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Concentrazione. - Benvenuti nell`area statistica
Esercitazione 5 A. Iodice La concentrazione Esercitazione 5 Calcolo della misura di concentrazione Statistica Rappresentazione grafica della concentrazione Metodo grafico Concentrazione in dati raggruppati Alfonso Iodice D’Enza [email protected] Università degli studi di Cassino A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 1 / 13 Outline Esercitazione 5 A. Iodice 1 La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione 2 Calcolo della misura di concentrazione Rappresentazione grafica della concentrazione 3 Rappresentazione grafica della concentrazione 4 Metodo grafico 5 Concentrazione in dati raggruppati La concentrazione Metodo grafico Concentrazione in dati raggruppati A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 2 / 13 La concentrazione Esercitazione 5 A. Iodice La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione Rappresentazione grafica della concentrazione In caso di caratteri trasferibili è interessante considerare il grado di vicinanza all’equidistribuzione, situazione in cui tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere. La concentrazione indica quanto il collettivo osservato sia ’lontano/vicino’ rispetto all’equidistribuzione. Da cui, Metodo grafico la concentrazione è pari a 0 se tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere la concentrazione è massima se l’intero ammontare del carattere à detenuto da una sola osservazione Concentrazione in dati raggruppati A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 3 / 13 La concentrazione Esercitazione 5 A. Iodice La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione Rappresentazione grafica della concentrazione In caso di caratteri trasferibili è interessante considerare il grado di vicinanza all’equidistribuzione, situazione in cui tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere. La concentrazione indica quanto il collettivo osservato sia ’lontano/vicino’ rispetto all’equidistribuzione. Da cui, Metodo grafico la concentrazione è pari a 0 se tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere la concentrazione è massima se l’intero ammontare del carattere à detenuto da una sola osservazione Concentrazione in dati raggruppati A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 3 / 13 Indice di concentrazione Esercitazione 5 A. Iodice Si consideri un carattere trasferibile (reddito, risorsa) distribuito tra n modalità, si considerino poi pi e qi , rispettivamente: La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione pi = Rappresentazione grafica della concentrazione Pi i n j=1 qi = Pn xj j=1 xj Metodo grafico Concentrazione in dati raggruppati A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 4 / 13 Indice di concentrazione Esercitazione 5 A. Iodice Si consideri un carattere trasferibile (reddito, risorsa) distribuito tra n modalità, si considerino poi pi e qi , rispettivamente: La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione pi = Rappresentazione grafica della concentrazione Pi i n j=1 qi = Pn xj j=1 xj Metodo grafico Concentrazione in dati raggruppati pi è la frazione cumulata dei primi i redditieri qi , ammontare del reddito detenuto dai primi i redditieri A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 4 / 13 Indice di concentrazione Esercitazione 5 A. Iodice La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione Rappresentazione grafica della concentrazione Metodo grafico Le differenze (pi - qi ) ≥ 0, sono misure dirette della concentrazione. La media aritmetica della versione normalizzata di tali differenze rappresenta il rapporto di concentrazione di Gini. Pn−1 pi −qi Pn−1 (pi − qi ) i=1 ( pi )pi = i=1 Pn−1 Pn−1 i=1 pi i=1 pi Concentrazione in dati raggruppati A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 5 / 13 Esempio di calcolo concentrazione Si considerino i fatturati in milioni di euro di un collettivo di otto aziende produttrici di componenti per auto. Esercitazione 5 A. Iodice La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione Rappresentazione grafica della concentrazione i xi xi,(ord.) 1 2 3 4 5 6 7 8 154 14 16 8 164 12 20 46 8 12 14 16 20 46 154 164 434 Metodo grafico Concentrazione in dati raggruppati Pi j=1 xj 8 20 34 50 70 116 270 434 pi = i n 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1 qi = Pi xj Pj=1 n j=1 xj 0.018 0.046 0.078 0.115 0.161 0.267 0.622 1 pi − qi 0.107 0.204 0.297 0.385 0.464 0.483 0.253 0 NOTA: le modalità xi devono preventivamente essere ordinate in modo crescente Pn−1 (pi − qi ) 0.107 + 0.204 + 0.297 + 0.385 + 0.464 + 0.483 + 0.253 = = Pn−1 0.125 + 0.25 + 0.375 + 0.5 + 0.625 + 0.75 + 0.875 p i i=1 2.193 = = 0.627 3.5 i=1 A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 6 / 13 Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz Esercitazione 5 Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ). A. Iodice La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione Rappresentazione grafica della concentrazione Metodo grafico Concentrazione in dati raggruppati A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 7 / 13 Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz Esercitazione 5 Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ). A. Iodice La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione Rappresentazione grafica della concentrazione Metodo grafico Concentrazione in dati raggruppati A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 7 / 13 Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz Esercitazione 5 Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ). A. Iodice La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione Rappresentazione grafica della concentrazione Metodo grafico Concentrazione in dati raggruppati A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 7 / 13 Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz Esercitazione 5 Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ). A. Iodice La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione Rappresentazione grafica della concentrazione Metodo grafico Concentrazione in dati raggruppati A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 7 / 13 Metodo grafico per determinare il rapporto di concentrazione Esercitazione 5 z }| { area di concentrazione area del triangolo OAB − somma dei trapezi R= = area del triangolo OAB area del triangolo OAB A. Iodice La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione Rappresentazione grafica della concentrazione Metodo grafico Concentrazione in dati raggruppati A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 8 / 13 Metodo grafico per determinare il rapporto di concentrazione Esercitazione 5 area di concentrazione A. Iodice z }| { area di concentrazione area del triangolo OAB − somma dei trapezi R= = area del triangolo OAB area del triangolo OAB La concentrazione area Rappresentazione grafica della concentrazione = 1 2 b = base minore = qi h = altezza = pi+1 − pi h B b }| { z }| { z}|{ z Pn−1 (qi+1 + qi )×(pi+1 − pi ) somma delle aree dei trapezi : i=1 2 Metodo grafico Concentrazione in dati raggruppati OB×BA = 1×1 2 2 (B+b)×h di un generico trapezio : 2 B = base maggiore = qi+1 area del triangolo OAB: Calcolo della misura di concentrazione sostituendo quanto trovato, si ha area del triangolo OAB − somma dei trapezi R= = area del triangolo OAB P (qi+1 +qi )×(pi+1 −pi ) 1 − n−1 i=1 2 = 2 1 2 A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 9 / 13 Metodo grafico per determinare il rapporto di concentrazione Esercitazione 5 A. Iodice con qualche passaggio algebrico si ottiene area del triangolo OAB − somma dei trapezi R= = area del triangolo OAB P (qi+1 +qi )×(pi+1 −pi ) 1 − n−1 i=1 2 = 2 = 1 La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione 2 Rappresentazione grafica della concentrazione | 6 Metodo grafico = Concentrazione in dati raggruppati {z mettere 1/2 in evidenza 1 2 } P 1 − n−1 i=1 (qi+1 + qi ) × (pi+1 − pi ) =1− 6 n−1 X 1 2 = (qi+1 + qi ) × (pi+1 − pi ) i=1 A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 10 / 13 Metodo grafico per determinare il rapporto di concentrazione Esercitazione 5 con qualche altro passaggio algebrico si ottiene A. Iodice R=1− La concentrazione (qi+1 + qi ) × (pi+1 − pi ) = i=1 Calcolo della misura di concentrazione =1− n−1 X (qi+1 pi+1 − qi+1 pi + qi pi+1 − qi pi ) i=1 Rappresentazione grafica della concentrazione | =1− Metodo grafico Concentrazione in dati raggruppati n−1 X {z } effettuando i prodotti n−1 X qi+1 pi+1 − i=1 n−1 X qi+1 pi + i=1 n−1 X qi pi+1 − i=1 n−1 X ! qi pi i=1 poichè: n−1 X qi+1 pi+1 − i=1 n−1 X qi pi = qn pn i=1 ed essendo qn = 1 e pn = 1 allora qn pn = 1, da cui A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 11 / 13 Metodo grafico per determinare il rapporto di concentrazione Esercitazione 5 con qualche altro passaggio algebrico si ottiene qn pn =1 }| { z n−1 n−1 n−1 n−1 X X X X R=1− qi+1 pi+1 − qi pi − qi+1 pi + qi pi+1 i=1 i=1 i=1 i=1 A. Iodice La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione Rappresentazione grafica della concentrazione =1− 1− qi+1 pi + i=1 =1−1+ Metodo grafico n−1 X n−1 X = n−1 X qi+1 pi − i=1 = n−1 X pi qi+1 − ! qi pi+1 i=1 n−1 X i=1 Concentrazione in dati raggruppati n−1 X qi pi+1 = i=1 n−1 X pi+1 qi i=1 (pi qi+1 − pi+1 qi ) i=1 A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 12 / 13 La concentrazione in dati raggruppati Esercitazione 5 Si consideri di voler studiare la concentrazione di addetti rispetto alle imprese avendo a disposizione informazioni riguardanti le classi di addetti per impresa, il numero di imprese per ciascuna classe ni , il numero di addetti impiegati xi ni . In questo caso si deve tenere conto delle fatto che i dati sono organizzati in frequenze. A. Iodice La concentrazione Calcolo della misura di concentrazione Rappresentazione grafica della concentrazione i.i 0-2 3-9 10-19 20-49 50-99 100-499 500-999 P ni 2043 2679 2782.2 2825.6 2837.4 2845.7 2846.5 x i ni 2718.3 2845.6 1352 1281.2 808.7 1588.3 529.4 Table: Metodo grafico Concentrazione in dati raggruppati ni 2043 636 103.2 43.4 11.8 8.3 0.8 P xi 2718.3 5563.9 6915.9 8197.1 9005.8 10594.1 11123.5 pi 0.7177 0.9412 0.9774 0.9927 0.9968 0.9997 1 qi 0.2444 0.5002 0.6217 0.7369 0.8096 0.9524 1 a 0.3590 0.5852 0.7203 0.8037 0.9494 0.9997 b 0.2300 0.4889 0.6172 0.7346 0.8094 0.9524 a−b 0.1290 0.0963 0.1031 0.0691 0.1400 0.0473 I dati sono espressi in migliaia. a = pi qi+1 b = pi+1 qi R̃ = n−1 X (pi qi+1 − pi+1 qi ) = 0.5848 i=1 A. Iodice () Esercitazione 5 Statistica 13 / 13