
Alveo fluviale
Per un alveo fluviale, in funzione dell’altezza del tirante che si vuole raccordare al moto
uniforme, si individuano 3 tipologie di profili, due di corrente lenta, uno di corrente veloce.
(N.B.:riguardo le problematiche di tracciamento dei profili M1 nei temi d’esame, si rimanda alla nota introduttiva)
BOZZA - 16 gennaio 2006
1. TRACCIAMENTO DEI PROFILI DI RIGURGITO IN ALVEI CILINDRICI
13
Figura 1.1: Profilo M1 di corrente lenta in alveo fluviale
Figura 1.2: Profilo M2 di corrente lenta in alveo fluviale
BOZZA - 16 gennaio 2006
14
1.2. Profili di rigurgito in alvei cilindrici
Figura 1.3: Profilo M3 di corrente veloce in alveo fluviale
1.2.2
Alveo torrentizio
Per un alveo torrentizio, in funzione dell’altezza del tirante che si vuole raccordare al moto
uniforme, si individuano 3 tipologie di profili, due di corrente veloce, uno di corrente lenta.
Figura 1.4: Profilo S1 di corrente lenta in alveo torrentizio
BOZZA - 16 gennaio 2006
1. TRACCIAMENTO DEI PROFILI DI RIGURGITO IN ALVEI CILINDRICI
15
Figura 1.5: Profilo S2 di corrente veloce in alveo torrentizio
Figura 1.6: Profilo S3 di corrente veloce in alveo torrentizio
BOZZA - 16 gennaio 2006
16
1.2.3
1.2. Profili di rigurgito in alvei cilindrici
Alveo critico
La pendenza è pari alla pendenza critica per la portata assegnata; questo tipo di alveo è caratterizzato dalla coincidenza del tirante di moto uniforme con l’altezza critica.
L’assetto di moto uniforme non è condizione di equlibrio stabile, poiché ad una piccola perturbazione energetica il corso d’acqua risponde con grandi variazioni altimetriche;
pertanto l’assetto di moto uniforme viene riprodotto, nelle figure seguenti, in maniera
ondulata.
Per quanto riguarda i profili di raccordo si individuano 2 sole correnti, una lenta ed una
veloce, in quanto dalla coincidenza tra tirante di moto uniforme e tirante critico derivano
2 sole zone, una di corrente sub-critica ed una di corrente super-critica. Caratteristica
comune a questi due profili, in ipotesi di alveo rettangolare largo e coefficiente di conduttanza C costante, è l’andamento orizzontale del profilo di raccordo rispetto al piano di
riferimento dell’energia meccanica totale, per tiranti disversi dal tirante critico ovvero di
moto uniforme :
dh
dY
|Y 6=YU = 0 →
|Y 6=YU = if
dx
dx
Figura 1.7: Profilo C1 di corrente lenta in alveo critico
BOZZA - 16 gennaio 2006
1. TRACCIAMENTO DEI PROFILI DI RIGURGITO IN ALVEI CILINDRICI
17
Figura 1.8: Profilo C1 di corrente veloce in alveo critico
I profili possibili in alveo fluviale, torrentizio e critico sono riassunti nella seguente tabella.
Corrente lenta
Alveo fluviale
Ycr < Yu < Y
M1
Ycr < Y < Yu
M2
Y < Ycr < Yu
Alveo critico
Ycr = Yu < Y
M3
C1
Y < Ycr = Yu
Yu < Ycr < Y
Alveo torrentizio
Corrente veloce
C2
S1
Yu < Y < Ycr
S2
Y < Yu < Ycr
S3
Tabella 1.2: Tabella riassuntiva dei diversi profili, in funzione della natura del
canale
BOZZA - 16 gennaio 2006
18
1.3
1.3. Localizzazione dei risalti
Localizzazione dei risalti
I risalti idraulici raccordano tra loro un profilo supercritico con uno subcritico. Si localizano dove i 2 profili raggiungono valori di profondità caratterizzati dalla stessa spinta
idrodinamica: le 2 profondità si definiscono ”coniugate” e soddisfano la seguente relazione:
1
Y1
=
Y2
2
µ
¶
q
2
−1 + 1 + 8F r1
(1.2)
Tra i profili trattati in precedenza, si localizzano dei risalti nel profilo M 3 e nell’S1,
per raccordare correnti di natura discorde rispetto a quella del moto indisturbato (M 3 è
corrente veloce in alveo fluviale, S1 è corrente lenta in alveo torrentizio).
BOZZA - 16 gennaio 2006
Capitolo 2
PROBLEMA DI IMBOCCO
Il problema d’imbocco si studia ipotizzando la costanza dell’energia specifica, Elago , pari
alla profondità che si realizza all’imbocco del canale:
Elago = HM − HV
(2.1)
La seconda informazione è fornita dal canale di valle, se sufficientemente lungo: si assume
la condizione asintotica di moto uniforme.
Le incognite del problema sono la profondità di moto uniforme Yu e la portata defluente
Q, che si trovano dunque a partire dalle due condizioni:


Elago = Yu −
µ
Q

√
Yu =
KS
Elago = Yu −
Q2
gb2 Yu2
¶ 35
(2.2)
Q2
gb2 Yu2
(2.3)
if b
La portata massima che può defluire dal lago (cioè con energia Elago ) corrisponde al
passaggio per le condizioni critiche:
2
Ycr |E = Elago
3
Qmax
2
= Elago b
3
r
2
Elago g
3
(2.4)
(2.5)
Il lago a monte del canale può immaginarsi come caso particolare di alveo fluviale in
corrente lenta (acqua ferma).
19
20
2.1. Alveo fluviale
A valle dell’imbocco possono verificarsi due condizioni:
⇒ Yu |qmax > Ycr |E : alveo fluviale;
⇒ Yu |qmax < Ycr |E : alveo torrentizio.
2.1
Alveo fluviale
Il sistema è controllato da valle: si realizzano (Q, Yu ) date dalla soluzione del sistema
(2.2).
Y [m]
Elago
E=cost=Elago
YM
E lago
Ycr
Yu M
Qusc
Hm
Hv
Figura 2.1: prolfilo di imbocco in alveo fluviale
2.2
Alveo torrentizio
Nella sezione d’imbocco si ha il raccordo tra la corrente lenta di monte (acqua ferma nel
lago) e la condizione asintotica del moto uniforme veloce di valle.
Nella sezione d’imbocco si ha quindi passaggio per la profondità critica:
2
Ycr |E = Elago
3
BOZZA - 16 gennaio 2006
(2.6)
3
Q[m /s]
2. PROBLEMA DI IMBOCCO
21
Il passaggio per le condizioni critiche impone che la portata defluente sia la portata
massima compatibile con Elago secondo la (2.5) indipendentemente dalle condizioni di
valle (controlla monte).
La profondità di moto uniforme è data da
Ã
Yu =
Q
p
KS i f b
! 35
(2.7)
Y [m]
S2
Elago
E=cost=Elago
Ycr
E lago
Ym
YuM
Qusc=QMAX
Hm
Hv
Figura 2.2: prolfilo di imbocco in alveo fluviale
BOZZA - 16 gennaio 2006
Q[m3/s]
22
2.2. Alveo torrentizio
BOZZA - 16 gennaio 2006
Capitolo 3
SALTO DI FONDO
Ipotesi: conservazione dell’energia meccanica totale a monte e a valle del salto:
HM = HV
3.1
Dislivello positivo
Figura 3.1: conservazione dell’energia meccanica totale per dislivello positivo
23
(3.1)
24
3.1. Schema di svolgimento dislivello positivo
L’energia meccanica totale, H, è la somma dell’energia meccanica specifica, E, più l’altezza geodetica, s, misurata dal fondo rispetto ad un piano di riferimento coincidente con
il letto di valle :
HM = EM + s
HV = EV
(3.2)
La (3.1) si riscrive:
EM + s = EV
(3.3)
Il passaggio del salto può avvenire con transizione attraverso la stato critico (salto alto)
solo nel caso di corrente indisturbata lenta quando può verificarsi, se il salto è troppo alto:
EM = EV − s < Emin|Q
(3.4)
dove, per canale rettangolare, l’energia minima a portata assegnata è pari a
s
Emin|Q
3
3
= Ycr|Q =
2
2
3
Q2
2gb2
(3.5)
Nei casi di corrente indisturbata veloce si ha sempre
EV > EM > Emin|Q
(3.6)
In ognuno dei 4 casi possibili, esaminati di seguito, l’obiettivo è calcolare le quote YM e
YV , imposte rispettivamente a monte e a valle del salto, che possono costituire (se idonee)
le condizioni al contorno per il tracciamento dei profili nelle livellette a monte e a valle.
3.1.1
Salto basso
Alveo torrentizio
L’assetto idrodinamico del torrente è governato da monte: esso si mantiene in codizioni
indisturbate fino alla sezione di discontinuità; se la livelletta è sufficientemente lunga,
l’assetto indisturbato coincide col moto uniforme, per cui
YM = Yu
costituisce la condizione al contorno per il tratto a monte e impone il valore di EM di
riferimento:
BOZZA - 16 gennaio 2006
3. SALTO DI FONDO
25
EM = Yu +
Q2
2gb2 Yu2
(3.7)
con Yu tirante di moto uniforme. L’energia nella sezione a valle del salto è pari, come
dalla relazione iniziale, a:
EV = EM + s
(3.8)
Il calcolo del tirante di valle avviene invertendo la formula dell’energia meccanica specifica,
scegliendo la soluzione di corrente veloce tra le due radici positive dell’equazione cubica:
YV3 − YV2 EV +
Q2
=0
2gb2
(3.9)
Y
Q=cost
Ycr
s
Ym
Yv
s3
Ecr Em
Ev
Figura 3.2: profilo in alveo torrentizio a monte e a valle di un salto
Alveo fluviale
L’assetto idrodinamico del canale è governato da valle e vale la condizione
EM = EV − s > Emin|Q
Se la livelletta di valle è sufficientemente lunga, vale
YV = Yu
per cui l’energia specifica di valle e di monte sono date da
BOZZA - 16 gennaio 2006
(3.10)
E
26
3.1. Schema di svolgimento dislivello positivo
EV = Yu +
Q2
2gb2 Yu2
(3.11)
EM = EV − s
(3.12)
Il valore del tirante di monte, maggiore del tirante critico, viene calcolato invertendo l’espressione dell’energia specifica, scegliendo la radice positiva che corrisponde a condizioni
sub critiche:
YM3 − YM2 EV +
Q2
=0
2gb2
(3.13)
Y
Yv
Ym
m2
Ycr
S
Ecr Em
Figura 3.3: profilo in alveo fluviale a monte e a valle di un salto basso
3.1.2
Salto alto
Si può verificare quando il moto indisturbato è una corrente lenta, nel caso in cui l’energia
di monte sia minore dell’energia critica per la Q assegnata:
EM = EV − s < Emin|Q
(3.14)
Il fenomeno è quindi controllato da monte, dove avviene transizione per lo stato critico:
YM = Ycr|Q ;
EM = Emin|Q
Il passaggio per lo stato critico impone un livello energetico maggiore a valle:
EV = EM + s
Il tirante di valle si ottiene in modo analogo alla (3.9).
BOZZA - 16 gennaio 2006
(3.15)
Ev
E
3. SALTO DI FONDO
27
Y
Q=cost
Yu
m2
Ym
Yco
Yv
risalto
s
s
m3
Em Ecr=Em Ev Ev'
Figura 3.4: profilo in alveo fluviale a monte e a valle di un salto alto
3.2
Dislivello negativo
Figura 3.5: conservazione dell’energia meccanica totale per dislivello negativo
Il caso di dislivello negativo si affronta in modo analogo al precedente, con la differenza
che la conservazione dell’energia fornisce
EM = EV + s
(3.16)
Le correnti indisturbate a rischio di transizione sono pertanto in questo caso le correnti
veloci, per le quali è possibile che
EV < Emin|Q
BOZZA - 16 gennaio 2006
E
28
3.2. Schema di svolgimento dislivello negativo
Ciò premesso, nel seguito si riportano solo le formule per il calcolo di YM e YV e i relativi
grafici, poichè le considerazioni sulla metodologia sono analoghe al caso precedente.
3.2.1
Salto basso
Vale
3
EV = EM − s > Emin|Q = Ycr|Q
2
(3.17)
Alveo torrentizio
YM = Yu
EM = YM +
Q2
2gb2 YM2
(3.18)
EM = EV + s
(3.19)
YV è soluzione positiva supercritica di
YV3 − YV2 EV +
Q2
=0
2gb2
(3.20)
Y
Q=cost
s
Ycr
Yv
Ym
s2
Ecr Ev
Figura 3.6: Profilo di corrente veloce a monte e a valle di un salto basso
BOZZA - 16 gennaio 2006
Em
E
3. SALTO DI FONDO
29
Alveo fluviale
YV = Yu
EV = YV +
Q2
2gb2 YV2
(3.21)
EM = EV + s
(3.22)
YM è soluzione positiva subcritica di
YM3 − YM2 EM +
Q2
=0
2gb2
(3.23)
Y
Ym
m1
Y
s
Ycr
Ecr Ev
Em
Figura 3.7: Profilo di corrente lenta a monte e a valle di un salto
3.2.2
Salto alto
Si verifica che
3
EV = EM − s < Emin|Q = Ycr|Q
2
(3.24)
Si ha deflusso attraverso le condizioni critiche nella sezione di valle, che diventa sezione
di controllo:
BOZZA - 16 gennaio 2006
E
30
3.2. Schema di svolgimento dislivello negativo
s
EV = Emin|Q
3
3
= Ycr|Q =
2
2
3
Q2
gb2
(3.25)
YV = Ycr|Q
(3.26)
EM = EV + s
(3.27)
A monte si ha:
e YM soluzione positiva subcritica di
YM3 − YM2 EM +
Q2
=0
2gb2
(3.28)
Y
Q=cost
Ym
s1
Yco
Yv
Yu
s
risalto
s
s2
Ev Ecr=Ev'Em Em
Figura 3.8: Profilo di corrente veloce a monte e a valle di un salto alto
BOZZA - 16 gennaio 2006
E
Capitolo 4
DEFLUSSO LATERALE DI
PORTATA
Consiste nel deflusso di una portata Qu esternamente all’alveo in esame, attraverso uno
stramazzo di lunghezza L e altezza d.
Il deflusso laterale si studia ad E = cost, e pari al valore del moto di riferimento. La
definizione del moto di riferimento richiede alcuni passaggi, che dipendono dal tipo di
problema considerato.
Si hanno in genere 2 classi di problemi:
:è nota la lunghezza L dello sfioratore, non è nota la portata uscente Q, perchè
dipende dal profilo della corrente lungo lo sfioratore, che è incognita; è nota la
portata Qu che si vuole far uscire, bisogna dimensionare la lunghezza L dello
sfioratore per quel tipo di corrente.
4.1
4.1.1
Nota L, determinare Qu e il profilo della corrente
Alveo fluviale a monte
Se l’alveo di monte è fluviale, tale sarà sicuramente a valle. Il moto di riferimento è quindi
il moto uniforme di valle, che è tuttavia ignoto, dato che non si conosce Qu .
Si procede quindi attraverso un procedimento iterativo, ipotizzando un valore di primo
tentativo per Qu : quello che si avrebbe ipotizzando la profondità della corrente costante
all’interno della regione di deflusso e pari al valore noto del moto uniforme di monte Yu,M :
√
QIu = Lcq g(Yu,M − d)3/2
(4.1)
QIL = QM − QIu
(4.2)
31
32
4.1. Nota L, determinare Qu e il profilo della corrente
YVI = Yu|QL
EVI = YVI +
(4.3)
QIL 2
2g(bYVI )2
(4.4)
2
Ycr|EVI = EVI
3
(4.5)
√
Qmax|EVI = b g(Ycr|EVI )3/2
(4.6)
dove l’apice I indica la stima di primo tentativo di ogni grandezza. Perchè il deflusso
avvenga da valle, bisogna verificare che
(4.7)
QM < Qmax|EVI
Y*=Y /Yc E=cost
1.6
1.5
E = costante
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Q*=Q / Q max E=cost
Figura 4.1: grafico adimensionale Y*(Q*) ad E cost
In questo caso si integra il profilo verso monte utilizzando il grafico adimensionale Y ∗ (Q∗ )
ad E costante e pari a EVI . Le grandezze adimensionali sul grafico sono:
BOZZA - 16 gennaio 2006
4. DEFLUSSO LATERALE DI PORTATA
Y ∗ = Y /Ycr|EVI
33
Q∗ = Q/Qmax|EVI
La distanza L si divide in n step di lunghezza ∆x, con xn = L, avendo stabilito l’origine
delle x all’inizio dello sfioratore (figura 4.2).
∆
Figura 4.2: convenzioni geometriche nel tratto di deflusso
Il calcolo del profilo si accoppia al calcolo della portata attraverso l’equazione di continuità,
in cui la portata uscente qi per ogni tratto ∆x è ottenuta attraverso la formula degli
stramazzi, con cq = 0.45.
xn−1 = L − ∆x
(4.8)
Yn = YVI
(4.9)
√
qn−1 = ∆xcq g(Yn − d)3/2
(4.10)
Qn−1 = QIL + qn−1
(4.11)
∗
attraverso il grafico (4.1) e quindi Yn−1 ; il conto si
Noto Q∗n−1 dalla 4.11, si ricava Yn−1
ripete analogamente nella sezione xn−2 (nella 4.11 al posto di QIL si inserisce il valore
BOZZA - 16 gennaio 2006
34
4.1. Nota L, determinare Qu e il profilo della corrente
Qn−1 , che sommato alla qn−2 , da calcolarsi, porge il valore della portata nella sezione
xn−2 , Qn−2 ) ,... e cosı̀ via fino a raggiungere la sezione iniziale x0 = 0.
Qui si confrontano il valore cosı̀ calcolato nella sezione iniziale del deflusso QI (x = x0 )
con il valore noto QM della portata di monte. Se la differenza fra i 2 valori è inferiore ad
una tolleranza (percentuale) accettabile, la soluzione è terminata.
Altrimenti si ripete la procedura a partire dall’equazione (4.1) con un valore di secondo
tentativo per Qu , corrispondente a quello appena calcolato:
I
I
QII
u = Q (x = x0 ) − QL
(4.12)
da cui le nuova condizioni di valle:
II
QII
L = QM − Qu
(4.13)
YV = Yu|QII
L
(4.14)
Le interazioni si ripetono fino alla j-esima, cioè la prima per la quale
QM − Qj (x = x0 )
≤ tolleranza(%)
QM
4.1.2
(4.15)
Alveo torrentizio a monte
Se l’alveo di monte è torrentizio, il moto di riferimento è il moto uniforme di monte per
cui si assume:
YM = Yu,M
(4.16)
EM = E|Yu
(4.17)
2
Ycr|EM = EM
3
(4.18)
√
Qmax|EM = b g(Ycr|EM )3/2
(4.19)
La soluzione, diversamente al caso precedente, prevede un’unica integrazione, da monte
verso valle, senza la procedura iterativa.
BOZZA - 16 gennaio 2006
4. DEFLUSSO LATERALE DI PORTATA
35
Si utilizza il grafico adimensionale (4.1) Y ∗ (Q∗ ) ad E = cost = EM ; le grandezze usate per
l’adimensionalizzazione sono Ycr|EM e Qmax|EM . In modo analogo all’integrazione numerica
descritta si ha:
x1 = x0 + ∆x
(4.20)
Y0 = YM
(4.21)
√
q1 = ∆xcq g(Y0 − d)3/2
(4.22)
Q1 = QM − q1
(4.23)
Nota Q∗1 si ricava Y1∗ dal grafico (4.1) e quindi Y1 ; ipotizzando Y = Y1 =costante nell’intervallo tra x1 e x2 = x1 + ∆x si ricava q2 attraverso la (4.22), con Y1 al posto di Y0 e cosı̀
via. Il conto si ripete fino alla sezione xL , dove si completa il tracciamento del profilo e si
determinano le condizioni di valle QL e YL ; si ha:
YV = YL
(4.24)
Qu = QM − qL
(4.25)
dove Qu è la portata uscente. E’ opportuno verificare, infine, che la natura dell’alveo a
valle non sia cambiata rispetto a monte.
4.2
Nota Qu, determinare la L necessaria e il profilo
della corrente
Il problema è semplificato rispetto al caso 4.1 dato che il moto di riferimento è sempre
noto.
4.2.1
Alveo torrentizio a monte
Bisogna verificare che l’alveo rimanga torrentizio anche a valle, ovvero che
Yu|QL < Ycr|QL
BOZZA - 16 gennaio 2006
(4.26)
36
4.2. Nota Qu , determinare la L necessaria e il profilo della corrente
Se la (4.26) è verificata, il moto di riferimento è il moto uniforme di monte e si integra da monte verso valle secondo la procedura indicata nel paragrafo (4.1.2), arrestando
l’integrazione nella sezione xk che verifica
Qk = QM − Qu
(4.27)
Si ha dunque L = xk e un andamento del profilo della corrente rappresentato in figura
(4.3)
Y
Ecost = Em
c. lenta
c. veloce
Ycr
Ym
Yu,
Yv
scala di
deflusso
s3
∆Q
Qv
Qm
Q
Figura 4.3: profilo di deflusso in alveo torrentizio a monte e a valle
Se la (4.26) non è verificata e risulta QM > Qmax|EV , il moto di riferimento è sempre il
moto uniforme di monte e la procedura è analoga a quella appena indicata; l’andamento
qualitativo della corrente è visualizzato in figura (4.4).
Y [m]
E cost = E m
Scala di
deflusso
Ycr,m
Ym
Yu,v
Ycr,v
Yv
m3 +
risalto
∆Q
Qv
Figura 4.4: profilo di deflusso in alveo torrentizio a monte e fluviale a valle
BOZZA - 16 gennaio 2006
Qm
Q [m3/s]
4. DEFLUSSO LATERALE DI PORTATA
4.2.2
37
Alveo fluviale a monte e a valle
Il moto di riferimento è il moto uniforme di valle; si determina il profilo integrando da
valle verso monte secondo la consueta procedura e arrestando l’integrazione nella sezione
xn−k dove
Qn−k = QV
(4.28)
Si ha quindi L = xn−k e un andamento qualitativo del profilo della corente rappresentato
in figura (4.5).
Y
scala di
deflusso
Yu,m
Yv
Ym
Ycr
m2
c. lenta
c. veloce
Ecost =Em
∆Q
Qv
Figura 4.5: profilo di deflusso in alveo fluviale a monte e a valle
BOZZA - 16 gennaio 2006
Qm
Q
38
4.2. Nota Qu , determinare la L necessaria e il profilo della corrente
BOZZA - 16 gennaio 2006
Capitolo 5
AFFLUSSO LATERALE DI
PORTATA
In un tratto di lunghrzza L la portata del canale passa da Q0 a QL , che si assumono note.
Il fenomeno si studia a Spinta costante.
I casi trattati sono quelli di corrente di riferimento lenta e veloce e di transizione attraverso
lo stato critico (fig.5.1).
CORRENTE LENTA
CORRENTE VELOCE
Y [m]
Y [m]
S=S0
QL
QV=Q0
QMAX|S0
S=S0
Q[m3/s]
Q[m3/s]
QM=Q0
QL(1)
QMAX|S0
QL(2)
Figura 5.1: Implicazioni della conservazione della spinta totale nei problemi di afflusso
laterale di portata
Se il moto di riferimento è una corrente lenta, non si pongono problemi di transizione
(fig.5.1, a sinistra), in quanto il valore della Spinta è imposto da valle.
Se il moto di riferimento è una corrente veloce, la Spinta associata al moto uniforme di
(2)
monte può non essere compatibile con l’afflusso di portata (caso QL in fig.5.1, a destra):
39
40
5.1. Corrente lenta
QL > Qmax |S 0
(5.1)
In questo caso, nel tratto di monte avverrà la transizione da corrente veloce a lenta, al
fine di accumulare l’energia necessaria per fronteggiare il processo di afflusso e la Spinta
minima esercitata dalla portata di valle.
5.1
Corrente lenta
Il moto è controllato da valle dove sono note QL e YV (di moto uniforme se la livelletta è
sufficientemente lunga). Il valore della Spinta che si assume costante è quello della sezione
di valle:
Q2
1
S = SV = ρgbYV2 + ρ L
2
bYV
(5.2)
Y [m]
YM
YV
YuM
Ycr
S=cost=Sv
m1
QM
QV
3
Q[m /s]
Figura 5.2: Profilo della corrente nel caso di afflusso laterale di portata in alveo
fluviale a monte e a valle
A monte si ha:
SM = SV
(5.3)
Q2
SM
+ 2 02 = 0
γb
gb
(5.4)
YM soluzione positiva sub-critica di
YM3 − 2
che si ottiene a partire dalla (5.2) precisata per Y = YM e Q = Q0 .
Il tirante a monte dell’afflusso eccede il tirante di moto uniforme di una quantità:
∆Y = YM − Yu |Q 0
BOZZA - 16 gennaio 2006
(5.5)
5. AFFLUSSO LATERALE DI PORTATA
5.2
41
Corrente veloce
Il moto è controllato da monte; occorre verificare che la Spinta di monte sia sufficiente
per il deflusso della portata QL in caratteristiche di corrente veloce.
Si deve dunque verificare se
QL > Qmax |S 0
(5.6)
dove
q
3
Qmax |S M = b gYcr|
S
M
(5.7)
s
Ycr |S M =
2 SM
3 ρgb
1
Q2
SM = ρgbYM2 + ρ 0
2
bYM
5.2.1
(5.8)
(5.9)
Corrente veloce senza transizione
Si ha quando QL < Qmax |S M . Noti Q0 e YM , portata di monte e corrispondente tirante
di moto uniforme, si calcola SM attraverso la (5.9). Da cui:
SV = SM
(5.10)
Il tirante a valle YV si ricava come soluzione positiva supercritica della:
YM3 − 2
Q2
SM
+ 2 02 = 0
γb
gb
(5.11)
Il tirante a valle dell’afflusso sarà maggiore del tirante di moto uniforme di una quantità
∆Y = YV − Yu |Q L
BOZZA - 16 gennaio 2006
(5.12)
42
5.2. Corrente veloce
Y [m]
S=cost=Sm
YV
YuV
YM
QM
QV
3
Q[m /s]
Figura 5.3: Profilo della corrente nel caso di afflusso laterale di portata in alveo
torrentizio a monte e a valle
5.2.2
Corrente veloce con transizione
Si verifica quando QL > Qmax |S M . La Spinta di monte (5.9) non consente il deflusso
della portata QL . Il controllo passa alla sezione di valle, dove il sistema assume il minimo
valore di spinta che consente il passaggio di QL .
Si calcola:
1
Q2
SV = ρgbYcr2 | + ρ L
2
bYcr
QL
(5.13)
s
YV = Ycr |QL =
3
Q2L
gb2
(5.14)
A monte YM è la soluzione positiva sub-critica dell’eqazione (5.11).
Y [m]
YM
S=cost=Sv
S=cost=Sm
YV
s1 + risalto
s2
YuV
YuM
QM
Figura 5.4: Profilo di afflusso per alveo torrentizio con transizione
BOZZA - 16 gennaio 2006
QV
Capitolo 6
LUCE DI FONDO
La presenza di una luce di fondo può costituire una sezione di controllo che impone una
profondità di corrente lenta a monte (YM ) e una di corrente veloce a valle, dove si ha
la vena contratta (ca: c=coefficiente di contrazione, a=altezza della luce di fondo) (eq
6.3). Una luce che impone entrambe le condizioni è libera, mentre, se il controllo verso
valle è annegato, la luce è rigurgitata. Il fenomeno di rigurgito della vena in uscita dalla
luce può interessare esclusivamente alvei di natura fluviale a valle della luce. Infatti un
alveo torrentizio è governato da monte, dalla condizione imposta dal tirante associato alla
sezione di vena contratta; in un alveo fluviale l’effettivo realizzarsi del controllo di monte
va verificato attraverso un bilancio delle spinte relative alla sezione di vena contratta e
alla condizione esistente a valle di questa (moto uniforme se la livelletta è sufficientemente
lunga).
6.1
Luce libera
Si parla di luce libera quando l’alveo di valle è di natura torrentizia o quando, per alveo
di valle fluviale, si verifica:
SM > S V
(6.1)
Q2
1
Q2
1
γb(ca)2 + ρ
> γbYu2 + ρ
2
b(ca)
2
bYu
(6.2)
Sono in genere noti la ca e Q; YM si ricava ipotizzando la costanza dell’energia specifica
tra la sezione a monte e la sezione di vena contratta a valle della luce:
EV = EM → YM +
Q2
Q2
=
ca
+
2gb2 YM2
2gb2 (ca)2
43
(6.3)
44
6.1. Luce libera
c = 0.61
(6.4)
Si può calcolare agevolmente un valore di primo tentativo del tirante YM a monte della
luce, trascurando il termine cinetico nel membro di monte dell’equazione dell’energia,
poichè generalmente YM À ca.
YM = ca +
Q2
2gb2 (ca)2
(6.5)
Questa ipotesi va comunque sempre verificata a posteriori.
Raccogliendo i due termini cinetici nella (6.3), si può esprimere la portata Q come funzione esclusivamente del triante di monte, YM , e del tirante di vena contratta, ca, ovvero,
delle caratteristiche geometriche della luce. Si definisce
√ in tal modo una scala di deflusso indipendente dalle condizioni di valle (il termine 2gYM prende il nome di velocità
Torricelliana):
Q = cq ab
cq = q
p
2gYM
(6.6)
c
(1 +
(6.7)
ca
YM
→ Q = f (YM , ca)
(6.8)
Y
Ecost=Em=Ev
scala di
deflusso
Y
Yu
m1
m3 + risalto
Yv
Q
Figura 6.1: luce libera in alveo fluviale.
BOZZA - 16 gennaio 2006
Q
6. LUCE DI FONDO
45
Y
Ecost=Em=Ev
Ym
s1 + risalto
scala di
deflusso
Yu
Yv
s3
Q
Q
Figura 6.2: luce libera in alveo torrentizio.
6.2
Luce rigurgitata
Si parla di luce rigurgitata quando:
SM < S V
(6.9)
1
Q2
1
Q2
γb(ac)2 + ρ
< γbYu2 + ρ
2
b(ca)
2
bYu
(6.10)
Il moto uniforme di valle (Yu ) è in grado di opporre una spinta idrodinamica maggiore
di quella associata alla sezione di vena contratta, ovvero il tirante di vena contratta è
maggiore dell’altezza coniugata al tirante di moto uniforme.
La soluzione di un problema di luce rigurgitata richiede, quindi, un’analisi diversa da
quella consentita in caso di luce libera. Si procede con delle considerazioni energetiche
che riguardano la sezione a monte della luce di fondo (pedice M ), la sezione di vena
contratta-rigurgitata (pedice L) e la sezione di moto uniforme a valle del rigurgito (pedice
V ). La variazione energetica tra sezione di vena contratta e la sezione di ripristino del moto
uniforme è assimilata a quella che si verifica in caso di brusca variazione planimetrica della
sezione di un canale (perdita di Borda), dove in questo caso si ha un brusco allargamento
in direzione verticale. Si ha:
EM = EL
(6.11)
Q2
ca 2
U2
= EV +
[1 −
]
EL = EV + ξ
2
2g
2g(bca)
YV
(6.12)
Questa doppia relazione consente di calcolare il valore del tirante a monte della luce di
fondo:
BOZZA - 16 gennaio 2006
46
6.2. Luce rigurgitata
YM +
Q2
Q2
Q2
ca 2
=
Y
+
+
[1 −
]
V
2
2
2
2
2
2gb YM
2gb YV
2g(bca)
YV
(6.13)
Risulta evidente una sostanziale differenza tra questo caso di luce rigurgitata e la condizione in cui la contrazione della vena avvenga liberamente. Raccogliendo i termini cinetici
nella (6.13), si può ricavare un’espressione che presenta la portata che defluisce attraverso
la luce come funzione del tirante di monte, delle caratteristiche geometriche della luce,
ma anche, diversamente dal caso di luce libera, del tirante del moto indisturbato di valle:
si conclude, quindi, che la luce rigurgitata non è una sezione di controllo della portata.
Q = cq ab
q
cq = q
(1 −
c
ca 2
)
YV
p
2gYM
(YM −YV )
YM
+ ( YcaV )2 − ( YcaM )2
→ Q = f (YM , YV , ca)
BOZZA - 16 gennaio 2006
(6.14)
(6.15)
(6.16)
Capitolo 7
BRUSCO RESTRINGIMENTO DI
SEZIONE
Il restringimento brusco di sezione si studia nell’ipotesi di energia specifica (E) costante,
e pari al valore corrispondente del moto indisturbato.
Si lavora in termini di portata specifica per unità di larghezza della sezione: q = Qb da
cui: q0 (moto indisturbato)= bQ0 , qr (sezione ristretta)= bQr e dove bbr0 indica il rapporto di
restringimento.
Il deflusso attraverso la sezione ristretta avviene con transizione attraverso lo stato critico
se: qr |E 0 > qmax |E 0 dove qmax |E 0 corrisponde alla massima portata che può defluire nella
sezione ristretta con l’energia E0 .
qmax
2
= Ycr Ucr = E0
3
r
2
E0 g
3
(7.1)
La condizione limite della (7.1) si può riscrivere in termini di numero di Froude del moto
indisturbato, F r0 :
1
3
1 + F r2 −
2
2
µ
b0
Fr
br
¶ 23
=0
(7.2)
dove
µ
F r = F r0 =
La (7.2) è riportata in fig. (7.1):
47
Q2
gY03 b20
¶ 12
(7.3)
48
7.1. Corrente lenta e veloce con transizione
br / b0
1
0.9
br/b0 0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
Fr''L
Fr'L
3
Fro
Figura 7.1: Grafico di Marchi
0
00
Dato bbr0 dal grafico in figura (7.1) si ricavano F rL e F rL . Si verificano le seguenti
condizioni:
7.1
0
00
7.1
F rL < F r 0 < F r L
qr > qmax |E0
transizione
7.2
F r 0 < F rL
0
qr < qmax |E0 , F r0 < 1
corrente lenta (no trans.)
7.3
F r 0 > F rL
00
qr < qmax |E0 , F r0 > 1
corrente veloce (no trans.)
Corrente lenta e veloce con transizione
La sezione ristretta diventa sezione di controllo, in corrispondenza della quale si ha
0
passaggio per la critica; il deflusso avviene con energia E > E0 :
3
0
E = Ycr |q r
2
BOZZA - 16 gennaio 2006
(7.4)
7. BRUSCO RESTRINGIMENTO DI SEZIONE
49
s
Ycr |q r =
3
qr2
g
(7.5)
I valori di profondità YM e YV di corrente lenta e corrente veloce rispettivamente si ricavano
risolvendo la seguente equazione:
Q2
E =Y + 2 2
gb Y
0
(7.6)
I valori di YM e YV possono equivalentemente essere calcolati a partire dai valori limite di
0
00
F rL e F rL :
µ
0
F rL =
µ
00
F rL =
kQ2
gY03 b20
Q2
gY03 b20
¶ 21
(7.7)
¶ 21
(7.8)
con k=fattore di forma delle pile.
Il ricongiungimento delle altezze YM e YV con il moto indisturbato a monte e a valle del
restringimento avviene in conformità con la natura, fluviale o torrentizia, della corrente,
come raffigurato nelle figure seguenti:
Y [m]
YM
Ymu
Yr
m1
m3 + risalto
YV
qo
Figura 7.2: Profilo dovuto a restringimento di sezione, con transizione attraverso lo
stato critico, per corrente lenta nello stato indisturbato
BOZZA - 16 gennaio 2006
3
q[m /sm]
qr
50
7.2. Corrente lenta senza transizione
Y [m]
YM
Yr
Yu
Y
qo
3
q[m /sm]
Figura 7.3: Profilo dovuto a restringimento di sezione, con transizione attraverso lo
stato critico, con corrente veloce nello stato indisturbato
7.2
Corrente lenta senza transizione
Il deflusso nella sezione ristretta avviene con l’energia E0 :
E 0 = Y0 +
Q2
gb20 Y02
(7.9)
dove Y0 = YuM = YuV è la profondità di moto indisturbato. L’altezza idrica Yr nel
restringimento si calcola pertanto come segue:
E 0 = Yr +
Q2
gb2 Yr2
(7.10)
E’ bene ricordare che vengono qui trascurate le dissipazioni localizzate causate dal processo
di rapido restringimento e soprattutto di successivo riallargamento.
Qualora si volesse, invece, tener conto delle dissipazioni energetiche la profndità a monte
assumerà un valore maggiore rispetto a quello di moto uniforme (la corrente deve guadagnare energia a monte per ovviare alle perdite successive); il valore del tirante a monte
del restringimento è fornito dalla formula di Yarnel:
Ã
µ
¶4 !
YM − Y0
b
b
r
r
F r02
= k(k − 0, 6 + 5F ro2 ) 1 − + 15 1 −
Y0
b0
b0
dove k=fattore di forma delle pile e F r02 =
Q2
.
gb20 (b0 Y0 )3
BOZZA - 16 gennaio 2006
(7.11)
qr
7. BRUSCO RESTRINGIMENTO DI SEZIONE
51
Y [m]
Ymu
Yr
E=cost
qo
qr
q[m3/sm]
Figura 7.4: Profilo dovuto a restringimento di sezione in corrente lenta
Y [m]
Ym
Yu
Yr
E=cost
qo
qr
3
q[m /sm]
Figura 7.5: Profilo dovuto a restringimento di sezione in corrente lenta, calcolando le
perdite energetiche secondo Yarnel
7.3
Corrente veloce senza transizione
Considerazioni analoghe a quelle appena fatte valgono anche per il deflusso, senza transizione, che riguardi una corrente con moto indisturbato di natura torrentizia. La situazione
è schematizzata in fig. (7.6)
BOZZA - 16 gennaio 2006
52
7.3. Corrente veloce senza transizione
Y [m]
E=cost
Yr
Ymu
q
qr
Figura 7.6: Profilo dovuto a restringimento di sezione in corrente veloce
BOZZA - 16 gennaio 2006
q[m3/sm]
Capitolo 8
SOLUZIONE DI PROVE DI
ESAME
53
54
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"(
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*(-/
$-.
0
%
1
%
0
BOZZA - 16 gennaio 2006
2
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
8.1
55
Esame 09-10-02
1) Calcolo portata defluente: Ipotizzando la conservazione dell’energia fra le sezioni a
monte e a valle della luce di fondo, si può calcolare la portata defluente dalla seguente
espressione, che suppone la trascurabilità del termine cinetico a monte della luce:
Q = cq ab
p
2gYM
(8.1)
cq = 0.61
→ (8.1) Q=129.8 m3 /s
A riprova della validità del calcolo fatto, si verifica che il carico cinetico a monte vale:
EM,cin =
Q2
= 0.021m
2gb2 YM2
effettivamente trascurabile rispetto a YM = 4 m.
2) Quote di moto uniforme e livelli critici. Con le seguenti note formule, valide nell’approssimazione di canale rettangolare largo, si calcolano i livelli idrici del moto uniforme e
dello stato critico:
"
Q
p
Yu =
bks if o
s
Q2
Ycr = 3 2
gb
→
→
→
→
(8.3)
(8.2)
(8.2)
(8.2)
# 53
(8.2)
(8.3)
Ycr =0.88 m
Yu1 =1.54 m: alveo fluviale
Yu2 =0.63 m: alveo torrentizio
Yu3 =1.65 m: alveo fluviale
3) Risalti e profondità coniugate.
Noto il valore del tirante uniforme nella livelletta 1, si procede al controllo se la luce sia o
meno rigurgitata; il controllo avviene confrontando le spinte associate al tirante di moto
uniforme ed al tirante di vena contratta, utilizzando le formule:
1
Q2
SM = γb(ca)2 + ρ
2
b(ca)
1
Q2
SV = γbYu2 + ρ
2
bYu
BOZZA - 16 gennaio 2006
(8.4)
56
8.1. Esame 09-10-02
risulta: S(Yu 1)=800 kN < S(Yca )= 1128 kN. La luce è libera, si instaura un profilo M3
di corrente veloce in alveo fluviale, fino al valore di altezza coniugata al tirante di moto
uniforme, ricavabile dalla formula:
´
√
Y1
1³
=
−1 + 1 + 8F r2
Y2
2
Fr =
→(8.6) F r(Yu2 )=0.43
Q
√
Y b gY
(8.5)
(8.6)
→ (8.5) Yco =0.45 m
Il cambiamento di pendenza tra la livelletta 1 e 2 dà luogo ad una variazione nella natura
del canale che passa da fluviale a torrentizio. Nella sezione di confine tra le due livellette
deve verificarsi la transizione per l’altezza critica, unico tirante compatibile con la necessità
di un controllo da valle, nella livelletta 1, da monte nella livelletta 2. Un profilo M 2
raccorda il tirante critico nella sezione di cambio di pendenza, con le condizioni di moto
uniforme fluviale a monte, mentre un profilo S2 collega sempre il tirante critico, condizione
al contorno di monte per la livelletta 2, con il tirante di moto uniforme torrentizio, che si
instaura nella livelletta 2, ad una certa distanza dalla sezione di discontinuità.
Il salto di fondo a valle della livelletta 2, coincide con un nuovo cambiamento nella natura
del canale, che da torrentizio, ridiventa fluviale, per la minore pendenza caratterizzante
la livelletta 3.
Prima di occuparsi del problema rappresentato dal salto di fondo, è opportuno risolvere
la questione della localizzazione del risalto idraulico, attraverso il quale il controllo passa
da monte a valle. A seconda che il risalto si localizzi a monte o a valle del salto di fondo,
questo fenomeno sarà risolto con un controllo da valle o da monte.
Si confrontano le spinte che è in grado di esercitare il canale in moto uniforme nella
seconda e nella terza livelletta:
Q2
1
2
+ρ
SM = γbYu2
2
bYu2
→(8.7) SM =634 kN
1
Q2
2
SV = γbYu3
+ρ
2
bYu3
(8.7)
→ (8.7) SV =869 kN
Risulta SM < SV : il risalto idraulico si localizza a monte del salto coincidente con il
cambio di pendenza.
Passando quindi alla soluzione del profilo relativo all’ostacolo determinato dal salto di
fondo, si impone, come visto, un controllo da valle: il moto uniforme associato alla livelletta 2, di natura fluviale, si mantiene fino alla prima sezione a valle del salto. Essendo
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
57
nota l’energia di valle, si ricava l’energia nella sezione immediatamente a monte del salto
secondo la seguente formula:
EM = EV − s
EV = Yu3 +
→(8.9) EV =1.77 m
(8.8)
Q2
2
2gb2 Yu3
(8.9)
→(8.8) EM =1.47 m
Si controlla se l’energia di monte cosı̀ calcolata sia maggiore dell’energia minima associata
alla portata in esame, ovvero l’energia nello stato critico:
s
Emin|Q
3
3
= Ycr =
2
2
3
Q2
2gb2
(8.10)
→(8.10) Emin|Q =1.32 m <1.47 m =EM
esistono, pertanto, tiranti compatibili con il livello energetico di monte appena calcolato,
come può essere visualizzato nel grafico adimensionalizzato a portata costante (figura
8.1) oppure calcolato con la formula seguente, derivante dall’inversione dell’equazione di
Bernoulli (delle 2 radici positive si sceglie quella corripsondente ad un tirante sub critico):
YM3 − YM2 EM +
Q2
=0
2gb2
(8.11)
→(8.11) YM =1.25 m
Infine, un profilo S1 di corrente lenta in alveo torrentizio raccorda il tirante YM con
l’altezza coniugata al tirante di moto uniforme della livelletta 2:
´
√
Y1
1³
2
=
−1 + 1 + 8F r
Y2
2
→ F r(Yu2 )=1.67
→ Yco =1.200 m
Lo stesso risalto idraulico, in precedenza localizzato a monte del salto di fondo (8.7),
completa il ricongiungimento con le condizioni di moto indisturbato.
4)Valore limite di ks nella livelletta 1 perchè si abbia rigurgito della luce difondo.
Noto il valore del tirante di vena contratta ca=0.305 m a valle della luce, in condizioni
di assenza di rigurgito, dall’analisi condotta al punto 3, risulta che la luce resta libera
fintantoché la spinta associata al moto uniforme che si instaura nella livelletta 1 risulta
BOZZA - 16 gennaio 2006
58
8.1. Esame 09-10-02
minore del valore di spinta associato al tirante di vena contratta, ovvero finché il tirante
di moto uniforme Yu1 resta minore dell’altezza coniugata al tirante di vena contratta (le
altezze coniugate sono caratterizzate dall’uguaglianza nelle spinte idrodinamiche).
Si calcola, quindi, l’altezza coniugata al tirante di vena contratta:
´
√
Yco
1³
=
−1 + 1 + 8F r2
ca
2
F r(ca) =
→(8.13) F r(ca)=4.92
(8.12)
Q
√
cab gca
(8.13)
→ (8.12) Yco =1.97 m
e si impone questo valore di tirante come altezza di moto uniforme nella livelletta 1; il
valore di scabrezza limite che dà luogo ad un moto uniforme con queste caratterisitiche è
quello che soddisfa la relazione:
"
Yu1 = Yco =
# 53
Q
p
bks,lim
(8.14)
if o
1
→(8.14) ks,lim =26.4 m 3 /s.
1
Per valori di scabrezza nella livelletta 1 minori di ks,lim =26.4 m 3 /s, la luce risulta rigurgitata.
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
59
2
Y / Yc
1.75
YV/Yc, EV/Ec
1.5
Q=
costante
1.25
YM/Yc, EM/Ec
1
0.75
0.5
0.25
0
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
E / Ec
Figura 8.1: Grafico adimensionale a portata costante
BOZZA - 16 gennaio 2006
1.5
60
8.1. Esame 09-10-02
Figura 8.2: Profilo 09-10-02
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
61
!
"
#
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0
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1
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-
2/
#
!/
*!
/
4
#
0
3
(
5
BOZZA - 16 gennaio 2006
62
8.1. Esame 09-10-02
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
8.2
63
Esame 05-02-03
1) Calcolo portata defluente.
Ipotizzando la conservazione dell’energia fra le sezioni a monte e a valle della luce di
fondo, si può calcolare la portata defluente dalla seguente espressione, che suppone la
trascurabilità del termine cinetico a monte della luce:
Q = cq ab
p
2gYM
(8.15)
cq = 0.61
→ (8.15) Q=417,5 m3 /s
A riprova della validità del calcolo fatto, si verifica che il carico cinetico a monte vale:
EM,cin =
Q2
= 0.018m
2gb2 YM2
effettivamente trascurabile rispetto a YM = 7 m.
2) Quote di moto uniforme e livelli critici.
Con le seguenti note formule, valide nell’approssimazione di canale rettangolare largo, si
calcolano i livelli idrici del moto uniforme e dello stato critico:
"
Q
p
Yu =
bks if o
# 53
(8.16)
s
Ycr =
3
Q2
gb2
(8.17)
→ (8.17) Ycr =1.21 m
→ (8.16) Yu1 =1.30 m: alveo fluviale
→ (8.16) Yu2 =0.87 m: alveo torrentizio
3) Risalti e profondità coniugate.
Noto il valore del tirante uniforme nella I livelletta, si procede a controllare se la luce sia
o meno rigurgitata; la verifica avviene confrontando le spinte associate al tirante di moto
uniforme ed al tirante di vena contratta, utilizzando le formule:
1
Q2
SM = γb(ca)2 + ρ
2
b(ca)
1
Q2
SV = γbYu2 + ρ
2
bYu
BOZZA - 16 gennaio 2006
(8.18)
64
8.2. Esame 05-02-03
risulta: S(Yu )=2171 kN < S(Yca )= 4829 kN.
La luce è libera: a valle della sezione di vena contratta si instaura un profilo M 3 di
corrente veloce in alveo fluviale, fino al valore di altezza coniugata al tirante di moto
uniforme, ricavabile dalla formula:
´
√
Y1
1³
=
−1 + 1 + 8F r2
Y2
2
Fr =
→(8.20) F r(Yu2 )=0,89
Q
√
Y b gY
(8.19)
(8.20)
→ (8.19) Yco =1.12 m
Il cambiamento di pendenza tra la livelletta 1 e la 2 dà luogo ad una variazione nella
natura del canale che passa da fluviale a torrentizio. Nella sezione di confine tra le due
livellette deve verificarsi la transizione per l’altezza critica, unico tirante compatibile con
la necessità di un controllo da valle, nella prima livelletta, da monte nella seconda livelletta. Un profilo M 2 raccorda il tirante critico nella sezione di cambio di pendenza, con
le condizioni di moto uniforme fluviale a monte; un profilo S2 collega il tirante critico con
il tirante di moto uniforme torrentizio, che si instaura appunto nella livelletta 2, ad una
certa distanza dalla sezione di discontinuità.
4) Assetto della superficie libera in corrispondenza del ponte.
Il ponte viene affrontato da un canale di natura torrentizia. La portata specifica per
unità di larghezza nel canale è pari a Q/b=417/100= 4.17 m3 /sm ; la portata specifica
all’altezza del ponte è Q/(b − 2 · 7) = 417/(100 − 2 · 7)=4.85 m3 /sm.
Si deve verificare se l’energia associata al moto uniforme a monte del ponte sia sufficiente
a far transitare quella portata specifica attraverso il ponte. Si calcola, quindi, il massimo
valore di portata specifica associabile al livello energetico in questione, ovvero la portata
transitante in condizioni critiche ad energia pari a EM :
EM = YM +
q02
2gb2 YM2
(8.21)
→ (8.21) EM =2.032 m
2
Ycr|E = EM = 1.35 m
3
qmax|E = Ycr
p
gYcr
→ (8.22) qmax|E = 4.93 m3 /sm > qr = 4.85 m3 /sm
BOZZA - 16 gennaio 2006
(8.22)
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
65
Risulta che la portata massima specifica in grado di fluire sotto il ponte, compatibilmente
con l’energia a disposizione a monte, è maggiore della portata specifica che si verifica nel
nostro caso all’altezza del ponte: l’energia del moto uniforme è sufficiente per il superamento dell’ostacolo costituito dal restringimento del ponte e non si rende necessario alcun
profilo di risparmio energetico.
Tale risultato può essere ricavato anche dal grafico di Marchi (figura 8.5), riportando in
ascissa e ordinata rispettivamente i valori del numero di Froude del moto indisturbato ed
il coefficiente di restringimento proprio del ponte; se il punto individuato è esterno all’area
sottesa dalla curva, come in questo caso, non avviene transizione per lo stato critico.
Si calcola, quindi, il tirante all’altezza del restringimento dal grafico ad energia costante (figura 8.3) oppure, nota l’energia meccanica specifica in quella sezione e la portata
specifica, invertendo la formula dell’energia di Bernoulli:
Y 3 − Y 2 EM +
qr2
=0
2g
(8.23)
Si sceglie la radice che corrisponde ad un tirante supercritico e risulta: Yr = 1.20 m.
Questo valore di tirante è minore dell’altezza dell’impalcato del ponte: pertanto il ponte
è in sicurezza per questo valore di portata.
5) Afflusso di portata.
Un afflusso laterale di 25 m di lunghezza porta ad un aumento della portata fino al valore di
Q2 = 442.5 m3 /s. Servendosi delle formule menzionate al punto 2, si calcola la nuova Ycr2 ,
che risulta essere pari a 1.39 m, mentre il tirante di moto uniforme associato alla nuova
portata è: Yu = 0.91 m (permangono condizioni torrentizie anche a valle dell’afflusso).
Il processo di afflusso avviene a spinta costante; il valore della spinta è quello associato al
moto uniforme a monte dell’afflusso, se la portata massima compatibile con quel valore
di spinta è minore della portata che si instaura a valle dell’afflusso. Risulta:
1
Q2
S = γbY 2 + ρ
2
bY
(8.24)
→ (8.24) S=2365 kN
s
YC|S =
2S
3γb
(8.25)
→ (8.25) Ycr|S =1.267 m
Qmax|S = bYcr|S
p
gYcr|S
BOZZA - 16 gennaio 2006
(8.26)
66
8.2. Esame 05-02-03
→ (8.26) Qmax|S =447.12 m3 /s
La portata massima per spinta pari a S di monte è maggiore della portata a valle dell’afflusso. Il fenomeno è quindi governato da monte. A valle dell’afflusso si instaura
un tirante, il cui valore è deducibile dal grafico a spinta costante o dall’inversione della
seguente espressione:
1
Q2
SV = SM = γbYV2 + ρ 2
2
bYV
(8.27)
→ (8.27) YV =1.12 m
Come già visto al punto 4, si calcolano le portate specifiche nel canale indisturbato e in
corrispondenza del ponte; rislutano:
q0 = Q2 /b = 442.559/100 = 4.42 m3 /sm
qr = Q2 /(b − 2 · 7) = 442.559/(100 − 2 · 7) = 5.14 m3 /sm
Si calcola l’energia di monte, assumendo come tirante nella sezione a monte del ponte il
tirante risultante dalla soluzione del profilo di afflusso (YM = 1.12 m):
EM = YM +
q02
2gb2 YM2
(8.28)
→ (8.28) EM =1.92 m
La portata massima specifica associata a questo livello energetico è:
2
Ycr|E = EM = 1.28 m
3
qmax|E = Ycr
p
gYcr
(8.29)
→ (8.29) qmax|E =4.52 m3 /sm < qr = 5.14 m3 /sm
e risulta essere minore della portata specifica all’altezza del ponte.
Il canale si organizza, quindi, in maniera tale da garantire in corrsipondenza della sezione di restringimento il minimo valore energetico necessario, ovvero quello associato alla
transizione per il tirante critico, relativo alla portata specifica che deve passare:
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
67
s
Ycr =
3
qr2
= 1, 39 m
g2
s
Emin|qr
3
=
2
3
qr2
g2
(8.30)
→ (8.30) Emin|qr =2.09 m
Noto il valore energetico necessario per il superamento dell’ostacolo ponte, si ricavano i
valori di tirante a monte e a valle della sezione di restringimento, desumendoli dal grafico
ad energia costante o dalla seguente espressione, derivante dall’inversione dell’equazione
di Bernoulli :
Y 3 − Y 2 Emin|qr +
q02
=0
2g
La radice maggiore corrisponde al tirante sub critico a monte del ponte, la radice più
piccola, al tirante super critico a valle del ponte:
→ YM =1.77 m
→ YV =0.93 m
Tali valori possono essere calcolati anche attraverso il grafico di Marchi (figura 8.6). Anche
in questo caso il tirante di monte è minore dell’altezza dell’impalcato del ponte (1.8 m).
Sulla base di queste informazioni si scopre che l’ipotesi poc’anzi avanzata di un controllo
da monte del processo di afflusso non è compatibile con la realtà, poiché dà luogo ad
un tirante nella sezione di valle dell’afflusso (sezione di monte per il ponte) al quale
corrisponde un’energia insufficiente per il superamento del restringimento costituito dalle
pile del ponte.
Quindi, il controllo del processo di afflusso passa a valle: nella sezione di valle dell’afflusso
il tirante è un tirante subcritico, imposto dal passaggio del ponte e pertanto in grado
di garantire l’energia minima necessaria per il restringimento. Si ricostruisce il profilo
in corrispondenza dell’afflusso, assumendo come valore di spinta, costante lungo tutto il
processo, quella associata al tirante di valle:
SV = SM
1
Q2
2
= γbYV + ρ
2
bYV
(8.31)
→ (8.31) SV = 2643 kN
Il tirante subcritico che a monte dell’afflusso, con una portata pari a Q = 417, 5 m3 /s, è
in grado di esercitare una spinta pari ad SV , si ottiene dal grafico a spinta costante (figura
8.4) o risolvendo l’equzione cubica derivante dall’inversione dell’espressione della spinta
ed è pari a:
BOZZA - 16 gennaio 2006
68
8.2. Esame 05-02-03
1
Q2
γbYM3 − SV YM + ρ
=0
2
b
(8.32)
→ (8.32) YM =1.86 m
Un profilo S1, raccorda il tirante a monte dell’afflusso con l’altezza coniugata al moto
uniforme:
´
√
1³
Y1
2
=
−1 + 1 + 8F r
Y2
2
→ F r(Yu2 )=1.623
(8.33)
→(8.33) Yco =1.621 m
A valle del ponte un profilo S3 raccorda il tirante YV con il tirante di moto uniforme.
Y /Yc E=cost
1.6
1.5
E = costante
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
Yu2, qo
0.8
0.7
0.6
Yr, qo
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
q / q max E=cost
Figura 8.3: Grafico adimensionale ad energia costante, con risultati relativi al punto
4
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
69
Y /Yc S=cost
1.8
1.7
1.6
YM, Q1
1.5
1.4
S = costante
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Q / Q max S=cost
Figura 8.4: Grafico adimensionale a spinta costante, con risultati relativi al punto 5
1
br/bo
br/bo-Fr2
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Fr
Figura 8.5: Grafico di Marchi, con risultato relativo al punto 4
BOZZA - 16 gennaio 2006
70
8.2. Esame 05-02-03
1
br/bo
0.9
0.8
FrM-FrV
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Fr
Figura 8.6: Grafico di Marchi
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
Figura 8.7: Profilo 05-02-03
BOZZA - 16 gennaio 2006
71
72
8.2. Esame 05-02-03
!
"
"
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$
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#
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%
+
+
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1
$
+
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2
2
"
"
(
2
2
"
2
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
8.3
73
Esame 16-04-03
1)Calcolo della portata.
Per calcolare la portata in uscita dal serbatoio, si valuta dapprima l’energia a disposizione
del canale all’imbocco; questa è data da:
E = hm − hi
(8.34)
→(8.34) E= 2.4 m
Se si ipotizza che il canale abbia natura torrentizia, per la portata uscente, nella sezione
d’imbocco si instaura un tirante critico e la portata che fluisce dal serbatoio è quella
massima associabile al livello energetico della sezione d’ingresso. Sotto quest’ipotesi, si
calcola il tirante critico:
2
Ycr = E
(8.35)
3
→(8.35) Ycr =1.6 m
e la corrispondente portata massima:
Qmax|E = bYcr
p
gYcr
(8.36)
→(8.36) Qmax|E =633.9 m3 /s
Per verificare se questa ipotesi sia compatibile con la realtà, si calcola il tirante di moto
uniforme che si instaura nella I livelletta, a portata pari a quella massima appena calcolata;
risulta:
"
# 53
Q
p
Yu =
(8.37)
bks if o
→(8.37) Yu1 =1.43 m: alveo torrentizio
Il tirante uniforme è minore del tirante critico: l’ ipotesi di alveo torrentizio è corretta e
la portata in uscita è quella massima associata al livello energetico d’imbocco.
2) Quote di moto uniforme e livelli critici.
Nota la portata in uscita dal serbatoio e le caratteristiche idrodinamiche e geometriche di
ogni tratto, si calcolano i tiranti di moto uniforme, fino alla sezione a monte dell’afflusso:
→(8.37) Yu2 =1.16 m: alveo torrentizio
→(8.37) Yu3 =1.66 m: alveo fluviale
L’afflusso distribuito di 20 m3 /sm per 100 m di lunghezza porta ad un incremento della
portata di 2000 m3 /s;
BOZZA - 16 gennaio 2006
74
8.3. Esame 16-04-03
→ Q2 =2633.9 m3 /s
Il tirante critico a valle dell’afflusso risulta essere:
s
Q2
Ycr2 = 3 22
gb
(8.38)
→(8.38) Ycr2 =4.13 m
mentre il tirante di moto uniforme nella III livelletta a portata incrementata è di
→(8.37) Yu3,b =3.91 m: alveo torrentizio
3) Luce di fondo.
La luce di fondo a valle della livelletta 1 genera una sezione di vena contratta a monte
della livelletta 2, con tirante pari a
→(8.36) Yca = 0.61 · a = 0.488 m
L’energia meccanica specifica nella sezione di vena contratta deve essere pari all’energia
a monte della luce, la quale, nell’approssimazione di trascurabilità del termine cinetico, è
pari all’altezza del pelo libero a monte della paratoia:
EM = EV
YM = ca +
Q2
2gb2 (ca)2
(8.39)
→(8.39) YM =9.09 m
Il tirante cosı̀ calcolato risulta maggiore dell’altezza critica nella livelletta 1: pertanto si
instaura un profilo S1 di corrente lenta in alveo torrentizio.
Si verifica la validità dell’ipotesi avanzata in precedenza, calcolando il termine cinetico
relativo al livello energetico a monte della luce:
EM,cin =
Q2
= 0.025 m
2gb2 YM2
che risulta essere effettivamente trascurabile se paragonato ad YM .
Si ricorda inoltre che, essendo la livellatta 2 di natura torrentizia, non si pone il problema
di un eventuale rigurgito della luce.
Afflusso.
L’afflusso di portata determina una variazione nella natura della livelletta 3 che passa da
fluviale a monte a torrentizia a valle dell’afflusso. Il fenomeno dell’afflusso laterale viene
risolto imponendo l’uguaglianza nella spinta tra sezione di monte e sezione di valle.
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
75
In generale, la transizione nella natura di un corso d’acqua da fluviale a torrentizia avviene
attraverso lo stato critico: l’altezza critica è condizione al contorno di monte per il torrente,
di valle per il fiume. Nel caso in esame la transizione avviene non per una variazione delle
caratteristiche dell’alveo, ma per un aumento di portata. Se si ipotizza che il tirante critico
si instauri a monte dell’afflusso, si cade in un assurdo: in condizioni critiche la portata
transitante è la massima possibile per quel valore di spinta e non si potrebbe avere, quindi,
un aumento di portata a spinta costante. Si conclude che il passaggio per lo stato critico
deve avvenire a valle dell’afflusso. La spinta associata al fenomeno è dunque:
1
Q2
2
SV = γbYC2
+ρ 2
2
bYC2
(8.40)
→(8.40) SV =25163 kN
A monte dell’afflusso si realizza un tirante che, a portata pari a Q, dà luogo ad una
spinta pari a SM = SV : il valore del tirante si evince dal grafico adimensionale a spinta costante (figura 8.8) o come soluzione dell’equazione cubica derivante dall’inversione
dell’espressione della spinta:
1
Q2
3
γbYM − SV YM + ρ
=0
2
b
(8.41)
→(8.41) YM =7.08 m
4)Risalti e profondità coniugate.
A valle dell’imbocco il tirante critico nella sezione iniziale della livelletta 1 è raccordato
con il tirante di moto uniforme in una sezione indisturbata con un profilo S2. Il tirante
subcritico a monte della luce di fondo dà luogo, come visto, ad un profilo S1, di corrente
lenta in alveo torrentizio. Tale profilo si raccorda al moto uniforme di monte tramite un
risalto, che si localizza dove le spinte dei due profili si eguagliano, ovvero dove il profilo
S1 raggiunge il valore dell’altezza coniugata al tirante di moto uniforme, valore dato dalla
seguente formula:
´
√
1³
Y1
=
(8.42)
−1 + 1 + 8F r2
Y2
2
→ F r(Yu1 )=1.18
→(8.42) Yco =1.78 m
A valle della luce di fondo, un profilo S3 unisce il tirante di vena contratta con l’altezza
di pelo libero di moto indisturbato.
La variazione di pendenza tra la livelletta 2 e 3 dà luogo ad una transizione del canale da
torrentizio a fluviale; il passaggio di controllo da monte a valle avviene in maniera brusca
BOZZA - 16 gennaio 2006
76
8.3. Esame 16-04-03
tramite un risalto idraulico, di collegamento tra 2 altezze coniugate, vale a dire tra un
tirante sub critico ed uno super critico. Tale risalto si può localizzare a monte o a valle
del cambio di pendenza, in funzione dei valori di spinta associati al moto uniforme della
livelletta 2 e 3:
1
Q2
2
S = γbYu + ρ
(8.43)
2
bYu
→(8.43) SYu2 =4123 kN
→(8.43) SYu3 = 3773 kN
Risulta che la spinta di moto uniforme della livelletta 2 è maggiore della spinta in grado
di opporre il canale in moto uniforme nella livelletta 3: il risalto si localizza a valle della
sezione di cambio di pendenza. Il moto indisturbato nel secondo tratto permane fino
all’ultima sezione; nella prima sezione del terzo tratto si instaura un tirante di altezza
pari al tirante di moto uniforme della livelletta 2, il quale, essendo la natura del terzo
tratto fluviale, dà luogo ad un profilo M 3 di corrente veloce in alveo fluviale. Tale profilo
collega il tirante della prima sezione del terzo tratto con l’altezza coniugata al tirante di
moto uniforme della livelletta 3;
´
√
Y1
1³
=
−1 + 1 + 8F r2
Y2
2
→ F r(Yu3 )=0.94
(8.44)
→(8.44) Yco =1.54 m
Un risalto idraulico completa, infine, il ripristino delle condizioni di moto indisturbato.
A monte dell’afflusso il canale ha natura fluviale: è controllato da valle, tramite un profilo
M 1 di raccordo tra il tirante a monte dell’afflusso ed il tirante di moto uniforme. A valle
dell’afflusso un profilo S2 collega il tirante critico con il moto uniforme in una sezione
indisturbata.
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
77
Y /Yc S=cost
1.8
1.7
S = costante
1.6
1.5
Ym, Q1
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Q / Q max S=cost
Figura 8.8: Grafico adimensionale a spinta costante, con risultati relativi al punto 3
BOZZA - 16 gennaio 2006
78
8.3. Esame 16-04-03
Figura 8.9: Profilo 16-04-03
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
79
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0.
/
#.
+
(
BOZZA - 16 gennaio 2006
80
8.4
8.4. Esame 07-01-04
Esame 07-01-04
1)Quote di moto uniforme e livelli critici.
Con le seguenti note formule, valide nell’approssimazione di canale rettangolare largo, si
calcolano i livelli idrici del moto uniforme e dello stato critico (Ycr1 e Ycr2 si riferiscono
alle due altezze critiche prima e dopo l’afflusso, cosı̀ come il pedice a e b per il tirante di
moto uniforme del I tratto):
"
Yu =
bks
# 35
Q
p
if o
(8.45)
s
Ycr =
→
→
→
→
→
→
(8.46)
(8.46)
(8.45)
(8.45)
(8.45)
(8.45)
3
Q2
gb2
(8.46)
Ycr1 =2.17 m
Ycr2 =2.25 m
Yu1,a =1.56 m: alveo torrentizio
Yu1,b =1.62 m: alveo torrentizio
Yu2 =2.63 m: alveo fluviale
Yu3 =2.39 m: alveo torrentizio
2), 3) Risalti e profondità coniugate e andamento della superficie libera nei pressi dei ponti
A) L’afflusso laterale in prossimità del ponte va risolto imponendo l’equilibrio alle spinte.
Essendo il canale di natura torrentizia nel primo tratto, si ipotizza che il processo sia
governato da monte e che quindi la spinta, che si mantiene costante lungo l’intero tratto
d’afflusso, sia quella associata al moto uniforme a monte dell’afflusso:
1
Q2
2
S = γbYu1,a
+ρ
2
bYu1,a
(8.47)
→(8.47) S(Yu1,a )=3796 kN
Si calcola la portata massima compatibile con questo valore di spinta, ricavandosi prima
il tirante critico a spinta costante:
s
Ycr|S =
2S
3γb
→(8.48) Ycr|S =2.27 m
BOZZA - 16 gennaio 2006
(8.48)
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
81
Qmax|S = bYcr|S
p
gYcr|S
(8.49)
→(8.49) Qmax|S =536.1 m3 /s
Risulta: Qmax|S > Q2 =530 m3 /s e quindi l’ipotesi di un controllo da monte del fenomeno
è plausibile dal punto di vista energetico; si ricava il valore del tirante a valle dell’afflusso,
per via grafica o risolvendo l’equazione cubica derivante dall’inversione della formula della
spinta (delle due radici positive si sceglie quella corrispondente ad un tirante super-critico):
1
Q2
γbYV3 − SM YV + ρ
=0
2
b
(8.50)
→(8.50) YV =1.98 m
A questo punto, però, si nota che il tirante cosı̀ trovato è maggiore dell’altezza dell’impalcato del ponte a valle dell’afflusso: il ponte va in pressione e impone al canale un passaggio
obbligato; questo fenomeno è analizzabile con la teoria della luce di fondo.
A valle del ponte si instaura un tirante di vena contratta, noto il quale si può ricavare
l’altezza del pelo idrico a monte del ponte (essendo l’alveo a valle del ponte di natura
torrentizia, non si pone il problema di un eventuale rigurgito della luce):
YM = ca +
Q22
2gb2 (ca)2
(8.51)
→(8.51) YM =5.848 m
Nell’equazione appena utilizzata si è supposta la trascurabilità del termine cinetico a
monte della luce; a riprova della validità dell’assunzione fatta, il termine cinetico risulta
essere:
EM,cin =
Q2
= 0.172m
2gb2 YM2
effettivamente trascurabile rispetto a YM .
La sezione immediatamente a monte del ponte coincide con la I sezione di valle dell’afflusso
e il tirante appena calcolato risulta molto maggiore del tirante calcolato in precedenza,
sotto l’ipotesi di un controllo da monte del processo di afflusso. Si conclude che la presenza
del ponte a valle dell’afflusso impone l’istaurarsi di un determinato tirante nella sezione di
valle, il quale governa da valle il fenomeno di aumento di portata. La spinta che rimane
costante lungo tutto il processo è, quindi, cosı̀ calcolata (YV = 5.848 m):
BOZZA - 16 gennaio 2006
82
8.4. Esame 07-01-04
1
Q2
SV = γbYV2 + ρ 2
2
bYV
(8.52)
→(8.52) S(YV )=9348 kN
A monte dell’afflusso si calcola il valore dell’altezza idrica in grado di esercitare una
spinta pari a SV , a portata Q < Q2 , per via grafica (figura 8.10 o attraverso la seguente
espressione (delle due radici positive dell’equazione cubica si sceglie quella corrispondente
ad un tirante sub-critico, coerentemente con il controllo da valle del processo):
1
Q2
γbYM3 − SV YM + ρ
=0
2
b
(8.53)
→(8.53) YM =5.886 m
A monte dell’afflusso, si instaura un profilo S1, che incomincia dalla sezione iniziale dell’afflusso laterale, risale la corrente fino ad intercettare il valore dell’altezza coniugata al
tirante di moto uniforme, al quale infine si raccorda con un risalto idraulico:
´
√
Y1
1³
−1 + 1 + 8F r2
=
Y2
2
Fr =
→(8.55) F r(Yu1,a )=1.63
Q
√
Y b gY
(8.54)
(8.55)
→ (8.54)Yco =2.91 m
B) La variazione di pendenza tra livelletta 1 e la 2 dà luogo ad una transizione della natura
del canale da torrentizia a fluviale; il passaggio di controllo da monte a valle avviene in
maniera brusca tramite un salto idraulico, di collegamento tra 2 altezze coniugate, vale a
dire tra un tirante sub-critico ed uno super-critico. Per capire dove si localizza tale risalto,
se a monte o a valle del cambio di pendenza, si procede ad un confronto tra i valori di
spinta associati al moto uniforme della livelletta 1 e 2. Risulta:
1
Q2
S = γbYu2 + ρ
2
bYu
→(8.56) SYu1,b =4111 kN
(8.56)
→(8.56) SYu2 = 3830 kN
Risulta che la spinta di moto uniforme della livelletta 1 è maggiore della spinta in grado
di opporre il canale in moto uniforme nella livelletta 2: il risalto si localizza a valle della
sezione di cambio di pendenza. Il moto indisturbato nel I tratto permane fino all’ultima
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
83
sezione; nella prima sezione del II tratto si instaura un tirante di altezza pari al tirante
di moto uniforme della livelletta 1, il quale, essendo la natura del II tratto fluviale, dà
luogo ad un profilo M 3 di corrente veloce in alveo fluviale. Tale profilo collega il tirante
della prima sezione del II tratto con l’altezza coniugata al tirante di moto uniforme della
livelletta 2;
´
√
1³
Y1
−1 + 1 + 8F r2
=
Y2
2
Fr =
→(8.58) F r(Yu2 )=0.79
Q
√
Y b gY
(8.57)
(8.58)
→ (8.57)Yco =1.92 m
Un risalto idraulico completa, infine, il ripristino delle condizioni di moto indisturbato.
C) Cambio di scabrezza: la variazione del coefficiente di Strickler tra la livelletta 2 e
3 porta ad un abbassamento del tirante di moto uniforme (da 2.62 m a 2.39 m), che
resta, però, sempre maggiore del tirante critico e quindi mantiene la natura fluviale della
livelletta 2. Il logico profilo di raccordo è un profilo di corrente lenta in canale fluviale
M 2, tracciato dal tirante uniforme della livelletta 3 al tirante uniforme della livelletta 2.
D) Secondo ponte: l’energia a disposizione del corso d’acqua a monte del ponte è:
EM = Yu3 +
Q22
2
2gb2 Yu3
(8.59)
→(8.59) EM =3.39 m
Le portate specifiche in una sezione indisturbata a monte del ponte e nella sezione di
restringimento risultano:
→ q0 =Q2 /b=530/50= 10.60 m3 /sm
→ qr = Q/(b − 2 · 6) = 530/(50 − 2 · 6) = 13.95 m3 /sm
mentre la massima portata specifica compatibile con l’energia di monte è quella relativa
all’assetto critico, ad energia di monte, ed è pari a :
qmax|EM
2
= EM
3
r
2
g EM
3
→(8.60) qmax|EM =10.63 m3 /sm
BOZZA - 16 gennaio 2006
(8.60)
84
8.4. Esame 07-01-04
Essendo qmax|EM < qr , il canale si organizza in maniera tale da garantire in corrsipondenza della sezione di restringimento il minimo valore energetico necessario, ovvero quello
associato alla transizione per il tirante critico, relativo alla portata specifica che deve
passare:
s
Ycr =
3
qr2
= 2.707 m
g2
s
Emin|qr
3
=
2
3
qr2
g2
(8.61)
→(8.61) Emin|qr =4.06 m
Noto il valore energetico necessario per il superamento dell’ostacolo ponte, si ricavano i
valori di tirante a monte e a valle della sezione di restringimento, per via grafica (figura
8.12) o dalla seguente espressione:
Y 3 − Y 2 Emin|qr +
q02
=0
2g
(8.62)
La radice maggiore corrisponde al tirante sub-critico a monte del ponte, la radice più
piccola, al tirante super-critico a valle del ponte:
→(8.62) YM =3.62 m
→(8.62) YV =1.49 m
Il raccordo di questi due tiranti con il livello di moto uniforme avviene, a monte tramite un
profilo M 1, tracciato dall’inizio del restringimento fino al valore di Yu3 , mentre a valle un
profilo M 3 di corrente veloce in alveo fluviale raccorda il tirante a valle del restringimento
con l’altezza coniugata al moto uniforme Yu3 , pari a:
´
√
Y1
1³
=
−1 + 1 + 8F r2
Y2
2
Fr =
→(8.64) F r(Yu2 )=0.91
Q
√
Y b gY
(8.63)
(8.64)
→ (8.63) Yco =2.12 m
Il risalto idraulico che si realizza in prossimità dell’altezza coniugata al tirante uniforme
finisce di dissipare l’energia meccanica specifica accumulata dal fiume a monte del ponte
e necessaria per il superamento del restringimento da esso rappresentato.
4)Massimo valore di portata affluente perchè il ponte non vada in pressione.
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
85
Il massimo valore di portata laterale in ingresso, che mantenga un valore del tirante a
valle dell’afflusso minore dell’altezza dell’impalcato del ponte, è un valore di portata in
grado di soddisfare questa relazione:
1
(Q + ∆q)2
SM = SV = γbYV2 + ρ
2
bYV
(8.65)
dove SM è la spinta già calcolata al punto 2 e relativa al tirante di moto uniforme del I
tratto (S(Yu1,a ) = 3796 kN), mentre YV è il tirante massimo ammissibile perchè il ponte
non vada in pressione (YV = 1.8 m). Invertendo quest’espressione, risulta:
→ Q + ∆q=519.8 m3 /s.
Altrimenti si può ricorrere alla soluzione grafica: si calcola il rapporto tra il tirante limite
noto (=1.8 m, luce del ponte) ed il tirante critico a spinta pari a S(Yu1,a , si entra nel
grafico adimensionale a spinta costante e si desume il valore del rapporto tra la portata
incognita Q + ∆q e la portata massima a spinta costante pari a S(Yu1,a (figura 8.11).
5)Valore di scabrezza che non dà luogo a transizione nel ponte2.
Il valore di scabrezza del fondo della livelletta 3 che non dà luogo alla transizione per
il tirante critico all’altezza del ponte, è un valore compreso in un range definito, tale
da garantire un’energia di moto uniforme maggiore o uguale a quella necessaria per il
superamento dell’ostacolo. Quest’energia si è visto al punto 4 essere pari all’energia
minima in grado di trasportare la portata specifica qr :
s
Emin|qr
3
=
2
3
qr2
g2
(8.66)
→(8.66) Emin|qr =4.06 m
Se il moto uniforme, che si instaura nel III tratto a monte del ponte, avviene ad un livello
energetico pari o maggiore di Emin|qr , il canale è in grado di affrontare il restringimento
rappresentato dal ponte e il conseguente aumento di portata specifica senza transizione
per lo stato critico.
Risolvendo l’equazione cubica derivante dall’inversione della formula dell’energia, si trovano i due tiranti sub e super critici in grado di traspotare la portata specifica qo con
energia pari a Emin|qr ; queste altezze sono già state calcolate al punto 3 e corrispondono
al tirante a monte ed a valle del ponte:
→(8.62) YM =3.62 m
→(8.62) YV =1.49 m
Per rispondere al quesito di partenza si devono, quindi, trovare quei valori di scabrezza
che consentono al canale di assumere questi due tiranti come altezza di moto uniforme;
invertendo la formula del moto uniforme si ottiene:
BOZZA - 16 gennaio 2006
86
8.4. Esame 07-01-04
ks =
1
→(8.67) ks (YV )=76 m 3
Q2
p
bY
if o
(8.67)
5
3
1
→(8.67) ks (YM )=17 m 3 /s
1
Valori di scabrezza minori di 17 e maggiori di 76 m 3 /s, danno luogo a stati idrodinamici di
moto indisturbato caraterizzati da un’energia che consente al canale di superare il ponte
senza transizione per lo stato critico.
Y /Yc S=cost
1.8
1.7
S = costante
1.6
1.5
Ym, Q1
1.4
Yv, Q2
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Q / Q max S=cost
Figura 8.10: Grafico adimensionale a spinta costante, con risultati relativi al punto
3,A
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
87
Y /Yc S=cost
1.8
1.7
S = costante
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
Y=1.8, Q1+∆
∆q
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Q / Q max S=cost
Figura 8.11: Grafico adimensionale a spinta costante, con risultati relativi al punto
4
1
br/bo
0.9
0.8
0.7
Frm - Frv
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Fr
Figura 8.12: Grafico di Marchi, con risultati relativi al punto 3,D
BOZZA - 16 gennaio 2006
88
8.4. Esame 07-01-04
Figura 8.13: Profilo 07-01-04
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
89
! "
#$
%
!&
#
'
! (
#
!
#
)
*+
#*,
-
!*
a
1
hm
hi
2
3
BOZZA - 16 gennaio 2006
90
8.5
8.5. Esame 04-07-02
Esame 04-07-02
1) Problema d’imbocco:
Elago = EM − EV
(8.68)
2
Ycr |E lago = Elago
3
(8.69)
p
Qmax = YCR b YCR g
(8.70)
"
Yu |Qmax =
→
→
→
→
(8.68)
(8.69)
(8.70)
(8.71)
bks
# 35
Q
p
(8.71)
if 1
Elago =2.4 m
Ycr |E lago =1.6 m
Qmax =633.9 m3 /s
Yu |Qmax =1.16 m
Yu |Qmax < Ycr |E lago quindi si ha passaggio per la critica, che diventa sezione di controllo e
conseguente corrente veloce nella livelletta a valle.
2) Calcolo dei tiranti di moto uniforme:
"
Yu =
# 35
Q
p
bks
(8.72)
if
→ (8.72) Yu1 = Yu3 =1.16 m : alveo torrentizio
→ (8.72) Yu2 =2.85 m : alveo fluviale
Luce
Yca = ca = 0.61a
µ
Eluce =
Q2
+ ca
gb2 (ca)2
(8.73)
¶
Ipotesi: Energia costante
BOZZA - 16 gennaio 2006
(8.74)
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
91
Eluce = EM
(8.75)
calcolo della YM trascurando il carico cinetico a monte della luce:
YM = EM
(8.76)
si verifica ora se il carico cinetico è davvero trascurabile
caricocin =
→
→
→
→
(8.73)
(8.74)
(8.76)
(8.77)
Q2
gb2 YM2
(8.77)
Yca =0.61 m
Eluce =6.11 m
YM =6.11 m
caricocin =0.056 m
il carico cinetico risulta essere di 5.6 cm, errore quindi del tutto accettabile.
Luce libera o rigurgitata?:
YCOluce
´
p
ca ³
2
=
−1 + 1 + 8F rca
2
(8.78)
Q2
gb2 Yca2
(8.79)
2
F rca
=
→ (8.78) YCO luce =3.37 m
2
→ (8.79) F rca
=18.06
si verifica che YCOluce > Yu3 , la luce risulta essere quindi libera.
Localizzazione risalti
Esistono due risalti: il primo in prossimita del cambio di pendenza tra la livelletta 1 e la
livelletta 2, il secondo a valle della luce causato dalla stessa essendo questa libera.
La localizzazione dei risalti viene effettuata confrontando le spinte della corrente secondo
la:
1
Q2
S = γbY 2 + ρ
2
bY
quindi il calcolo del tirante coniugato tramite la:
BOZZA - 16 gennaio 2006
(8.80)
92
8.5. Esame 04-07-02
Y
Yco =
2
µ
¶
q
−1 + 1 + 8F rY2
(8.81)
i→ (8.80) Su1 =4123.957 kN
→ (8.80) Su2 =5392.810 kN
quindi il risalto si verifica a monte con altezza coniugata pari a:
→ (8.81) Yco1 =2.14 m
ii→ (8.80) Sca =6769.688 kN
→ (8.80) Su3 =4123.957 kN
il risalto si verifica, come già visto, a valle della luce con altezza coniugata al moto uniforme 3 pari a:
→ (8.81) Yco3 =0.79 m
3) Determinazione dell’altezza a sopra la quale la luce risulta rigurgitata:
Modificando opportunamente la 8.81 si isola l’incognita a:
Yu2
a=
2c
µ
¶
q
−1 +
1+
2
8F ru2
→ (8.82) a=1.295 m
BOZZA - 16 gennaio 2006
(8.82)
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
BOZZA - 16 gennaio 2006
93
94
8.5. Esame 04-07-02
!
!
"
! #$
#
%#
# &
(
' #
(
& #
&
) # '$
&
)' # '$
&
)& # (
! ! # +
*
*
*
,
-.
'-"
&-"
!
!
/
0-1
L = 100 m
A
restringimento (br/bo)
1
afflusso
2
BOZZA - 16 gennaio 2006
3
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
8.6
95
Esame 12-09-02
1) Quota della superficie libera nel punto A:
Si tratta di un afflusso laterale a pendenza nulla, quindi di corrente lenta; occorre pertanto fissare una condizione di valle. Calcolando altezza critica e di moto uniforme della
livelletta 1 (la portata è nota e pari a 100 m3/s) ci accorgiamo che questa presenta caratteristiche di corrente veloce; deduciamo allora che la corrente passerà per l’altezza critica
nel cambio di pendenza che diventa sezione di controllo.
Dal grafico spinta=cost o dalla relazione della spinta imponiamo portata nulla a monte
e deduciamo il valore della superficie libera nel punto A sponstandoci verso sinistra nel
grafico fino ad incontrare l’asse delle ordinate.
→ YA = 1.28 m
2) Quote di moto uniforme e livelli critici:
"
Yu =
Q
p
bks
# 53
if
(8.83)
s
Ycr =
→
→
→
→
(8.83)
(8.83)
(8.83)
(8.84)
3
Q2
gb2
(8.84)
Yu1 = 0.63 m : alveo torrentizio
Yu2 = 1.02 m : alveo fluviale
Yu3 = 0.6 m : alveo torrentizio
Ycr = 0.74 m
3) Andamento della superficie libera nei pressi del ponte:
Il ponte è posto in un tratto a pendenza costante ma, a causa della variazione di Ks, il
moto da corrente lenta in livelletta 2 diventa di corrente veloce in livelletta 3 costringendo
il profilo a passare per l’altezza critica in sezione ristretta.
Risoluzione tramite grafico di Marchi:
Rapporto di restringimento:
Rr =
br
b0
(8.85)
Q2
gb2 Y 2
(8.86)
s
Fr =
Dal grafico di Marchi si ricavano i due valori di Fr:
BOZZA - 16 gennaio 2006
96
8.6. Esame 12-09-02
→ (8.85) Rr = 0.9
→ (grafico) F r1 = 0.65
→ (grafico) F r2 = 1.47
Inserendo i valori di F r1 e F r2 nella (8.86) e risolvendo in Y si ricavano le quote di YM e
YV .
→ YM = 0.99
YV = 0.57
Risoluzione tramite trattazione razionale:
Lavorando con portate specifiche:
q=
Q
b
(8.87)
si ottiene
→ (8.87) q0 = 2 m3 /sm
→ (8.87) qr = 2.2 m3 /sm
Si ha, come già evidenziato, passaggio per la critica in sezione ristretta che diventa sezione
di controllo e fissa l’energia ad un valore più elevato minimo sufficiente per il passaggio
della corrente.
s
E0 =
3
2
3
qr2
g
(8.88)
0
→ (8.88) E = 1.19 m
Risolvendo in Y la
µ
0
E =
q2
+Y
2gY 2
¶
(8.89)
si ricavano i valori di YM e YV .
→ YM = 0.98 m → YV = 0.57 m
4) Risalti e profondità coniugate:
E’ presente un risalto in prossimità del cambio di pendenza tra la livelletta 1 e 2
Calcolo delle spinte:
1
Q2
S = γbY 2 + ρ
2
bY
BOZZA - 16 gennaio 2006
(8.90)
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
97
si ottiene
→ (8.90) Su1 = 414.976 kN
→ (8.90) Su2 = 451.098 kN
quindi il risalto è localizzato a monte del cambio di pendenza. Il calcolo del tirante
coniugato viene effettuato tramite la:
´
√
Y ³
2
Yco =
−1 + 1 + 8F r
2
→ (8.91) Yco1 = 0.86 m
BOZZA - 16 gennaio 2006
(8.91)
98
8.6. Esame 12-09-02
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
99
!"##%$
& ')( *,+)*,' -. +0/ . 13254 *6( 798 : . : 25. : 7;,*0: 4 -' . <)-,' ' -=: : -*>)-9+?;5-,+)@ *( 7,8 : *,+): -3A
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R .S*58 8 25CT*U()V)-W' X *,' <)-)7Y8 . *: 4 *5: : *,H5. ' -( 79CG-WZ [,\ Z [5Z ] L5^0_5[9] _` L=a b,cd-()V)-W' -: 4 -W' . <)-,' ' -=: : -W8 . *,+)7
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H)lSmn=oC
. / m%oFA o,x
H5Q9m%z,{C
p 80mBq=oCr s t 8 u r
*0t mBo3A nC
. / r mBo3A oFv n
80mBo3A yC
. / w9mBo3A o5o5n
O P Q mBqC
R <)73' 15-,4 -.)8 -=192)-,+): .)>,25+): . |F}~3i j 3hF9F~E j 5,~F?i
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n) *,' ( 73' *94 -. ' <)*9' 734 -;9.)8 ( *9H54 -=@ @ *0;5-,' / 79+);57;=-,' ' -' . <)-,' ' -=: : - v - x=: *,' -()V)-. '?;5-=/ ' 258 8 78?. *
. +G(?794 4 -,+=: -0<)-9' 75( -,K
{= ;5-=: -,4 C. +=*,4 -' X *,+);5*,CG-,+): 792)*,' . : *5: . <)7;5-9.)>54 75/ . ' . ;3.)4 . 192,4 19. : 7. +92=-58 : 7( *=8 7,|3' 75( *,' . @ @ *,+=;=7
19' . -)<=-,+): 2)*,' .)4 . 8 *,' : . A
BOZZA - 16 gennaio 2006
100
8.6. Esame 12-09-02
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
8.7
101
Esame 26-02-03
0) CHIEDERE!!!!! la livelletta 1 è gia veloce!!!!, correggere il testo che io non ho qui in
versione digitale
1) Portata defluente:
Data Ytr si calcola la portata defluente secondo la:
Q = cq Ytr b
p
2gYM
cq = 0.4
(8.92)
(8.93)
→ (8.92) Q= 460.3 m3 /s
2) Quote di moto uniforme e livelli critici:
"
Yu =
Q
p
bks
# 53
if
(8.94)
s
Ycr =
→
→
→
→
(8.94)
(8.94)
(8.94)
(8.95)
3
Q2
gb2
(8.95)
Yu1 = 1.73 m : alveo torrentizio
Yu2 = 2.41 m : alveo fluviale
Yu3 = 1.59 m : alveo torrentizio
Ycrii = 2.05 m
3) Assetto della superficie libera in corrispondenza del ponte e del salto di fondo:
Ponte:
Prima di affrontare il problema occorre verificare la situazione di moto indisturbato per
decidere se partire da valle o da monte. Calcolando le spinte di moto uniforme 1 e 2
secondo la:
1
Q2
S = γbY 2 + ρ
2
bY
si ottiene
→ (8.96) Su1 = 3180.740 kN
→ (8.96) Su2 = 3184.104 kN
quindi il moto è comandato da valle con corrente lenta.
Risoluzione tramite grafico di Marchi:
BOZZA - 16 gennaio 2006
(8.96)
102
8.7. Esame 26-02-03
Rapporto di restringimento:
br
b0
Rr =
(8.97)
Dal grafico di Marchi si ricavano i due valori di Fr, mentre dalla condizione di moto
indisturrbato si ricava Fr0 :
s
F r0 =
Q2
2
gb2 Yu2
(8.98)
→ (8.97) Rr = 0.92
→ (8.98) F r0 = 0.78
→ (grafico) F r1 = 0.68
→ (grafico) F r2 = 1.42
F r1 < F r0 < 1 < F r2 ⇒ restringimento governato da corrente lenta con transizione.
Inserendo i valori di F r1 e F r2 nella (8.98) e risolvendo in Y si ricavano le quote di YM e
YV .
→ YM = 2.65 m YV = 1.62 m
Risoluzione tramite trattazione razionale:
Lavorando con portate specifiche:
q=
Q
b
(8.99)
si ottiene
→ (8.99) q0 = 9.2 m3 /sm
→ (8.99) qr = 10 m3 /sm
qmax = Ycr
p
gYcr
(8.100)
→ (8.100) qmax = 9.62 m3 /sm
Qmax < Qr ⇒ transizione. Si ha passaggio per la critica in sezione ristretta che diventa
sezione di controllo e fissa l’energia al valore minimo sufficiente per il passaggio della
corrente.
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
103
s
3
E =
2
0
3
qr2
g
(8.101)
0
→ (8.101) E = 3.25 m
Risolvendo in Y la
µ
0
E =
q2
+Y
gY 2
¶
(8.102)
si ricavano i valori di YM e YV .
→ YM = 2.63 m → YV = 1.63 m
Salto di fondo:
Partendo analizzando il moto indisturbato si ha passaggio da corrente lenta a monte a corrente veloce a valle con conseguente attraversamento della critica. Data la configurazione
del salto si ha:
EM = EV + s
(8.103)
quindi EM > EV . Evidente risulta allora l’attraversamento della critica nella sezione di
valle.
→ (8.103) EM = 3.57 m
Da grafico o invertendo l’equazione dell’energia si ricava YM :
→ (8.102) EM = 3.12 m
4) Risalti e profondità coniugate:
Si realizzano tre risalti: a monte e a valle del restringimento e a monte della traversa
Il calcolo del tirante coniugato viene effettuato tramite la:
Yco =
´
√
Y ³
−1 + 1 + 8F r2
2
i) risalto a monte del restringimento
→ (8.104) Yco1 = 2.4 m
ii) risalto a valle del restringimento
→ (8.104) Yco2 = 1.79 m
BOZZA - 16 gennaio 2006
(8.104)
104
8.7. Esame 26-02-03
iii) risalto a monte della traversa
→ (8.104) Yco2 = 2.59 m
5) Valore di Ks che rende il deflusso veloce in livelletta2:
Risolvendo in Ks la (8.94) si ottiene:
1
→ (8.94) Ks = 39.3 m 3 /s
6) Andamento qualitativo dei profili di rigurgito nel caso 5:
Il primo trato rimane identico fino al ponte. Ora a valle di questo si ha corrente critica
con spinta minima e quindi inferiore alla spinta di monte che viene a comandare il moto.
L’energia di monte comunque non risulta sufficiente per evitare la transizione nel restringimento; al di là di questo perciò si ha un profilo di tipo c2. L’alveo permane critico fino
al salto di fondo dove è costretto a guadagnare energia attraverso un profilo c1. I dettagli
del restringimento e della livelletta centrale sono evidenziati nel disegno.
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
BOZZA - 16 gennaio 2006
105
106
8.8
8.8. Esame 02-07-03
Esame 02-07-03
1) Quote di moto uniforme e livelli critici:
"
Yu =
# 35
Q
p
bks
(8.105)
if
s
Ycr =
3
Q2
gb2
(8.106)
3
le quote di moto uniforme delle livelletta 1 e 3 vengono calcolate con portate di 50 ms e
3
80 ms rispettivamente. La livelletta 2 è invece supposta livelletta critica per la portata di
3
50 ms (prima cioè dell’afflusso di portata); il valore della pendenza viene allora calcolato
invertendo opportunamente la ??.
→
→
→
→
→
→
→
(8.106)
(8.105)
(8.105)
(8.105)
(8.106)
(8.105)
(8.105)
Ycri = 0.51 m
Yu1 = 0.83 m : alveo fluviale
Yu2i = Ycr = 0.51 m : alveo critico
if c = 0.01
Ycrii = 0.7 m
Yu2ii = 0.68 m : alveo torrentizio
Yu3 = 1.17 m : alveo fluviale
2) Assetto della superficie libera in corrispondenza dell’afflusso:
(CTRL se giusto e tutto necessario) Andando ad analizzare il moto indisturbato si nota
corrente critica a monte e veloce a valle, si deduce perciò un passaggio per la critica.
La corrente a monte dell’afflusso che, essendo critica, non ha l’energia sufficiente per
accogliere nuova portata, è costretta a guadagnare energia passando cosı̀ il controllo alla
sezione di valle; propiro qui si ha allora passaggio per la critica.
Ipotesi afflusso: Spinta costante calcolata secondo la:
1
Q2
S = γbY 2 + ρ
2
bY
(8.107)
3
nella sezione di valle con portata pari a 80 ms e tirante critico pari 0.7 m.
Si risale a questo punto al valore del tirante di monte dell’afflusso:
i)Per via grafica:
Q
Qmax
= 0.625 ⇒
Y
Ycr
= 1.59
3
ii)invertendo la (8.107) inserendo la portata di 50 ms . E’ possibile ora calcolare il dislivello
tra moto indisturbato a monte dell’afflusso e livello idrico causato dallo stesso:
BOZZA - 16 gennaio 2006
8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
107
∆Y = YV − YuV
(8.108)
Yca = ca = 0.61a
(8.109)
→ (8.107) SV = 314.730 KN
→ YM = 1.11 m
→ (8.108) ∆Y = 0.6 m
Luce di fondo:
µ
Eluce =
Q2
+ ca
gb2 (ca)2
¶
(8.110)
Ipotesi: Energia Costante
Eluce = EM
(8.111)
calcolo della YM trascurando il carico cinetico a monte della luce:
YM = EM
(8.112)
si verifica ora se il carico cinetico è davvero trascurabile
caricocin =
Q2
gb2 YM2
(8.113)
Luce tra livelletta 1 e 2:
→ (8.109) Yca = 0.183 m
→ (8.110) Eluce = 2.19 m
→ (8.112) YM = 2.19 m
→ (8.113) caricocin = 0.01 m
il carico cinetico risulta essere di 1 cm, errore quindi del tutto accettabile.
Luce libera o rigurgitata?:
Ycoluce =
´
p
ca ³
2
−1 + 1 + 8F rca
2
2
=
F rca
Q2
gb2 Yca2
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(8.114)
108
8.8. Esame 02-07-03
→ (8.114) Ycoluce = 1.12 m
2
→ (8.114) F rca
= 22
si verifica che Ycoluce > Yu2i , la luce risulta essere quindi libera.
Luce tra livelletta 2 e 3:
→ (8.109) Yca = 0.366 m
→ (8.110) Eluce = 1.65 m
→ (8.112) YM = 1.65 m
→ (8.113) caricocin = 0.07 m
il carico cinetico risulta essere di 7 cm, errore quindi del tutto accettabile.
Luce libera o rigurgitata?:
→ (8.114) Ycoluce = 1.20 m
2
→ (8.114) F rca
=7
3) Risalti e profondità coniugate:
Esistono due risalti a monte e a valle della luce tra la livelletta 2 e 3.
Il calcolo del tirante coniugato viene effettuato tramite la:
Yco =
´
√
Y ³
−1 + 1 + 8F r2
2
(8.115)
i) risalto a monte della luce
→ (8.115) Yco1 =0.72 m
ii) risalto a valle della luce
→ (8.115) Yco2 =0.41 m
4) Valore limite di ∆Q perchè si abbia rigurgito della luce di valle:
Per ricavare il valore limite di ∆ Q si risolve la(??)dove l’incognita è rappresentata dalla
portata, Y1 dal valore della vena contratta e Y2 dalla relazione di moto uniforme che
tuttavia dipende a sua volta dalla portata. L’equazione risulta allora implicita e richiede
un procedimento iterattivo(CTRL:ho pensato ad un procedimento esplicito ma per il
momento non mi è venuto in mente!!!!).
→ (8.115) ∆Q=11.84 m
5) Andamento qualitativo dei profili di rigurgito nel caso 4:
L’andamento qualitativo dei profili è riportato nel disegno con riferimento alla luce di
fondo a valle che di fatto è l’unica a risentire di tale evento. Le quote indicate nel disegno
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8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME
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sono puramente qualitative e valide solo se messe in relazione di minore-maggiore rispetto
allo schema della stessa luce con portata originale anch’esso riportato nel disegno.
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8.8. Esame 02-07-03
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