Dominio - artemate

DOMINIO di FUNZIONI
PREREQUISITI:
 Grafici delle funzioni elementari.
 Calcolo di EQUAZIONI e
DISEQUAZIONI,
intere, fratte e scomposte.
Tutorial di Barberis Paola – agg 2015
FUNZIONE e DOMINIO
 
LA FUNZIONE E’ UNA LEGGE che associa ad
ogni valore di x uno ed un solo valore di y.
Le funzioni si dividono in:
-empiriche: ricavabili sperimentalmente o con metodi statistici
-matematiche: legame fra x ( variabile indipendente)e y ( v. dipendente)
è un calcolo matematico che si indica in
forma esplicita
y=f(x)
oppure in
forma implicita F(x,y)=0
  Il GRAFICO di una funzione è la rappresentazione sugli assi cartesiani
delle coppie ( x;y) che soddisfano la funzione
  Si chiama DOMINIO l’insieme dei valori di x che rendono calcolabile
la y ( graficamente proietto il grafico verso l’asse x )
  Si chiama CODOMINIO l’insieme delle immagini y ( graficamente
proietto il grafico verso l’asse y )
CLASSIFICAZIONE FUNZIONI MATEMATICHE
ALGEBRICHE
•  ALGEBRICHE: funzioni formate da polinomi
razionali
intere
fratte
irrazionali (x sotto radice)
y=
2 2 1
x + x
5
3
x−4
y
=
(x al denominatore)
x2 − 9
intere y = 3x − 4
fratte y = 3x − 4
x−2
•  TRASCENDENTI - funzioni non algebriche:
y=ax
funzione esponenziale
y=loga(x) funzione logaritmica
y=senx , y=cosx , y=tgx funzioni goniometriche
dominio funzioni razionali intere
Sono - RAZIONALI perchè la x non compare sotto radice
- INTERE poiché la x non si trova nel Denominatore
Il Dominio è sempre: qualunque valore di x appartenente ai numeri REALI
D:
∀x ∈R
cioè
] -∞;+∞[
oppure ( -∞;+∞)
Attenzione: “parentesi quadra aperta” e “Parentesi tonda” si equivalgono
y = 3x − 4
y=2
Retta y=mx+q
Funz costante y=k
D: ( -∞;+∞)
y=x
y = x 2 + 4 x + 3 Parabola y=ax2+bx+c
Funz identità
D: ( -∞;+∞)
D: ( -∞;+∞)
2 2 1
Dominio: ∀x ∈R cioè D: ( -∞;+∞)
Parabola
y= x + x
5
3
2
Dominio: ∀x ∈R cioè D: ( -∞;+∞)
y = x 3 − 4 x Cubica
y=ax3+bx2+cx+d
3
dominio funz razionali fratte
- RAZIONALI perchè la x non compare sotto radice
- FRATTE poiché la x si trova nel Denominatore
Poiche‘la DIVISIONE per 0 in matematica è OPERAZIONE IMPOSSIBILE”
non posso accettare le x che rendono il Denominatore uguale a zero.
Condizione: DENOMINATORE DIVERSO DA ZERO
2
y=
x
x−4
y=
x −5
Iperbole y=k/x
den ≠ 0
D:x ≠ 0
Funzione omografica
den ≠ 0
x−4
y= 2
x −9
den ≠ 0
x + 4 x −1
y=
10 − x
den ≠ 0
4
D:(-∞;0)U(0;+∞)
x−5≠0→ x ≠5
D:(-∞;5)U(5;+∞)
x − 9 ≠ 0;x ≠ 9 → x ≠ ±3;
2
2
D:(-∞,-3)U(-3,+3)U(+3;+∞)
10− x ≠ 0
+x −10 ≠ 0 → x ≠ +10
D:(-∞,10)U(10,+∞)
dominio funz irrazionali intere
- IRRAZIONALI perché la x non compare sotto radice
- INTERE poiché la x non si trova nel Denominatore
SE radice con indice PARI
Condizione: RADICANDO≥0
SE radice con indice DISPARI  D: y = 3x − 4
∀x ∈ R
rad ≥ 0
4
3x − 4 ≥ 0 → 3x ≥ 4 → x ≥
3
y = x + 5x + 4
rad ≥ 0
x +5x+ 4 ≥ 0;→ Δ > 0, conc: x ≤ −4 ∨ x ≥ −1
y = x −4
rad ≥ 0
2
2
y= x−6
3
D: [4/3 ; +∞)
2
D: (-∞;-4] U [-1;+∞)
x 2 − 4 ≥ 0;→ Δ > 0,conc:x ≤ −2∨ x ≥ +2
D: (-∞;-2] U [+2;+∞)
D : ∀x ∈R
dominio funz irrazionali fratte
- IRRAZIONALI perché la x non compare sotto radice
- FRATTE poiché la x si trova nel Denominatore
Devo fare un sistema fra le varie condizioni
3x − 4
y=
x−2
y=
y=
y=
x−5
x−7
x−3
x −4
2
x−5
x−7
⎧ 4
3x−
4
≥
0
radicando(numeratore)≥ 0 ⎧
⎪x ≥
→⎨ 3
⎨
denominatore ≠ 0 ⎩ x−2 ≠ 0 ⎪ x ≠ 2
⎩
rad(num) ≥ 0
rad(den) > 0
⎧x − 5 ≥ 0 ⎧x ≥ 5
→⎨
⎨
⎩x − 7 > 0 ⎩x > 7
Fai tu il grafico
del sistema
D: [4/3 ; 2)U(+2;+∞)
Fai tu il grafico
del sistema
D: (+7;+∞)
Le condizioni abbinate : den≠0 e rad⪰0  rad(den)>0
rad(den) > 0
x 2 − 4 > 0;→ x < −2 ∨ x > +2
D: (-∞;-2)U (+2;+∞)
Caso particolare Attenzione: non è uguale al secondo esempio perché qui
la frazione è TUTTA sotto radice quadrata quindi radicando(tutta frazione)⪰0
x−5
N ≥ 0 x−5 ≥ 0 x ≥ 5
≥ 0 diseq Fratta
x− 7
D > 0 x− 7 > 0 x > 7
Attenzione devi
fare il grafico
dei SEGNI
D: (-∞;5)U (7;+∞)
REGOLE DOMINIO FUNZ TRASCENDENTI
y=
FUNZIONE ESPONENZIALE
a x per qualsiasi x-->esiste sempre l’ordinata y D: ( -∞;+∞ )
y = a f (x)
Nessuna condizione per esponenziale, si trova il Dominio di f(x)
FUNZIONE LOGARITMICA
Devo risolvere la condizione-->ARGOMENTO>0
y = log a (x)
y = log a ( f (x)) D : f (x) > 0
y = senx
y = cos x
y = tgx
∀x ∈R
FUNZIONI GONIOMETRICHE SENO E COSENO
∀x ∈R
Dominio: D: ( -∞;+∞)
FUNZIONI GONIOMETRICA TANGENTE
La x deve essere diversa da 90° più multipli di 180
π
D : x ≠ + kπ
2
D:x > 0
dominio funz. logaritmica
un logaritmo esiste solo se l’argomento è positivo.
Pertanto devo risolvere la Condizione: ARGOMENTO >0 y = log(5x − 10)
5x − 10 > 0 → 5x > 10 → x > 2
D: (+2 ; +∞)
y = log(x − 5x) x − 5x > 0;→ Δ > 0,conc → x < 0 ∨ x > 5
2
2
D: (-∞;0)U(5 ;+∞)
y = log(x − 16)
2
x −16 > 0;→ Δ > 0,conc → x < −4 ∨ x > +4
2
D: (-∞;-4)U(+4;+∞ )
riepilogo : DOMINIO FUNZIONI MATEMATICHE
FUNZIONI ALGEBRICHE (polinomi)
RAZIONALI (la variabile x non compare sotto radice):
- Intere (no x nel Denominatore) ∀x ∈R
y = f (x) → D : ∀x ∈R
- Fratte (x nel Denominatore) Denominatore ≠ 0
y=
f (x)
→
g(x)
y=
pari
IRRAZIONALI (x sotto radice)
-Intere : radice indice pari --> D: Radicando ≥ 0
radice indice dispari --> D: ∀x ∈R
D : g(x) ≠ 0
f (x) → D : f (x) ≥ 0
y = dispari f (x) → ∀x ∈R
-Fratte: sistema (che dipende dal testo) fra condizioni
FUNZIONI TRASCENDENTI
y=ax
esponenziale Dominio: ∀x ∈R
y= logax logaritmica Dominio: Argomento > 0
funzioni goniometriche:
y= senx , y= cosx
Dominio : ∀x ∈R
π
D
:
x
≠
+ kπ
y= tgx Dominio:
2
y = log a ( f (x)) → f (x) > 0
1 esercizi Dominio
Esegui sul quaderno gli esercizi proposti e poi controlla le soluzioni:
a)
d)
d)
y=
6x
x2 − 1
17 − x
y= 4
x −1
x−4
y= 3
x −x
b)
e)
e)
y= x −x
2
y = x + 5x − x −5
3
3
y = x + 3x + 2x
3
2
y = log(2 − x)
c)
f)
f)
y = x −9x
3
y = log(x + 3x )
3
2
Soluzioni a-b-c Dominio:
a)
6x
y= 2
x −1
y= x −x
2
b)
c)
y = log(2 − x)
soluzioni:
a)
Pongo il denominatore diverso da 0 e ottengo
x 2 −1 ≠ 0 → x 2 ≠ 1→ x ≠ ±1
b)
c)
x −x≥0
x 2 − x = 0 → xi(x −1) = 0 → x = 0, x = 1
Δ > 0 → concordanza : x ≤ 0 ∨ x ≥ 1
Pongo il radicando ≥0
2
D: (-∞;-1)U(-1;+1)U(+1;+∞)
E trovo risolvo l’equazione associata:
D: (-∞;0] U [+1;+∞)
Pongo l’argomento del logaritmo maggiore di zero
2 − x >→ −x + 2 > 0
cambio segni e verso
x−2<0→ x<2
D: (-∞;+2)
Soluzioni d-e-f Dominio
d)
17 − x
y= 4
x −1
e)
y = x + 5x − x −5
3
3
f)
y = x −9x
3
soluzioni:
d)
x 4 − 4 ≠ 0; x 4 − 4 ≠ 0;
Pongo i due fattori diversi da 0
(… fai i passaggi ) si ottiene:
(x 2 − 2) ⋅ (x 2 + 2) ≠ 0;
e)
x + 5x − x −5 ≥ 0
3
2
(x + 5)⋅(x 2 −1) ≥ 0
x + 5 ≥ 0 → x ≥ −5
x −1≥ 0 → x ≤ −1∨ x ≥ +1
2
f)
x ≥0
x −9 ≥ 0 → x ≤ −3∨ x ≥ 3
2
Pongo i due fattori ≥0
con il grafo dei segni
( …svolgilo tu )
si ottiene:
x 3 − 9x ≥ 0 → x ⋅ (x 2 − 9) ≥ 0
D:x ≠ − 2 ∧ x ≠ 2
D :−5 ≤ x ≤ −1∨ x ≥1
Pongo i due fattori ≥0
con il grafo dei segni,
(..svolgilo tu )
si ottiene :
D :−3 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ 3
Soluzioni g-h-i Dominio:
d)
x−4
y= 3
x −x
e)
y = x + 3x + 2x
3
2
f)
y = log(x 3 + 3x 2 )
soluzioni:
d)
x 3 − x ≠ 0;
→ x(x 2 − 1) ≠ 0
e)
Pongo i due fattori diversi da 0
(fai tu i passaggi ) si ottiene:
x + 3x + 2 ≥ 0 → x(x + 3x + 2) ≥ 0
3
2
2
x≥0
x + 3x + 2 ≥ 0 → x ≤ −2 ∨ x ≥ −1
2
f)
x > 0 → ∀x ∈R − {0}
x+3>0→ x > 3
2
Disequazione scomposta: Pongo i due fattori ≥0
…con il grafo dei segni
(svolgilo tu ) si ottiene:
x 3 + 3x 2 > 0 → x 2 ⋅ (x + 3) > 0
D : x ≠ ±1∧ x ≠ 0
D :−2 ≤ x ≤ −1∨ x ≥ 0
Disequazione scomposta: Pongo i due fattori ≥0
….con grafo dei segni,
(svolgilo tu )
si ottiene:
D:x > 3
Esercizio 2 - Dominio di funzioni
4−x
y= 2
x +x
x 2 + 10
y= 2
x − 2x
x−2
y=
x−6
y = x + 3x
x2 + 6
y=
−2x + 6
y = log(x 2 − 9)
y = log(8 − 2x)
y = x 2 − 25
y = 5x + 20
y = x2 + x − 3
y = 3 5x − 10
y = −x 2 + 4
2
Esercizio 2 - Dominio: soluzioni
x 2 + 10
4−x
D:, x≠-1 x≠0
y= 2
y= 2
x − 2x
x + x (-∞ ; -1) ∪(-1;0)∪(0;+∞)
x−2
y=
x−6
D: x≠ +6
(-∞ ; 6) ∪(6 ; +∞)
x2 + 6
y=
−2x + 6
D: x≠3
(-∞ ; 3) ∪(3; +∞)
(-∞ ; 0)∪(0;2)∪(2;+∞)
y = x 2 + 3x
D: x ≤ -3 v x≥ 0
(-∞ ; -3] ∪[0 ; +∞)
y = log(x − 9)
D: x<-3 v x>3
(-∞ ; -3) ∪(3 ; +∞)
D: x≤-5 v x≥5
(-∞ ; -5] ∪[5 ; +∞)
2
y = log(8 − 2x)
D: x < 4
( -∞ ; +4 )
y = x − 25
y = 5x + 20
D: x≥-4
[-4 ; +∞)
y = x2 + x − 3
y = 5x − 10
D: (-∞ ; +∞)
y = −x 2 + 4
3
D: x≠0 x≠2
2
D: (-∞ ; +∞)
D: -2≤x≤ 2
[-2 ; 2]