Le proporzioni e il calcolo percentuale

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SCHEDA
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Le proporzioni
e il calcolo
percentuale
Gli obiettivi didattici
Il metodo di studio
• Conoscere i concetti di proporzionalità diretta e inversa
• Conoscere il calcolo percentuale
• Saper applicare il calcolo percentuale
• Comprendi il concetto di proporzionalità diretta e inversa
• Comprendi l’impostazione della proporzione
e gli elementi che la compongono
• Comprendi il significato della percentuale
• Leggi, analizza e comprendi il testo di ogni
esercizio e le sue richieste
• Applica le regole generali alle singole situazioni
1
Le proporzioni
La proporzione è l’uguaglianza tra due rapporti e si esprime così:
medio
estremo
a : b = A : B
estremo
medio
oppure così:
a A
=
b B
ad esempio: 30 : 6 = 40 : 8 oppure
30 40
=
6
8
La proprietà fondamentale è che il prodotto dei medi (b × A) è uguale al prodotto
degli estremi (a × B):
b×A=a×B
6 × 40 = 30 × 8
Da questo si ottiene che se uno dei termini è sconosciuto (incognita), lo si può ricavare applicando le seguenti regole:
a) se è incognito (x) il termine medio, si calcola il prodotto degli estremi e lo si divide
per il medio conosciuto:
a×B
x=
a:x=A:B
A
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b) se è incognito (x) il termine estremo, si calcola il prodotto dei medi e lo si divide
per l’estremo conosciuto:
b×A
x=
a:b=A:x
a
Ad
ced
Pl
Sc
Proporzionalità diretta
Due grandezze variabili e dipendenti sono direttamente proporzionali quando al
raddoppiare, triplicare ecc. dell’una, l’altra raddoppia, triplica ecc.
Ad esempio, se un chilogrammo di pane costa 2 euro, 2 chilogrammi di pane costeranno 4 euro, cioè:
1 kg
2 euro
2 kg
4 euro
do
(gr
sco
Ris
seguendo le frecce, possiamo impostare la corretta proporzione 1 : 2 = 2 : 4
Proporzionalità inversa
Due grandezze variabili e dipendenti sono inversamente proporzionali quando al
raddoppiare, triplicare ecc. dell’una, l’altra si dimezza, si riduce di un terzo ecc.
Ad esempio, se un alunno commette 2 errori gli verranno dati 10 punti, se commetterà 4 errori avrà 5 punti, cioè:
10 punti
2 errori
5 punti
4 errori
Pr
Èi
per
Ad
con
goz
seguendo le frecce, possiamo impostare la corretta proporzione 10 : 5 = 4 : 2
2
I calcoli percentuali
Se le grandezze che variano proporzionalmente sono riferite a 100 si parla di calcolo
percentuale. Ad esempio, uno sconto pari al 2% del prezzo di listino di un prodotto
indica che ogni 100 euro di prezzo di listino si ottiene uno sconto di 2 euro.
Per eseguire un calcolo percentuale si deve impostare e risolvere la seguente proporzione:
a:b=A:B
dove:
• a deve essere della stessa natura di A, mentre b deve essere della stessa natura di B;
• a e b rappresentano le grandezze riferite a 100;
• A e B rappresentano le grandezze complessive.
Ris
Pr
Èi
en
Ad
9e
Problema diretto: ricerca del valore percentuale complessivo
È il caso in cui si vuole determinare una percentuale di una determinata grandezza
complessiva.
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ide
Ad esempio, su un maglione che ha un prezzo di listino di 80 euro un negoziante concede uno sconto del 2%. Vogliamo conoscere l’importo in euro dello sconto.
Pl = prezzo di listino
Sc = sconto
100 : 2 = 80 : x
al
te-
7
Pl
Sc
Pl
Sc
dove 2% indica che ogni 100 euro di prezzo di listino si ha uno sconto di 2 euro
(grandezze riferite a 100), 80 euro è il prezzo di listino (grandezza complessiva), x è lo
sconto (valore percentuale complessivo).
Risolvendo la proporzione, abbiamo:
x=
2 × 80
= 1, 6 euro
100
Problema inverso: ricerca della ragione percentuale
al
te-
olo
tto
ne:
;
zza
È il caso in cui si conosce il valore percentuale complessivo e non si conosce la ragione
percentuale.
Ad esempio, su un maglione che ha un prezzo di listino di 150 euro un negoziante ha
concesso uno sconto di 15 euro. Vogliamo determinare la percentuale di sconto che il negoziante ha concesso.
100 : x = 150 : 15
Pl
Pl
Sc
Sc
Risolvendo la proporzione, abbiamo:
x=
15 × 100
= 10%
150
Problema inverso: ricerca della grandezza complessiva
È il caso in cui si conoscono il valore percentuale complessivo e la ragione percentuale
e non si conosce la grandezza complessiva su cui calcolare la percentuale.
Ad esempio, un negoziante ha concesso sul prezzo di listino di un maglione uno sconto di
9 euro applicando una percentuale del 10%. Vogliamo determinare il prezzo di listino.
100 : 10
Pl
Sc
= x
: 9
Pl
Sc
Risolvendo la proporzione, abbiamo:
x=
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9 × 100
= 90
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I calcoli sopra cento
Si usa il calcolo sopra cento quando si vuole determinare direttamente una somma
aumentata di una certa percentuale. La proporzione da impostare è questa:
Si
dim
a : (a + b) = A : (A + B)
100 + r
100
Vc + Vp
Vc
Vc = valore complessivo
Vp = valore percentuale complessivo
r = tasso percentuale
Vc
Vp
r
Calcolo sopra cento diretto
Ca
Nel calcolo sopra cento diretto l’incognita è rappresentata da (A + B).
Ad esempio, il peso netto di una merce è di 15 quintali e la tara è il 3% del peso netto
(significa che ogni 100 quintali di peso netto si ha una tara di 3 quintali). Vogliamo
determinare il peso lordo.
Sapendo che peso lordo (Pl ) = peso netto (Pn) + tara, impostiamo la proporzione:
Ne
Ad
con
pre
pre
100 : (100 + 3) = 15 : x
Pn
Pl
Pn
Pl
Risolvendo la proporzione, abbiamo
x=
Ris
15 × 103
= 15, 45
100
Calcolo sopra cento inverso
Ca
Nel calcolo sopra cento inverso le incognite sono rappresentate da A e B.
Ad esempio, un negoziante vende una merce a un prezzo di vendita di 1 500 euro
(Pv), dopo aver effettuato un ricarico del 10% sul prezzo di acquisto (Pa) (significa
che ogni 100 di prezzo d’acquisto il negoziante applica un ricarico di 10). Vogliamo
determinare qual era il prezzo di acquisto.
Ne
Ad
ces
no
100 : (100 + 10) = x : 1 500
Pa
Pv
Pa
Risolvendo la proporzione, abbiamo:
x=
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1 500 × 100
= 1 363, 64
110
Pv
Ris
ma
tto
mo
uro
ica
mo
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I calcoli sotto cento
Si usa il calcolo sotto cento quando si vuole determinare direttamente una somma
diminuita di una certa percentuale. La proporzione da impostare è questa:
a
: (a − b)
100
100 − r
=
: (A − B )
A
Vc − Vp
Vc
Vc = valore complessivo
Vp = valore percentuale complessivo
r = tasso percentuale
Calcolo sotto cento diretto
Nel calcolo sotto cento diretto l’incognita è rappresentata da (A − B ).
Ad esempio, un negoziante vende una merce il cui prezzo di listino (Pl ) è di 200 euro
concedendo uno sconto del 5% del prezzo di listino (significa che ogni 100 euro di
prezzo di listino il negoziante concede uno sconto di 5 euro). Vogliamo determinare il
prezzo scontato (Psc), cioè la somma effettivamente riscossa dal negoziante.
100 : (100 − 5) = 200 : x
Pl
Pl
Psc
Psc
Risolvendo la proporzione, abbiamo:
200 × 95
= 190
100
x=
Calcolo sotto cento inverso
Nel calcolo sotto cento inverso le incognite sono rappresentate da A e B.
Ad esempio, un negoziante vende una merce al prezzo (Psc) di 190 euro, dopo aver concesso uno sconto del 5% del prezzo di listino (Pl ) (significa che ogni 100 di prezzo di listino il negoziante concede uno sconto di 5 euro). Vogliamo determinare il prezzo di listino.
100 : (100 − 5) = x : 190
Pl
Psc
Pl
Risolvendo la proporzione, abbiamo:
x=
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190 × 100
= 200
95
Psc
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VERIFICA DELL’APPRENDIMENTO
Calcoli percentuali diretti
1 Il signor Rossi vende la merce A avente un prezzo pari a 1 200 euro, concedendo uno sconto
C
1
del 10% del prezzo di listino. Determina la somma riscossa.
2 Un commerciante acquista 4 tonnellate lorde di merce Z (tara 4% del peso lordo) al prezzo
di 30 euro il chilogrammo netto. Il costo dell’imballaggio è di 0,15 euro il chilogrammo. Determina:
• il costo totale d’acquisto, sapendo che il commerciante ottiene uno sconto del 10% sul prezzo;
• il prezzo di vendita, sapendo che il commerciante ha applicato un ricarico del 30% del costo.
1
1
3 Un commerciante vende 60 quintali di merce al prezzo di 10 euro il quintale con le seguenti
condizioni di pagamento: il 30% prima della consegna con una riduzione del 5%; il 50% alla consegna a prezzo pieno e la parte restante a 60 giorni con una maggiorazione del 6%.
Determina la somma spesa complessivamente dal cliente.
C
1
4 I ricavi di un’azienda ammontano a 450 000 euro. A quanto ammontano i costi sapendo che
sono l’80% dei ricavi?
Calcoli percentuali inversi
5 Un commerciante acquista la merce a 1 850 euro e la rivende a 2 100 euro. A quanto am-
1
monta la percentuale di ricarico rispetto al costo?
6 Un risparmiatore dopo un anno ottiene un interesse del 7% pari a 80 euro. A quanto ammontava il capitale su cui è maturato l’interesse?
7 Un commerciante acquista 150 quintali di merce A. Dopo un periodo di tempo la merce subisce un calo e il suo peso scende a 140 quintali. A quanto ammonta la percentuale di calo
rispetto al peso iniziale?
Calcoli sopra cento diretti
8 Il peso netto di una merce è di 150 quintali. Sapendo che la tara è il 2% del peso netto, determina il peso lordo.
9 Il prezzo di acquisto di una merce è di 1 250 euro. Determina il prezzo di vendita sapendo
che il venditore applica un ricarico del 25%.
10 Un risparmiatore ottiene su una somma di 5 000 euro un interesse del 5%. Determina il
montante (capitale + interesse).
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o
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VERIFICA DELL’APPRENDIMENTO
Calcoli sotto cento diretti
11 Il peso lordo di una merce è di 200 quintali. Sapendo che la tara è il 3% del peso lordo, determina il peso netto.
o
-
12 Il commerciante Conti vende una partita di merce di 12 000 euro e applica uno sconto del
;
.
13 Il peso di una partita di merce alla partenza è di 25 tonnellate; durante il viaggio subisce un
i
.
e
-
-
o
15%. Determina la somma riscossa.
calo pari al 5% del peso alla partenza. Determina il peso all’arrivo.
Calcoli sopra cento e sotto cento inversi
14 Un negoziante acquista una partita di merce a 3 150 euro avendo ottenuto uno sconto di
350 euro sul prezzo di listino. Calcola:
• il prezzo di listino;
• la percentuale di sconto;
• il prezzo a cui deve essere venduta la merce per ottenere un guadagno pari al 20% del ricavo.
15 Il signor Bianchi acquista le seguenti partite di merci:
• 160 quintali lordi di merce A al prezzo di 15 euro il quintale netto, tara 2% del peso
netto;
• 12 tonnellate nette di merce B al prezzo di 2 euro il quintale lordo, tara 3% del peso
lordo.
Calcola la somma spesa dal signor Bianchi.
16 Un commerciante spedisce a un cliente una merce dal peso netto di 350 quintali, la tara è il
4% del peso lordo. Durante il viaggio la merce subisce un calo del 3% del peso lordo alla
partenza. Determina:
• il peso netto all’arrivo;
• il ricavo di vendita, considerando che il commerciante ha applicato un prezzo di vendita
di 7 euro il chilogrammo netto giunto a destino.
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