Funzioni goniometriche e loro inverse in DERIVE 6

Funzioni goniometriche e loro inverse in DERIVE 6
1
Funzione seno
f(x)=senx
In Derive: f(x)=sin(x)
Dominio: R
Codominio: [−1;1]
E’ periodica con periodo T = 2π
2
Funzione coseno
f(x)=cosx
In Derive: f(x)=cos(x)
Dominio: R
Codominio: [−1;1]
E’ periodica con periodo T = 2π
3
Funzione tangente
f(x)=tgx
In Derive: f(x)=tan(x)
π


Dominio: A =  x ∈ R : x ≠ + kπ , k ∈ Z 
2


Codominio: R.
E’ periodica con periodo T = π
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1
4
Funzione cotangente
f(x)=cotgx
In Derive: cot(x)
Dominio: A = { x ∈ R : x ≠ kπ , k ∈ Z }
Codominio: R.
E’ periodica con periodo T = π
5
Funzione secante
f(x)=secx=1/cosx
In Derive: sec(x)
π


Dominio: A =  x ∈ R : x ≠ + kπ , k ∈ Z 
2


Codominio: R-]-1;1[
E’ periodica con periodo T = 2π
6
Funzione cosecante
f(x)=cosecx=1/sen(x)
In Derive: csc(x)
Dominio: A = { x ∈ R : x ≠ kπ , k ∈ Z }
Codominio: R-]-1;1[.
E’ periodica con periodo T = 2π
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2
7
f(x)=arcsenx
In Derive: f(x)=asin(x)
Dominio: A= [-1;1]
 π π
Codominio:  − ; 
 2 2
Funzione strettamente crescente
8
f(x)=arccosx
In Derive: f(x)=acos(x)
Dominio: A= [-1;1]
 π π
Codominio:  − ;  .
 2 2
Vale l’uguaglianza: arccos x =
π
− arcsenx
2
Funzione strettamente decrescente.
9
f(x)=arctgx
In Derive: f(x)=atan(x)
Dominio: R
 π π
Codominio:  − ; 
 2 2
Funzione strettamente crescente
10 f(x)=arccotgx
In Derive: f(x)=acot(x)
Dominio: R
Codominio: ]0;π [
Funzione strettamente decrescente.
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3
RELAZIONI PARTICOLARI
sen(arccos x) = 1 − x 2
Dimostrazione
sen(arccos x) = seny ; y ∈ [ 0; π ] ⇒ seny ≥ 0 ⇒
seny = 1 − cos 2 y = 1 − [ cos(arccos x)] = 1 − x 2
2
cos(arcsenx) = 1 − x 2
Dimostrazione
 π π
cos(arcsenx) = cos y; y ∈  − ;  ⇒ cos y ≥ 0 ⇒
 2 2
cos y = 1 − sen 2 y = 1 − [ sen(arcsenx)] = 1 − x 2
2
tg (arcsenx) =
x
1 − x2
Dimostrazione
 π π
tg (arcsenx) = tgy; y ∈  − ;  ⇒ cosy>0 e seny e
 2 2
tgy sono concordi ⇒
tgy =
seny
sen(arcsenx)
=
=
cos y
1 − sen 2 (arcsenx)
x
1 − x2
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4
1 − x2
tg (arccos x) =
x
Dimostrazione
 π  π 
tg (arccos x) = tgy , y ∈ 0;  ∪  ; π  ⇒ seny ≥ 0
 2 2 
e
cosy e tgy sono concordi ⇒
tgy =
1 − cos 2 y
1 − cos 2 (arccos x)
seny
=
=
cos y
cos y
cos(arccos x)
1 − x2
=
x
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