Struttura di mercato obbligazionario

Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Dispense di Matematica Finanziaria, a.a.
2014-2015
Prof. Aggr. Arsen Palestini
MEMOTEF, Sapienza Università di Roma
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
I titoli obbligazionari nel mercato finanziario I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Come si comportano i titoli obbligazionari all’interno del
mercato finanziario? E soprattutto, quale dinamica seguono i
loro prezzi?
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
I titoli obbligazionari nel mercato finanziario I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Come si comportano i titoli obbligazionari all’interno del
mercato finanziario? E soprattutto, quale dinamica seguono i
loro prezzi?
Nella valutazione dei titoli, ha grande importanza la struttura
temporale considerata, che incide sull’andamento dei prezzi.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
I titoli obbligazionari nel mercato finanziario I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Come si comportano i titoli obbligazionari all’interno del
mercato finanziario? E soprattutto, quale dinamica seguono i
loro prezzi?
Nella valutazione dei titoli, ha grande importanza la struttura
temporale considerata, che incide sull’andamento dei prezzi.
Limiteremo la nostra analisi ad un mercato semplificato,
ideale, in cui sono verificate in ogni istante delle ipotesi
standard.
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
I titoli obbligazionari nel mercato finanziario I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Come si comportano i titoli obbligazionari all’interno del
mercato finanziario? E soprattutto, quale dinamica seguono i
loro prezzi?
Nella valutazione dei titoli, ha grande importanza la struttura
temporale considerata, che incide sull’andamento dei prezzi.
Limiteremo la nostra analisi ad un mercato semplificato,
ideale, in cui sono verificate in ogni istante delle ipotesi
standard.
All’interno di questo mercato, considereremo portafogli di zero
coupon bond (ZCB, da ora in poi), quindi potremo pensarli
come BoT o CTz.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
I titoli obbligazionari nel mercato finanziario II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Il nostro scopo é ricavarne una valutazione, basata sulla
struttura dinamica dei tassi d’interesse, che tenga conto delle
varie scadenze e delle varie quantità di titoli.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
I titoli obbligazionari nel mercato finanziario II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Il nostro scopo é ricavarne una valutazione, basata sulla
struttura dinamica dei tassi d’interesse, che tenga conto delle
varie scadenze e delle varie quantità di titoli.
Supponiamo di analizzare il comportamento degli ZCB nel
cosiddetto mercato secondario, quello in cui i titoli si
scambiano successivamente al loro collocamento in emissione.
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
I titoli obbligazionari nel mercato finanziario II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Il nostro scopo é ricavarne una valutazione, basata sulla
struttura dinamica dei tassi d’interesse, che tenga conto delle
varie scadenze e delle varie quantità di titoli.
Supponiamo di analizzare il comportamento degli ZCB nel
cosiddetto mercato secondario, quello in cui i titoli si
scambiano successivamente al loro collocamento in emissione.
In particolare, la loro emissione avviene sul mercato primario,
tramite un’asta fissata ed organizzata dall’ente emittente
(Stato, Ministero del Tesoro, banca, azienda...).
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Riassumiamo le assunzioni caratteristiche sul mercato (per
una trattazione piú completa, vedi [M], capitoli 6, 7, 9):
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Riassumiamo le assunzioni caratteristiche sul mercato (per
una trattazione piú completa, vedi [M], capitoli 6, 7, 9):
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Non frizionalità dei titoli:
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Riassumiamo le assunzioni caratteristiche sul mercato (per
una trattazione piú completa, vedi [M], capitoli 6, 7, 9):
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Non frizionalità dei titoli:
1
l’assenza di costi e di gravami fiscali sulle transazioni;
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Riassumiamo le assunzioni caratteristiche sul mercato (per
una trattazione piú completa, vedi [M], capitoli 6, 7, 9):
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Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Non frizionalità dei titoli:
1
2
l’assenza di costi e di gravami fiscali sulle transazioni;
la mancanza di limitazioni sulle quantità minime e
massime di titoli vendibili;
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Riassumiamo le assunzioni caratteristiche sul mercato (per
una trattazione piú completa, vedi [M], capitoli 6, 7, 9):
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Non frizionalità dei titoli:
1
2
3
l’assenza di costi e di gravami fiscali sulle transazioni;
la mancanza di limitazioni sulle quantità minime e
massime di titoli vendibili;
l’assenza di rischi di insolvenza (o default);
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Riassumiamo le assunzioni caratteristiche sul mercato (per
una trattazione piú completa, vedi [M], capitoli 6, 7, 9):
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Non frizionalità dei titoli:
1
2
3
4
l’assenza di costi e di gravami fiscali sulle transazioni;
la mancanza di limitazioni sulle quantità minime e
massime di titoli vendibili;
l’assenza di rischi di insolvenza (o default);
la possibilità per ogni agente di assumere sempre una
posizione debitoria (short), ossia sono consentite le short
sales (o vendite allo scoperto).
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Riassumiamo le assunzioni caratteristiche sul mercato (per
una trattazione piú completa, vedi [M], capitoli 6, 7, 9):
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Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Non frizionalità dei titoli:
1
2
3
4
l’assenza di costi e di gravami fiscali sulle transazioni;
la mancanza di limitazioni sulle quantità minime e
massime di titoli vendibili;
l’assenza di rischi di insolvenza (o default);
la possibilità per ogni agente di assumere sempre una
posizione debitoria (short), ossia sono consentite le short
sales (o vendite allo scoperto).
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Riassumiamo le assunzioni caratteristiche sul mercato (per
una trattazione piú completa, vedi [M], capitoli 6, 7, 9):
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Non frizionalità dei titoli:
1
2
3
4
l’assenza di costi e di gravami fiscali sulle transazioni;
la mancanza di limitazioni sulle quantità minime e
massime di titoli vendibili;
l’assenza di rischi di insolvenza (o default);
la possibilità per ogni agente di assumere sempre una
posizione debitoria (short), ossia sono consentite le short
sales (o vendite allo scoperto).
Per vendita allo scoperto si intende vendita di un titolo
che, al momento dell’accordo, non é ancora in possesso
del debitore.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Competitività degli agenti: gli agenti sul mercato sono
razionali e quindi tendono a massimizzare il proprio
profitto, in altri termini la loro funzione di utilità é
crescente, e al tempo stesso sono price taker, cioè non
possono influenzare il prezzo dei titoli con la loro attività.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Competitività degli agenti: gli agenti sul mercato sono
razionali e quindi tendono a massimizzare il proprio
profitto, in altri termini la loro funzione di utilità é
crescente, e al tempo stesso sono price taker, cioè non
possono influenzare il prezzo dei titoli con la loro attività.
Assenza di arbitraggi: Gli agenti non possono effettuare
manovre di arbitraggio, vale a dire, in questo contesto (il
concetto é più articolato nella finanza più avanzata), non
possono fare operazioni finanziarie nelle quali ci siano
tutti importi positivi, o tutti nonnegativi con almeno uno
di essi strettamente positivo (’no free lunch’): un
agente non può soltanto arricchirsi e non pagare mai.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Nota
L’attualità ci suggerisce che i mercati finanziari reali sono
molto più complessi. La possibilità degli agenti di giocare su
più mercati (materie prime, oro, valute diverse, debito
pubblico sovrano di vari Stati) e di differenziare i propri
investimenti rende l’arbitraggio possibile nei fatti.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Nota
L’attualità ci suggerisce che i mercati finanziari reali sono
molto più complessi. La possibilità degli agenti di giocare su
più mercati (materie prime, oro, valute diverse, debito
pubblico sovrano di vari Stati) e di differenziare i propri
investimenti rende l’arbitraggio possibile nei fatti.
Le vendite allo scoperto sono state ultimamente oggetto di
discussione e di regolamentazione: nel maggio 2010, la
cancelliera tedesca Angela Merkel ha temporeaneamente
proibito le short sales come misura anti-speculativa;
successivamente questa misura é stata estesa a varie Borse
europee (Milano compresa).
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Nota
L’attualità ci suggerisce che i mercati finanziari reali sono
molto più complessi. La possibilità degli agenti di giocare su
più mercati (materie prime, oro, valute diverse, debito
pubblico sovrano di vari Stati) e di differenziare i propri
investimenti rende l’arbitraggio possibile nei fatti.
Le vendite allo scoperto sono state ultimamente oggetto di
discussione e di regolamentazione: nel maggio 2010, la
cancelliera tedesca Angela Merkel ha temporeaneamente
proibito le short sales come misura anti-speculativa;
successivamente questa misura é stata estesa a varie Borse
europee (Milano compresa).
Ma cos’é formalmente un arbitraggio?
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Definizione
Dato il flusso di cassa
x/t = {x1 , . . . , xm }/{t1 , . . . , tm },
diremo che é un arbitraggio se ∀ i ∈ {1, . . . , m }, o xi = 0, o
xi > 0, e se esiste almeno un j ∈ {1, . . . , m } tale che xj > 0.
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Ipotesi fondamentali del mercato finanziario IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Definizione
Dato il flusso di cassa
x/t = {x1 , . . . , xm }/{t1 , . . . , tm },
diremo che é un arbitraggio se ∀ i ∈ {1, . . . , m }, o xi = 0, o
xi > 0, e se esiste almeno un j ∈ {1, . . . , m } tale che xj > 0.
Quindi, gli importi devono essere tutti nonnegativi, e almeno
uno di essi positivo. La proprietà di consistenza che l’assenza
di arbitraggi impone comporta l’impossibilità di realizzare
profitti senza l’assunzione di alcun rischio.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Chiamiamo t l’istante corrente, e s ≥ t un qualunque istante
successivo. Se per s intendiamo la data,o meglio ancora
l’istante di scadenza di un ZCB, chiamiamo v (t, s ) il prezzo
in t dello ZCB unitario che scade in s, ossia che garantisce
al tempo s il rimborso di 1 (unità di capitale).
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Chiamiamo t l’istante corrente, e s ≥ t un qualunque istante
successivo. Se per s intendiamo la data,o meglio ancora
l’istante di scadenza di un ZCB, chiamiamo v (t, s ) il prezzo
in t dello ZCB unitario che scade in s, ossia che garantisce
al tempo s il rimborso di 1 (unità di capitale).
Questa espressione del prezzo, in termini di fattore di sconto
in regime composto, é legata ad un tasso di interesse i:
v (t, s ) = (1 + i )t −s .
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Per il prezzo valgono le seguenti:
v (s, s ) = 1;
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Per il prezzo valgono le seguenti:
v (s, s ) = 1;
0 < v (t, s ) < 1, per 0 ≤ t < s.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Per il prezzo valgono le seguenti:
v (s, s ) = 1;
0 < v (t, s ) < 1, per 0 ≤ t < s.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Per il prezzo valgono le seguenti:
v (s, s ) = 1;
0 < v (t, s ) < 1, per 0 ≤ t < s.
La struttura esponenziale dei prezzi, detto i il tasso di
interesse, implica inoltre la proprietà di decrescenza
rispetto alla scadenza:
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Per il prezzo valgono le seguenti:
v (s, s ) = 1;
0 < v (t, s ) < 1, per 0 ≤ t < s.
La struttura esponenziale dei prezzi, detto i il tasso di
interesse, implica inoltre la proprietà di decrescenza
rispetto alla scadenza: dato un ZCB con scadenza s ∗ ma la
cui compravendita sia permessa anche al tempo s̃ < s ∗ , si ha:
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Per il prezzo valgono le seguenti:
v (s, s ) = 1;
0 < v (t, s ) < 1, per 0 ≤ t < s.
La struttura esponenziale dei prezzi, detto i il tasso di
interesse, implica inoltre la proprietà di decrescenza
rispetto alla scadenza: dato un ZCB con scadenza s ∗ ma la
cui compravendita sia permessa anche al tempo s̃ < s ∗ , si ha:
∗
v (t, s ∗ ) = (1 + i )t −s < (1 + i )t −s̃ = v (t, s̃ ).
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Quindi il prezzo dello ZCB decresce all’allontanarsi della
scadenza dall’istante iniziale.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Quindi il prezzo dello ZCB decresce all’allontanarsi della
scadenza dall’istante iniziale.
O anche, dati due ZCB con diverse scadenze, valutati allo
stesso istante, precedente ad entrambe le scadenze, il prezzo
di quello che scade prima é maggiore dell’altro.
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Quindi il prezzo dello ZCB decresce all’allontanarsi della
scadenza dall’istante iniziale.
O anche, dati due ZCB con diverse scadenze, valutati allo
stesso istante, precedente ad entrambe le scadenze, il prezzo
di quello che scade prima é maggiore dell’altro.
Consideriamo i ZCB che alla scadenza s garantiscano il
rimborso dell’ammontare xs , non necessariamente uguale a 1,
e indichiamone il prezzo in t, istante non successivo ad s, con
il simbolo A(t, xs ).
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Essendo i titoli infinitamente divisibili, in un mercato in cui
possono essere trattati sia i ZCB unitari che quelli non unitari,
il possesso di una quantità xs di ZCB con scadenza in s e
prezzo v (t, s ) equivale al possesso di un unico ZCB il cui
valore di rimborso alla scadenza é xs , dunque vale la proprietà
di indipendenza dall’importo:
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Essendo i titoli infinitamente divisibili, in un mercato in cui
possono essere trattati sia i ZCB unitari che quelli non unitari,
il possesso di una quantità xs di ZCB con scadenza in s e
prezzo v (t, s ) equivale al possesso di un unico ZCB il cui
valore di rimborso alla scadenza é xs , dunque vale la proprietà
di indipendenza dall’importo:
A(t, xs ) = xs v (t, s ),
∀ t ≤ s.
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Essendo i titoli infinitamente divisibili, in un mercato in cui
possono essere trattati sia i ZCB unitari che quelli non unitari,
il possesso di una quantità xs di ZCB con scadenza in s e
prezzo v (t, s ) equivale al possesso di un unico ZCB il cui
valore di rimborso alla scadenza é xs , dunque vale la proprietà
di indipendenza dall’importo:
A(t, xs ) = xs v (t, s ),
∀ t ≤ s.
Questa proprietà é strettamente legata all’assenza di arbitraggi
nel mercato.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Esempio
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Consideriamo uno scadenzario {0, 1} e un mercato in cui
vengono comprati e venduti sia ZCB unitari (di cui intendiamo
il valore unitario, 1, come 1.000 euro) che non unitari e
supponiamo al tempo 0 di compiere 2 diverse azioni:
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Esempio
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Consideriamo uno scadenzario {0, 1} e un mercato in cui
vengono comprati e venduti sia ZCB unitari (di cui intendiamo
il valore unitario, 1, come 1.000 euro) che non unitari e
supponiamo al tempo 0 di compiere 2 diverse azioni:
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
1
acquistare un titolo che scade all’anno 1 il cui valore di
rimborso é x1 = 3.000 euro;
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Esempio
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Consideriamo uno scadenzario {0, 1} e un mercato in cui
vengono comprati e venduti sia ZCB unitari (di cui intendiamo
il valore unitario, 1, come 1.000 euro) che non unitari e
supponiamo al tempo 0 di compiere 2 diverse azioni:
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
1
acquistare un titolo che scade all’anno 1 il cui valore di
rimborso é x1 = 3.000 euro;
2
vendere allo scoperto 3 ZCB unitari che scadranno
all’anno 1, e quindi andranno consegnati in quella data.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Esempio
Per la prima azione, il prezzo da pagare é A(0, 3.000), mentre
per la seconda azione la vendita allo scoperto frutta il
guadagno 3 · v (0, 1).
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Esempio
Per la prima azione, il prezzo da pagare é A(0, 3.000), mentre
per la seconda azione la vendita allo scoperto frutta il
guadagno 3 · v (0, 1).
Alla seconda data, cioé in t = 1, si incasserà il rimborso del
titolo non unitario, quindi da 3.000 euro, ma si dovranno
contemporaneamente consegnare i 3 ZCB, ognuno dei quali da
1.000 euro. Quindi, il bilancio dell’intera operazione risulterà:
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esempio
Per la prima azione, il prezzo da pagare é A(0, 3.000), mentre
per la seconda azione la vendita allo scoperto frutta il
guadagno 3 · v (0, 1).
Alla seconda data, cioé in t = 1, si incasserà il rimborso del
titolo non unitario, quindi da 3.000 euro, ma si dovranno
contemporaneamente consegnare i 3 ZCB, ognuno dei quali da
1.000 euro. Quindi, il bilancio dell’intera operazione risulterà:
−A(0, 3.000) + 3v (0, 1) + 3.000 − 3 · 1.000 =
= 3v (0, 1) − A(0, 3.000).
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond VII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Esempio
Ora, se questa quantità fosse positiva, avremmo compiuto una
manovra di arbitraggio, cioé avremmo ottenuto un guadagno
positivo in una situazione di totale copertura.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond VII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Esempio
Ora, se questa quantità fosse positiva, avremmo compiuto una
manovra di arbitraggio, cioé avremmo ottenuto un guadagno
positivo in una situazione di totale copertura.
Quindi la proprietà di indipendenza dall’importo, che implica
A(0, 3.000) = 3v (0, 1) corrisponde all’impossibilità di
compiere arbitraggi.
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond VII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esempio
Ora, se questa quantità fosse positiva, avremmo compiuto una
manovra di arbitraggio, cioé avremmo ottenuto un guadagno
positivo in una situazione di totale copertura.
Quindi la proprietà di indipendenza dall’importo, che implica
A(0, 3.000) = 3v (0, 1) corrisponde all’impossibilità di
compiere arbitraggi.
Da notare che se l’ammontare ottenuto fosse negativo, anche
questo potrebbe provocare un arbitraggio, semplicemente
scambiando tutti i segni (comprando anziché vendendo).
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond VIII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Estendendo l’idea di ZCB non unitari ad un insieme di piú
titoli con differenti scadenze, possiamo comporre un
portafoglio di titoli obbligazionari, e denotarli esattamente
come le operazioni finanziarie, ossia una sequenza di importi, i
valori di rimborso dei titoli, e uno scadenzario, con le date di
scadenza rispettive.
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond VIII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Estendendo l’idea di ZCB non unitari ad un insieme di piú
titoli con differenti scadenze, possiamo comporre un
portafoglio di titoli obbligazionari, e denotarli esattamente
come le operazioni finanziarie, ossia una sequenza di importi, i
valori di rimborso dei titoli, e uno scadenzario, con le date di
scadenza rispettive.
Un portafoglio composto in questo modo puó anche essere
visto come un unico titolo obbligazionario che paghi l’importo
xk alla k-esima data di scadenza, e in questo caso il prezzo di
un titolo del genere in t corrisponderà alla combinazione
lineare, dei prezzi dei singoli titoli, calcolati alla rispettiva data
di scadenza e pesati con i loro rispettivi importi.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond IX
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
In sintesi, il titolo x/t = {x1 , . . . , xm }/{t1 , . . . , tm } avrà in t
il prezzo:
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond IX
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
In sintesi, il titolo x/t = {x1 , . . . , xm }/{t1 , . . . , tm } avrà in t
il prezzo:
m
A(t, x) =
∑ xk v (t, tk ).
k =1
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond IX
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
In sintesi, il titolo x/t = {x1 , . . . , xm }/{t1 , . . . , tm } avrà in t
il prezzo:
m
A(t, x) =
∑ xk v (t, tk ).
k =1
Anche la proprietà di linearità alla base di questa formula é
una conseguenza dell’assenza di arbitraggi, e una tipica
spiegazione di questa formula é che, sotto le ipotesi di questo
mercato, un titolo complesso é replicabile mediante la
composizione di opportuni ZCB unitari.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Le proprietà dei prezzi dei bond IX
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
In sintesi, il titolo x/t = {x1 , . . . , xm }/{t1 , . . . , tm } avrà in t
il prezzo:
m
A(t, x) =
∑ xk v (t, tk ).
k =1
Anche la proprietà di linearità alla base di questa formula é
una conseguenza dell’assenza di arbitraggi, e una tipica
spiegazione di questa formula é che, sotto le ipotesi di questo
mercato, un titolo complesso é replicabile mediante la
composizione di opportuni ZCB unitari.
Poiché questo titolo complesso deriva da più titoli elementari,
qui nasce la ben nota denominazione di titolo derivato.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I contratti visti finora sono contratti strutturati su due sole
date, quella di accordo tra le parti per l’acquisto di
un’obbligazione, e quindi dell’acquisto stesso, e quella di
scadenza, in cui avviene materialmente il rimborso.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
I contratti visti finora sono contratti strutturati su due sole
date, quella di accordo tra le parti per l’acquisto di
un’obbligazione, e quindi dell’acquisto stesso, e quella di
scadenza, in cui avviene materialmente il rimborso.
Nei contratti strutturati su tre date, invece, cosiddetti
contratti a termine (o contratti forward), le due parti si
accordano alla data iniziale di scambiarsi un titolo che sarà
consegnato in una data successiva, e la cui scadenza avverrà
ad una data ancora successiva.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Quindi l’acquisto, e il pagamento del prezzo del titolo, avviene
alla data intermedia. Chiamiamo ancora t la prima data, t ∗ la
data intermedia e s quella di scadenza.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Quindi l’acquisto, e il pagamento del prezzo del titolo, avviene
alla data intermedia. Chiamiamo ancora t la prima data, t ∗ la
data intermedia e s quella di scadenza.
Definizione
Dato un ZCB di scadenza s la cui vendita é definita in t per
consegna in t ∗ , il suo prezzo sarà indicato con v (t, t ∗ , s ), per
t ≤ t ∗ ≤ s, e detto prezzo a termine in t per consegna in
t ∗.
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Quindi l’acquisto, e il pagamento del prezzo del titolo, avviene
alla data intermedia. Chiamiamo ancora t la prima data, t ∗ la
data intermedia e s quella di scadenza.
Definizione
Dato un ZCB di scadenza s la cui vendita é definita in t per
consegna in t ∗ , il suo prezzo sarà indicato con v (t, t ∗ , s ), per
t ≤ t ∗ ≤ s, e detto prezzo a termine in t per consegna in
t ∗.
Invece quando il contratto é strutturato solo sulle due date t
ed s, chiameremo v (t, s ) prezzo a pronti (o spot).
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Intuitivamente, il contratto a pronti é un caso particolare del
contratto a termine, cioé quando la data di stipula coincide
con quella di consegna (t = t ∗ ):
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Intuitivamente, il contratto a pronti é un caso particolare del
contratto a termine, cioé quando la data di stipula coincide
con quella di consegna (t = t ∗ ):
v (t, t, s ) = v (t, s ),
∀ t ≤ s.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Intuitivamente, il contratto a pronti é un caso particolare del
contratto a termine, cioé quando la data di stipula coincide
con quella di consegna (t = t ∗ ):
v (t, t, s ) = v (t, s ),
∀ t ≤ s.
Possiamo dedurre che il tempo di attesa tra la stipula e la
consegna dello ZCB abbia un effetto sul prezzo dello ZCB
stesso. Coerentemente con il concetto alla base della proprietà
di decrescenza rispetto alla scadenza, lo ZCB per cui intercorre
piú tempo tra la consegna e la scadenza costa meno.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Il seguente risultato caratterizza la relazione tra prezzi a pronti
e prezzi a termine sotto l’ipotesi di assenza di arbitraggi, ed é
detto Teorema dei prezzi impliciti:
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Il seguente risultato caratterizza la relazione tra prezzi a pronti
e prezzi a termine sotto l’ipotesi di assenza di arbitraggi, ed é
detto Teorema dei prezzi impliciti:
Teorema
In un mercato privo di arbitraggio vale la seguente
uguaglianza, ad ogni istante t ≤ t ∗ ≤ s:
v (t, s ) = v (t, t ∗ )v (t, t ∗ , s ).
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
(3.1)
Contratti a pronti e contratti a termine V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Prova
Supponiamo per assurdo che (3.1) non valga, ponendo ad
esempio v (t, s ) > v (t, t ∗ )v (t, t ∗ , s )
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prova
Supponiamo per assurdo che (3.1) non valga, ponendo ad
esempio v (t, s ) > v (t, t ∗ )v (t, t ∗ , s ) e dimostriamo che sotto
questa ipotesi si puó sviluppare una strategia arbitraggista,
che contraddirebbe l’ipotesi del teorema:
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Prova
Supponiamo per assurdo che (3.1) non valga, ponendo ad
esempio v (t, s ) > v (t, t ∗ )v (t, t ∗ , s ) e dimostriamo che sotto
questa ipotesi si puó sviluppare una strategia arbitraggista,
che contraddirebbe l’ipotesi del teorema:
al tempo iniziale, t, un investitore vende allo scoperto
uno ZCB di valore unitario di rimborso per scadenza in s,
guadagnandone il costo v (t, s );
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prova
contemporaneamente, sempre in t, lo stesso investitore
acquista a pronti una quantità di ZCB unitari scadenti al
tempo t ∗ , in numero di v (t, t ∗ , s ), spendendo quindi
v (t, t ∗ , s )v (t, t ∗ );
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Prova
contemporaneamente, sempre in t, lo stesso investitore
acquista a pronti una quantità di ZCB unitari scadenti al
tempo t ∗ , in numero di v (t, t ∗ , s ), spendendo quindi
v (t, t ∗ , s )v (t, t ∗ );
infine, sempre in t, stipula un contratto a termine per
consegna in t ∗ di uno ZCB unitario scadente al tempo s.
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Prova
contemporaneamente, sempre in t, lo stesso investitore
acquista a pronti una quantità di ZCB unitari scadenti al
tempo t ∗ , in numero di v (t, t ∗ , s ), spendendo quindi
v (t, t ∗ , s )v (t, t ∗ );
infine, sempre in t, stipula un contratto a termine per
consegna in t ∗ di uno ZCB unitario scadente al tempo s.
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Prova
contemporaneamente, sempre in t, lo stesso investitore
acquista a pronti una quantità di ZCB unitari scadenti al
tempo t ∗ , in numero di v (t, t ∗ , s ), spendendo quindi
v (t, t ∗ , s )v (t, t ∗ );
infine, sempre in t, stipula un contratto a termine per
consegna in t ∗ di uno ZCB unitario scadente al tempo s.
In conseguenza di questa strategia, alle due scadenze
successive accadrà quanto segue:
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine VII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Prova
al tempo t ∗ , viene incassato il valore di rimborso dei ZCB
unitari in scadenza in questa data, cioé
v (t, t ∗ , s ) · 1 = v (t, t ∗ , s ).
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine VII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Prova
al tempo t ∗ , viene incassato il valore di rimborso dei ZCB
unitari in scadenza in questa data, cioé
v (t, t ∗ , s ) · 1 = v (t, t ∗ , s ).
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine VII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Prova
al tempo t ∗ , viene incassato il valore di rimborso dei ZCB
unitari in scadenza in questa data, cioé
v (t, t ∗ , s ) · 1 = v (t, t ∗ , s ). Sempre al tempo t ∗ ,
all’investitore viene consegnato lo ZCB il cui contratto a
termine era stato stipulato in t, e quindi l’investitore ne
paga il prezzo: v (t, t ∗ , s );
alla scadenza s, ci sono 2 posizioni da chiudere: la prima
é il rimborso del primo ZCB venduto allo scoperto, con
cui l’investitore paga 1, mentre la seconda é l’incasso del
valore di rimborso dello ZCB comprato a termine e
consegnato in t ∗ , con cui l’investitore incassa 1.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine VIII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prova
In definitiva, il bilancio dell’intera strategia é:
v (t, s ) − v (t, t ∗ , s )v (t, t ∗ ) + v (t, t ∗ , s ) − v (t, t ∗ , s ) − 1 + 1 =
= v (t, s ) − v (t, t ∗ , s )v (t, t ∗ ) > 0,
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine VIII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Prova
In definitiva, il bilancio dell’intera strategia é:
v (t, s ) − v (t, t ∗ , s )v (t, t ∗ ) + v (t, t ∗ , s ) − v (t, t ∗ , s ) − 1 + 1 =
= v (t, s ) − v (t, t ∗ , s )v (t, t ∗ ) > 0,
per l’ipotesi iniziale, quindi il mercato ammette una strategia
di arbitraggio, e l’ipotesi del teorema é contraddetta.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine IX
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Esercizio
Dato un BoT il cui prezzo in t = 0 é 950 euro e che
garatisce un valore di rimborso di 1.000 euro dopo 6
mesi, e un altro BoT il cui prezzo in 0 é 980 euro che
garantisce 1.000 euro dopo 3 mesi, calcolare il prezzo a
termine dello stesso titolo per consegna a 3 mesi e
scadenza a 6 mesi sotto l’ipotesi di assenza di arbitraggi.
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine IX
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Esercizio
Dato un BoT il cui prezzo in t = 0 é 950 euro e che
garatisce un valore di rimborso di 1.000 euro dopo 6
mesi, e un altro BoT il cui prezzo in 0 é 980 euro che
garantisce 1.000 euro dopo 3 mesi, calcolare il prezzo a
termine dello stesso titolo per consegna a 3 mesi e
scadenza a 6 mesi sotto l’ipotesi di assenza di arbitraggi.
Dalle ipotesi descritte, si hanno i prezzi a pronti seguenti:
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine IX
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esercizio
Dato un BoT il cui prezzo in t = 0 é 950 euro e che
garatisce un valore di rimborso di 1.000 euro dopo 6
mesi, e un altro BoT il cui prezzo in 0 é 980 euro che
garantisce 1.000 euro dopo 3 mesi, calcolare il prezzo a
termine dello stesso titolo per consegna a 3 mesi e
scadenza a 6 mesi sotto l’ipotesi di assenza di arbitraggi.
Dalle ipotesi descritte, si hanno i prezzi a pronti seguenti:
v (0, 1/2) =
950
= 0, 95,
1.000
Arsen Palestini
v (0, 1/4) =
980
= 0, 98,
1.000
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine X
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Esercizio
quindi dal teorema dei prezzi impliciti dovrà risultare:
v (0, 1/4, 1/2) =
v (0, 1/2)
0, 95
=
= 0, 969387.
v (0, 1/4)
0, 98
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine X
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Esercizio
quindi dal teorema dei prezzi impliciti dovrà risultare:
v (0, 1/4, 1/2) =
v (0, 1/2)
0, 95
=
= 0, 969387.
v (0, 1/4)
0, 98
Ossia, letto in termini di assenza di arbitraggi, la quantità
esatta di titoli unitari a 3 mesi da acquistare per coprirsi dalla
vendita allo scoperto di un titolo a 6 mesi in questo mercato é
0,969387.
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Contratti a pronti e contratti a termine X
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esercizio
quindi dal teorema dei prezzi impliciti dovrà risultare:
v (0, 1/4, 1/2) =
v (0, 1/2)
0, 95
=
= 0, 969387.
v (0, 1/4)
0, 98
Ossia, letto in termini di assenza di arbitraggi, la quantità
esatta di titoli unitari a 3 mesi da acquistare per coprirsi dalla
vendita allo scoperto di un titolo a 6 mesi in questo mercato é
0,969387.
Dall’esercizio precedente, notiamo che se consideriamo i prezzi
come fattori di sconto esponenziale in regime composto,
avremo diversi tassi d’interesse.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Usando la stessa terminologia dei prezzi, definiamo tassi a
pronti (o spot) quelli legati ai contratti a pronti e tassi a
termine (o forward) quelli definiti nei contratti a termine.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Usando la stessa terminologia dei prezzi, definiamo tassi a
pronti (o spot) quelli legati ai contratti a pronti e tassi a
termine (o forward) quelli definiti nei contratti a termine.
In particolare, in regime degli interessi composti la relazione
tra tassi sarà data da:
v (t, s ) = (1 + i (t, s ))t −s ,
∗
v (t, t ∗ ) = (1 + i (t, t ∗ ))t −t ⇐⇒
⇐⇒ v (t, t ∗ , s ) =
Arsen Palestini
(1 + i (t, s ))t −s
.
(1 + i (t, t ∗ ))t −t ∗
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Dalla relazione precedente, definiamo il tasso implicito del
contratto a termine i ∗ (t, t ∗ , s ):
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Dalla relazione precedente, definiamo il tasso implicito del
contratto a termine i ∗ (t, t ∗ , s ):
∗
∗
i (t, t , s ) =
1
v (t, t ∗ , s )
1
s −t ∗
−1 =
(1 + i (t, t ∗ ))t −t
(1 + i (t, s ))t −s
∗
!
1
s −t ∗
− 1.
(3.2)
Applicando la formula (3.2) all’ultimo esercizio, calcoliamo il
tasso implicito:
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Dalla relazione precedente, definiamo il tasso implicito del
contratto a termine i ∗ (t, t ∗ , s ):
∗
∗
i (t, t , s ) =
1
v (t, t ∗ , s )
1
s −t ∗
−1 =
(1 + i (t, t ∗ ))t −t
(1 + i (t, s ))t −s
∗
!
1
s −t ∗
− 1.
(3.2)
Applicando la formula (3.2) all’ultimo esercizio, calcoliamo il
tasso implicito:
∗
i (0, 1/4, 1/2) =
1
0, 969387
1
1/2−1/4
−1 =
= 0, 132429 = 13, 2429%.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Le proprietà dei prezzi a pronti sono deducibili dalla relazione
(3.1): positività, decrescenza rispetto alla scadenza...
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Le proprietà dei prezzi a pronti sono deducibili dalla relazione
(3.1): positività, decrescenza rispetto alla scadenza...
A volte si utilizza anche la cosiddetta struttura delle
intensità dei rendimenti a scadenza, passando ai logaritmi:
h (t, t ∗ , s ) = log[1 + i ∗ (t, t ∗ , s )],
t ≤ t ∗ ≤ s.
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Calcoliamo ora una struttura dei prezzi e dei tassi a pronti in
un mercato con diverse quantità di ZCB.
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Calcoliamo ora una struttura dei prezzi e dei tassi a pronti in
un mercato con diverse quantità di ZCB.
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Esercizio
Determinare le strutture dei prezzi e dei tassi a pronti in
un mercato strutturato su 4 anni, i cui prezzi osservati in
t = 0 anno per anno risultano (in euro):
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
A(0, x1 ) = 80,
A(0, x2 ) = 75,
A(0, x3 ) = 100,
A(0, x4 ) = 90,
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Calcoliamo ora una struttura dei prezzi e dei tassi a pronti in
un mercato con diverse quantità di ZCB.
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Esercizio
Determinare le strutture dei prezzi e dei tassi a pronti in
un mercato strutturato su 4 anni, i cui prezzi osservati in
t = 0 anno per anno risultano (in euro):
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
A(0, x1 ) = 80,
A(0, x2 ) = 75,
A(0, x3 ) = 100,
A(0, x4 ) = 90,
con le seguenti quantità di ZCB:
x1 = 85,
x2 = 90,
Arsen Palestini
x3 = 110,
x4 = 95.
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Esercizio
La struttura dei prezzi a pronti é facilmente ottenuta
dall’applicazione della proprietà dell’indipendenza dall’importo:
v (0, k ) =
A(0, xk )
,
xk
per k = 1, 2, 3, 4,
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esercizio
La struttura dei prezzi a pronti é facilmente ottenuta
dall’applicazione della proprietà dell’indipendenza dall’importo:
v (0, k ) =
A(0, xk )
,
xk
per k = 1, 2, 3, 4, quindi:
v (0, 1) =
80
= 0, 941176,
85
v (0, 2) =
75
= 0, 833333,
90
v (0, 3) =
100
= 0, 909090,
110
v (0, 4) =
90
= 0, 947368,
95
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Esercizio
e di conseguenza la struttura dei tassi spot é data da:
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esercizio
e di conseguenza la struttura dei tassi spot é data da:
i (0, 1) =
i (0, 2) =
i (0, 3) =
i (0, 4) =
1
− 1 = 0, 0625 ∼ 6, 25%,
0, 941176
1
0, 833333
12
1
0, 909090
13
1
0, 947368
14
Arsen Palestini
− 1 = 0, 095445 ∼ 9, 54%,
− 1 = 0, 032280 ∼ 3, 22%,
− 1 = 0, 013608 ∼ 1, 36%.
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine VII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Nota
Nel linguaggio corrente si parla spesso di speculazione. Ma
come si configura davvero? Vediamone un semplice caso
tramite l’uso di contratti spot e forward.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine VII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Nota
Nel linguaggio corrente si parla spesso di speculazione. Ma
come si configura davvero? Vediamone un semplice caso
tramite l’uso di contratti spot e forward.
Supponiamo che ci siano 2 traders, Piercarlo e Mario;
Piercarlo vende a Mario un BoT con consegna 6 mesi dopo e
scadenza ad un anno a un prezzo prefissato A1 , concordando
con la controparte di ricomprarlo a pronti immediatamente
dopo 6 mesi.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine VII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Nota
Nel linguaggio corrente si parla spesso di speculazione. Ma
come si configura davvero? Vediamone un semplice caso
tramite l’uso di contratti spot e forward.
Supponiamo che ci siano 2 traders, Piercarlo e Mario;
Piercarlo vende a Mario un BoT con consegna 6 mesi dopo e
scadenza ad un anno a un prezzo prefissato A1 , concordando
con la controparte di ricomprarlo a pronti immediatamente
dopo 6 mesi.
Nel frattempo, i tassi di mercato si muovono e dopo 6 mesi,
Piercarlo riacquisterà il titolo venduto.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine VIII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Nota
Se nel frattempo il prezzo di mercato A2 sarà maggiore di A1 ,
cioé i tassi si saranno abbassati, Piercarlo pagherà a Mario la
differenza A2 − A1 , altrimenti viceversa.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine VIII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Nota
Se nel frattempo il prezzo di mercato A2 sarà maggiore di A1 ,
cioé i tassi si saranno abbassati, Piercarlo pagherà a Mario la
differenza A2 − A1 , altrimenti viceversa.
Ma se nel periodo successivo i tassi si abbasseranno
ulteriormente, Piercarlo potrà di nuovo vendere il titolo, il cui
prezzo sarà ulteriormente cresciuto.
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine VIII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Nota
Se nel frattempo il prezzo di mercato A2 sarà maggiore di A1 ,
cioé i tassi si saranno abbassati, Piercarlo pagherà a Mario la
differenza A2 − A1 , altrimenti viceversa.
Ma se nel periodo successivo i tassi si abbasseranno
ulteriormente, Piercarlo potrà di nuovo vendere il titolo, il cui
prezzo sarà ulteriormente cresciuto.
Un’ondata di speculazione si verifica quando un grande massa
di investitori realizza contemporaneamente delle
compravendite di questo tipo, o molto più complesse.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine IX
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Nota
Sono queste manovre speculative che a volte, insieme ad una
serie di altre concause (prezzi del petrolio e delle materie
prime, deficit degli Stati, stato di salute delle banche...)
provocano le crisi di solvibilità dei deiti sovrani, a cui negli
ultimi anni si sta cercando di far fronte con strumenti
sovranazionali di prestito, come il fondo salva-Stati EFSF.
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Tassi a pronti e tassi a termine IX
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Nota
Sono queste manovre speculative che a volte, insieme ad una
serie di altre concause (prezzi del petrolio e delle materie
prime, deficit degli Stati, stato di salute delle banche...)
provocano le crisi di solvibilità dei deiti sovrani, a cui negli
ultimi anni si sta cercando di far fronte con strumenti
sovranazionali di prestito, come il fondo salva-Stati EFSF.
L’andamento dei tassi non può essere determinato con
certezza, ma nei mercati finanziari i tassi, e quindi i valori dei
titoli, cambiano continuamente, e questo rende le manovre di
arbitraggio possibili nella realtà.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Come possiamo legare la quotazione di un titolo alla sua
struttura dei prezzi o dei tassi? Qui di seguito considereremo
un generico titolo con cedole costanti (ad esempio un BTp) e
ne confronteremo il prezzo dato dalla struttura di mercato in
vigore con quello di emissione, ricordando il concetto di
quotazione sopra e sotto la pari.
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Come possiamo legare la quotazione di un titolo alla sua
struttura dei prezzi o dei tassi? Qui di seguito considereremo
un generico titolo con cedole costanti (ad esempio un BTp) e
ne confronteremo il prezzo dato dalla struttura di mercato in
vigore con quello di emissione, ricordando il concetto di
quotazione sopra e sotto la pari.
Esempio
Al tempo t = 0, consideriamo un titolo con cedole costanti
che garantisce il seguente flusso di pagamenti annuali:
x/t = {5, 5, 5, 5, 105}/{1, 2, 3, 4, 5}.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Esempio
Supponiamo che nel mercato sia in vigore una struttura
istantanea dei rendimenti della forma
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
h (0, k ) =
k
,
10
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Esempio
Supponiamo che nel mercato sia in vigore una struttura
istantanea dei rendimenti della forma
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
h (0, k ) =
k
,
10
con strutture dei tassi e dei prezzi associate:
k
i (0, k ) = e 10 − 1,
k2
v (0, k ) = e − 10 .
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Esempio
Supponiamo che nel mercato sia in vigore una struttura
istantanea dei rendimenti della forma
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
h (0, k ) =
con strutture dei tassi e dei prezzi associate:
k
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
k
,
10
i (0, k ) = e 10 − 1,
k2
v (0, k ) = e − 10 .
Il prezzo del titolo, calcolato in base a questa struttura, risulta:
h 1
i
4
9
16
25
P = 5 e − 10 + e − 10 + e − 10 + e − 10 + 105e − 10 = 19, 53693
euro.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Esempio
e dunque é quotato sotto la pari, in quanto
19, 53693 = P < C = 100.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esempio
e dunque é quotato sotto la pari, in quanto
19, 53693 = P < C = 100.
Analizzando le caratteristiche del titolo, si nota che il suo
tasso cedolare é del 5%, mentre il TIR i ∗ si può calcolare
approssimando una radice dell’equazione:
5v + 5v 2 + 5v 3 + 5v 4 + 105v 5 = 19, 53693 ⇐⇒
⇐⇒ 21v 5 + v 4 + v 3 + v 2 + v − 3, 907386 = 0,
da cui v ∗ ∼ 0, 65, e quindi i ∗ ∼ 53, 84% (decisamente alto).
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Dall’ultimo esempio, possiamo notare un interessante effetto:
quando un titolo con cedole é quotato sotto la pari, il suo
TIR é maggiore del suo tasso cedolare;
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Dall’ultimo esempio, possiamo notare un interessante effetto:
quando un titolo con cedole é quotato sotto la pari, il suo
TIR é maggiore del suo tasso cedolare;
quando invece é quotato sopra la pari, il suo TIR é
minore del suo tasso cedolare.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Dall’ultimo esempio, possiamo notare un interessante effetto:
quando un titolo con cedole é quotato sotto la pari, il suo
TIR é maggiore del suo tasso cedolare;
quando invece é quotato sopra la pari, il suo TIR é
minore del suo tasso cedolare.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Dall’ultimo esempio, possiamo notare un interessante effetto:
quando un titolo con cedole é quotato sotto la pari, il suo
TIR é maggiore del suo tasso cedolare;
quando invece é quotato sopra la pari, il suo TIR é
minore del suo tasso cedolare.
Definizione
Si definisce tasso di parità (o par yield) il tasso cedolare iP
di un titolo obbligazionario a cedola fissa che, valutato in base
alla struttura per scadenza in vigore al tempo t, quota il titolo
alla pari.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Chiaramente, il tasso di parità é uguale al TIR del flusso
relativo, quindi per calcolarlo possiamo usare la stessa tecnica.
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Chiaramente, il tasso di parità é uguale al TIR del flusso
relativo, quindi per calcolarlo possiamo usare la stessa tecnica.
Esercizio
Dato il BTp a 3 anni di valore di rimborso 100 euro,
determinare la cedola semestrale e il tasso di parità se la
struttura di rendimento a scadenza del mercato é:
k
i (0, k ) = e 100 − 1.
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Chiaramente, il tasso di parità é uguale al TIR del flusso
relativo, quindi per calcolarlo possiamo usare la stessa tecnica.
Esercizio
Dato il BTp a 3 anni di valore di rimborso 100 euro,
determinare la cedola semestrale e il tasso di parità se la
struttura di rendimento a scadenza del mercato é:
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
i (0, k ) = e 100 − 1.
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Se I é la cedola semestrale da calcolare, e P il prezzo di
emissione, considerando anche l’istante t = 0, il BTp si scrive:
k
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Esercizio
Arsen Palestini
x/t =
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
= {−P , I , I , I , I , I , 100 + I }/{0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3}.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Esercizio
Arsen Palestini
x/t =
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
= {−P , I , I , I , I , I , 100 + I }/{0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3}.
Se calcoliamo il valore attuale delle poste in entrata del flusso
usando la struttura data, corrispondente ai prezzi
k2
v (0, k ) = e − 100 , lasciando indicata la cedola I , avremo:
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Esercizio
Arsen Palestini
x/t =
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
= {−P , I , I , I , I , I , 100 + I }/{0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3}.
Se calcoliamo il valore attuale delle poste in entrata del flusso
usando la struttura data, corrispondente ai prezzi
k2
v (0, k ) = e − 100 , lasciando indicata la cedola I , avremo:
h
i
1
1
9
1
25
I e − 400 + e − 100 + e − 400 + e − 25 + e − 400 +
9
+(100 + I )e − 100 = 100 ⇐⇒ I = 1, 489228 euro.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo VII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Esercizio
Quindi I é la cedola semestrale richiesta e inoltre
contemporaneamente abbiamo anche determinato il tasso di
parità, appunto iP = 1, 489228%.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo VII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esercizio
Quindi I é la cedola semestrale richiesta e inoltre
contemporaneamente abbiamo anche determinato il tasso di
parità, appunto iP = 1, 489228%.
In sintesi, abbiamo costruito un titolo quotato alla pari, ossia
con prezzo di emissione pari a prezzo di rimborso, secondo una
struttura dei rendimenti data dal mercato. Il bond ottenuto ha
prezzo di emissione 100 euro, paga 5 cedole semestrali di
1,489228 e allo scadere dei 3 anni ha un valore di rimborso di
101,489228 euro.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Struttura dei tassi e quotazione di un titolo VII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esercizio
Quindi I é la cedola semestrale richiesta e inoltre
contemporaneamente abbiamo anche determinato il tasso di
parità, appunto iP = 1, 489228%.
In sintesi, abbiamo costruito un titolo quotato alla pari, ossia
con prezzo di emissione pari a prezzo di rimborso, secondo una
struttura dei rendimenti data dal mercato. Il bond ottenuto ha
prezzo di emissione 100 euro, paga 5 cedole semestrali di
1,489228 e allo scadere dei 3 anni ha un valore di rimborso di
101,489228 euro.
Le informazioni sui tassi d’interesse del mercato sono
contenute all’interno di una determinata struttura dei tassi.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Il problema della misurazione (o meglio, del calcolo) della
struttura per scadenza dei tassi di interesse risulta un
problema di algebra lineare.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Il problema della misurazione (o meglio, del calcolo) della
struttura per scadenza dei tassi di interesse risulta un
problema di algebra lineare.
Al tempo t osserviamo sul mercato n titoli obbligazionari, non
necessariamente a cedola nulla.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Il problema della misurazione (o meglio, del calcolo) della
struttura per scadenza dei tassi di interesse risulta un
problema di algebra lineare.
Al tempo t osserviamo sul mercato n titoli obbligazionari, non
necessariamente a cedola nulla.
Indichiamo con t = {t1 , . . . , tm } lo scadenzario comune a
tutti i titoli, ottenuto come insieme unione degli n scadenzari
caratteristici dei singoli titoli.
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse I
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Il problema della misurazione (o meglio, del calcolo) della
struttura per scadenza dei tassi di interesse risulta un
problema di algebra lineare.
Al tempo t osserviamo sul mercato n titoli obbligazionari, non
necessariamente a cedola nulla.
Indichiamo con t = {t1 , . . . , tm } lo scadenzario comune a
tutti i titoli, ottenuto come insieme unione degli n scadenzari
caratteristici dei singoli titoli.
Indichiamo inoltre con xi = {xi1 , xi2 , . . . , xim } il flusso di
pagamenti generati dall’i-esimo titolo.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Nelle date dello scadenzario totale t in cui il titolo i-esimo non
emette pagamenti, il valore che viene immesso é 0.
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Nelle date dello scadenzario totale t in cui il titolo i-esimo non
emette pagamenti, il valore che viene immesso é 0.
Chiamiamo ora Ai = A(t, xi ), per i = 1, . . . , n, il prezzo del
titolo i-esimo osservato sul mercato al tempo t.
Il problema che ci si pone é quello di determinare gli m prezzi
(o fattori di sconto):
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
m
v (t, tk ) := vk
tali che
Ai =
∑ xij vj ,
i = 1, 2, . . . , n.
j =1
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse II
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Nelle date dello scadenzario totale t in cui il titolo i-esimo non
emette pagamenti, il valore che viene immesso é 0.
Chiamiamo ora Ai = A(t, xi ), per i = 1, . . . , n, il prezzo del
titolo i-esimo osservato sul mercato al tempo t.
Il problema che ci si pone é quello di determinare gli m prezzi
(o fattori di sconto):
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
m
v (t, tk ) := vk
tali che
Ai =
∑ xij vj ,
i = 1, 2, . . . , n.
j =1
Nel seguito chiameremo A e v i vettori:
A =t (A1 , . . . , An ),
Arsen Palestini
v =t (v1 , . . . , vm ).
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Indicheremo con X la matrice dei pagamenti, di n righe,
corrispondenti ai titoli, ed m colonne, corrispondenti alle
scadenze:
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Indicheremo con X la matrice dei pagamenti, di n righe,
corrispondenti ai titoli, ed m colonne, corrispondenti alle
scadenze:
X = (xij ),
i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse III
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Indicheremo con X la matrice dei pagamenti, di n righe,
corrispondenti ai titoli, ed m colonne, corrispondenti alle
scadenze:
X = (xij ),
i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Abbiamo un sistema lineare di n equazioni in m incognite, che
in forma matriciale é della forma:
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Xv = A.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Il rango della matrice, rank(X) individua il massimo numero di
flussi di pagamenti linearmente indipendenti tra loro. Invece,
la differenza n −rank(X) indica il numero di titoli che possono
essere considerati ridondanti, ossia il cui flusso si può ottenere
tramite una combinazione lineare di flussi di altri titoli.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse IV
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Il rango della matrice, rank(X) individua il massimo numero di
flussi di pagamenti linearmente indipendenti tra loro. Invece,
la differenza n −rank(X) indica il numero di titoli che possono
essere considerati ridondanti, ossia il cui flusso si può ottenere
tramite una combinazione lineare di flussi di altri titoli.
La presenza di titoli ridondanti, quindi ottenibili come
portafogli costruiti con gli altri titoli, puó dare luogo ad una
situazione in cui, se uno dei titoli é mal prezzato, ossia se la
sua quotazione non coincide con la combinazione lineare delle
quotazioni dei titoli che ne costituiscono il portafoglio, il
sistema di equazioni risulta incompatibile, ossia senza
soluzioni.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Se non ci sono soluzioni, non esiste un sistema di prezzi di
titoli unitari che possa soddisfare tutte le ipotesi del mercato,
e questo potrebbe portare ad una violazione del principio di
arbitraggio.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Se non ci sono soluzioni, non esiste un sistema di prezzi di
titoli unitari che possa soddisfare tutte le ipotesi del mercato,
e questo potrebbe portare ad una violazione del principio di
arbitraggio.
Se invece un titolo ridondante sia ben prezzato, allora
l’equazione associata non produce alcuna violazione delle
proprietà del mercato, ma non aggiunge alcuna condizione
nella determinazione della struttura di prezzi, come nei casi di
sistemi indeterminati, cioè con infinite soluzioni.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Se non ci sono soluzioni, non esiste un sistema di prezzi di
titoli unitari che possa soddisfare tutte le ipotesi del mercato,
e questo potrebbe portare ad una violazione del principio di
arbitraggio.
Se invece un titolo ridondante sia ben prezzato, allora
l’equazione associata non produce alcuna violazione delle
proprietà del mercato, ma non aggiunge alcuna condizione
nella determinazione della struttura di prezzi, come nei casi di
sistemi indeterminati, cioè con infinite soluzioni.
Assumiamo che in ogni caso n ≤ m, perchè in caso contrario
ci sarebbe la certezza di avere n − m titoli ridondanti.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Peró anche in questo caso, specialmente se m > n, il sistema
é indeterminato, ed é perciò possibile scegliere arbitrariamente
∞m−n diverse strutture per scadenza che non violano il
principio di arbitraggio.
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse V
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Peró anche in questo caso, specialmente se m > n, il sistema
é indeterminato, ed é perciò possibile scegliere arbitrariamente
∞m−n diverse strutture per scadenza che non violano il
principio di arbitraggio.
Invece, l’ipotesi che il sistema abbia soluzione coincide con
quella di completezza del mercato, che richiede che il numero
dei titoli non ridondanti sia uguale al numero di date sullo
scadenzario t.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Esempio
Calcoliamo la struttura per scadenza dei tassi d’interesse, a
pronti e a termine, in un mercato in cui al tempo t = 0 siano
trattati quattro titoli obbligazionari, caratterizzati dai flussi
seguenti:
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esempio
Calcoliamo la struttura per scadenza dei tassi d’interesse, a
pronti e a termine, in un mercato in cui al tempo t = 0 siano
trattati quattro titoli obbligazionari, caratterizzati dai flussi
seguenti:
titolo
titolo
titolo
titolo
1:
2:
3:
4:
{8, 8, 8, 108}/{1, 2, 3, 4},
{5, 5, 105}/{1, 2, 3},
{5, 105}/{1, 2},
{100}/{1},
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse VI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esempio
Calcoliamo la struttura per scadenza dei tassi d’interesse, a
pronti e a termine, in un mercato in cui al tempo t = 0 siano
trattati quattro titoli obbligazionari, caratterizzati dai flussi
seguenti:
titolo
titolo
titolo
titolo
1:
2:
3:
4:
{8, 8, 8, 108}/{1, 2, 3, 4},
{5, 5, 105}/{1, 2, 3},
{5, 105}/{1, 2},
{100}/{1},
ai prezzi:
A1 = 98 euro, A2 = 97 euro, A3 = 95 euro, A4 = 93 euro.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse VII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Esempio
Lo scadenzario comune é
t = {1, 2, 3, 4},
con tempi espressi in anni,
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse VII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esempio
Lo scadenzario comune é
t = {1, 2, 3, 4},
con tempi espressi in anni, e i flussi dei titoli, ridefiniti sullo
scadenzario comune, sono:
x1 = {8, 8, 8, 108},
x2 = {5, 5, 105, 0},
x3 = {5, 105, 0, 0},
x4 = {100, 0, 0, 0}.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse VIII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Esempio
Di conseguenza, la matrice 4 × 4 assume la forma:
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse VIII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Esempio
Di conseguenza, la matrice 4 × 4 assume la forma:


8
8
8 108
 5
5 105 0 


X=
.
 5 105 0
0 
100 0
0
0
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse IX
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esempio
Di conseguenza il sistema lineare da risolvere diventa:

 

98
v1
 v   97 

 2  
X
 =⇒
=
 v3   95 
93
v4






8v1 + 8v2 + 8v3 + 108v4 = 98


5v1 + 5v2 + 105v3 = 97




5v1 + 105v2 = 95




100v1 = 93
Arsen Palestini
.
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse X
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
Esempio
Tale sistema ammette un’unica soluzione in quanto
det(X) = (−108) · 105 · (−105) · 100 6= 0 ⇐⇒ rank (X) = 4.
Le soluzioni si calcolano facilmente:
(v1 , v2 , v3 , v4 ) = (0, 93, 0, 860476, 0, 838548, 0, 712664).
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse X
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esempio
Tale sistema ammette un’unica soluzione in quanto
det(X) = (−108) · 105 · (−105) · 100 6= 0 ⇐⇒ rank (X) = 4.
Le soluzioni si calcolano facilmente:
(v1 , v2 , v3 , v4 ) = (0, 93, 0, 860476, 0, 838548, 0, 712664).
La struttura dei tassi a pronti si ricava dalle relazioni:
ij =
1
vj
Arsen Palestini
ji
− 1, j = 1, 2, 3, 4.
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse XI
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Esempio
Applicando la formula precedente, si ha:
i1 =
1
− 1 = 0, 075268 ∼ 7, 52%,
0, 93
12
1
− 1 = 0, 078029 ∼ 7, 8%,
i2 =
0, 860476
13
1
i3 =
− 1 = 0, 060451 ∼ 6, 04%,
0, 838548
14
1
i4 =
− 1 = 0, 088375 ∼ 8, 83%.
0, 712664
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse XII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Esempio
La formula per la struttura a termine dei prezzi é:
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
v (0, k, k + 1) =
v (0, k + 1)
v
= k +1 ,
v (0, k )
vk
k = 1, 2, 3.
(4.1)
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse XII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Esempio
La formula per la struttura a termine dei prezzi é:
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
v (0, k, k + 1) =
v (0, k + 1)
v
= k +1 ,
v (0, k )
vk
k = 1, 2, 3.
(4.1)
v (0, 1, 2) =
v (0, 2)
0, 860476
=
= 0, 925243;
v (0, 1)
0, 93
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse XII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Esempio
La formula per la struttura a termine dei prezzi é:
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
v (0, k, k + 1) =
v (0, k + 1)
v
= k +1 ,
v (0, k )
vk
(4.1)
v (0, 1, 2) =
v (0, 2)
0, 860476
=
= 0, 925243;
v (0, 1)
0, 93
v (0, 2, 3) =
v (0, 3)
0, 838548
=
= 0, 974516;
v (0, 2)
0, 860476
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
k = 1, 2, 3.
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Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse XII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Esempio
La formula per la struttura a termine dei prezzi é:
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
v (0, k, k + 1) =
v (0, k + 1)
v
= k +1 ,
v (0, k )
vk
(4.1)
v (0, 1, 2) =
v (0, 2)
0, 860476
=
= 0, 925243;
v (0, 1)
0, 93
v (0, 2, 3) =
v (0, 3)
0, 838548
=
= 0, 974516;
v (0, 2)
0, 860476
v (0, 3, 4) =
v (0, 4)
0, 712664
=
= 0, 849878.
v (0, 3)
0, 838548
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
k = 1, 2, 3.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse XIII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Esempio
Infine, la struttura dei tassi impliciti risulta dall’applicazione di
(3.2):
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse XIII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
I prezzi degli
ZCB
Esempio
Infine, la struttura dei tassi impliciti risulta dall’applicazione di
(3.2):
i (0, 1, 2) =
1
− 1 = 0, 080797 ∼ 8, 07%;
0, 925243
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
La struttura a termine dei tassi d’interesse XIII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
Arsen Palestini
Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Esempio
Infine, la struttura dei tassi impliciti risulta dall’applicazione di
(3.2):
i (0, 1, 2) =
1
− 1 = 0, 080797 ∼ 8, 07%;
0, 925243
i (0, 2, 3) =
1
− 1 = 0, 02615 ∼ 2, 61%;
0, 974516
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
Arsen Palestini
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La struttura a termine dei tassi d’interesse XIII
Dispense di
Matematica
Finanziaria
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Titoli
obbligazionari e
dinamiche
elementari di
prezzo
Esempio
Infine, la struttura dei tassi impliciti risulta dall’applicazione di
(3.2):
i (0, 1, 2) =
1
− 1 = 0, 080797 ∼ 8, 07%;
0, 925243
i (0, 2, 3) =
1
− 1 = 0, 02615 ∼ 2, 61%;
0, 974516
I prezzi degli
ZCB
Prezzi a pronti
e prezzi a
termine
La
determinazione
della struttura
a termine dei
tassi d’interesse
i (0, 3, 4) =
1
− 1 = 0, 176639 ∼ 17, 66%.
0, 849878
Arsen Palestini
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