Probabilita_Problema di Monty Hall

CENTRO SALESIANO DON BOSCO – TREVIGLIO
Informatica
Il problema di Monty Hall è un famoso problema di teoria della probabilità, legato al gioco
a premi americano Let's Make a Deal. Il nome viene da quello del conduttore dello show,
Maurice Halprin, noto con lo pseudonimo di Monty Hall.
Nel gioco vengono mostrate a un giocatore tre porte chiuse; dietro una c'è un'automobile e
ciascuna delle altre due nasconde una capra. Al giocatore è permesso aprire una porta,
vincendo ciò che c'è dietro. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l'ha ancora
aperta, il conduttore dello show, che conosce ciò che si trova dietro ogni porta, apre una delle
altre due, rivelando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la
propria scelta iniziale, passando all'unica porta restante.
Passare all'altra porta migliora le chance del giocatore di vincere l'automobile? La risposta è
sì: le probabilità di vittoria passano da 1/3 a 2/3.
R:
Un'analisi del problema attraverso il teorema di Bayes rende esplicita l’affermazione di cui
sopra.
Si consideri, senza ledere la generalità dell'analisi, il caso in cui la porta 3 è stata scelta, e non
è stata ancora aperta alcuna porta.
La probabilità che l’automobile si trovi dietro la porta 2, che si denota con P( A2) , è
chiaramente 1/3, in quanto l'auto ha la stessa probabilità di trovarsi dietro ciascuna porta.
La probabilità che il conduttore dello show apra la porta 1, P(C1) , è inoltre 1/2, dal momento
che l'auto ha la stessa probabilità di trovarsi dietro la porta 1 (il che costringerebbe il
conduttore ad aprire la porta 2) come dietro la porta 2 (il che costringerebbe il conduttore ad
aprire la porta 1); se poi l'auto non si trova dietro nessuna delle due porte (1 o 2), il conduttore
ne aprirà una a caso, con uguale probabilità.
Si osservi tuttavia che se l'auto si trova dietro la porta 2, in base a queste ipotesi il conduttore
aprirà sicuramente la porta 1; in termini formali, P(C1 | A2) = 1 .
Ma allora, sfruttando il teorema di Bayes, la probabilità che il premio si trovi dietro la porta 2,
noto che il conduttore ha aperto la porta 1, si ottiene:
1
1⋅
P(C1 | A2 ) ⋅ P( A2 )
2
P( A2 | C1) =
= 3=
1
P(C1)
3
2
Si perviene al risultato anche in altro modo, osservando che la probabilità di “vincere
cambiando la scelta iniziale” è uguale alla probabilità di “perdere mantenendo la scelta”
a sua volta evento contrario dell’evento “vincere mantenendo la scelta”
Pertanto considerati gli eventi
1
M={vincere mantenendo la scelta} con probabilità p(M ) = ,
3
l’evento contrario M ={perdere mantenendo la scelta} e
C={vincere cambiando la scelta}
si ha C = M ,
e, per la nota proprietà della probabilità dell’evento contrario,
1 2
p(C ) = p M = 1 − p (M ) = 1 − =
3 3
( )