Prestazioni di capitale caso morte

Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Prestazioni di capitale caso morte
Giovanni Zambruno e Asmerilda Hitaj
Bicocca, 2014
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Outline
1
Assicurazione elementare caso morte
2
Temporanea caso morte
3
Caso morte a vita intera
4
Caso morte differita
5
Assicurazioni miste
6
Assicurazione a termine fisso
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Assicurazione elementare caso morte
E’ l’impegno, con riferimento ad una testa di età x, di
corrispondere un capitale stabilito, che si suppone unitario,
dopo n anni, se l’individuo morirà tra le età x + n − 1 e
x + n.
1
0.8
0.6
0.4
V(x,YV
x+n
YM
)=?
x+n
0.2
0
−0.2
−0.4
Età x
x+n−1
x+n
−0.6
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Assicurazione elementare caso morte cont...
M è:
dove, la prestazione contrattualmente prevista, Yx+n
M
Yx+n
=
1 se n−1|1 qx = {Tx ≤ n}
0 altrimenti.
Il valore della prestazione è:
M ) = E(Y M ) v n
V (x, Yx+n
x+n
n
= v n−1|1 qx
=n−1|1 Ax .
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Assicurazione elementare caso morte cont...
M è:
dove, la prestazione contrattualmente prevista, Yx+n
M
Yx+n
=
1 se n−1|1 qx = {Tx ≤ n}
0 altrimenti.
Il valore della prestazione è:
M ) = E(Y M ) v n
V (x, Yx+n
x+n
n
= v n−1|1 qx
=n−1|1 Ax .
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Polizza caso morte
Caso morte
Pagamento ai beneficiari di un capitale, qualora il decesso
avvenga entro un fissato intervallo di tempo (ass.
’temporanee’) o in qualunque epoca esso avvenga (ass. ’a
vita intera’).
Finalità: coprire il rischio di morte e relative conseguenze
finanziarie.
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Temporanea caso morte
Temporanea caso morte (TCM): è l’impegno di
corrispondere un capitale unitario (C=1) alla fine dell’anno
in cui avviene il decesso di una testa di età x, solo se la
morte avviene entro n anni (entro l’età x + n)
0.6
0.4
1*qx
0.2
1*n−1|1qx
1*1|1qx 1* q
2|1 x
0
−0.2
−0.4
Età x
x+1
x+2
x+3
...
x+n
x+n+1 ...
w
−0.6
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Temporanea caso morte
Temporanea caso morte (TCM): è l’impegno di
corrispondere un capitale unitario (C=1) alla fine dell’anno
in cui avviene il decesso di una testa di età x, solo se la
morte avviene entro n anni (entro l’età x + n)
0.6
0.4
1*qx
0.2
1*n−1|1qx
1*1|1qx 1* q
2|1 x
0
−0.2
−0.4
Età x
x+1
x+2
x+3
...
x+n
x+n+1 ...
w
−0.6
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
TCM cont...
E’ caratterizzata da una data di pagamento aleatorio,
il pagamento stesso è aleatorio, poiché potrebbe non
esserci se l’assicurato sarà in vita alla scadenza.
Il valore attuale attuariale è:
P
V (x, Y M ) = nk =1 E YkM ∗ v k
= (1 qx )v + (1 1|1 qx )v 2 + . . . + (1 n−1|1 qx )v n
=|1 Ax +1|1 Ax + . . . +n−1|1 Ax = n Ax
Principio di composizione dei contratti: portafoglio di n
contratti elementari caso morte
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
TCM cont...
Se il capitale assicurato e’ unitario per ogni anno:
n
X
v k k −1|1 qx .
V (x, Y ) =n Ax =
k =1
Se il capitale assicurato e’ fisso (C) per ogni anno
n
X
v k k −1|1 qx .
V (x, Y ) = C ∗
k =1
Se il capitale assicurato cambia (Ck ) ogni anno
n
X
Ck v k k −1|1 qx .
V (x, Y ) = n Ax =
k =1
Si assume che l’assicurato possa morire solo a tempi interi
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
TCM cont...
Se il capitale assicurato e’ unitario per ogni anno:
n
X
v k k −1|1 qx .
V (x, Y ) =n Ax =
k =1
Se il capitale assicurato e’ fisso (C) per ogni anno
n
X
v k k −1|1 qx .
V (x, Y ) = C ∗
k =1
Se il capitale assicurato cambia (Ck ) ogni anno
n
X
Ck v k k −1|1 qx .
V (x, Y ) = n Ax =
k =1
Si assume che l’assicurato possa morire solo a tempi interi
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
TCM cont...
Se il capitale assicurato e’ unitario per ogni anno:
n
X
v k k −1|1 qx .
V (x, Y ) =n Ax =
k =1
Se il capitale assicurato e’ fisso (C) per ogni anno
n
X
v k k −1|1 qx .
V (x, Y ) = C ∗
k =1
Se il capitale assicurato cambia (Ck ) ogni anno
n
X
Ck v k k −1|1 qx .
V (x, Y ) = n Ax =
k =1
Si assume che l’assicurato possa morire solo a tempi interi
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Esercizio 1 (TCM)
Anna all’età di 70 anni stipula un contratto temporanea caso
morte di 10 anni. Sapendo che il capitale assicurato è 20000.
Si calcoli il valore della prestazione ed il premio unico della
prestazione. Si consideri un tasso di interesse annuo del 2%.
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Valore di una TCM di 10 anni al variare dell’età
1
A
A
10 100
10 90
0.9
0.8
A
10 80
0.7
0.6
0.5
A
10 70
0.4
0.3
A
10 60
0.2
A
0.1
10 50
A
10 0
0
1
A
10 10
2
A
10 20
3
A
10 30
4
A
10 40
5
G. Zambruno e A. Hitaj
6
7
8
9
10
11
12
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Valore attuale di una TCM stipulata all’età di 30 e durata t=1,…,76
9000
AAAAAAAAAAAAA
AA
64 653066306730683069307030713072307330743075307630 30
62 6330 30
AA
A
60 6130 30
59 30
A
58 30
A
57 30
A
56 30
A
55 30
A
8000
54 30
A
53 30
A
52 30
A
7000
51 30
A
50 30
A
49 30
A
48 30
A
6000
47 30
A
46 30
A
45 30
A
A
44 30
5000
443 30
A
42 30
A
41 30
A
4000
40 30
A
39 30
A
38 30
A
37 30
A
36 30
35 30
A
34 30
A
33 30
A
32 30
A
31 30
A
30 30
A
29
30
A
28 30
A
27 30
A
26 30
A
25 30
A
24 30
A
23 30
A
22 30
A
A
21 30
A
20 30
A
18 1930 30
AA
16 1730 30
AA
14 1530 30
AA
AA
12 1330 30
A A A10 1130 30
A A A7 830 930 30
A A A4 530 630 30
1 230 330 30
A
3000
2000
1000
0
0
10
20
30
G. Zambruno e A. Hitaj
40
50
60
70
80
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Esercizio 2 (TCM)
Marco all’età di 30 anni stipula un contratto temporanea caso
morte di 8 anni. Sapendo che il capitale assicurato è 20000
euro è per i primi 5 anni e 15000 euro per il periodo rimanente.
Si calcoli il valore attuale ed il premio unico della prestazione.
Si consideri un tasso di interesse annuo del 2%.
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Esercizio 3 (TCM)
Mattia all’età di 50 anni stipula un contratto temporanea caso
morte di 6 anni. Sapendo che il capitale assicurato è 20000
euro per il primo anno e che decresce in progressione
aritmetica di raggio 1000 euro negli anni successivi. Si calcoli il
valore attuale ed il premio unico della prestazione. Si consideri
un tasso di interesse annuo del 2%.
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Caso morte a vita intera
È l’impegno di corrispondere un capitale unitario alla fine
dell’anno in cui avviene il decesso di una testa di età x.
0.6
0.4
1*qx
0.2
1*
1*1|1qx 1* q
2|1 x
q 1*
q
w−1−x|1 x
w−2−x|1 x
0
−0.2
−0.4
Età x
x+1
x+2
x+3
...
w−1
w
−0.6
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Caso morte a vita intera cont...
L’aleatorietà del contratto riguarda solo la data di
pagamento: l’assicuratore dovrà comunque pagare, prima
o poi, il capitale assicurato.
P
M ∗ vk
V (x, Y M ) = w
k =1 E Yk
= (1 qx )v + (1 1|1 qx )v 2 + . . . + (1 w−1−x|1 qx )v w−x
=|1 Ax +1|1 Ax + . . . +w−1−x|1 Ax = Ax
Nel caso i = 0, si ha Ax =
Pwx
k =1 k −1 qx
= 1.
In questo caso il valore della vita intera non dipende
dall’ipotesi demografica e coincide con il capitale
assicurato.
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Caso morte differita
0.8
0.6
1*m+n−1|1qx
1*m|1qx
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
Età x
...
x+m
...
x+n+m
...
w
−0.6
Una polizza caso morte differita di m anni per una durata
di n anni, è l’impegno di corrispondere un capitale unitario
(C=1) alla fine dell’anno in cui avviene il decesso di una
testa di età x, solo se la morte avviene tra l’età x + m e
x + m + n).
se la morte dell’assicurato avviene durante il periodo di
differimento l’assicurazione non paga nulla.
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Caso morte differita
0.8
0.6
1*m+n−1|1qx
1*m|1qx
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
Età x
...
x+m
...
x+n+m
...
w
−0.6
Una polizza caso morte differita di m anni per una durata
di n anni, è l’impegno di corrispondere un capitale unitario
(C=1) alla fine dell’anno in cui avviene il decesso di una
testa di età x, solo se la morte avviene tra l’età x + m e
x + m + n).
se la morte dell’assicurato avviene durante il periodo di
differimento l’assicurazione non paga nulla.
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Caso morte differita
0.8
0.6
1*m+n−1|1qx
1*m|1qx
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
Età x
...
x+m
...
x+n+m
...
w
−0.6
Una polizza caso morte differita di m anni per una durata
di n anni, è l’impegno di corrispondere un capitale unitario
(C=1) alla fine dell’anno in cui avviene il decesso di una
testa di età x, solo se la morte avviene tra l’età x + m e
x + m + n).
se la morte dell’assicurato avviene durante il periodo di
differimento l’assicurazione non paga nulla.
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Differita TCM
l’aleatorietà riguarda il periodo di pagamento e il
pagamento stesso che può anche non essere effettuato.
Il valore attuale attuariale di una prestazione temporanea
caso morte di durata n anni differita di m anni è dato da:
m+n
X
v k k −1|1 qx
A
=
m|n x
k =m+1
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Assicurazioni miste
Si copre il rischio di morte e contemporaneamente ci si
garantisce un capitale o una rendita in caso di
sopravvivenza
Combinazioni degli altri due tipi.
Assicurazioni miste
Mista semplice o ordinaria
Doppia mista (caso di mista combinata)
Assicurazione a termine fisso
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Assicurazione mista semplice
Assicurazione mista semplice:è l’impegno di corrispondere
un capitale unitario dopo n anni se l’assicurato sarà in vita
all’età x + n, o alla morte dell’assicurato se questo muore
prima dell’età x + n.
Le prestazioni della polizza mista sono:
Y = {Y1 , Y2 , . . . Yn } ai tempi t = {1, 2, . . . n}, dove per
ogni k = 1, 2, ..., n si ha:
 m
se k − 1 < Tx ≤ k
 C
C v se k = n e Tx > n
Yk =

0 altrimenti.
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Assicurazione mista semplice cont...
Il valore attuale attuariale è dato dalla somma delle due
componenti
Se il capitale assicurato e′ unitario nel caso morte e vita :
V (0, Y ) = ( n Ex +n Ax ) = Ax:n ,
stesso il capitale assicurato (C) nel caso morte e nel caso vita :
V (0, Y ) = C ∗ ( n Ex +n Ax ) = C ∗ Ax:n
Capitale assicurato C m nel caso morte e C v nel caso vita :
V (0, Y ) = (C v n Ex + C m n Ax ).
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Assicurazione mista semplice cont...
Il valore attuale attuariale è dato dalla somma delle due
componenti
Se il capitale assicurato e′ unitario nel caso morte e vita :
V (0, Y ) = ( n Ex +n Ax ) = Ax:n ,
stesso il capitale assicurato (C) nel caso morte e nel caso vita :
V (0, Y ) = C ∗ ( n Ex +n Ax ) = C ∗ Ax:n
Capitale assicurato C m nel caso morte e C v nel caso vita :
V (0, Y ) = (C v n Ex + C m n Ax ).
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Assicurazione mista semplice cont...
Il valore attuale attuariale è dato dalla somma delle due
componenti
Se il capitale assicurato e′ unitario nel caso morte e vita :
V (0, Y ) = ( n Ex +n Ax ) = Ax:n ,
stesso il capitale assicurato (C) nel caso morte e nel caso vita :
V (0, Y ) = C ∗ ( n Ex +n Ax ) = C ∗ Ax:n
Capitale assicurato C m nel caso morte e C v nel caso vita :
V (0, Y ) = (C v n Ex + C m n Ax ).
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Assicurazione mista semplice cont...
Il valore attuale attuariale è dato dalla somma delle due
componenti
Se il capitale assicurato e′ unitario nel caso morte e vita :
V (0, Y ) = ( n Ex +n Ax ) = Ax:n ,
stesso il capitale assicurato (C) nel caso morte e nel caso vita :
V (0, Y ) = C ∗ ( n Ex +n Ax ) = C ∗ Ax:n
Capitale assicurato C m nel caso morte e C v nel caso vita :
V (0, Y ) = (C v n Ex + C m n Ax ).
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Capitalizzazione
Un contratto di capitalizzazione di durata n prevede che al
contraente venga pagato a scadenza un capitale C con
certezza, indipendentemente quindi dalla durata della sua
(o di altrui) vita.
Tecnicamente non è un contratto di assicurazione.
Il valore del contratto alla data di stipula è:
V (0, Cn ) = C v n
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Assicurazione a termine fisso
Assicurazione a termine fisso: è simile alla polizza mista,
con l’unica differenza che la prestazione caso morte,
anziché essere pagata alla data del decesso
dell’assicurato, viene pagata alla scadenza n della polizza.
Se facciamo riferimento ad una polizza con capitale
assicurato caso vita C v e capitale assicurato caso morte
C m , il contratto prevede un’unica prestazione Yn al tempo
n, definita da:
Yn =
C v se Tx > n
C m se Tx ≤ n
G. Zambruno e A. Hitaj
(n px ),
(n qx ).
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Assicurazione a termine fisso
Assicurazione a termine fisso: è simile alla polizza mista,
con l’unica differenza che la prestazione caso morte,
anziché essere pagata alla data del decesso
dell’assicurato, viene pagata alla scadenza n della polizza.
Se facciamo riferimento ad una polizza con capitale
assicurato caso vita C v e capitale assicurato caso morte
C m , il contratto prevede un’unica prestazione Yn al tempo
n, definita da:
Yn =
C v se Tx > n
C m se Tx ≤ n
G. Zambruno e A. Hitaj
(n px ),
(n qx ).
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Assicurazione a termine fisso cont...
Il valore della prestazione è:
V (0, Yn ) = C v ∗ v n ∗n px + C m ∗ v n ∗n qx .
Nel caso C v = C m la polizza ’degenera’ in una
capitalizzazione.
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Assicurazione a termine fisso cont...
Il valore della prestazione è:
V (0, Yn ) = C v ∗ v n ∗n px + C m ∗ v n ∗n qx .
Nel caso C v = C m la polizza ’degenera’ in una
capitalizzazione.
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Relazioni Attuariali
Ax = v qx + v px Ax+1 .
n| Ax
= v n+1 n px qx+n +
m|n Ax
m|n Ax
n+1| Ax
=m Ex n Ax+m
=m| Ax −m+n| Ax
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Relazioni Attuariali
Ax = v qx + v px Ax+1 .
n| Ax
= v n+1 n px qx+n +
m|n Ax
m|n Ax
n+1| Ax
=m Ex n Ax+m
=m| Ax −m+n| Ax
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Relazioni Attuariali
Ax = v qx + v px Ax+1 .
n| Ax
= v n+1 n px qx+n +
m|n Ax
m|n Ax
n+1| Ax
=m Ex n Ax+m
=m| Ax −m+n| Ax
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Relazioni Attuariali
Ax = v qx + v px Ax+1 .
n| Ax
= v n+1 n px qx+n +
m|n Ax
m|n Ax
n+1| Ax
=m Ex n Ax+m
=m| Ax −m+n| Ax
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Relazioni Attuariali cont...
Ax =m Ax +m|n Ax +
n| Ax
m|n Ax
m+n| Ax
=n Ex Ax+n
=m+n Ax −
G. Zambruno e A. Hitaj
m Ax
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Relazioni Attuariali cont...
Ax =m Ax +m|n Ax +
n| Ax
m|n Ax
m+n| Ax
=n Ex Ax+n
=m+n Ax −
G. Zambruno e A. Hitaj
m Ax
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Relazioni Attuariali cont...
Ax =m Ax +m|n Ax +
n| Ax
m|n Ax
m+n| Ax
=n Ex Ax+n
=m+n Ax −
G. Zambruno e A. Hitaj
m Ax
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Esercizi 1
Alice all’età di 60 copra una polizza assicurazione caso morte di 10 anni
differita di 5 anni. Sapendo che il capitale assicurato è 50 nei primi 5 anni e
100 nei successivi 5. Si calcoli il valore della polizza sapendo che:
P
P15
h
h
i = 2%, 10
h=5 v h−1|1 q60 = 0.144257,
h=10 v h−1|1 q60 = 0.159651
Tavola di Sopravvivenza
Età
lx
60
76787
61
75302
62
73698
63
71997
64
70207
65
68320
66
66312
67
64192
68
62016
69
59782
70
57422
71
54953
72
52399
73
49753
74
46963
75
44051
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Esercizi 2
Elisa all’età di 25 stipula un’assicurazione mista di 20 anni con un
differimento di 7anni per la parte caso morte. Il capitale assicurato è
C V = 100 e C M = 200. Si trovi il premio unico sapendo che:
i = 2%, 4|13 A28 = 0.024776.
Tavola di Sopravvivenza
Età
lx
25
92923
26
92793
27
92667
28
92537
29
92404
30
92266
31
92124
32
91976
33
91817
34
91650
35
91478
36
91299
37
91103
38
90894
39
90671
40
90431
41
90169
42
89893
43
89596
44
89272
45
88908
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Esercizio 3
Anna all’età di 30 stipula un contratto caso morte a vita intera che paga
20000 alla fine dell’anni in cui non è più in vita. Supponendo che px = 0.9
per ogni x ≥ 0 e che i = 5%. Si trovi il valore attuale attuariale.
Esercizio 4
Jass e Jane acquistano una polizza caso morte a vita intera al giorno del loro
compleanno. Entrambe le assicurazioni pagheranno 50000 alla fine dell’anno
del decesso. Jess ha 45 anni e il suo premio unico (netto) ha un valore di
25000. Jane ha 44 anni ed il prezzo unico (netto) della sua assicurazione è
23702. Sapendo che i = 0.06 si trovi la probabilità che una persona di 44
anni muoia entro un anno.
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
Esercizio 3
Anna all’età di 30 stipula un contratto caso morte a vita intera che paga
20000 alla fine dell’anni in cui non è più in vita. Supponendo che px = 0.9
per ogni x ≥ 0 e che i = 5%. Si trovi il valore attuale attuariale.
Esercizio 4
Jass e Jane acquistano una polizza caso morte a vita intera al giorno del loro
compleanno. Entrambe le assicurazioni pagheranno 50000 alla fine dell’anno
del decesso. Jess ha 45 anni e il suo premio unico (netto) ha un valore di
25000. Jane ha 44 anni ed il prezzo unico (netto) della sua assicurazione è
23702. Sapendo che i = 0.06 si trovi la probabilità che una persona di 44
anni muoia entro un anno.
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte
Assicurazione elementare caso morte
Temporanea caso morte
Caso morte a vita intera
Caso morte differita
Assicurazioni miste
Assicurazione a termine fisso
For Further Reading I
C.PACATI, ’Appunti IMAAV’ (disponibile in .pdf sul sito web
dell’insegnamento)
G. Zambruno e A. Hitaj
Lezione 15: Prestazioni di capitale caso morte