Il Dilemma di Monty Hall Il Problema (o

Il Dilemma di Monty Hall
Il Problema (o Dilemma) di Monty Hall fu proposto nel 1990 nella popolare rubrica di
domande e risposte “Chiedilo a Marylin” della rivista americana Parade. La rubrica era
tenuta da Marylin vos Savant, presente nel Guinness dei Primati per il suo altissimo Q.I.
Il Sig Craig F. Whitaker (Columbia, Maryland) le pose il seguente problema:
Un tizio partecipa ad un quiz televisivo, nel quale il premio è un’automobile. Il presentatore gli mostra tre porte chiuse: dietro ad una di esse c’è l’auto, dietro a ciascuna delle
altre due c’è una capra. Egli chiede al tizio di scegliere una delle tre porte, che non viene
aperta. A questo punto il presentatore (che sa ciò che si trova dietro a ciascuna porta)
apre una delle due porte non scelte, dietro alla quale c’è una capra. Dopodiché chiede
al concorrente: “Vuoi cambiare la porta che hai scelto con quella che non hai scelto ed è
rimasta chiusa?”
La domanda è: al concorrente conviene mantenere la sua scelta o cambiare?
La risposta (corretta) di Marylin causò una valanga di lettere alla rubrica, la maggior
parte delle quali (più del 90%) provenienti da persone che contestavano la soluzione da lei
data (la cosa strabiliante è che molti di coloro che scrivevano erano matematici, ed erano
anche i più infuriati). Marylin cercò di convincere i lettori che la sua risposta era giusta,
ma, nonostante tutti i suoi tentativi, continuavano ad arrivarle lettere di contestazione.
Alla fine, per risolvere la cosa, chiese a coloro che seguivano la sua rubrica di organizzare
una serie di prove, e, se provvisti di computer, di simulazioni del gioco, e di inviarle
i risultati. Solo in seguito alla pubblicazione di tali risultati i lettori si convinsero che
Marylin aveva ragione.
Diamo qui sotto la soluzione (sbagliata) inviata da molti lettori.
Dopo che il presentatore ha aperto una porta, le due rimaste chiuse hanno uguale probabilità di avere dietro l’auto. Perciò, indipendentemente dal fatto che il concorrente cambi
oppure no la sua scelta iniziale, egli ha probabilità 1/2 sia di vincere che di non vincere
il premio. La conclusione è che è indifferente cambiare oppure non cambiare.
La soluzione (giusta) di Marylin fu invece che conviene cambiare la scelta iniziale. Marylin
argomentò la sua risposta, stabilendo che, con il cambio, la probabilità di vincere è 2/3.
Ma, come abbiamo già detto, solo i risultati delle simulazioni inviate dai lettori convinsero
il pubblico.
Con questa tesina ti viene proposto di trovare la dimostrazione matematica rigorosa
dell’affermazione di Marylin.
Prerequisiti: Nozioni di base di Calcolo delle Probabilità.
Docente di riferimento: Rita Giuliano.