cose di matematica - D`Alessandro

“Cose di Matematica “
“ COSE DI MATEMATICA “
RACCOLTA DI PROCEDIMENTI RISOLUTIVI DI PROBLEMI
ARITMETICI E GEOMETRICI
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
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“Cose di Matematica “
La matematica è una disciplina difficile e spesso tanto odiata, lo so!!!! Con questa mia raccoltaguida spero di fornire agli alunni interessati e volenterosi un valido aiuto nella risoluzione dei
problemi. Prima di sfogliare la raccolta,soffermatevi su alcuni consigli pratici per come studiare la
matematica.
CONSIGLI PRATICI PER COME STUDIARE LA MATEMATICA
Premessa:
 La matematica fornisce strumenti essenziali per molti settori della scienza e della tecnologia.
E, quindi,studiare la matematica vuol dire stare al passo coi tempi.
 La matematica concorre alla formazione dello studente in quanto favorisce l’abitudine
all’analisi e alla sintesi,sviluppa la capacità di ragionamento coerente ed
argomentato,favorisce ed educa l’intuizione e la fantasia stimolando lo spirito critico.
 Lo studio della matematica richiede impegno e partecipazione attiva.
Il lavoro a scuola:
 Ascoltare cercando di riconoscere i punti essenziali dello schema della lezione che
l’insegnante sta svolgendo e porre attenzione ai passaggi e ai connettivi logici per cogliere
la struttura del ragionamento.
 Prendere appunti perché aiuta a concentrarsi e facilita l’ascolto. Gli appunti saranno tanto
più facili da prendere e più rigorosi quanto più ti impegnerai ad imparare il significato dei
termini e dei numerosi simboli convenzionali che l’insegnante usa continuamente. Se
l’argomento è svolto interamente nel libro di testo è interesse dello studente fissare solo lo
schema, mentre è sempre importante riportare con cura gli esercizi svolti in classe che
normalmente rappresentano esercizi-tipo e possono essere utilizzati in fase di studio, per
riconoscere le situazioni più significative. Se, invece, il testo o non riporta, o riporta solo
parzialmente l’argomento svolto, gli appunti dovranno essere più rigorosi anche se sempre
schematici. In essi devono essere riportate le definizioni dei concetti fondamentali e le
proprietà fondamentali (con le relative dimostrazioni se vengono svolte ).E’ importante
seguire l’insegnante con attenzione e chiedere di ripetere una definizione o un concetto che
non si è riusciti a riportare negli appunti con esattezza. L’insegnante di matematica scriverà
spesso alla lavagna durante la spiegazione. Nel prendere appunti ricorda di annotare non
solo quello che viene scritto, ma anche quello che viene detto: sono generalmente i dettagli
che ti permetteranno di capire proprio i passaggi più difficili o i nessi logici meno evidenti
oppure i consigli per evitare gli errori più frequenti.
 Seguire le esercitazioni svolte in classe perché possono essere di aiuto per il successivo
lavoro domestico di rielaborazione degli appunti, di ripasso e di svolgimento delle
esercitazioni assegnate. Gli esercizi in classe possono servire come:
rinforzo alla acquisizione degli strumenti fondamentali
completamento delle spiegazioni degli argomenti nuovi
collegamento tra argomenti diversi.
 Seguire le interrogazioni con attenzione perché costituiscono un momento di ripasso,
possono confermare o completare lo schema di riferimento già acquisito nel lavoro
domestico.
Il lavoro a casa
 Repetita iuvant: “E’ necessario che lo studio sia regolare”. Per lo studio dell’argomento
spiegato in classe dovrai:
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 ripercorrere la spiegazione dell’insegnante confrontando gli appunti con la teoria
esposta nel libro di testo, evidenziando eventuali difformità per le quali dovrai
chiedere spiegazioni al docente
 ripetere la risoluzione degli esercizi risolti in classe come esempi e gli eventuali
esercizi guidati del libro di testo
 risolvere gli esercizi assegnati.
I tuoi obiettivi dovranno essere:
 memorizzare le definizioni e chiarire i concetti;
 mettere in evidenza i punti critici e cercare di chiarirteli;
 porre impegno a ricostruire il percorso logico;
 memorizzare/applicare concetti e metodi;
 prendere nota delle richieste di chiarimenti.
 Il ripasso: E’ importante la memorizzazione degli strumenti operativi per la buona riuscita
delle applicazioni.
 Il libro di testo: Il libro di testo è diviso in due parti: la parte dedicata alla acquisizione della
teoria che deve servire per l’individuazione precisa delle definizioni e delle proprietà la cui
memorizzazione deve essere accurata e mantenuta nel tempo. La parte dedicata alle
applicazioni che deve essere utilizzata per verificare tutto il percorso già seguito in classe e
per favorire il lavoro di assimilazione di definizioni e proprietà.
 L’esercitazione: Prima di avviare la risoluzione di un esercizio:
 verifica di conoscere la teoria cui è riferito;
 controllane l’esatta trascrizione del testo ;
 leggi con attenzione consegne, dati e premesse;
 creati uno schema di risoluzione individuando, ad ogni passaggio, la priorità delle
operazioni da eseguire.
Impegnati per arrivare all’esatto risultato con un controllo scrupoloso dell’esattezza sia del
percorso risolutivo che del calcolo. Se i risultati sono errati ripercorri a ritroso il percorso
risolutivo per vedere prima se ci sono errori di calcolo letterale o numerico, di distrazione
oppure di impostazione teorica (quest'ultimo tipo di attività è fondamentale perché la
scoperta di un'errata applicazione della teoria impone di rivedere criticamente la stessa
per comprenderla più chiaramente). Se i risultati sono esatti, esplora la possibilità di
percorrere vie alternative di risoluzione, magari cambiando punto di vista concettuale,
oppure, osservando la soluzione ottenuta, vedere se era un caso in cui era persino
possibile una soluzione a colpo d'occhio. Ricorda che quella indicata non è una sequenza
da seguire rigidamente, ma caso per caso un'operazione può essere tralasciata o
diventare fondamentale, si impara con l'esercizio.
Qualche consiglio
Chiedi sempre ai compagni o all’insegnante la verifica degli esercizi non riusciti. Nessuno
sa risolvere tutti i problemi e tutti ne sanno risolvere qualcuno, pertanto bisogna imparare
ad insistere di fronte a quei problemi che sembrano di difficile risoluzione, magari
ritornandoci sopra qualche giorno dopo, per provare almeno qualche volta la
soddisfazione di averli risolti e rinforzare così la propria autostima. Ricorda che ... in
matematica ci sono anche problemi che non si possono risolvere. Il grafico che segue
sintetizza quanto esposto; ricorda che per un positivo percorso di studio la qualità
dell’esercitazione da te svolta è essenziale: dovrai, quindi, elaborare un tuo personale
schema di lavoro.
Buona matematica a tutti!
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RACCOLTA DI PROCEDIMENTI RISOLUTIVI DI PROBLEMI
ARITMETICI E GEOMETRICI
Per risolvere un PROBLEMA si deve:




Leggere attentamente il TESTO del problema.
Individuare i DATI del problema,cioè le informazioni contenute nel problema stesso.
Individuare le INCOGNITE,cioè ciò che si deve calcolare.
Impostare il PROCEDIMENTO del problema,cioè stabilire quali operazioni si devono
eseguire e in quale ordine.
 Effettuare i CALCOLI per giungere al risultato.
La successione delle operazioni da eseguire per risolvere un problema si dice ALGORITMO del
problema.
A volte può capitare che in un problema ci siano DATI NASCOSTI,cioè non espressi da numeri
(una dozzina di uova che corrisponde a 12;Claudia ha il doppio degli anni di Marco che vuol dire
che bisogna moltiplicare gli anni di Marco per due;angoli supplementari che vuol dire che la loro
somma è 180° ecc …).
Un PROBLEMA può essere risolto con metodi diversi.
In tutti i metodi proposti,nell'analisi del problema,si distingueranno due fasi. Una prima fase detta
TOP – DOWN (dall'alto verso il basso) consiste nel partire dalla fine,cioè dall'incognita. Fissando
l'obiettivo da raggiungere e scendendo verso il basso si suddivide logicamente il problema in
procedimenti più semplici,fino ad incontrare i dati. Con questa fase si individua un percorso
risolutivo,con formule e procedimenti,si formulano ipotesi e si pongono delle domande,in
successione:
 quali valori servono per calcolare il risultato finale?
 conosco questi valori?
 se non li conosco,quali valori servono per calcolarli?
 e così via per fasi successive.
La seconda fase è quella risolutiva. Percorrendo a ritroso,percorso BOTTOM –UP (dal basso verso
l'alto) si eseguono i calcoli corrispondenti per giungere al risultato richiesto e quindi all'obiettivo
finale del problema.
I calcoli per giungere al risultato si eseguiranno procedendo dal basso verso l’alto seguendo
la FRECCIA.
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METODO TRADIZIONALE
Problema : Il signor Rossi compera 7 dozzine di uova e spende 18 euro. Poiché 14 uova si
rompono,si chiede a quanto dovrà rivendere ciascun uovo rimasto affinché possa realizzare un
guadagno di 3 euro.
DATI
INCOGNITE
Uova = 7 dozzine
ricavo per la vendita di un uovo ?
Spesa = 18 euro
Uova rotte = 14
Guadagno = 3 euro
1)
2)
3)
4)
PROCEDIMENTO
ricavo unitario = ricavo complessivo : n° uova rimaste
ricavo complessivo = G + S =
n° uova rimaste = 7 dozzine – uova rotte
1 dozzina = 12 uova
CALCOLI
= 21 : 70 = 0,30 euro
= 18 +3 = 21 euro
= 7x12 – 14 = 84- 14 = 70
METODO DELLE ESPRESSIONI
Lo stesso problema può essere risolto con una espressione:
( 18+3 ) : ( 7x12 – 14 ) =
ricavo
n° uova
complessivo vendute
21
:
70
= 0,30 euro
METODO GRAFICO
RICORDA
Sia in geometria che in aritmetica si parla spesso di GRANDEZZE, ma cosa
sono? Per GRANDEZZA s’intende tutto ciò che si può misurare ( l’età di
una persona,il peso di un oggetto, la lunghezza di una strada,la capacità di un
recipiente,l’ampiezza di un angolo,ecc…).
MISURARE UNA GRANDEZZA significa confrontarla con una grandezza
“ campione” omogenea,cioè della stessa specie,detta UNITA’ DI MISURA,
e stabilire quante volte quest’ultima è contenuta nella grandezza data. Così,
per esempio, se scegliamo il segmento u come unità di misura,diremo che
la lunghezza di AB disegnato qui sotto è 6 u perché l’unità di misura è
contenuta in esso 6 volte.
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1° TIPO DI PROBLEMA
Si conosce la somma di due grandezze e la misura di una;trovare il valore della grandezza
mancante ( INCOGNITA).
Ricorda che: a+b = somma
a = somma – b
Problema: La somma di due segmenti misura cm 18 e uno è di cm 7.Trova la misura
dell'altro segmento.
DATI
INCOGNITE
AB + CD = 18 cm (AD)
CD = 7 cm
AB?
PROCEDIMENTO
AB = SOMMA – CD =
CALCOLI
AB = 18 – 7 = 11 cm
2° TIPO DI PROBLEMA
Si conosce la differenza di due grandezze e la misura di una;si vuole trovare il valore della
grandezza mancante (INCOGNITA).
Ricorda che: Minuendo – Sottraendo = Differenza
Minuendo = Differenza + Sottraendo
Sottraendo = Minuendo – Differenza
Problema: La differenza di due numeri è 5 e il maggiore è 12. Trova il numero minore.
DATI
INCOGNITE
a–b=5
a = 12
b?
PROCEDIMENTO
b = a – differenza =
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CALCOLI
b = 12 – 5 = 7
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Problema: La differenza di due segmenti è cm 4 e il minore misura cm 16. Quanto misura il
segmento maggiore?
DATI
INCOGNITE
Differenza = AB – CD = 4 cm ( DE)
CD = 16 cm
AB?
PROCEDIMENTO
AB = differenza + CD =
CALCOLI
AB = 4 + 16 = 20 cm
3° TIPO DI PROBLEMA
Si conosce la somma di due o più grandezze e che una grandezza è multipla o sottomultipla
dell'altra o delle altre secondo un certo valore. Trovare il valore delle grandezze.
Si procede così:
- Si trova quante volte la grandezza minore è contenuta nella somma ( n° delle unità);
- Si divide la somma per tale numero e si trova il valore della grandezza minore
(denominata u);
- Si moltiplica il valore della grandezza minore ( u ) per le volte che è contenuta nella
maggiore e si trova il valore della grandezza più grande.
Problema: La somma di due numeri è 24. Sapendo che uno è il triplo dell'altro,trova i due
numeri.
DATI
a + b = 24
b = 3a
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INCOGNITE
a?
b?
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PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
a = 1u x 1 =
b = 1u x 3 =
1u = somma : n° unità
n° unità = 1 + 3 = 4
CALCOLI
a=6x1=6
b = 6 x 3 = 18
1u = 24 : 4 = 6
n° unità = 4
Problema:La somma di tre segmenti è 70 cm. Il secondo è triplo del primo e il terzo è doppio
del secondo. Calcola la misura dei tre segmenti.
DATI
AB+CD+EF = 70 cm
CD = 3 AB
EF = 2 CD
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
AB = 1u x 1 =
CD = 1u x 3 =
EF = 1u x 6 =
1u = somma : n° unità
n° unità = 1+3+6 = 10
INCOGNITE
AB ?
CD ?
EF ?
CALCOLI
AB = 7 x 1 = 7 cm
CD = 7 x 3 = 21 cm
EF = 7 x 6 = 42 cm
1u = 70 : 10 = 7 cm
n° unità = 10
Problema: La somma di due angoli è 80° e uno è 1/4 dell'altro. Calcola le ampiezze dei due
angoli.
DATI
α + β = 80°
α = 1/4 β
INCOGNITE
equivale a dire che β = 4α
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α?
β?
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PROCEDIMENTO
1) α = 1u x 1 =
2) β = 1u x 4 =
3) 1u = somma : n° unità
4) n° unità = 1+ 4 = 5
CALCOLI
α = 16 x 1 = 16°
β = 16 x 4 = 64°
1u = 80° : 5 = 16°
n° unità = 5
4° TIPO DI PROBLEMA
Si conosce la differenza di due grandezze e una è multipla o sottomultipla dell'altra secondo
un certo valore. Trovare il valore delle due grandezze.
Si procede così:
- Si trova quante volte la grandezza minore è contenuta nella differenza (n° unità).
- Si divide la differenza per tale numero e si trova il valore della grandezza minore
(denominata u).
- Si moltiplica il valore della grandezza minore (u) per le volte che è contenuta nella
maggiore e si trova il valore della grandezza più grande.
Problema: La differenza tra due numeri è 400 cm e uno è il triplo dell'altro. Trova i due
numeri.
DATI
b – a = 400
b = 3a
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INCOGNITE
a?
b?
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PROCEDIMENTO
1) a = 1u x 1 =
2) b = 1u x 3 =
3) 1u = differenza : n°unità
4) n° unità = 3 – 1 = 2
CALCOLI
a = 200 x 1 = 200
b = 200 x 3 = 600
1u = 400 : 2 = 200
n° unità = 2
5° TIPO DI PROBLEMA
Si conosce la somma e la differenza di due grandezze. Trovare il loro valore.
Si procede così:

dalla somma si sottrae la differenza e si trova così il doppio della grandezza minore

si divide per due il risultato trovato e si trova il valore della grandezza minore

alla somma si addiziona la differenza e si trova il doppio della grandezza maggiore

si divide per due il risultato trovato e si trova il valore della grandezza maggiore
equivale a dire : ( S + D ) : 2
grandezza maggiore
(S–D ):2
grandezza minore
Problema: La somma di due segmenti è 126 cm e la loro differenza di 22 cm. Trova la
misura dei due segmenti.
DATI
AB + CD = 126 cm
AB – CD = DE = 22 cm
PROCEDIMENTO
1)
2)
AB = ( S + D ) : 2 =
CD = ( S – D ) : 2 =
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INCOGNITE
AB ?
CD ?
CALCOLI
AB = ( 126 + 22 ) : 2 = 148 : 2 = 74 cm
CD = ( 126 – 22 ) : 2 = 104 : 2 = 52 cm
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6° TIPO DI PROBLEMA
Si conosce la somma di due grandezze e che una supera l'altra di un certo valore.
Si procede come nel 5° tipo
Problema: La somma di due angoli è 100° e uno supera l'altro di 20°. Calcola le ampiezze
dei due angoli. (Dire che uno supera l'altro di 20° significa che la loro differenza
è di 20°).
DATI
α + β = 100°
INCOGNITE
α?
β = α + 20° cioè β – α = 20° (diff. tra le ampiezze dei due angoli)
PROCEDIMENTO
1)
β=(S+D):2=
oppure β = α + 20° =
2)
α=(S–D):2=
β?
CALCOLI
β = ( 100° + 20°) : 2 = 60°
oppure β =40° + 20° = 60°
α = ( 100° - 20° ) : 2 = 40°
Problema: Un padre e un figlio hanno complessivamente 52 anni. Sapendo che il padre
supera di 7 anni il doppio dell'età del figlio,calcola le due età.( Vuol dire che
tra il doppio dell'età del padre e l'età del figlio c'è la differenza di 7 anni).
DATI
INCOGNITE
P + F = 52 anni
P?
P = 2F + 7 anni cioè P – 2F = 7 anni(differenza)
F?
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PROCEDIMENTO
CALCOLI
1)
P = 2F + 7 =
P = 2 x 15 + 7 = 30 +7 = 37 anni
2)
F=(S–D):3=
F = ( 52 – 7 ) : 3 = 45 : 3 = 15 anni
Problema: La somma di tre segmenti misura 326 cm. Se il primo supera il secondo di
36 cm e il secondo supera il terzo di 40 cm, quanto misura ciascun segmento?
DATI
AB +CD + EF = 326 cm
AB = CD + 36 cm
CD = EF + 40 cm

se alla somma si sottraggono le differenze,si ha il triplo del segmento più
corto;dividendo per tre si ottiene la misura del segmento più corto.
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
INCOGNITE
AB ?
CD ?
EF ?
AB = CD + 36 cm =
CD = EF + 40 cm =
EF = ( S – D ) : 3 =
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CALCOLI
AB = 110 + 36 = 146 cm
CD = 70 + 40 = 110 cm
EF = ( 326 – 36 – 40 – 40 ) : 3 = 210 : 3 = 70 cm
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PROBLEMI CON LE FRAZIONI
1° TIPO – Problemi diretti
Si dice problema diretto un problema in cui si conosce il valore dell'intero e si vuole trovare
una o più parti dello stesso.
Si procede così:
- Si divide il valore dell'intero per il valore del DENOMINATORE e si trova il valore
dell'unità frazionaria.
- Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il NUMERATORE e si trova la parte.
Problema: Un segmento AB misura 60 cm. Calcola la misura del segmento CD che è 3/4
di AB.
DATI
AB = 60 cm
CD = 3/4 AB
PROCEDIMENTO
1) CD = 1u x 3 =
2) 1u = AB : 4 =
INCOGNITA
CD ?
CALCOLI
CD = 15 x 3 = 45 cm
1u = 60 : 4 = 15 cm ( unità frazionaria 1/4)
Problema: Francesco ha 9 anni. Maria,la sorella,ha 2/3 dei suoi anni. Quanti anni ha
Maria?
DATI
Francesco = 9 anni
Maria = 2/3 di Francesco
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INCOGNITA
Età di Maria ?
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PROCEDIMENTO
1) M = 1u x 2 =
2) 1u = F : 3 =
CALCOLI
M = 3 x 2 = 6 anni
1u = 9 : 3 = 3 anni ( unità frazionaria 1/3)
Problema: Un segmento AB è lungo 18 cm. Calcola la misura di un altro segmento CD che
sia lungo i 9/2 di AB.
DATI
AB = 18 cm
CD = 9/2 di AB
PROCEDIMENTO
1) CD = 1u x 9 =
2) 1u = AB : 2 =
INCOGNITA
CD ?
CALCOLI
CD = 9 x 9 = 81 cm
1u = 18 : 2 = 9 cm ( unità frazionaria 1/2)
2° TIPO – Problemi inversi
Si dice problema inverso un problema in cui si vuole calcolare il valore dell'intero
conoscendo il valore di una o più parti dello stesso.
Si procede così :
- Si divide il valore della parte per il NUMERATORE e si trova il valore dell'unità
frazionaria.
- Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il DENOMINATORE e si trova il valore
dell'intero.
Problema: Un segmento AB è lungo 30 cm ed esso è i 2/5 di un altro segmento CD.
Quanto misura CD?
DATI
AB = 30 cm
AB = 2/5 CD
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INCOGNITA
CD ?
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PROCEDIMENTO
1) CD = 1u x 5 =
2) 1u = AB : 2 =
CALCOLI
CD = 15 x 5 = 75 cm
1u = 30 : 2 = 15 cm (unità frazionaria 1/5)
Problema: Un automobilista percorre 200 Km,che corrispondono ai 4/7 del viaggio che
deve percorrere per andare da Milano a Pisa. Quanti chilometri è lungo l'intero
tragitto?
DATI
AB = 200 Km
AB = 4/7 MP
PROCEDIMENTO
1) MP = 1u x 7 =
2) 1u = AB : 4 =
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INCOGNITA
MP ?
CALCOLI
MP = 50 x 7 = 350 Km
1u = 200 : 4 = 50 Km
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3° TIPO – Problemi con la somma
Si conosce la somma di due grandezze e che una è una data frazione dell'altra.
Si procede così:
- Si somma N e D,trovando così le parti di cui è costituita la somma ( n° unità).
- Si divide il valore della somma per il risultato precedente e si trova l'unità
frazionaria ( u ).
- Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il N e per il D e si trova la misura delle
due grandezze.
Problema: La somma di due numeri è 56 e uno è 3/4 dell'altro. Calcola il valore dei due
numeri.( Indica i due numeri con x e y ).
DATI
x + y = 56
x = 3/4 y
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
x = 1u x 3 =
y = 1u x 4 =
1u = somma : n°u
n°u = 3 +4 = 7
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INCOGNITE
x?
y?
CALCOLI
x = 8 x 3 = 24
y = 8 x 4 = 32
1u = 56 : 7 = 8 (unità frazionaria 1/4 b)
n°u = 7 ( N + D )
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Problema: La somma di due angoli è 180°( oppure due angoli sono supplementari) e uno è
3/5 dell'altro. Calcola l'ampiezza dei due angoli.
DATI
α + β = 180°
α = 3/5 β
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
α = 1u x 3 =
β = 1u x 5 =
1u = somma : n°u
n°u = 3 + 5 = 8
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INCOGNITE
β?
α?
CALCOLI
α = 22°30' x 3 = 67°30'
β = 22°30' x 5 = 112°30'
1u = 180 : 8 = 22°30'(unità frazionaria 1/5 β)
n°u = 8 (N+D)
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4° TIPO – Problemi con la differenza
Si conosce la differenza di due grandezze e che una e una frazione dell'altra.
Si procede così:
- Si sottrae dal D il N o viceversa,trovando così le parti di cui è costituita la
differenza (n°unità).
- Si divide il valore della differenza per il risultato precedente e si trova l'unità
frazionaria ( u ).
- Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il N e il D e si trova il valore delle due
grandezze.
Problema: Un segmento CD è 3/8 del segmento AB. Trova la misura dei due segmenti
sapendo che la loro differenza è 80 cm.
DATI
CD – AB = 80 cm
AB = 3/8 CD
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
CD = 1u x 3 =
AB = 1u x 8 =
1u = differenza : n° u
n° u = 8 – 3 = 5
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
AB ?
CD ?
CALCOLI
CD = 16 x 3 = 48 cm
AB = 16 x 8 = 128 cm
1u = 80 : 5 = 16 cm(unità frazionaria 1/8 AB)
n°u = 5 ( D – N )
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5°TIPO – Reticolo
A – Si conosce il rapporto frazionario tra la base e l'altezza di un rettangolo o di un
parallelogramma e si conosce l'area. Si vuole trovare la misura dell'altezza e della base.
Si procede così :
- Si trova il numero dei quadratini,avente come lato l'unità frazionaria,in cui si può
scomporre l'area del quadrilatero,moltiplicando il numeratore per il denominatore.
- Si divide l'area del quadrilatero per il risultato precedente e si trova l'area di un quadratino.
- Si estrae la radice quadrata dell'area di un quadratino (u2) e si trova l'unità frazionaria ( il
lato del quadratino).
- Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il NUMERATORE e il DOMINATORE
e si trovano così le due misure cercate.
Problema: L'area di un rettangolo è di 720 cm2. Sapendo che la base è 9/5 dell'altezza,trova
il perimetro del rettangolo.
DATI
A = 720 cm2
b = 9/5 h
INCOGNITE
PROCEDIMENTO
1)
2p = ( b + h ) x 2 =
2)
b = 1u x 9 =
3)
h = 1u x 5 =
4)
1u = lato quadratino = √A rettangolo : n°quadratini
5)
n°quadratini = 9 x 5 = 45
2p ?
CALCOLI
2p = (36+20) x 2 = 112 cm
b = 4 x 9 = 36 cm
h = 4 x 5 = 20 cm
1u =√720:45 =√16 = 4 cm
n°quad.= 45
N.B.: Per calcolare la base e l'altezza del rettangolo si può utilizzare il metodo delle
proporzioni.
Indicando con X la base e con Y l'altezza si ha:
X:Y= 9:5
XY = 720
Moltiplicando il primo rapporto per X si ha :
X2 : XY = 9:5
sostituendo XY=720 si ha :
2
2
X : 720 = 9:5
X = 720 x 9 :5 = 1296
X = √1296 = 36 cm
di conseguenza
36Y = 720
Y = 720 : 36 = 20 cm
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
Pagina 20
“Cose di Matematica “
B – Si conosce il rapporto frazionario tra la base e l'altezza di un triangolo oppure tra le due
diagonali di un rombo e si conosce l'area del triangolo o del rombo. Si vuole trovare la
misura dell'altezza e della base oppure della due diagonali.
Si procede così :
- Si costruisce il rettangolo equivalente al doppio del triangolo o al doppio del rombo e si
trova il numero di quadratini,aventi come lato l'unità frazionaria in cui si scompone l'area
del quadrilatero ottenuto,moltiplicando il numeratore per il denominatore.
- Si divide la doppia area del triangolo o del rombo per il risultato precedente e si trova l'area
di un quadratino.
- Si estrae la radice quadrata dell'area di un quadratino e si trova l'unità frazionaria (il lato del
quadratino).
- Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il NUMERATORE e il
DENOMINATORE e si trovano così le due misure cercate.
Problema: L'area di un triangolo rettangolo è di 294 cm2 e un cateto è i 4/3 dell'altro.
Calcola la misura dei due cateti e la misura del perimetro.
DATI
A = 294 cm2
C = 4/3 c
PROCEDIMENTO
1) 2p = i + C + c = AC + AB + BC =
2) i = √ C2 + c2 =
3) C = 1u x 4 =
4) c = 1u x 3 =
5) 1u = lato quadr.=√Atriangolo x 2 : n°quadratini=
6) n° quadratini = 4 x 3 = 12
INCOGNITE
C?
c?
2p ?
CALCOLI
2p = 35 + 21 + 28 = 84 cm
i = √ 282 + 212 =√ 1225 = 35 cm
C = 7 x 4 = 28 cm
c = 7 x 3 = 21 cm
1u = √ 294 x 2 : 12 = √ 49 = 7 cm
n°quadr.= 12
N.B. : Per calcolare i due cateti si può applicare ,come nel precedente problema,il metodo
delle proporzioni. Bisogna,però,moltiplicare l'area del triangolo per 2
(il triangolo,come si vede in figura,è equivalente alla metà del rettangolo).
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“Cose di Matematica “
Problema: In un rombo l'area è di 2400 cm2 e la diagonale minore è 3/4 della maggiore.
Calcola la misura delle due diagonali.
DATI
A = 2400 cm2
d = 3/4 D
PROCEDIMENTO
1) d = 1u x 3 =
2) D = 1u x 4 =
3) 1u = lato quadr.= √Arombo x 2 : n°quadr. =
4) n° quadratini = 4 x 3 = 12
INCOGNITE
D?
d?
CALCOLI
d = 20 x 3 = 60 cm ( BD)
D = 20 x 4 = 80 cm ( AC )
1u = √2400 x 2 : 12 = √400 = 20 cm
n°quadr. = 12
N.B. : Per calcolare le due diagonali si può applicare ,come nel precedente problema,il
metodo delle proporzioni. Bisogna,però,moltiplicare l'area del rombo per 2
(il rombo,come si vede in figura,è equivalente alla metà del rettangolo).
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“Cose di Matematica “
Schema risolutivo di un problema di geometria piana
Problema: Un rettangolo ha il perimetro di 50 cm e l'altezza è 1/4 della base. Calcola il
perimetro di un quadrato equivalente al rettangolo.
DATI
2p(ABCD) = 50 cm
AB = 1/4 AD
A(ABCD) = A(EFGH)
PROCEDIMENTO
1) 2p(EFGH) = EF x 4 =
2) EF = √A(EFGH) = √A(ABCD) = √AB xAD =
3) AB = 1u x 1 =
4) AD = 1u x 4 =
5) 1u = 2p (ABCD) : n°u
6) n°u = 1+4+1+4 = 10
INCOGNITE
2p(EFGH) = ?
CALCOLI
2p(EFGH) = 10 x 4 = 40 cm
EF = √20x 5 = 10 cm
AB = 5 x 1 = 5 cm
AD = 5 x 4 = 20 cm
1u = 50 : 10 = 5 cm
n°u = 10
Il problema può essere risolto in altro modo,applicando la proprietà del comporre delle
proporzioni (classi II ):
1)
2)
3)
4)
5)
2p(EFGH) = EF x 4 =
EF = √A(EFGH) = √A(ABCD) = √AB x AD =
AB→ (AB+AD) : AB = (1+4) : 1 =
AD→ (AB+AD) : AD = (1+4) : 4 =
AB +AD = 2p : 2 =
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2p(EFGH) = EF x 4 = 10 x 4 = 40 cm
EF = √20 x 5 = √100 = 10 cm
AB = ( 25 x 1 ) : 5 = 5 cm
AD = ( 25 x 4 ) : 5 = 20 cm
AB +AD = 50 : 2 = 25 cm
Pagina 23
“Cose di Matematica “
Il problema può essere risolto in altro modo,applicando il metodo delle equazioni
(classi III):
1)
2)
3)
4)
5)
2p(EFGH) = EF x 4 =
2p(EFGH) = EF x 4 = 10 x 4 = 40 cm
EF = √A(EFGH) = √A(ABCD) = √AB x AD = EF = √20 x 5 = √100 = 10 cm
AB = 1/4 AD
AB = 1/4AD = 5 cm
AD = X ; AB = 1/4 X
AD = 20 cm ; AB = 1/4AD = 5 cm
X → X + 1/4 X = 2p : 2 =
X +1/4 X =50 :2; 5X = 25 x 4;X= 100 =20cm
5
Problema: Un rettangolo ha l'area di 315 cm2 e l'altezza è 7/5 della base. Calcola l'area
di un quadrato isoperimetrico al rettangolo.
DATI
A(ABCD) = 315 cm2
AB = 7/5 AD
2p(ABCD) = 2p(EFGH)
PROCEDIMENTO
1) A(EFGH) = EF 2 =
2) EF = 2p(EFGH) = 2p(ABCD) : 4 =
3) 2p(ABCD) = ( AB + AD) x 2 =
4) AB = 1u x 5 =
5) AD = 1u x 7 =
6) 1u = lato quadratino = √A quadratino =
7) A quadratino = A(ABCD) : n° quadratini =
8) n° quadratini = 7 x 5 = 35
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INCOGNITE
A(EFGH) = ?
CALCOLI
A(EFGH) = 182 = 324 cm2
EF = 72 : 4 = 18 cm
2p(ABCD) = ( 21 + 15) x 2 = 72 cm
AB = 3 x 7 = 21 cm
AD = 3 x 5 = 15 cm
1u = lato quadratino = √ 9 = 3 cm
A quadratino = 315 : 35 = 9 cm2
n° quadratini = 7 x 5 = 35
Pagina 24
“Cose di Matematica “
Il problema può essere risolto in altro modo,applicando le proprietà delle proporzioni:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
A(EFGH) = EF 2 =
A(EFGH) = 182 = 324 cm2
EF = 2p(EFGH) = 2p(ABCD) : 4 =
EF = 72 : 4 = 18 cm
2p(ABCD) = ( AB + AD) x 2 =
2p(ABCD) = ( 21 + 15) x 2 = 72 cm
AB = X
AB = 21 cm
AD = Y
AD = 15 cm
AB = 7/5 AD cioè AB: AD = 7 : 5
Quindi X : Y = 7 : 5 con XY = 315
Moltiplichiamo il primo rapporto per X
X2 : XY = 7 : 5 sostituiamo XY = 315
X2 : 315 = 7 : 5
calcoliamo X2 = ( 315 x 7) : 5 = 441 cm2
X = √ 441 = 21 cm
di conseguenza : 21 Y = 315 Y = 315 : 21 = 15 cm
Il problema può essere risolto in altro modo,applicando il metodo delle equazioni:
1) A(EFGH) = EF 2 =
A(EFGH) = 182 = 324 cm2
2) EF = 2p(EFGH) = 2p(ABCD) : 4 =
EF = 72 : 4 = 18 cm
3) 2p(ABCD) = ( AB + AD) x 2 =
2p(ABCD) = ( 21 + 15) x 2 = 72 cm
4) AD = X
AB = 21 cm
5) AB = 7/5 X
AD = 15 cm
6) Siccome AB x AD = 315
impostiamo l'equazione
X . 7/5 X = 315
7/5 X2 = 315
7 X2 = 315 . 5
X2 = ( 315 . 5 ) : 7 = 225
X = √ 225 = 15 cm (AD)
7/5 X =7/5 di 15 = (15 :5) x 7 = 21 cm (AB)
Problema: In un triangolo rettangolo la differenza delle lunghezze dei due cateti misura
20 cm e uno è i 3/4 dell'altro. Calcola il perimetro e l'area del triangolo.
DATI
AC – AB = 20 cm
AB = 3/4 AC
AC = cateto maggiore
AB = cateto minore
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INCOGNITE
2p ?
A?
C
c
Pagina 25
“Cose di Matematica “
PROCEDIMENTO
1) A = (C x c) :2 =
2) 2p = C + c + i =
3) i = √ C2 + c2 =
4) C = 1u x 4 =
5) c = 1u x 3 =
6) 1u = differenza : n° unità
7) n° unità = 4 – 3 = 1
CALCOLI
A = ( 80 x 60 ) : 2 = 2400 cm2
2p = 100 + 80 + 60 = 240 cm
i = √ 802 + 602 = √6400+3600 =√ 10000 = 100 cm
C = 20 x 4 = 80 cm
c = 20 x 3 = 60 cm
1u = 20 : 1 = 20 cm
n° unità = 1
Il problema può essere risolto in altro modo,applicando la proprietà dello scomporre:
1) A = (C x c) :2 =
2) 2p = C + c + i =
3) i = √ C2 + c2 =
4) C→( C -c ) : C = (4 -3 ) : 4
C = ( 20 x 4) : 1 = 80 cm
5) c→( C -c ) : c = (4 – 3) : 3
c =(20 x 3 ) : 1 = 60 cm
A = ( 80 x 60 ) : 2 = 2400 cm2
2p = 100 + 80 + 60 = 240 cm
i = √ 802 + 602 = √6400+3600 =√ 10000 = 100 cm
C = 80 cm
c = 60 cm
Il problema può essere risolto in altro modo,applicando il metodo delle equazioni:
1) A = (C x c) :2 =
A = ( 80 x 6 0 ) : 2 = 2400 cm2
2) 2p = C + c + i =
2p = 100 + 80 + 60 = 240 cm
3) i = √ C2 + c2 =
i = √ 802 + 602 = √6400+3600 =√ 10000 = 100 cm
4) C = X
C = 80 cm
5) c = 3/4 X
c = 60 cm
6) Siccome C -c = 20
impostiamo l'equazione
X - 3/4 X = 20.4
4X – 3X = 20.4
X = 80 cm ( C)
3/4 di 80 = (80 : 4) x 3 = 60 cm (c)
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Pagina 26
“Cose di Matematica “
Problema: Nel triangolo ABC i due angoli alla base misurano rispettivamente 45° e
60°. Sapendo che il lato BC misura 24 cm,calcola perimetro e area del
triangolo.
DATI
 = 45°
Ĉ = 60°
BC = 24 cm
INCOGNITE
2p ?
A?
N.B.
Il triangolo ABH è un triangolo rettangolo isoscele,pertanto AH = BH. Ovvero,è la metà
di un quadrato di lato AH e AB è ipotenusa del triangolo ed è diagonale del quadrato.
Il triangolo BHC è la metà di un triangolo equilatero,pertanto HC è la metà di BC.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
PROCEDIMENTO
A(ABC)=( AC x BH): 2 =
2p = AC + BC + AB =
AB = √AH2+ BH2= oppure AH x 1,414 =
AC = AH + HC =
HC = BC : 2 =
AH = BH = √ BC2 – HC2= oppure= BC x 0,866=
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CALCOLI
A = (32,78 x 20,78):2 =340,58 cm2
2p = 32,78+24+29,38 =86,16 cm
AB= 20,78 x 1,414 = 29,38 cm
AC= 20,78 + 12 = 32,78 cm
HC= 24 : 2 = 12 cm
AH=BH=24 x 0,866 = 20,78 cm
Pagina 27
“Cose di Matematica “
Problema: Nel trapezio ABCD gli angoli adiacenti alla base maggiore son ampi
rispettivamente 45° e 60°. Sapendo che la base minore,congruente all'altezza,
misura 90 cm,calcola perimetro e area del trapezio.
DATI
α = 45°
β = 30°
CD = AH = CK = DH = HK = 90 cm
INCOGNITE
2p ?
A?
N.B. Il triangolo ADH è triangolo rettangolo isoscele ed è la metà di un quadrato,pertanto il
lato AH è uguale a DH e AD è diagonale del quadrato. Il triangolo BCK è la metà di un
triangolo equilatero e il lato CK è la metà di BC. Nel problema di cui sopra,la figura
HDCK è un quadrato essendo CD congruente a DH.
PROCEDIMENTO
1) A = [(AB+CD) x DH] : 2 =
2) 2p = AB+CD+AD+BC =
3) AB = AH+HK+KB =
4) AD =AH x 1,414 =√AH2+DH2 =
5) BK = BC x 0,866 =√BC2- CK2=
6) BC = CK x 2 =
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CALCOLI
A = [( 335,88+90) x 90] :2 = 19164,6 cm2
2p = 335,88+90+127,26+180 = 733,14 cm
AB = 90+90+155,88 = 335,88 cm
AD = 90 x 1,414 = 127,26 cm
BK = 180 x 0,866 = 155,88 cm
BC = 90 x 2 = 180 cm
Pagina 28
“Cose di Matematica “
Problema: In una circonferenza di centro O e raggio lungo 58 cm,la corda AB dista dal
centro 40 cm. Calcola perimetro e area del triangolo di vertice O e base AB.
DATI
AO = raggio = 58 cm
OH = 40 cm
INCOGNITE
2p(AOB) ?
A(AOB) ?
N.B. Il triangolo formato dai due raggi OB e OA e dalla corda AB è isoscele. La distanza
OH della corda AB dal centro è l'altezza del triangolo AOB.
PROCEDIMENTO
1) A(AOB) = ( AB x OH ) : 2 =
2) 2p(AOB) = AO x 2 + AB =
3) AB = AH x 2 =
4) AH = √AO2 - OH2 =
CALCOLI
A(AOB) = ( 84 x 40 ) : 2 = 1680 cm2
2p(AOB) = 58 x 2 + 84 = 200 cm
AB = 42 x 2 = 84 cm
AH = √582- 402 = √3364 – 1600 = √1764 = 42 cm
Problema: Nella circonferenza di centro O e raggio lungo 50 cm,i raggi passanti per gli
estremi della corda AB formano un angolo di 120°. Calcola perimetro e area
del triangolo AOB.
DATI
INCOGNITE
AO = OB = 50 cm
2p(AOB) ?
AÔ B = 120°
A(AOB) ?
N.B. Il triangolo OHA è la metà di un triangolo equilatero( OAC),pertanto i lati
OA,AC,OC sono congruenti e quindi OH è la metà di AO e AH è l'altezza del
triangolo AOC.
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Pagina 29
“Cose di Matematica “
PROCEDIMENTO
1) A(AOB) = (AB x OH) : 2 =
2) 2p(AOB) = AO x 2 + AB =
3) AB = AH x 2 =
4) AH = AO x 0,866 =
oppure AH = √AO2- OH2 =
5) OH = AO : 2 =
CALCOLI
A(AOB) = (86,6 x 25) : 2 = 1082,5 cm2
2p(AOB) = 50 x 2 + 86,6 = 186,6 cm
AB = 43,3 x 2 = 86,6 cm
AH = 50 x 0,866 = 43,3 cm
AH = √502- 252 =√2500 – 625 =√1875 = 43,3 cm
OH = 50 : 2 = 25 cm
Problema: In una circonferenza di centro O e raggio lungo 34 cm,la corda AB è
perpendicolare al diametro CD. Sapendo che la corda dista 16 cm dal centro
O,calcola perimetro e area del quadrilatero ACBD (approssima ai centesimi).
DATI
r = OC =OD = 34 cm
OH (distanza della corda dal centro) = 16 cm
INCOGNITE
2p(ACBD) ?
A(ACBD) ?
N.B. IL quadrilatero ACBD è formato da due triangoli rettangoli congruenti ACD e CBD
(sono triangoli rettangoli perché inscritti in una semicirconferenza; l'angolo alla circonferenza
 e l'angolo al centro Ô sono corrispondenti,quindi se Ô è di 180°,  sarà di 90° e quindi il
quadrilatero ACBD ha le diagonali perpendicolari,pertanto l'area si calcolerà come nel rombo.
PROCEDIMENTO
A(ACBD) = (CD x AB) : 2 =
2p(ACBD) = (AC + AD) x 2 =
AB = AH x 2 =
AD = √ CD2 – AC2 =
AC =√ CH2 + AH2 =
AH → CH : AH = AH : HD ( 2° T. Euclide)
AH = √ CH x HD =
7) HD = CD – CH =
8) CD = 2 x OC =
9) CH = OC + OH =
1)
2)
3)
4)
5)
6)
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
CALCOLI
A(ACBD) = ( 68 x 60) : 2 = 2040 cm2
2p(ACBD) = (58,3 + 34,98) x 2 = 186,56 cm
AB = 30 x 2 = 60 cm
AD = √682 – 58,32 = √1224 = 34,98 cm
AC =√ 502 + 302 = √3400 = 58,3 cm
AH = √ 50 x 18 = √ 900 = 30 cm
HD = 68 – 50 = 18 cm
CD = 34 x 2 = 68 cm
CH = 34 + 16 = 50 cm
Pagina 30
“Cose di Matematica “
Problema: Il punto P della tangente condotta a una circonferenza di centro O e diametro
ungo 80 cm dista dal punto di tangenza 96 cm. Calcola perimetro e area del
triangolo OPT.
DATI
RT = diametro = 80 cm
PT = 96 cm
INCOGNITE
2p(OPT) ?
A(OPT) ?
N.B. Il triangolo OPT è rettangolo in T perché come da proprietà nota,il segmento di
tangente PT è perpendicolare al raggio OT,pertanto la distanza OP è ipotenusa del
triangolo OPT.
PROCEDIMENTO
1) A(OPT) =(C x c ) : 2 = (OT x PT) : 2 =
2) 2p(OPT) = OT + PT + OP =
3) OP = √ PT2 + OT2 =
4) OT = RT : 2 =
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CALCOLI
A(OPT) = (40 x 96) : 2 = 1920 cm2
2p(OPT) = 40 +96 + 104 = 240 cm
OP = √962 + 402 = √10816 = 104 cm
OT = 80 : 2 = 40 cm
Pagina 31
“Cose di Matematica “
Problema: Sia dato un quadrato di lato 6 cm. Da un vertice del quadrato, usato come
centro del cerchio, è disegnato un cerchio con raggio uguale al lato del
quadrato. Calcola la misura del contorno e dell’area della zona in colore
delimitata dai due lati del quadrato e dall’arco di circonferenza.
DATI
AD=BC=CD=AB= r = 6 cm
INCOGNITE
Contorno ( parte colorata) ?
Area (parte colorata) ?
N.B. L'arco di circonferenza BD sottiene l'angolo al centro Ĉ di 90°,quindi è un
quarto dell'intera circonferenza avente come raggio il lato del quadrato.
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
A(ABD) = Aquadrato – Acerchio : 4 =
Contorno(ABD) = AB x 2 + BDarco =
Aquadrato = AB2 =
Acerchio = AB2 x 3,14 ( π ) =
BDarco = (AB x 2 x 3,14 ) : 4 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
CALCOLI
A(ABD) = 36 – 113,04 : 4 = 36 – 28,26= 7,74cm2
Contorno(ABD) = 6 x 2 + 9,42 = 21,42 cm
Aquadrato = 6 x 6 = 36 cm2
Acerchio = 6 x 6 x 3,14 = 113,04 cm2
BDarco = ( 6 x 2 x 3,14 ) : 4 = 9,42 cm
Pagina 32
“Cose di Matematica “
Problema: Sia dato un quadrato di lato 8 cm. Da un vertice del quadrato, usato come
centro del cerchio, è disegnato un cerchio con raggio pari alla metà del lato
del quadrato. Calcola la misura del contorno e dell’area della zona in colore
delimitata da due lati del quadrato e dall’arco di circonferenza.
DATI
AB = BC = AD =CD = 8 cm
EC = CF = r = AB : 2
INCOGNITE
A ( parte colorata) ?
Contorno (parte colorata) ?
N.B. L'arco EF sottiene l'angolo Ĉ di 90°,quindi è 1/4 di circonferenza avente come
raggio EC che è la metà del lato del quadrato. Lo stesso vale se si considera il
settore circolare delimitato dall'arco ( 1/4 di cerchio).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
PROCEDIMENTO
Area = Aquadrato - Asettore EF =
Contorno = AB+AD+DF+BE+ EFarco =
Aquadrato = AB2 =
Asettore = ( EC2 x 3,14 ) : 4 =
EFarco = (2 x 3,14 x EC) : 4 =
EC = BC : 2 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
CALCOLI
Area = 64 – 12,56 = 51,44 cm2
Contorno = 8+8+4+4+6,28 = 30,28 cm
Aquadrato = 82 = 64 cm2
Asettore = ( 42 x 3,14) : 4 = 12,56 cm2
EFarco = (2 x 3,14 x 4 ) : 4 = 6,28 cm
EC = 8 : 2 = 4 cm
Pagina 33
“Cose di Matematica “
Problema: Sia dato un quadrato di lato 12 cm. Da due vertici opposti del quadrato,
usati come centro del cerchio, sono disegnati due cerchi con raggio pari
alla metà del lato del quadrato. Calcola la misura del contorno e dell’area
della zona in colore che si viene a formare.
DATI
AB=BC=CD=DA= 12 cm
AH=AG=EC=CF= raggio= AB: 2
AH=HB=BE=DF=DG
INCOGNITE
Area ( parte colorata) ?
Contorno ( parte colorata) ?
N.B. I due archi,HG e EF sono congruenti e sottendono angoli al centro  e Ĉ di
90°,quindi formano una semicirconferenza. Lo stesso vale se si considerano i settori
circolari corrispondenti che formano un semicerchio.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
PROCEDIMENTO
Area = Aquadrato – Asemicerchio =
Contorno = BH x 4 + Semicirconferenza =
Aquadrato = AB2 =
Asemicerchio = ( EC2x 3,14 ) : 2 =
Semicirconferenza = ( EC x 2 x 3,14 ) :2 =
EC = AB : 2 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
CALCOLI
Area = 144 – 56,52 = 87,48 cm2
Contorno = 6 x 4 + 18,84 = 42,84 cm
Aquadrato = 122 = 144 cm2
Asemicerchio = ( 62 x 3,14) : 2 = 56,52 cm2
Semicirc.= (6 x 2 x 3,14 ):2 = 18,84 cm
EC= 12: 2 = 6 cm
Pagina 34
“Cose di Matematica “
Problema: Un circo è formato da un corpo centrale rettangolare e da due semicerchi
costruiti verso l’esterno usando come diametro i due lati più corti del
rettangolo. Sapendo che le dimensioni del rettangolo misurano 120 m e 83 m,
calcola la superficie e il contorno della figura ponendo π (pi greco) = 3,14.
DATI
INCOGNITE
AD = BC = 83 m
CD = AB = 120 m
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
A = AABCD + Acerchio =
2p = C + AB x 2 =
AABCD = AB x AD =
Acerchio = π x AE2 =
C = 2 π x AE =
AE = AD : 2 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
2p ?
A?
CALCOLI
A = 9960 + 5407,865 = 15367,865 m2
2p = 260,62 + 120 x 2 = 500,62 m
AABCD = 120 x 83 = 9960 m2
Acerchio = 41,52 x 3,14 = 5407,865 m2
C = 2 x 3,14 x 41,5 = 260,62 m
AE = 83 : 2 = 41,5 m
Pagina 35
“Cose di Matematica “
Problema: Un volto è costituito da un rettangolo lungo 16 m e alto 8 m in cui è stato
ricavato un semicerchio con il centro posto a metà del lato più lungo e alto
7 m. Calcola la misura del contorno e dell’area del volto (zona in colore) che
si viene a formare, ponendo π (pi greco) = 3,14.
DATI
AD = BC = 8 m
AB = CD = 16 m
r=7m
PROCEDIMENTO
1) A = AABCD – A semicerchio =
2) Contorno = AD x 2 + CD + π r +( AB – 2r) =
3) AABCD = AD x DC =
4) Asemicerchio = πr2 / 2 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
Contorno (zona colorata) ?
A ( zona colorata) ?
CALCOLI
A = 128 – 76,93 = 51,07 m2
Cont =8x2+16+7x3,14+(16-14)= 55,98m
AABCD = 8 x 16 = 128 m
Asemicerchio = (3,14 x 72) : 2=76,93 m2
Pagina 36
“Cose di Matematica “
Problema: Calcola la misura degli angoli alla circonferenza e la lunghezza dell’arco
corrispondenti ad un angolo al centro di 100°, sapendo che il raggio della
relativa circonferenza misura 18 cm.
DATI
α = 100°
AO =BO = r = 18 cm
INCOGNITE
β?
γ?
ABarco ?
PROCEDIMENTO
CALCOLI
1) ABarco = ( C x α) : 360° =
2) β = γ = α : 2 =
ABarco = (3,14 x 2 x 18 x100°) : 360 = 31,4 cm
β = γ = 100° : 2 = 50°
N.B. Gli angoli β e γ sono angoli corrispondenti uguali perché sottendono uno stesso arco.
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
Pagina 37
“Cose di Matematica “
Problema: Calcola l’ampiezza dell’angolo al centro corrispondete ad un arco lungo
8 π cm, sapendo che la circonferenza ha il raggio che misura 60 cm.
DATI
ABarco = 8π cm
r = AO = BO = 60 cm
INCOGNITE
α?
PROCEDIMENTO
CALCOLI
1) α = (360° x AB arco) :C =
2) C = 2πr =
α = ( 360 x 8π) : 376,8 = 24°
C = 6,28 x 60 = 376,8 cm
Problema: Calcola la misura del raggio di una circonferenza sapendo che ad un suo
settore di 80π cm2 corrisponde un angolo al centro di 18°.
DATI
Asettore = 80π cm2
α = 18°
PROCEDIMENTO
1) r = √Acerchio : π =
2) Acerchio = (Asettore x α) : 360° =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
r?
CALCOLI
r = √4π : π = 2 cm
Acerchio = (80π x 18°) : 360°= 4π cm2
Pagina 38
“Cose di Matematica “
Problema: In una circonferenza di raggio 20 cm, l’area di un settore circolare è di 80 cm2.
Calcola la lunghezza dell’arco corrispondente allo stesso angolo centro.
DATI
r = 20 cm
Asettore = 80 cm
PROCEDIMENTO
1) L = 2 Asettore : r =
INCOGNITE
Larco ?
CALCOLI
L = 2 x 80 :20 = 8 cm
Problema: Calcola l’area e il contorno della figura in colore sapendo che il diametro del
cerchio massimo è di 40 cm.
( Indico con d il diametro,con R il raggio del cerchio massimo e con r il raggio
dei cerchi minimi congruenti; con A1 ,C1 l'area e circonferenza del cerchio
massimo, con A2,C2 , A3, C3, l'area e circonferenza dei due cerchi minimi
congruenti).
DATI
d = 2R = 40 cm
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INCOGNITE
Afigura colorata ?
Contornofigura colorata ?
Pagina 39
“Cose di Matematica “
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
A = π R2 – πr2x 2 =
Contorno = C1+ C2 x 2 =
C1 = 2πR=
C2 =C3 = 2πr =
r=R:2=
R = d :2 =
CALCOLI
A = π202 – 2π102 = 400π – 200π =200π = 628 cm2
Contorno = 125,6 + 2 x 62,8 = 251,2 cm
C1 = 2 x 3,14 x 20 = 125,6 cm
C2 =C3 = 2 x 3,14 x 10 = 62,8 cm
r = 20 : 2 = 10 cm
R = 40 : 2 = 20 cm
Problema: Calcola l’area e il contorno della figura data sapendo che la distanza tra il
punto A e il punto B è di 6 cm e che il segmento BD è i 2/3 di AB.
DATI
AB = CD = 6 cm
BD = AC = 2/3 AB
EC = AC = DF
INCOGNITE
A?
2p ?
N.B.: AEC ed BDF sono due settori circolari uguali con angolo al centro di 90° e
quindi formano un semicerchio;i due archi AE ed AE formano,pertanto, una
semicirconferenza.
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
A = AABCD + Asemicerchio =
2p = AB x 2 + EC x 2 + C/2
AABCD = AB x AC =
Asemicerchio = πr2/2 =
C = 2πr :2 =
AC = 2/3 AB =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
CALCOLI
A = 24 + 25,12 = 49,12 cm2
2p = 6 x 2+4 x 2+12,56 = 32,56 cm
AABCD = 6 x 4 = 24 cm2
Asemicerchio =16π/2 = 8π = 25,12 cm
C = 4 x 3,14 = 12,56 cm
AC = 2/3 di 6 = 4 cm
Pagina 40
“Cose di Matematica “
Problema: Calcola l’area e il contorno della figura in colore sapendo che il lato di uno dei
quattro quadrati su cui è stata costruita misura 10 cm.
DATI
lato quadrato = 10 cm
INCOGNITE
Afigura colorata ?
Contornofigura colorata ?
Indico con C1,C2, C3, e con A1,A2,A3 circonferenza e cerchio di raggio 5 cm,10 cm e 15 cm.
Usando il pieno e il vuoto posso sommare solo i due semicerchi di raggio 5 cm e 15 cm.
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
C =C1/2+2C2/2+C3/2 =
A = A1/2 +A3/2 =
C1=2πr1=
C2= 2πr2=
C3= 2πr3=
A1=πr12 =
A3 =πr32 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
CALCOLI
C = 5π+20π+15π = 40π cm = 125,6 cm
A= 12,5π+112,5π = 125π cm2 = 392,5 cm2
C1 =10π cm
C2= 20π cm
C3= 30π cm
A1 =52 π =25π cm2
A3 = 152π =225 π cm2
Pagina 41
“Cose di Matematica “
Problema: Calcola l’area e il contorno della figura in colore sapendo che il diametro AB
misura 6 cm.
DATI
AB = 6 cm
CB = AD = 4 cm
AC = BD = 2 cm
INCOGNITE
Afigura colorata ?
Cfigura colorata ?
N.B.: Osservando i pieni e i vuoti,per ottenere l'area della figura colorata si può sottrarre
l'area del cerchio di raggio 1 cm all'area del cerchio di raggio 2 cm. Indico con A1
e C1 area e circonferenza del cerchio con diametro AD e con A2 e C2 area e
circonferenza del cerchio di diametro AC.
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
A = A1 – A2 =
C = C1 + C2 =
A1 = πr12 =
A2 = πr22 =
C1 = 2πr1 =
C2 = 2πr2 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
CALCOLI
A = 4π – π = 3π cm2 = 9,42 cm2
C = 4π+2π = 6π cm = 18,84 cm
A1 = 4π cm2
A2 = π cm2
C1 = 4π cm
C2 = 2π cm
Pagina 42
“Cose di Matematica “
Problema: Calcola il contorno e l’area della zona in colore della figura sapendo che il lato
AB del quadrato ABCD misura 5 cm.
DATI
AB = 5 cm
INCOGNITE
Afigura colorata ?
Cfigura colorata ?
N.B.:Osservando i pieni e i vuoti, si nota che il contorno corrisponde alla misura di
due circonferenze di diametro 5 cm. Per calcolare l'area,devo ragionare sulla
quarta parte della figura ( quadrato di lato 2,5 cm e corrispondente doppio
segmento circolare colorato). L'area del segmento circolare è data dalla
differenza tra l'area del settore di raggio 2,5 cm e l'area di metà quadrato di lato
2,5 cm.L'area della figura colorata si calcolerà moltiplicando per 8 l'area di
ciascun segmento circolare.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
PROCEDIMENTO
Cfigura colorata = 2 x ( 2πr) =
Afigura colorata = Aseg.circolare x 8 =
Aseg.circolare = Asettore – (Aq : 2) =
Asettore = Acerchio : 4 =
Acerchio = πr2 =
Aq = r2 =
r = AB : 2 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
CALCOLI
Cfigura colorata = 2 x 2 x 3,14 x 2,5 = 31,4 cm
Afigura colorata = 1,78 x 8 = 14,24 cm2
Aseg.circolare = 4,9 - ( 6,25 : 2) = 4,9 – 3,125 =1,78 cm2
Asettore = 19,625 : 4 = 4,9 cm2
Acerchio = 2,5 x 2,5 x 3,14 = 19,625 cm2
Aq = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm2
r = 5 : 2 = 2,5 cm
Pagina 43
“Cose di Matematica “
Problema: Calcola l’area e il contorno della zona rappresentata in colore nella figura
sapendo che il raggio dei cerchi misura 2 cm e che i quattro cerchi sono tutti
congruenti e tangenti tra loro.
DATI
r = 2 cm
INCOGNITE
Afigura colorata ?
Cfigura colorata ?
N.B. : Come si può notare, il contorno della figura colorata corrisponde alla lunghezza di
una circonferenza ( ciascun arco è la quarta parte di essa). Per calcolare l'area
sottrarrò l'area del cerchio all'area del quadrato di lato 4 cm ( l'area di quattro
settori corrispondono ad un intero cerchio).
PROCEDIMENTO
1) C = 2πr =
2) A = Aquadrato – Acerchio =
3) Aq = l x l =
4) Ac = π r2 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
CALCOLI
C = 2 x 3,14 x 2 = 12,56 cm
A = 16 – 12,56 = 3,44 cm2
Aq = 4 x 4 = 16 cm2
Ac = 3,14 x 2 x 2 = 12,56 cm2
Pagina 44
“Cose di Matematica “
Problema: Calcola l’area e il contorno della zona rappresentata in colore nella figura
sapendo che la somma delle due dimensioni del rettangolo è 28 cm e la loro
differenza è di 4 cm e che il semicerchio ha il diametro coincidente con la
dimensione minore del rettangolo e che il quarto di cerchio ha il raggio che è
pari alla metà della dimensione maggiore del rettangolo.
DATI
h + b = 28 cm
h – b = 4 cm
r1 = b : 2
r2 = h : 2
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
A = A rettangolo - (A1/2 + A2/4) =
C = h + h/2 + C1/2 + C2/4 =
A rettangolo = b x h =
A1 = π (b/2)2 =
A2 = π (h/2)2 =
C1 = 2πb/2 =
C2 = 2πh/2 =
h = (s + d) : 2 =
b = (s – d ) : 2 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
Afigura colorata ?
Cfigura colorata ?
CALCOLI
A = 192 - ( 56,52+50,24) = 192 – 106,76 = 85,24 cm2
C = 16+8+18,84+12,56 = 55,4 cm
A rettangolo = 16 x 12 = 192 cm2
A1 = 3,14 x 36 = 113,04 cm2
A2 = 3,14 x 64 = 200,96 cm2
C1 = 2 x 3,14 x 6 = 37,68 cm
C2 = 2 x 3,14 x 8 = 50,24 cm
h = (28 + 4) : 2 = 16 cm
b = (28 – 4): 2 = 12 cm
Pagina 45
“Cose di Matematica “
Problema: Calcola l’area e il contorno della zona rappresentata in colore nella figura
sapendo che la somma delle due dimensioni del rettangolo è 60 cm e la loro
differenza è di 12 cm e che i semicerchi hanno il diametro coincidente con le
dimensioni del rettangolo.
DATI
AD + AB = 60 cm
AD – AB = 12 cm
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
PROCEDIMENTO
A = AABCD + A1 + A2 + A3 =
2p = C1+C2+C3+AD =
AABCD = AD x AB =
A1 = A2 = r12π : 2 =
A3 = r32π : 2 =
C1 = C2 = 2πr1 : 2 =
C3 = 2πr3 : 2 =
r1 = r2 = h/2 =
r3 = b/2 =
h = (s- d) : 2 =
b = (s+d) : 2 =
INCOGNITE
Afigura colorata ?
2p figura colorata ?
CALCOLI
A = 864 + 226,08 x 2 + 508,68 = 1824,84 cm2
2p = 37,68 x 2 +56,52 + 36 = 167,88 cm
AABCD = 36 x 24 = 864 cm2
A1 = A2 = 12 x 12 x 3,14 : 2 = 226,08 cm2
A3 =18 x 18 x 3,14 : 2 = 508,68 cm2
C1 = C2 = 2 x 3,14 x 12 : 2 = 37,68 cm
C3 = 2 x 3,14 x 18 : 2 = 56,52 cm
r1 = r2 = 24 : 2 = 12 cm
r3 = 36:2 = 18 cm
h = (60- 12) : 2 = 24 cm
b = (60+12) : 2 = 36 cm
N.B. : Per calcolare la misura della base e dell'altezza si può applicare il metodo delle
equazioni.
b + h = 60
b – h = 12
Se indico h = X sarà b = 12 + X e quindi
X + 12 + X = 60 risolvendo si ha :
2X = 60 – 12
X = 48/2 = 24 cm (altezza)
12 + 24 = 36 cm (base)
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Pagina 46
“Cose di Matematica “
Schema risolutivo di un problema di geometria solida
Problema: Un cubo ha lo spigolo di 4 cm. Calcola l'area della sua superficie totale e il suo
volume.
DATI
s = 4 cm
PROCEDIMENTO
1) V = s3 =
2) S.tot. = 6 x s2 =
INCOGNITE
S.tot.?
V?
CALCOLI
V = 43 = 4 x 4 x 4 = 64 cm2
S.tot. = 6 x 42 = 6 x 16 = 96 cm2
Problema: Un cubo ha il volume che misura 125 cm3. Calcola l'area della sua superficie
totale.
DATI
V = 125 cm3
INCOGNITE
S.tot. ?
N.B.: Osservare la figura del problema precedente.
PROCEDIMENTO
1) S.tot. = 6 x s2 =
2) s = 3√ V =
CALCOLI
S.tot. = 6 x 25 = 150 cm2
s = 3√125 = 5 cm
Problema: Calcola il volume e la diagonale di un cubo con l'area della sua superficie totale
di 864 cm2.
DATI
S.tot. = 864 cm2
INCOGNITE
V?
N.B.: Osservare la figura del problema precedente.
PROCEDIMENTO
1) V = s3 =
2) s = √S faccia =
3) Sfaccia = S.tot. : 6 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
CALCOLI
V = 123 = 1728 cm3
s = √144 = 12 cm
S faccia = 864 : 6 = 144 cm2
Pagina 47
“Cose di Matematica “
Problema: Calcola di un cubo,la cui superficie di una faccia misura 49 cm2,la superficie
totale,la diagonale,il suo volume e il peso,sapendo che è fatto di argento
(ps = 10,5g/cm3).
DATI
Sfaccia = 49 cm2
INCOGNITE
S.tot. ?
d?
V?
P?
N.B.: Osservare la figura del problema precedente.
PROCEDIMENTO
1) P = V x ps =
2) V = s3 =
3) S.tot.= 6 x s2 =
4) d = s √3 =
5) s = √S faccia =
CALCOLI
P = 343 x 10,5 = 3601,5 g = 3,6015 Kg
V = 73 = 343 cm3
S.tot. = 6 x 72 = 294 cm2
d = 7√3 cm = 12,12 cm
s = √49 = 7 cm
Problema: Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di base che misurano 8 cm e 3 cm
e la sua altezza misura 5 cm. Calcola la superficie totale e il suo peso sapendolo
fatto di sughero (ps 0,25 g/cm3).
DATI
a = 8 cm
b = 3 cm
c = 5 cm
ps = 0,25 g/cm3
PROCEDIMENTO
1) P = V x ps =
2) V = a x b x c =
3) St = Sl + 2 Sb =
4) Sl = ( 2a + 2b) x c =
5) Sb = a x b =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
S.tot. ?
P?
CALCOLI
P = 120 x 0,25 = 30 g
V = 8 x 3 x 5 =120 cm3
St = 110 + 2 x 24 = 110 + 48 = 158 cm2
Sl = ( 16 + 6) x 5 = 22 x 5 = 110 cm2
Sb = 8 x 3 = 24 cm2
Pagina 48
“Cose di Matematica “
Problema:Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di base che misurano 6 cm e 8
cm e la diagonale che misura 26 cm. Calcolane la superficie totale e il suo
volume.
DATI
INCOGNITE
a = 6 cm
St ?
b = 8 cm
V?
d = 26 cm
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
V=axbxc=
St = Sl + Sb =
Sl = (2a +2b) x c =
Sb = a x b =
c = √dp2- db2 =
db = √a2+b2 =
CALCOLI
V = 6 x 8 x 24 = 1152 cm3
St = 672 + 48 = 720 cm2
Sl = (12 +16) x 24 = 28 x 24 =672 cm2
Sb = 6 x 8 = 48 cm2
c = √262-102 = √676 – 100 = √576 = 24 cm
db = √62+82 =√36+64 =√100 = 10 cm
Problema: Un parallelepipedo retto ha per base un rombo che ha un perimetro di 102 cm
ed una diagonale di 24 cm. Sapendo che il suo volume è di 27000 cm3 e che è
fatto di alluminio (ps 2,6 g/cm3) calcolate il peso del parallelepipedo e l’area
della sua superficie totale.
DATI
2p rombo = 102 cm
V = 27000 cm3
ps = 2,6 g/cm3
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
St ?
P?
Pagina 49
“Cose di Matematica “
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
P = V x ps =
St = Sl + 2Sb =
Sl = 2p x h =
h = V : Sb =
Sb = (D x d ) : 2 =
D = ( √l2 – d/22) x 2 =
l = 2p :4 =
CALCOLI
P = 27000 x 2,6 =70200 g = 70,200 Kg
St = 5100 + 2 x 540 = 5100 + 1080 = 6180 cm2
Sl = 102 x 50 = 5100 cm2
h = 27000 : 540 = 50 cm
Sb = (45 x 24) : 2 =540 cm2
D = (√25,52 – 122 ) x 2= (√650,25 – 144) x 2 = 45 cm
l = 102 : 4 = 25,5 cm
Problema: Il perimetro di base di un parallelepipedo rettangolo è di 140 cm e una
dimensione di base è i 2/5 dell’altra. Sapendo che l’altezza del
parallelepipedo è di 10 cm, calcola il volume del solido e il suo peso
sapendolo fatto di oro (ps 19,3 g/cm3).
DATI
2p = 140 cm
a = 2/5b
c = 10 cm
ps = 19,3 g/cm3
PROCEDIMENTO
1) P = V x ps =
2) V = a x b x c =
3) Per calcolare a e b imposto un'equazione:
INCOGNITE
V?
P?
CALCOLI
P = 10000 x 19,3 = 193000 g = 193 Kg
V = 20 x 50 x 10 = 10000 cm3
b = X a = 2/5 X
X + 2/5X = 140 : 2
7X = 350
X = 50 cm ( b)
2/5 di 50 = 20 cm (a)
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
Pagina 50
“Cose di Matematica “
Problema: Una dimensione di base di un parallelepipedo rettangolo è 18 cm ed è 6/5
dell’altra dimensione di base. L’area totale del solido è 1860 cm2. Calcola
quanto vale l’altezza e la diagonale del solido.
DATI
a = 18 cm
a = 6/5 b
St = 1860 cm2
PROCEDIMENTO
1) d = √a2+b2c2 =
2) c = Sl : (2a + 2b) =
3) Sl = St – 2 Sb =
4) Sb = a x b =
5) b = 5/6 di 18 =
INCOGNITE
c?
d?
CALCOLI
d = √182+152+202 = √324+225+400 = 30,8 cm
c = 1320 : ( 36 + 30 ) = 1320 : 66 = 20 cm
Sl = 1860 – 2 x 270 = 1860 – 540 = 1320 cm2
Sb = 18 x 15 = 270 cm2
b = 18 : 6 x 5 = 15 cm
Problema: La superficie di base di un parallelepipedo rettangolo misura 864 cm2 e la sua
diagonale misura 51 cm. Sapendo che le dimensioni di base sono una i 2/3
dell’altra, calcola la superficie totale e il suo peso sapendolo fatto di sughero
(ps 0,25 g/cm3).
DATI
Sb = 864 cm2
d p = 51 cm
a = 2/3 b
ps = 0,25g/cm3
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
St ?
P?
Pagina 51
“Cose di Matematica “
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
CALCOLI
P = V * ps =
P = 23328*0,25 = 5832 g = 5,832 Kg
V=a*b*c=
V = 24*36*27 = 23328 cm3
St = Sl + 2Sb =
St = 3240 + 2*864 = 3240 + 1728 = 4968 cm2
Sl = (2a+2b) * c =
Sl = (2*24 + 2*36) * 27 = 120*27 = 3240 cm2
2
2
c = √dp - db =
c =√512- 43,32 =√2601- 1872 = 27 cm
db = √a2+b2 =
db = √362+242 = √1296+576 = √ 1872 cm = 43,3 cm
Per calcolare a e b imposto un'equazione:
b=X
a = 2/3X
X*2/3X = 864
2/3X2 = 864
2X2 =864*3
X2 = 864*3 /2
X2 = 1296
X = √1296 = 36 cm ( b)
2/3 di 36 = 24 cm ( a )
Problema: Un prisma alto 5 cm ha per base un triangolo rettangolo che ha i cateti che
misurano 6 cm e 8 cm. Calcola la misura della superficie totale e del volume del
solido.
DATI
h = 5 cm
c = 6 cm
C = 8 cm
1)
2)
3)
4)
5)
6)
PROCEDIMENTO
V = Sb * h =
St = Sl + 2Sb =
Sl = 2p*h =
Sb = (C*c) : 2 =
2p = C + c + i =
i = √C2+c2 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
St ?
V?
CALCOLI
V = 24* 5 = 120 cm3
St = 120 + 2*24 = 120 + 48 = 168 cm2
Sl = 24*5 = 120 cm
Sb = (8*6): 2 = 24 cm2
2p = 6 + 8 + 10 = 24 cm
i = √82+62 = √64+36 =√100 = 10 cm
Pagina 52
“Cose di Matematica “
Problema: Un prisma retto avente per base un triangolo isoscele ha l’altezza di 15 cm, il
perimetro di base è di 32 cm e la base del triangolo isoscele di base è 6/5 del lato.
Calcola l’area totale del prisma retto dato.
DATI
h = 15 cm
2p = 32 cm
b = 6/5 l
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
St = Sl + 2*Sb =
Sl = 2p*h =
Sb = ( b*h): 2 =
h = √ l2- (b/2)2 =
Per calcolare il lato e la base
imposto un'equazione:
INCOGNITE
St ?
CALCOLI
St = 480 + 2*48 = 480 + 96 = 576 cm2
Sl = 32*15 = 480 cm2
Sb = (12*8): 2 = 48 cm2
h = √ 102- 62 =√100- 36 =√64 = 8 cm
l = X b = 6/5 X
X + X + 6/5 X = 32
5X + 5X + 6X = 160
16X = 160
X = 10 cm ( lato)
6/5 di 10 = 12 cm ( base)
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
Pagina 53
“Cose di Matematica “
Problema:Un prisma retto ha per base un rombo il cui perimetro è di 12 cm e la cui
diagonale minore misura 3,6 cm. Sapendo che l’area laterale è di 60 cm2, calcola
l’area totale e il volume del prisma.
DATI
2p = 12 cm
d2 = 3,6 cm
Sl = 60 cm2
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
V = Sb * h =
St = Sl + 2*Sb =
h = Sl : 2p =
Sb =( d1 * d2) : 2 =
d1 = 2* [ √l2- (d2/2)2] =
l = 2p : 4 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
St ?
V?
CALCOLI
V = 8,64* 5 = 43,2 cm3
St = 60 + 2* 8,64 = 77,28 cm2
h = 60 : 12 = 5 cm
Sb = (3,6*4,8 ) : 2 = 8,64 cm2
d1 = 2* [ √32- 1,82] = 2*√ 9- 3.24 = 2*2,4 = 4,8 cm
l = 12 : 4 = 3 cm
Pagina 54
“Cose di Matematica “
Problema:Un prisma retto ha per base un trapezio rettangolo le cui basi misurano
rispettivamente 40 cm e 56 cm e l’altezza 30 cm. Calcolate l’area della superficie
totale, il volume del prisma e il suo peso, sapendo che è alto 120 cm e che è fatto
di vetro (ps 2,5 g/cm3).
DATI
B = 56 cm
B = 40 cm
h trapezio = 30 cm
h prisma = 120 cm
ps(vetro) = 2,5 g/cm3
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
P = V*ps =
V = Sb*h =
St = Sl + 2*Sb =
Sl = 2p*h =
Sb = [( B+b)*h] : 2 =
2p = B+b+h+l =
l = √h2+ (B-b)2 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
St ?
V?
P?
CALCOLI
P = 172800*2,5 = 432000 g = 432 Kg
V = 1440*120 = 172800 cm3
St = 3200 + 2*1440 = 6080 cm2
Sl = 160*120 = 3200 cm2
Sb = (56+40)*30 : 2 = 1440 cm2
2p = 56+40+30+34 = 160 cm
l = √302+162 = √900+256=34 cm
Pagina 55
“Cose di Matematica “
Problema: Un prisma retto a base quadrata ha la superficie di base pari a 16 cm2.
Il prisma dato è equivalente a un parallelepipedo con le dimensioni di base di
5 cm e 16 cm e con una superficie laterale di 882 cm2. Calcola la superficie
totale del prisma retto dato.
DATI
Sb prisma = 16 cm2
V prisma = V parallelepipedo
INCOGNITE
St prisma ?
a = 5 cm
b = 16 cm
Sl parallelepipedo = 882 cm2
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
St prisma = Sl + 2*Sb =
Sl prisma = 2p*h =
2p = l*4 =
l = √Sb =
h = V : Sb =
V prisma = V parallelepipedo
V parallelepipedo = a*b*h =
h = Sl parallelepipedo : (2a+2b) =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
CALCOLI
St prisma = 1680 +2*16 = 1680+32 = 1712 cm2
Sl prisma = 16*105 = 1680cm2
2p = 4*4 = 16 cm
l = √16 = 4 cm
h = 1680 : 16 =105 cm
V prisma = 1680 cm3
V parallelepipedo = 5*16*21 = 1680 cm3
h = 882 : 42 = 21 cm
Pagina 56
“Cose di Matematica “
Problema: Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di base di 120 cm e ha
una altezza di 20 cm. Sapendo che la piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3),
calcolane la sua superficie totale, il volume e il peso.
DATI
2p = 120 cm
h = 20 cm
ps = 2,7 g/cm3
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
P = V*ps =
V = (Sb*h) : 3 =
St = Sl + Sb =
Sl = (2p*a) : 2 =
Sb = l2 =
a = √h2 +abase2 =
abase = l : 2 =
l = 2p : 4 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
St ?
V?
P?
CALCOLI
P = 6000*2,7 = 16200 g = 16,2 Kg
V = (900*20) : 3 = 6000 cm3
St = 1500 + 900 = 2400 cm2
Sl = (120*25) : 2 = 1500 cm2
Sb = 302 = 900 cm2
a = √202 +152 =√400 +225 = √625 = 25 cm
abase = 30 : 2 = 15 cm
l = 120 : 4 = 30 cm
Pagina 57
“Cose di Matematica “
Problema: Il perimetro di base e l’altezza di una piramide che ha per base un triangolo
equilatero misurano rispettivamente 81 cm e 21 cm. Calcola la superficie totale
della piramide.
DATI
H piramide = 21 cm
2p = 81 cm
PROCEDIMENTO
1) St = Sl + Sb = h triangolo =
2) Sl = 2p*a : 2 =
3) Sb = l2 0,433 =
4) a = √h2 + a base =
5) a base = h triangolo : 3 =
6) h triangolo = l*0,866 =
7) l = 2p : 3 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
St ?
CALCOLI
St = 907,2 + 315,66 = 1222,86 cm2
Sl = 81*22,4 : 2 = 907,2 cm2
Sb = 272*0,433 = 315,657 cm2
a = √212 +7,82 =√441+ 60,84 =√501,84 = 22,4 cm
abase = 23,38 : 3 = 7,79 cm = 7,8 cm
h triangolo = 27*0,866 = 23,38 cm
l = 81 : 3 = 27 cm
Pagina 58
“Cose di Matematica “
Problema: Un quadrato ha il lato che misura 14 cm ed è la base di una piramide di marmo
(p.s. 2,8 g/cm3) la cui altezza misura 24 cm. Calcola:
a) il volume e il peso della piramide;
b) l’area della superficie totale della piramide;
c) l'area della superficie totale del parallelepipedo rettangolo equivalente
alla piramide e avente le dimensioni di base di 8 cm e 28 cm.
DATI
l = 14 cm
p.s.= 2,8 g/cm3
h piramide = 24 cm
a = 8 cm
b = 28 cm
V parallelepipedo = V piramide
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
St parallelepipedo = Sl + 2*Sb =
Sl = (2a+2b)*h =
h = V : Sb =
Sb = a*b =
V parallelepipedo = V piramide
P piramide = V*ps =
V piramide = Sb*h : 3 =
St piramide = Sl + Sb =
Sl piramide = 2p*a :2 =
2p = l*4 =
Sb = l*l =
a = √h2 + abase =
abase = l : 2 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
V piramide ? P piramide ?
St piramide ?
St parallelepipedo ?
CALCOLI
St parallelepipedo = 504+2*224 = 504+448= 952 cm2
Sl = (16 + 56)* 7 = 504 cm2
h = 1568 : 224 = 7 cm
Sb = 8*28 =224 cm2
V parallelepipedo = V piramide = 1568 cm3
P piramide = V*ps = 1568* 2,8 = 4390,4 g = 4,4 Kg
V piramide = Sb*h : 3 = 196*24 : 3 = 1568 cm3
St piramide = Sl + Sb = 700 + 196 = 896 cm2
Sl piramide = 2p*a :2 = 56*25 : 2 = 700 cm2
2p = 14*4 = 56 cm
Sb = 14*14 = 196 cm2
a = √242 +72 = √576+49 = √625 = 25 cm
abase = 14 : 2 = 7 cm
Pagina 59
“Cose di Matematica “
Problema: Calcola la misura della superficie totale di una piramide regolare a base
esagonale di sughero (ps=0,25 g/cm3) che pesa 2700 g e che ha un’altezza di
12 cm.
DATI
ps = 0,25 g/cm3
P = 2700 g
h = 12 cm
INCOGNITE
St ?
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
St = Sl + Sb =
Sl = 2p*a : 2 =
apiramide = √h2+a2 =
aesagono = l*0,866 =
2p = l*6 =
l = √Sb:2,598 =
Sb = 3V : h =
V = P : ps =
CALCOLI
St = 2939,376 + 2700 = 5639,376 cm2
Sl = 193,38*30,4 : 2 = 2939,376 cm2
a = √122+27,912 = √144+778,96=√922,96 = 30,4 cm
a = 32,23*0,866 = 27,91 cm
2p = 32,23*6 = 193,38 cm
l = √2700:2,598 = 32,23 cm
Sb = 3*10800 : 12 = 2700 cm2
V = 2700 : 0,25 =10800 cm3
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
Pagina 60
“Cose di Matematica “
Problema: Una piramide retta ha per base un trapezio isoscele il cui perimetro è 200 cm.
Il trapezio è circoscritto ad un circonferenza lunga 48π cm.Sapendo che l’area
della superficie totale della piramide è 5000 cm2, calcola il volume del solido.
DATI
2p = 200 cm
C = 48π cm
St = 5000 cm2
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
V = (Sb*h) : 3 =
Sb = 2p*r : 2 =
hpiramide = √ a piramide2 – r2 =
apiramide = hfaccia triangolare =
h faccia triangolare = 2Afaccia triangolare : b =
Afaccia triangolare = Sl : 4 =
Sl = St – Sb =
Sb = (B+b)*htrapezio : 2 =
bfaccia triangolare = lato
lato = (B + b ) : 2 =
htrapeio = r*2 =
r = C : 2π =
B+b = 2p : 2 =
INCOGNITE
V?
CALCOLI
V = 2400*10 : 3 = 8000 cm3
Sb = 200*24 : 2 = 2400 cm2
h piramide = √ 262- 242 =√676- 576=√100 =10cm
a piramide = h faccia triangolare = 26 cm
h faccia triangolare = 2*650 : 50 = 26 cm
Afaccia triangolare = 2600 : 4 = 650 cm2
Sl = 5000 – 2400 = 2600 cm2
Sb = 100*48 : 2 = 2400 cm2
b faccia triangolare = 50 cm
lato = 100 : 2 = 50 cm
h trapeio = 24* 2 = 48 cm
r = 48π : 2π = 24 cm
B+b = 200 : 2 = 100 cm
Una delle due facce laterali uguali ha area pari a un quarto della laterale totale. Per la condizione
Di circoscrittibilità dei quadrilateri la somma delle due basi è uguale alla somma dei due lati
obliqui .Quindi il semiperimetro corrisponde alla somma delle due basi e dei due lati obliqui.
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
Pagina 61
“Cose di Matematica “
Problema: Un solido è composto da due piramidi rette aventi la base in comune; questa è
un rombo che ha il perimetro di 180 cm e una diagonale lunga 72 cm. Sapendo
che gli apotemi delle due piramidi misurano ambedue 36 cm calcola il volume
del solido.
DATI
2p =180 cm
D = 72 cm
apotema = 36 cm
PROCEDIMENTO
1) V solido = 2* (Sb*h): 3 =
2) h = √apiramide2- abase2 =
3) a base =( D/2*d/2):lato =
4) Sb = D*d : 2 =
5) d = 2*(√l2- D/22 =
6) lato = 2p :4 =
INCOGNITE
V solido ?
CALCOLI
V sol. = 2*(1944*28,8) : 3 = 37324,8 cm3
h = √362- 21,62 = √1296 – 466,56 = 28,8 cm
a base = (36*27) : 45 = 21,6 cm
Sb = 54*72 : 2 = 1944 cm2
d = 2*(√ 452- 362) = 2*(√2025-1296) = 2*27 = 54 cm
l = 180 : 4 = 45 cm
L'apotema di base corrisponde all'altezza relativa all'ipotenusa di ciascun triangolo rettangolo
formato dalle diagonali del rombo,pertanto per calcolare la sua misura si utilizzerà la formula
( C*c ) : i. Il cateto maggiore corrisponde alla metà diagonale maggiore , il cateto minore corrisponde
a metà diagonale diagonale minore e l'ipotenusa al lato del rombo.
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
Pagina 62
“Cose di Matematica “
Problema: Un cono di gesso (ps 2 g/cm3) alto 16 cm ha un raggio di base di 12 cm.
Calcola la superficie, il volume e il suo peso (usa 3,14 per π).
DATI
ps = 2 g/cm3
h = 16 cm
r = 12 cm
π = 3,14
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
P = V*ps =
V = (π r2*h) : 3 =
St = Sl + Sb =
Sl = πr*a =
Sb = π r2 =
a = √h2 + r2 =
INCOGNITE
St ?
V?
P?
CALCOLI
P = 2411,52*2 = 4823,04 g = 4,823 Kg
V = (3,14*144*16) : 3 = 2411,52 cm3
St = 7536 + 452,16 = 1205,76 cm2
Sl = 3,14*12*20 = 7536 cm2
Sb = 3,14*122 = 452,16 cm2
a = √162 +122 = 20 cm
Problema: Un cono ha un volume di 2560π cm3. Calcola la superficie totale del
solido sapendo che il suo diametro di base è di 32 cm.
DATI
V = 2560π cm3
d = 32 cm
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INCOGNITE
St ?
Pagina 63
“Cose di Matematica “
PROCEDIMENTO
1) St = Sl + Sb =
2) Sl = πr*a=
3) a = √h2+ r2 =
4) h = 3V :π r2 =
5) Sb = π r2 =
6) r = d : 2 =
CALCOLI
St = 1708,16 + 803,84 = 2512 cm2
Sl = 3,14*16*34 = 1708,16 cm2
a = √302 + 162 = √900+256 =√1156 = 34 cm
h = 3*2560*3,14 : 803,84 = 30 cm
Sb = 3,14 * 162 = 256*3,14 = 803,84 cm2
r = 32 : 2 = 16 cm
Problema: Un parallelepipedo a base quadrata ha lo spigolo di base di 30 cm, l’altezza
di 45 cm e presenta una cavità conica con la base inscritta in una base del
parallelepipedo. Sapendo che il volume del solido è 35.790 cm3, determina
l’altezza del cono e l’area totale del solido.
DATI
spigolo di base = 30 cm
h parallelepipedo = 45 cm
V = 35.790 cm3
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
h cono ?
S solido ?
Pagina 64
“Cose di Matematica “
PROCEDIMENTO
1) S solido = St paral. – Sb cono + Sl cono =
2) St parallelepipedo = Sl +2Sb =
3) Sl parallelepipedo = 2p*h =
4) 2p = l*4 =
5) Slcono = πr*a =
6) a = √h2 + r2 =
7) h cono = 3V : πr2 =
8) Sb cono = πr2 =
9) r = l : 2 =
10) V cono = V parallelepipedo – V solido=
11) V parallelepipedo = Sb* h =
12) Sb parallelepipedo = l*l =
CALCOLI
S solido =7200 – 706,5 + 1177,5 = 7671 cm2
St parallelepipedo = 5400 + 2*900 = 7200 cm2
Sl parallelepipedo = 120*45 = 5400 cm2
2p = 30*4 = 120 cm
Sl cono = 3,14*15*25 = 1177,5 cm2
a = √202 +152 = 25 cm
hcono = 3*4710 : 3,14*152 =14130:706,5 = 20 cm
Sb cono = 15*15*3,14 = 706,5 cm2
r = 30 : 2 = 15 cm
V cono = 40500 – 35790 = 4710 cm3
V = 900*45 = 40500 cm3
Sb = 30*30 = 900 cm2
Problema: Un trapezio isoscele ha l’area di 900 cm2, l’altezza di 20 cm e la base
maggiore è doppia della minore. Determina:
a) il perimetro del trapezio;
b) l’area della superficie totale del solido ottenuto dalla rotazione completa del
trapezio attorno alla base maggiore;
c) il volume del solido ottenuto;
d) il peso di questo solido, espresso in kg, supposto costituito di un materiale
che ha un peso specifico di 7,8 g/cm3.
DATI
S trapezio = 900 cm2
h = AH = 20 cm
CD = 2AB
ps = 7,8 g/cm3
INCOGNITE
2p ?
S solido ?
V solido ?
P solido ?
L'altezza del trapezio corrisponde al raggio del cilindro e del cono.Le proiezioni dei lati obliqui sulla
base maggiore corrispondono alle altezze dei due coni congruenti e la base minore corrisponde
all'altezza del cilindro.I lati obliqui del trapezio corrispondono alle apoteme dei coni congruenti
generati nella rotazione.
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
Pagina 65
“Cose di Matematica “
PROCEDIMENTO
1) P = V solido ps =
2) V solido = V cilindro + 2Vcono =
3) Ssol. =(2πr*h)cil.+2(πr*a)cono =
4) V cilindro = πr2*h =
5) V cono = (πr2*h) : 3 =
6) 2p = B+b+ 2 l =
7) a = lato obliquo = √h2 + r2 =
8) h cono = (B – b) : 2 =
9) h cilindro = b =
10) B = (B+b) : 3*2 =
11) b = (B+b) :3 =
12) B + b = 2Strapezio : h trapezio =
CALCOLI
P = 50240* 7,8 = 391872 g = 391,872 kg
V solido =37680+2*6280 = 50240 cm3
Ssol. = 2π*20*30 +2π*20*25=2200π=6908 cm2
V cilindro = 3,14*202 *30 = 37680 cm3
V cono = 3,14*202 *15 : 3 = 6280 cm3
2p = 60 + 30 + 2*25 = 140 cm
a = √152 + 202 = 25 cm
h cono = (60 – 30) : 2 = 15 cm
h cilindro = 30 cm
B = 90 : 3*2 = 60 cm
b = 90 : 3 = 30 cm
B + b = 2*900 : 20 = 90 cm
Problema: In un trapezio isoscele l’altezza misura 24 cm; la base minore e la maggiore sono
rispettivamente i 7/12 e i 25/12 dell’altezza. Determina:
a) il perimetro del trapezio;
b) l’area del trapezio;
c) l’area della superficie totale del solido ottenuto dalla rotazione completa del
trapezio attorno alla base minore;
d) il volume del solido ottenuto;
e) il peso di questo solido supposto che sia di vetro (ps = 2,5 g/cm3).
DATI
h = 24 cm
b = 7/12 h
B = 25/12 h
ps = 2,5 g/cm3
INCOGNITE
2p ? A ?
S solido ?
V solido ?
P solido ?
L'altezza del trapezio corrisponde al raggio del cilindro e del cono.Le proiezioni dei lati obliqui sulla
base maggiore corrispondono alle altezze dei due coni congruenti e la base minore corrisponde
all'altezza del cilindro.I lati obliqui del trapezio corrispondono alle apoteme dei coni congruenti
generati nella rotazione.
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
Pagina 66
“Cose di Matematica “
PROCEDIMENTO
CALCOLI
1) P = Vsol*ps =
2) V = Vcil – 2Vcono =
3) S solido = Sl cilindro + 2Slcono =
4) Sl cilindro = 2πr*h =
5) Sl cono = πr*a =
6) A trapezio = (B+b)*h : 2 =
7) 2p = B + b +2*l =
8) h cono = (B – b) : 2 =
9) r = h trapezio
10) h cilindro = B =
11) a = l = √r2+[(B – b):2]2 =
12) B = 25/12*h =
13) b = 7/12*h =
P = 68728,32*2,5 = 171820,8 g = 171,8208 Kg
V = 242*50*π – 2*242*π*18 : 3 = 21888 π = 68728,32 cm2
S solido = 7536 + 2* 2260,8 = 12057,6 cm2
Sl cilindro = 2*3,14*24*50 = 7536 cm2
Sl cono = 3,14*24*30 = 2260,8 cm2
A trapezio = (50+14)*24 : 2 = 768 cm2
2p = 50+14+2*30 = 124 cm
h cono = 18 cm
r = 24 cm
h cilindro = B = 50 cm
a = l = √242+182 = √576+324 = √900 = 30 cm
B = 25/12*24 = 50 cm
b = 7/12*24 = 14 cm
Problema:Un trapezio rettangolo ha la base minore lunga 26 cm, la base maggiore lunga
35 cm e l’altezza è 6/13 della base minore. Determina l’area del trapezio, il
perimetro del trapezio, l’area della superficie totale del solido ottenuto dalla
rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore, il volume del solido
ottenuto ed il peso di questo solido supposto costituito di un materiale che ha
peso specifico di 0,5 g/cm3.
DATI
DC = 26 cm
AB = 35 cm
CH = 6/13 DC
ps = 0,5 g/cm3
INCOGNITE
2p ? A ?
S solido ?
V solido ?
P solido ?
L'altezza del trapezio corrisponde al raggio del cilindro e del cono.La proiezionie del lato obliquo
sulla base maggiore corrisponde all'altezza del cono e la base minore corrisponde
all'altezza del cilindro.Il lato obliquo del trapezio corrisponde all'apotema del cono.
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
Pagina 67
“Cose di Matematica “
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
P = (Vcil + Vcono)*ps =
Vcil = πr2*h =
Vcono = πr2*h : 3 =
S solido = Slcil + Slcono + Sbcil =
Sl cil = 2πr*h =
Sl cono = πr*a =
Sb = πr2 =
A trapezio = (B+b)*h : 2 =
2p = B+ b + h + l =
a =l = √h2+(B – b)2 =
h cono = B – b =
h cil = b =
r = h trapezio =
h trapezio = 6/13b =
CALCOLI
P =(11756,16 + 1356,48)*0,5 = 6556,32 g = 6,6 Kg
Vcil = 452,16*26 = 11756,16 cm3
V cono = 144*3,14* 9 : 3 = 1356,48 cm3
S solido = 1959,36+565,2+452,16 = 2976,72 cm2
Sl cil = 6,28*12*26 = 1959,36 cm2
Sl cono = 3,14*12*15 = 565,2 cm2
Sb = 144*3,14 = 452,16 cm2
A trap = (35+26)*12 : 2 = 366 cm2
2p = 35 +26 +15 +12 = 88 cm
a = l = √122+92 = √144 + 81 = √225 = 15 cm
h cono = 35 – 26 = 9 cm
h cil = 26 cm
r = 12 cm
h trap = 6/13*26 = 12 cm
Problema:Un trapezio rettangolo ha il perimetro di 120 cm ed il lato obliquo lungo 30 cm.
L’altezza del trapezio è uguale alla base minore e la base minore supera la base
maggiore di 18 cm. Determina la lunghezza delle basi del trapezio, l’area del
trapezio, l’area della superficie totale del solido ottenuto facendo ruotare di un
giro completo il trapezio intorno alla base minore, il volume del solido ottenuto,
il peso di questo solido supposto costituito di un materiale che ha peso specifico
di 2,5 g/cm3.
DATI
2p = 120 cm
l =BC = 30 cm
h = b =CH = CD
B – b = 18 cm
ps = 2,5 g/cm3
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INCOGNITE
B? b? A?
S solido ?
V solido ?
P solido ?
Pagina 68
“Cose di Matematica “
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
P = (V cil – V cono)*ps =
V cil = πr2*h =
V cono = πr2*h : 3 =
S tot = 2πr*h +πr*a +πr2 =
A trap = (B+b)*h : 2 =
a =l =
h cono = B – b =
h cil = B =
r = h trapezio =
h trapezio = b
b = [(2p – l) – ( B – b )] : 3 =
CALCOLI
P =20736*3,14*2,5 = 162777,6g = 162,78 Kg
V cil = 576π *42 = 24192 π cm3
V cono =576 π *18 :3 = 3456 π cm3
S tot = 6,28*24*42+3,14*24*30+3,14*576=3312π cm2
A trap = (24 +18+24)*24 :2 = 864 cm2
a = l = 30 cm
h cono = 18 cm
h cil = B = 24+18 = 42 cm
r = 24 cm
h trap = 24 cm
b = [(120 – 30) – 18] : 3 = 24 cm
Problema: Un trapezio rettangolo ha l’altezza di 6 cm. La somma delle basi è di
36 cm e la base minore corrisponde ai 7/11 della base maggiore.
Calcola il perimetro e l’area del trapezio.
Calcola l’area della superficie del solido generato dalla rotazione
completa del trapezio intorno alla base minore, il volume e il suo
peso (ps=2,5g/cm3).
Il solido di rotazione viene immerso completamente in un recipiente
contenente dell’acqua, a forma di prisma regolare quadrangolare
avente lo spigolo di base interno di 25 cm. Calcola di quanti
centimetri si innalza il livello d’acqua.
DATI
h = 6 cm
B + b = 36 cm
b = 7/11 B
ps = 2,5g/cm3
spigolo base prisma = 25 cm
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INCOGNITE
2p ? A ?
S solido ?
V solido ? Psolido ?
Innalzamento liquido ?
Pagina 69
“Cose di Matematica “
PROCEDIMENTO
CALCOLI
1) Innalzamento liquido = Vsol : Sb prisma =
Innal. Liquido = 2185,4 : 252 = 3,49 cm
2) P = V solido *ps =
P = 696*3,14*2,5 = 5463,6 g = 5,46Kg
3) V solido = V cil – V cono =
V solido = 792π – 96π = 696π cm3
4) V cil = πr2*h =
V cil = 36π*22 = 792π cm3
2
5) V cono = πr *h : 3 =
V cono =36*8π : 3 = 96π cm3
6) S solido = 2πr*h + πr*a +πr2=
S solido =(12*22+6*10+36)π = 360π cm2
7) A trap = (B+b)*h : 2 =
A = 36*6 : 2 = 108 cm2
8) 2p = B+b+h+l =
2p = 22 + 14 + 6 +10 = 52 cm
9) a = l = √r2+(B – b )2 =
a = l = √ 62+ 82 = 10 cm
10) h cil = B =
h cil = 22 cm
11) h cono = B – b =
h cono = 22 – 14 = 8 cm
12) r = h trap =
r = 6 cm
13) Per calcolare le due basi si può procedere con il metodo frazionario,con la proprietà del
comporre oppure con l'equazione.
B=X
b = 7/11 X
X +7/11X = 36 18/11X = 36 X = 22 cm (B)
b = 36 – 22 = 14 cm (b)
Problema: Un portacandele ha la forma di parallelepipedo a base quadrata. Al centro della
faccia superiore è scavata una cavità cilindrica del diametro 8 cm. Sapendo che
lo spigolo di base misura 10 cm, che l’altezza del solido è di 30 cm e l’altezza
del cilindro scavato è di 25 cm. Calcola il volume del solido e il volume della
cera che può contenere la cavità. Realizzando il solido in bronzo 14%
(ps 8,9 g/cm3 ) quando peserebbe il solido?
DATI
d cilindro = 8 cm
spigolo = 10 cm
h prisma = 30 cm
h cilindro = 25 cm
ps = 8,9 g/cm3
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INCOGNITE
V solido ?
V cera ?
P solido ?
Pagina 70
“Cose di Matematica “
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
P = Vsolido ps =
V solido = V paral. – V cilindro =
V paral. = Sb*h =
Sb = l2 =
V cilindro = πr2*h =
r=d:2=
CALCOLI
P = 1744*8,9 = 15521,6 g = 15,522
V solido = 3000 – 1256 = 1744 cm3
V paral. = 100*30 =3000 cm2
Sb = 10*10 = 100 cm2
V cilindro = 16*25*3,14 = 1256 cm3
r = 8 : 2 = 4 cm
Problema: Un prisma quadrangolare regolare presenta una cavità a forma di piramide,
essa pure quadrangolare regolare; l’apotema della piramide misura 13 cm e
lo spigolo di base 10 cm mentre l’altezza del prisma è di 80 cm e il suo
spigolo di base misura 24 cm. Calcola la misura dell’area della superficie
totale del solido cavo, la misura del volume del solido e il suo peso
sapendolo realizzato in bronzo 14% (ps 8,9 g/cm3).
DATI
a = 13 cm
l = 10 cm
h prisma = 80 cm
l base = 24 cm
ps = 8,9 g/cm3
PROCEDIMENTO
1) P = V * ps =
2) V = V prisma - V piramide =
3) V piramide = Sb*h : 3 =
4) V prisma = Sb*h =
5) S solido =St prisma – Sb piramide + Sl piramide =
6) St prisma = Sl +2Sb =
7) Sl piramide =2p*a : 2 =
8) Sl prisma = 2p*h =
9) Sb prisma = l*l =
10) Sb piramide = l*l =
11) h piramide = √a2 – l/2 2 =
A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE
INCOGNITE
S solido ?
V solido ?
P solido ?
CALCOLI
P = 45680*8,9 = 406552 g = 406,552 Kg
V solido = 46080 – 400 = 45680 cm3
V piramide = 100*12 : 3 = 400 cm3
V prisma = 576*80 = 46080 cm3
S solido = 8832 – 100 +260 = 8992 cm2
St prisma = 7680+2*576 = 8832 cm2
Sl piramide =10*4*13 : 2 = 260 cm2
Sl prisma = 24*4*80 = 7680 cm2
Sb prisma = 24*24 = 576 cm2
Sb piramide = 10*10 = 100 cm2
h piramide = √132 – 5 2 = 12 cm
Pagina 71
“Cose di Matematica “
Problema: Un cubo è sormontato da una piramide retta a base quadrangolare coincidente
con una faccia del cubo. Il solido ha un’altezza complessiva di 50 cm e lo
spigolo del cubo misura 15 cm. Calcola il volume del solido e il suo peso
sapendolo fatto di cristallo (ps 3,5 g/cm3).
DATI
h solido = 50 cm
spigolo cubo = 15 cm
ps = 3,5 g/cm3
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
P = V * ps =
V = V cubo + V piramide =
V cubo = s*s*s =
h piramide = h totale - h cubo =
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INCOGNITE
V solido ?
P solido ?
CALCOLI
P = 6000*3,5 = 21000 g = 21 Kg
V = 3375 + 2625 = 6000 cm3
V cubo = 15*15*15 = 3375 cm3
h piramide =50 – 15 = 35 cm
Pagina 72
“Cose di Matematica “
Problema: Un cilindro è sormontato da un cono retto con la base coincidente con una
base del cilindro. Il solido ha un’altezza complessiva di 42 cm, il cono è
alto 24 cm e il suo raggio di base misura 10 cm. Calcola la misura del
superficie totale, il volume del solido e il suo peso sapendolo fatto di
cristallo (ps 3,5g/cm3).
DATI
INCOGNITE
hsolido = 42 cm
St ?
hcono = 24 cm
Vsolido ?
r = 10 cm
P?
ps 3,5g/cm3
PROCEDIMENTO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
P = V * ps =
V = V cilindro + V cono =
St = Sb + Sl cilindro + S cono =
Sb = πr2 =
Sl cilindro = 2πr*h =
Sl cono = π r * a =
a = √h2 +r2 =
h cilindro = h solido - h cono =
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CALCOLI
P = 8164*3,5 = 28574 g = 28,574 Kg
V =314*18 + 314*24 : 3 = 5652+2512 = 8164 cm3
St = 314 + 1130,4 +816,4 = 2260,8 cm2
Sb = 100*3,14 = 314 cm2
Sl cilindro = 6,28*10*18 = 1130,4 cm2
Sl cono = 3,14*10*26 = 816,4 cm2
a = √242 +102 =26 cm
h cilindro = 42 – 24 = 18 cm
Pagina 73
“Cose di Matematica “
Problema: Un triangolo rettangolo, con i cateti di 3 cm e 4 cm, ruota attorno
all’ipotenusa. Calcola la misura del superficie totale, il volume del solido e
il suo peso sapendolo fatto di cristallo (ps 3,5g/cm3).
DATI
c = 3 cm
C = 4 cm
ps 3,5g/cm3
PROCEDIMENTO
1) P = V * ps =
2) V = V cono 1 + V cono 2 =
3) V cono 1 = πr2*h1 : 3 =
4) V cono 2 = πr2*h2 : 3 =
5) St = Sl cono 1 + Sl cono 2 =
6) Sl cono 1 = πr*a1 =
7) S lcono 2 =πr*a2 =
8) h1 = i - h2 =
9) h2 = √a22 – r2 =
10) a1 = c =
11) a2 = C =
12) r = h relativa all'ipotenusa =
13) h relativa all'ipotenusa = C * c : i =
14) i = √C2 +c2 =
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INCOGNITE
St ?
V? P ?
CALCOLI
P = 30,15*3,5 = 105,525g
V = 10,85 + 19,30 = 30,15 cm3
V cono 1 = 3,14*5,76*1,8 : 3 = 10,85..cm3
V cono 2 = 3,14*5,76*3,2 : 3 = 19,30..cm3
St = 30,144 + 22,608 = 52,752 cm2
Sl cono 1 = 3,14*2,4*4 = 30,144 cm2
Sl cono 2 = 3,14*2,4*3 = 22,608 cm2
h1 = 5 – 3,2 = 1,8 cm
h2 =√16 – 5,76 = 3,2 cm
a1 = 3 cm
a2 = 4 cm
r = 2,4 cm
h relativa all'ipotenusa = (3*4) : 5 = 2,4 cm
i = √16+9 = 5 cm
Pagina 74
“Cose di Matematica “
Problema: Un cubo, con uno spigolo 40 cm, è sormontato da un cono retto con la base
inscritta nella faccia superiore del cubo. Sapendo che l’apotema del cono misura
29 cm, calcola la superficie totale e il volume del solido.
DATI
s = 40 cm
a = 29 cm
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
PROCEDIMENTO
V sol.= V cubo + V cono =
S sol. = 6* Sb cubo – Sb cono + Sl cono =
V cubo = s3 =
V cono = πr2 h : 3 =
Sl cono = π r * a =
Sb cono = πr2 =
Sb cubo = s2 =
h cono = √a2 – r2 =
r=s:2=
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INCOGNITE
S sol. ?
V sol.?
CALCOLI
Vsol. = 64000 + 2800*3,14 = 72792 cm3
S sol. = 6*1600 – 400π+580π = 10165,2 cm2
V cubo = 40*40*40 = 64000 cm3
V cono = 400π*21 : 3 = 2800π cm3
Sl cono = 20*29 π = 580π cm2
Sb cono = 400π cm2
Sb cubo = 40*40 = 1600 cm2
h cono = √292 – 202 = 21 cm
r = 40 : 2 = 20 cm
Pagina 75
“Cose di Matematica “
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Pagina 76