1. Grandezze Scalari e Vettoriali - Dipartimento di Ingegneria dell

1. Grandezze Scalari e Vettoriali
ALMA MATER STUDIORUM - UNIVERSITÀ DI BOLOGNA
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA ELETTRICA
Campi Scalari e Campi Vettoriali
f(P,t) =
f(x,y,z,t)
Un campo scalare è rappresentato da una
funzione scalare definita in una data regione
dello spazio D (P ∈ D), all’istante temporale t.
A(P,t) =
A(x,y,z,t)
Un campo vettoriale è rappresentato da una
funzione vettoriale definita in una data regione
dello spazio D (P ∈ D), all’istante temporale t.
A = Axi + Ayj + Azk
Ax = Ax(x,y,z,t)
Ay = Ay(x,y,z,t)
Az = Az(x,y,z,t)
Un campo vettoriale si può
decomporre in tre campi scalari
che rappresentano le componenti
del vettore secondo le coordinate
del sistema di riferimento.
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Campi: Dominio di definizione
La regione dello spazio tridimensionale D (P ∈ D) in cui un
campo è definito, viene anche detto dominio di
definizione del campo.
¾ Il dominio D può essere limitato od illimitato.
¾ Il dominio si intende connesso se considerati due punti
qualsiasi del dominio, è sempre possibile congiungerli con una
linea i cui punti sono tutti contenuti nel dominio.
¾ Il dominio può essere a connessione lineare semplice od a
connessione lineare multipla.
¾ Il dominio può essere a connessione superficiale semplice
od a connessione superficiale multipla.
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Campi: Dominio di definizione
Connessione Lineare Semplice
9 Il dominio si intende a connessione lineare semplice (dominio aciclico o semplicemente connesso) se, considerata una
qualsiasi linea chiusa appartenente al dominio, esiste almeno
una superficie che ha per contorno la linea data ed i cui punti
sono tutti contenuti nel dominio.
9 Se tale superficie non esiste il dominio si dice a connessione
lineare multipla (dominio ciclico).
In un dominio a connessione lineare semplice, considerate due
linee qualsiasi che congiungono due punti qualsiasi del dominio,
è possibile far coincidere per deformazione continua una delle
due linee con l’altra senza uscire dal nel dominio.
Inoltre una qualsiasi linea chiusa si può ridurre ad un punto per
deformazione continua senza uscire dal dominio.
3
Campi: Dominio di definizione
Connessione Lineare Semplice
Il dominio costituito dai punti interni ad una superficie sferica
(dominio limitato) è un dominio a connessione lineare semplice.
Anche il dominio costituito
dai punti esterni ad una superficie sferica (dominio
limitato) è un dominio a
connessione lineare
semplice.
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Campi: Dominio di definizione
Domini a Connessione Lineare Multipla
Il dominio costituito dai punti interni ad una superficie toroidale
(dominio limitato) è un dominio a connessione lineare multipla.
Anche il dominio
costituito dai punti esterni
ad una superficie toroidale (dominio illimitato) è
un dominio a connessione lineare multipla.
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Campi: Dominio di definizione
Derivazione di Domini a Connessione Lineare
Semplice da Domini a Connessione Lineare Multipla
Da un dominio molteplicemente connesso si può derivare un
dominio semplicemente connesso facendo opportune sezioni
il cui numero rappresenta l’ordine di molteplicità del dominio
originario.
Se si considera il dominio
interno ad una superficie
toroidale e si effettua una
sezione con la superficie S,
si ottiene un dominio a
connessione semplice.
S
l
l
La molteplicità del dominio toroidale limitato è del primo ordine.
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Campi: Dominio di definizione
Connessione Superficiale Semplice
9 Il dominio si intende a connessione superficiale semplice
quando tutti i punti interni ad una qualsiasi superficie chiusa
appartenente al dominio, sono contenuti nel dominio stesso.
Tale superficie chiusa si può ridurre ad un punto per deformazione continua senza uscire dal dominio.
9 Se tale superficie non esiste il dominio si dice a connessione
superficiale multipla.
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Campi: Dominio di definizione
Connessione Superficiale Semplice e Multipla
9 Il dominio costituito dai punti interni ad una superficie sferica
è un dominio a connessione superficiale semplice.
9 Il dominio costituito dai punti esterni ad una superficie
sferica è un dominio a connessione superficiale multipla.
9 Il dominio costituito dai punti compresi fra due superfici
sferiche concentriche è un dominio a connessione superficiale
multipla.
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Superficie di livello di un campo scalare
Un campo scalare f(P,t) in un generico istante t0 è costante
qualora soddisfi all’equazione:
f(P,t0) = cost.
¾ Tale equazione è l’equazione di una superficie e
rappresenta una superficie
di livello del campo f.
f(P, to) = cost.
S
Quando f rappresenta il potenziale elettrico, f = cost. è l’equazione di
una superficie equipotenziale.
9
Linee di forza e tubi di flusso di campo vettoriale
¾ Una linea la cui tangente in ogni
suo punto è data dalla direzione
del campo vettoriale A in tale
punto è detta linea di forza o
linea di flusso di A.
A(P1)
•
P1
P2
•
A(P2)
¾ Un tubo di flusso di un campo
vettoriale A la regione delimitata
da una superficie tubolare ottenuta
come superficie inviluppo di linee
di forza di di A.
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Circolazione e circuitazione
¾ Data una linea orientata l che
congiunge i due punti A e B,
l’integrale di linea fra gli estremi A
e B della componente del vettore
A lungo la tangente alla linea
prende il nome di circolazione di
A lungo la linea orientata l:
B
TAB,l = ∫ A ⋅ t dl =
A,l
B
•
t
u
l
A
•
B
∫ A ⋅ dl
posto t dl = dl
A,l
¾ Qualora la linea orientata l sia una linea chiusa la circolazione
diviene la circuitazione del vettore A.
Se il campo A rappresenta un campo di forza la sua circolazione
TAB,l rappresenta il lavoro del campo per passare da A a B lungo l.
Se A è un campo elettrico, TAB,l è il lavoro del campo elettrico per
spostare una carica unitaria da A a B.
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Campi Conservativi: invarianza della circolazione
9 Qualora la circolazione di un
campo vettoriale lungo una linea
t1
•
all’interno di un dominio D sia indil1
pendente dalla linea di integrazione
ma dipenda solo dai suoi estremi A A
•
e B (invarianza della circolazione), in tale dominio la circuitazione
del campo lungo qualsiasi linea chiu•
sa è nulla. In tal caso il campo si
-t2
dice conservativo nel dominio D.
B
•
l2
t2
9 D’altra parte, qualora un campo vettoriale sia conservativo
nel dominio D, in tale dominio la circolazione del campo fra
due punti A e B non dipende dalla linea che congiunge A a B,
ma è funzione solamente dei due punti.
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Campi Conservativi: invarianza della circolazione
Qualora la circolazione di un campo
A fra i punti A e B non dipenda
dalla linea che li congiunge, si ha:
B
∫A⋅t
1
dl =
1
∫A⋅t
2
dl
A
•
A,l2
A
dl +
A,l1
∫ A ⋅ ( −t
2
B
•
•
l1
B
A,l1
B
∫A⋅t
t1
l2
) dl = 0
•
B,l2
-t2
∫ A ⋅ t dl = 0
t2
l1 + l2
In tal caso quindi il campo A è a circuitazione nulla, cioè è
conservativo. Analogamente si dimostra che se il campo è
conservativo, la sua circolazione dipende solo dagli estremi di
integrazione e non dalla linea che congiunge tali estremi.
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Flusso
Sia data una superficie orientata S
(una faccia di S è assunta positiva)
con l contorno linea chiusa e con n
versore normale in ogni punto ad S e
verso dato dall’orientazione di S. Si
assume inoltre che la superficie S
sia contenuta nel dominio di definizione del campo vettoriale A.
S
n
l
9 Il flusso del campo vettoriale A attraverso la superficie S è
definito dal seguente integrale:
Φ =
∫∫ A ⋅ n dS
S
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Superficie di integrazione e suo contorno
9 Se la linea chiusa l contorno di
S è orientata, si può associare
all’orientazione di l l’orientazione di
S tramite la regola della vite
destrogira. In tal caso S orientata
equivale a dire che S ha contorno
orientato.
9 Se due superfici S hanno lo
stesso contorno l, in generale il
flusso dipende dalle superficie di
integrazione alla quale esso è
riferito e non dal contorno l.
S
n
l
S
n
S’
n’
l
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Campi Solenoidali: invarianza del flusso
9 Qualora il flusso di un campo vettoriale attraverso una qualsiasi superficie
all’interno di un dominio D sia dipendente solo dal contorno orientato l e
non dipenda dalla particolare superficie
che vi si appoggia, il flusso attraverso
una qualsiasi superficie chiusa contenuta in D è nullo. In tal caso il campo si
dice solenoidale nel dominio D :
∫∫ A ⋅ n dS = ∫∫ A ⋅ n' dS
∫∫ A ⋅ n dS + ∫∫ A ⋅ (−n' ) dS = 0
∫∫ A ⋅ n dS = 0
S
S
n’
l
S
n
S’
n’
S'
S
n
S’
-n’
S'
S +S '
l
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Campi Solenoidali: flusso concatenato
9 D’altra parte, qualora il flusso di un campo vettoriale attraverso una qualsiasi superficie chiusa contenuta in D sia nullo, in tale dominio il flusso attraverso una superficie di contorno l non dipende dalla superficie ma dal suo contorno l, cioè
non varia al variare della superficie che si appoggia su l
(invarianza del flusso).
¾ Flusso Concatenato: per un campo vettoriale solenoidale
in un dominio D il flusso del campo attraverso una qualsiasi
superficie chiusa contenuta in D è nullo ed il flusso
attraverso una superficie aperta contenuta in D è dipendente
solo dal contorno l della superficie e non dipenda dalla
particolare superficie che si appoggia su l. In tal caso si dice
che il flusso è concatenato con la linea chiusa orientata l.
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Campi Solenoidali: tubi di flusso
¾ Attraverso la superficie laterale di un
tubo di flusso non passa flusso poiché
la componente del vettore normale alla
superficie è nulla. Per un campo solenoidale il flusso che passa attraverso
una qualsiasi sezione trasversale del
tubo ha stesso valore e segno (non varia) poiché il flusso, attraverso la superficie chiusa che delimita un tronco di tubo, deve essere nullo.
¾ Per campi solenoidali i tubi di flusso sono a flusso costante (il termine solenoidale dariva da ciò: σωλην = tubo).
¾ Considerando tubi a flusso unitario, il numero di tubi (o di
linee se sono considerate come tubi unitari) che attraversa
una superficie esprime il flusso attraverso di essa.
¾ Nelle regioni ove le linee si addensano il campo cresce.
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Campi non-Solenoidali: sorgenti e pozzi
¾ Un tubo di flusso può avere origine o termine in regioni in
cui il campo vettoriale non è solenoidale, ovvero in cui esistono discontinuità del campo.
Se attraverso una superficie chiusa il flusso è diverso da zero
le linee entranti ed uscenti sono in numero diverso. Nella regione interna a tale superficie chiusa le linee hanno origine o
termine. Ciò accade in punti o, in generale, superfici sedi di
discontinuità del campo.
¾ Un tubo di flusso può avere origine o termine soltanto nelle
regioni in cui esistono sorgenti o pozzi del campo.
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Campi Solenoidali: tubi di flusso
¾ Per un campo ovunque solenoidale, non avendo le linee di
flusso né origine né termine, esse sono chiuse o si racchiudono all’infinito.
¾ Per un campo conservativo, poiché la circuitazione deve
essere nulla, le linee di flusso non possono essere chiuse.
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Campi conservativi e campi solenoidali
Campi conservativi
Campi solenoidali
• Integrale di linea dipende
• Integrale di superficie dipende
dagli estremi
dal suo contorno
(flusso concatenato)
• Integrale di linea chiusa
• Integrale di superficie chiusa
è nullo
è nullo
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