e figure rigide

Figure ortic<
ffi&ffiffi§.ffituffi
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tigure qrtricolnbil:
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I
Cor
cor
rigide
1ÉÉramwrerymffis wfuw #mwmffiffiffi ffiffiffi
mÉrwffflaswm yEmffidm w mm$ffimmmffi
mfum m#mfuffimmm WmHmrum
La lecnologia moderna utilizzo le proprietà
realizzare strutture rigide e articolabili.
deipoligoniper
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di
W Costruzione
zions.iipellsen*-
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con s6q rrelte
I
ese«izi
TfsÉlfr;il,]E ff&
Cominciamo subito a lavordre senza numeri. Faremo delle costruzioni.
Staccate dal cartone inserito nel libro le striscioline (fig. 1).
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L.
Fr6un* t
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Procuratevi dei ferma-campioni. Due strisce si possono collegare con un fermacampione, come è indicato in figura 2.
Fig*"sre ff
paCon queste sbarrette si possono costruire dei poligoni, come vedrete nelle
gine successive.
f,ss-r qr$rslshdl e.fie-yls:l§!4q
ۤ q{sdrp t-p s
Se si collegano
rombo
tr
cmryiÉ*i*
i"q.rus.le
T
Bserrizi -EAFAEÉS §&
quattro sbarrette uguali, si può avere un quadrato (fig. 3) o un
(fig.a).
,
F*g*r*
*
fi6ur* 4
Ma è inutile costruire due figure perché ci accorgiamo subito che il quadrato,
che abbiamo fra le mani, non è rigido: basta una piccola pressione su un lato
perché da quadrato si passi a rombo (vedi vignetta e fig. E).
Il quadrato
è una
figura articolabile.
Figa:re §
Ì6
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l
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-olleghia
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rPi,or§
I
c*p!f ot*
Figure orticolqbili e figure rigide
1
Colleghiamo ora solamente tre sbarrette in modo da avere un triangolo
--_u§*ig*qo
(rig.6).
Fi6ur*
Figura 4
Ci accorgiamo che non si può cambiare la sua forma (vedi vignetta):
qolo è una figura rigida; non possiamo articolarla.
il
trian-
E ora osserviamo meglio queste figure, cominciando dal triangolo che, come
Figura 5
llh,-
;i è visto, non ci cambia fra le mani.
*
cmprt*§*
li-s.ss-qII§9-lsbùs-I-g:re*g,d.-
ffiil rlpngplo-
I
i'gure orllc
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luq
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111
Ci si chiede: prendendo tre sbarrette di lunghezza diversa, è sempre possibile costruire un triangolo? Viene da risponderer«certo, perché le sbarrette sono tre».
Ma guardate quello che succede al ragazzino che ha preso a caso tre sbarrette.
Ù
\.rn
L
fi§g*rm F
l
a.
ì. ,r.
4 tl c
Il triangolo «non si chiuden: una sbarretta è troppo lunga rispetto alle altre due
(fig. 7).
. ... -
r"
!-lL
- -_-r --
E non viene nemmeno un triangolo nel caso della costruzione che cerca di fare
ilragazzino in figura B: ora, le due sbarrette più corte si congiungono proprio
su quella più lunga; insomma il triangolo «si schiaccia»l
--
.:
I !G ! L'
-
ì-.:tiÉ. l,
F§6ar** &
- --
IL{
--c
Questi due casi nimpossibili» fanno capire che:
si può costruire un triangolo solo se la somma dei due lati più corti supera
lato più lungo.
l
il
ilt
opir§§*
I
c*piàe!*
Figure orticolobili e figure rigide
@
I
t't$'
3) Si può costruire un triangolo con lati lunghi:
1.8,9,1,5 perché 9 + 15 > 18 (il segno > vuol dire maggiore)
*? Non si può costruire un iriangolo con lati lunghi:
'18,1-0,
+
perché 10 + 4 <
18 (il segno
<
wol dire minore)
i*) Non si può costruire un triangolo con lati lunghi:
L8,10,8
perché
10+B=18
Per disegnare con esattezza un triangolo di lati lunghi... ci si vale del compasso
e, naturalmente, anche della riga, come è spiegato nell'esercizio 17 a pagina 99.
ru*srfi
/
@ ll quqdroto e il rombo
€sercizi
--**--n'rrm_
100
La costruzione con sbarrette ci ha fatto capire che il quadrato non è una figura rigida
come il triangolo: basta una piccola pressione su un lato perché dal quadrato si passi al rombo (fig. 9).
i tanti rombi che si ottengono ttihzzando quattro sbarrette uguali, si ha, per un
istante, il quadrato (fig. 10).
Fra
Flguna §
Figurc
Fig*ru
ffi
l0
Dunque:
il quadrato
è
un rombo particolare.
9
Figure orticolobili e figure rigide
4#prf
*ie
Figure o
I
Osserviamo meglio.
il
tÀ(
l!
Il rombo (fig. 11) è un quadrilatero
AI
che ha i Iati uguati.
D
Ia
F*ge"rr* I
II quadrato (fig. 12) è un quadrilatero che ha i lati uguali
goli uguali (sono retti).
e
I
gli an-
Fig*rm t #
ffi ll rettqn s e!e- e ilpsrs llelpsr sm m s
€sercizi
*-rc;rx*am
3&#
&c
con quattro
strisce, uguali a due a due, si costruisce un rettangolo (fig. 13).
Esercitando una pressione su un lato si passa al parallelogramma (fig.14).
reftongolo
porollelogrsmm0
Figura t #
Osserviamo meglio.
II parallelogramma
E
to
=
,Jsservir
è
un quadrilatero che ha i Iati opposti uguali.
FÀg**re
§
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EL,
Ci si hat
tire dall
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I
ccpir*l*
Figure orlitolobili e figure rigide
II rettangolo
è un quadrilatero che ha
I
i lati opposti uguali e gli
angoli uguali (sono retti).
Dunque: il rettangolo (fig. 15) è un parallelogramma particolare.
Figur* ! I
Figur* § 5
Figure I }
& Comesi
****-*ffi:s*
rolo o rettong
Osserviamo le diagonali del quadrato e del rettangolo (fig. 16).
relàungolo
*ig*r* 1S
Figura 14
Le diagonali si tagliano a metà e sono uguali.
Ci si basa su questa proprietà, cornune per costruire quadrato e rettangolo a par-
tire dalle diagonali.
t'l
- À
-c
^.r
,rc
Si procede così:
si collegano nel punto di mezzo due sbarrette uguali (fig. 17).
ol
F!txatr:'= t F
Si fa passare un
filo elastico nei quattro fori estremi (fig. 1B).
Fi**na=
Si ottiene così un rettangolo
il cui perimetro
è
il filo
'Èff
elastico.
Ora, se si diuaricano le diagonali, si osserva che il rettangolo cambia di forma;
quando le diagonali sono fra loro perpendicolari si ottiene il quadrato (fig. 19).
Fiffuen"* ì É
E
12
Dunque: il quadrato è un rettangolo particolare.
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opif er§
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Figure qrticolqbili e figure rigide
{ffipÈr*ie
F Come si può possqre ds ro mbo
q pqr
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èserrizi
"*mrr":;glua t I
G
Osserviamo le diagonali (fig. 20).
porollelogrcmmo
rombo
Figurc ì F
f*g*r* *S
Le diagonali si tagliano a metà e non sono uguali.
Ci si basa su questa proprietà per costruire rombo e parallelogramma a partire
rlalle diagonali.
Figure i S
Si collegano nel
punto dtmezzo due sbarrette di lunghezza diversa (fig' 21)'
FÈ6ur* ??
Si fa passare
Figura
un filo elastico nei quattro fori estremi (fi.g' 22)'
TB
Figuro 22
Si ottiene così un parallelogramma
il cui perimetro
è
il filo elastico.
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3
Figure srticolobili e figure rigide
e
*pri*t*
I
il parallelogramma cambia di forma; quando le
perpendicolari
diagonali sono fra loro
si ottiene il rombo (fig. 23).
Se si divaricano le diagonali,
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Figr,rr* §§
-.- l...rj
-..-:u!o:,
Dunque: il rombo è un parallelogramma particolare.
: -- ,. st-':
ffi L'lnsieme dei psrsllelogrummi
èsertizi * - *-*^-3EEE*"at]i
ìIE
Per raccogliere tutte le proprietà che abbiamo scoperto, abbiamo fatto questo
schema:
porollelogrommo
\
rellongolo
rombo
quodroto
-r:lr-.ì
-..1'O:-t,
-::aÈc,
-.:a - -l
- :- i11r,t
Questo schema, se si legge dal basso verso l'alto, ci aiuta a ricordare.
Si chiede: che cosa è un quadrato? La risposta la otteniamo risalendo a sinistra
o a destra.
Se si guarda a sinistra, si legge:
il qttadrato è un rettangolot e, infatti, si passa dal rettangolo al quadrato, ba-
sandosi sul fatto che le diagonali sono uguali e si tagliano a metà.
14
opitsI
*
I
rlsvtgqrtirqislilietigyre:lslde
e
*pàÈmrs
I
poi, sempre a sinistra:
il rettangolo è un parallelogramma: e, infatti, basta articolare un parallelogramma per ottenere un rettangolo.
Si legge
invece si guarda a destra, si legge:
il quadrato è un rombo: e, infatti, articolando un rombo si può avere il quadrato.
Se
poi, sempre a destra:
il rornbo è un parallelogramma: si passa, infatti, dal paralleloglamma al rombo
:asandosi sul fatto che le diagonali si tagliano a metà.
Si legge
Figur* §3
II quadrato
è dunque un parallelogramma.
Quadrati, rettangoli, rombi fanno parte dell'insieme dei parallelogrammi.
Ecco, sotto, una lappresentazione grafica che illustra bene Ia situazione.
§
^1,
^§'7
^§'
a\)
^§'
di un diagramma di Venn ()ohn Venn era un matematico inglese
.leil'Ottocento che ha spesso utllizzato questo tipo di rapplesentazione)'
Si tratta
Ii grafico ci dice che il quadrato è sia un rettangolo sia un rombo (è - come si
lice - «l'intersezione, di questi due insiemi), e che rettangoli e rombi sono dei
:arallelogrammi.
l5
copitote
Figure orticolobili e figure rigide
ffi ltrqpezi
FgureoÉkr
I
_**#§ffiH,rs
I0 lr
[lpoligono
oquadranl
Nella figura 24 sono disegnati dei poligoni con 4 lati, cioè tanti quadrilateri.
mn5.6o
qoello che
dtagono.
Pell
Figunc 24
Ci si accorge subito che questi quadrilateri hanno tutti la stessa proprietà.: hanno due lati paralleli. Si chiamano trapezi; i lati paralleli sono le basi del trapezio.
Nell'ultimo disegno, anche gli altri due lati sono paralleli: si ha un parallelogramma.
(
Un parallelogramma è dunque un trapezio particolare.
Ecco come possiamo uingrandire»
'f;Ilioordir
,:'ùùlrgol
il diagramma visto prima.
Arurpoli
brme- ar
imeccia
Emo rar
In figura 25 sono disegnati dei quadrilateri che non sono dei trapezi: non hanno infatti due lati paralleli.
Ia*q
Figuro 25
r6
I
opir*!e
I
*E?
*mpà****
Fisure orlicolobili e figure rigide
E
I
ffi lpoligoni
lati si chiama triangolo e quello di 4lati si chiama quadrilatero
,, quadrangolo. Se si collegaqo fra loro 5, 6 o più strisce si ottiene un poligono
:on 5, 6 o più lati (fig. 26); il poligono che ha 5 lati si chiama pentagono,
;uello che ne ha 6 esagono, quello che ne ha 7 ettagono, quello che ne ha B
ott&gono.
ottogono
escgono
pentogono
-l poligono di 3
U
Feg*r*
t4
Figurc 26
Ricord,iamoci sempre che un poligono, se ha più di 3 lati, è articolabile.
triangolo è il solo poligono rigido.
It
un poligono costmito con un certo numero di sbarrette si possono dare varie
:ùrme, articolandolo. Il poligono può presentare delle «rientranze» e può essere
-:rtrecciato.
Ecco vari casi in cui si trasforma un poligono di 5 lati ff527).
\
poligono concauo
la retta di un lato
taglia il poligono
poligono intrecciato
Figure *S
dne
lati si tagliano
Figura 27
17
Ir
ligt'regrlilqlqbiliqtig!,rq{gidq"
. " .-
"* "
rapiro!o
I
(Bserrizi
--*-**È'ÀF[€mE I I6
un poligono
I
è
regolare se ha tutti i rati e tutti gli angoli uguali.
Sono regolari:
il triangolo equilatero e il quadrato (fig.
2B).
Fig*.rrc §§
Non sono regolari:
il rombo perché ha i lati uguali ma gli angoli disuguali,
ha gli angoli uguali ma i lati disuguali (fig. 29).
e
il rettangolo perché
Figura
§*
Ogni poligono regolare si può dividere in tanti triangoli isosceli uguali (fig. B0).
figure §S
Il poligono
regolare è... bello: dà I'impressione di
proprio perché è regolare.
I8
opiier*
Égure orticolobili e Iigure rigide
{{§piso!*
I
1
lrsseryate intorno a voi: anche in semplici pavimenti di casa, potete trovare dei
:.-,ligoni regolari. Ecco dei pavimenti antichi.
--**$s*lt;a*
Fig**r*
*#
:-cmmento del povimento dello bosilico di Montecossino
:'osinonel. distrirtto doi bombordomenti del 1944. L'Abbo: : fu fondoto nel 529 do Son Benedetto do Norcio.
Porticolore
di mosoico
- o motivo
Villo Adriono (130 d.C.), o Romo.
quodroto
-
di
Figur* §È
Figur* *#
Povimento del vestibolo dello coso del Founo o Pompei
(60 o.C.).
I9
Figure orticolabili e figure rigide
e
*6r*$mnm
I
Un'intera città, Palmanova in provincia di Udine, ha la forma di poligono regolare; fu costruita nel 1593 con l'idea di farne «la città perfetta». Ancora oggi
la trovate così.
La
fri
Io
Veduto oereo dello
cittò di
Polmonovo
che evidenzio lo for-
mo oolioonole dello
ciilò'friuÉno.
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unq
l-o
Unn
Un tr
lÈ{elle
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lo
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il
Palmanova
tr?5000 (r0m*2§0m) L***-Jilg*---.S0'n
cifià di 'Polmonovo
to'dol
Fiss
lo piorito stellore o
nove punte, ol cui in'è rocchiuso il
terno
Dac
ln ouesto oionto dello
trolto dollo «Guido
rooido d'ltolio, {ediTourino Òlub
Itolionol si veJe bene
poligono regolore.
20
qu:
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].c
-o
-o
opif §§*
I
La frase «il triangolo è una figura rigida» vuol dire che:
si rompe facilmente
non cambia la sua forma
E cambia la sua forma
il a
§b
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lutc oereo dello
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Polmonovo
ev'denzio Io
for_
goligonole dello
r f- ,Jlono.
Un quadrato articolabile sitrasforma in un:
rombo
rettangolo
tr c
parallelogramma
Un rettangolo articolabile sitrasforma in un:
trb parallelogramma
tr o quadrato
fit
rombo
il b
fl o
:,
Un triangolo può essere contemporaneamente:
rettangoloe isoscele
ed equilatero
acutangolo
H
fl s
b
He
ottusangoloescaleno
costante?
Nella trasformazione da rettangolo a parallelogramma che cosa rimane
l'area
fl
c
il perimetro
tr gliangoli
H f la somma degli angoli
ilati
le diagonali
il b
fi e
o
nd
É.
I quadrilateri che hanno le diagonali uguali sono:
tr o
fl c
rombo
quadrato
nb
Ed
rettangolo
parallelogramma
I quadrilateri che hanno le diagonali perpendicolari sono:
tr q
tr c
xtc pionto dello
oi Polmonovo
ccrlo nGuido
: : +olio» (edirt curinq Club
c s rrede bene
i.
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stellore o
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è'occhiuso
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'egolore.
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il
rombo
quadrato
il
rettangolo
il d parallelogramma
Fissate le due basi e l'allezza, quantitrapezi puoi costruire?
ils
1
Da quanti
trq 4
I
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2
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infiniti
triangoli isosceli uguali è formato un ottagono regolare?
trh B
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16
0" Tra Ie seguentifrasi una sola è errata: qual è?
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tr b
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tr e
tr f
Un quadrato è un rombo
Un quadrato è un parallelogramma
Un parallelogramma è un trapezio
Un rettangolo è un quadrato
Un rombo è un traPezio
Un quadrato è un rettangolo
Ll-