Tecnologia dei Materiali e Chimica Applicata

A09
104
Si ringrazia Giorgio Tosato per l’aiuto fornito nella stesura finale e nella correzione dei testi.
Franco Medici
Tecnologia dei Materiali
e Chimica Applicata
Esercizi svolti
ARACNE
Copyright © MMVIII
ARACNE editrice S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Raffaele Garofalo, 133 A/B
00173 Roma
(06) 93781065
ISBN
978–88–548–1583–4
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: febbraio 2008
Esercizi svolti
INDICE
Materiali metallici
Esercizio 1 (modulo di Young) …………… pag.
4
Esercizio 2 (sezione cavo)
……………
»
5
Esercizio 3 (trazione duttile)
……………
»
6
Esercizio 4 (metodo di Bogue) ……………
»
7
Esercizio 5 (proporz. inerti 1) ……………
»
14
Esercizio 6 (proporz. inerti 2) ……………
»
19
Esercizio 7 (ritiro igrometrico) ……………
»
27
Esercizio 8 (mix design cls)
……………
»
28
Esercizio 9 (durezza 1)
……………
»
34
Esercizio 10 (durezza 2)
……………
»
35
Esercizio 11 (durezza 3)
……………
»
37
Esercizio 12 (alcalinità 1)
……………
»
39
Esercizio 13 (alcalinità 2)
……………
»
41
Esercizio 14 (alcalinità 3)
……………
»
45
Esercizio 15 (bilancio ionico)
……………
»
46
……………
»
50
Calcestruzzo
Acque
Appendice
Tabella masse atomiche
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Franco Medici
Pag. 3 di 50
Esercizi svolti
ESERCIZIO 1 (Acciaio – modulo di Young)
Una barra di acciaio di lunghezza 150 mm e sezione quadrata (di lato 20 mm), sottoposta ad
un carico di trazione pari a 90 KN, subisce un allungamento elastico pari a 0,1 mm.
Calcolare il modulo elastico E (modulo di Young).
Svolgimento
Lunghezza iniziale:
L0 = 150mm = 0,15m
Allungamento elastico:
∆L = 0,1mm = 0,1 × 10 −3 m
Area della sezione:
S = 20 × 20 = 400mm 2 = 400 × 10 −6 m 2
Per calcolare il modulo di Young usiamo la legge di Hooke:
σ = εE
(dove E è il modulo di Young ed ε la deformazione), da cui
E=
σ
ε
N 

 MPa = M m 2 
Calcolo i valori:
ε=
σ =
∆L 0,1 × 10 −3
=
= 0,67 × 10 −3
L0
0,15
F
90
=
= 0, 225 × 10 6 KN 2 = 225 MPa
−6
m
S
400 × 10
Ora posso calcolare E:
E=
σ
225
=
= 335 ,82 × 10 3 MPa ≅ 336 GPa
−3
ε 0,67 × 10
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Pag. 4 di 50
Esercizi svolti
ESERCIZIO 2 (Acciaio – sezione cavo)
Una cabina pesa 500 Kg e supporta una carico massimo di 350 Kg.
Supponendo di utilizzare una fune di acciaio Fe 310 e applicando
un coefficiente di sicurezza pari a 2, dimensionare la sezione S
della fune.
G
350 Kg
Svolgimento
Carico massimo:
Pt = 500 + 350 = 850 Kg
Coefficiente di sicurezza:
α =2
Forza agente:
F = Pt × α × g = 850 × 2 × 9,8 = 16660 N
σ
L’acciaio preso in considerazione è Fe 310:
σ R = 310MPa
σR
σY
Ricavo il carico di esercizio:
σ Y = 0,6 × σ R = 0,6 × 310 = 186MPa
Per essere in campo elastico si dovrà avere:
σ=
ε
F
< σY
S
Risolvendo la disequazione, si ha:
S>
F
σY
=
16660 N
= 0,89 × 10 − 4 m 2 = 0,89cm 2
186 × 10 6 Pa
Data la sezione circolare, si ha:
2
d 
A = π   > 0,89cm 2 ⇒ d >
2
4 × 0,89
π
= 1,065cm
d = 11 mm
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Esercizi svolti
ESERCIZIO 3 (Metalli – trazione duttile)
Un provino cilindrico di alluminio (materiale duttile), che ha le seguenti dimensioni iniziali
diametro Φ = 12,8mm ed altezza H 0 = 50,8mm è sottoposto a prova di trazione. Siano dati i
seguenti dati di carico (vedi tabella): forza F (N) ed allungamento del provino H (mm).
F (N)
H (mm)
F (N)
H (mm)
7300
50,851
46200
53,848
15100
50,902
47300
54,864
23100
50,952
47500
55,880
30400
51,003
46100
56,896
34400
51,054
44800
57,658
38400
51,308
42600
58,420
41300
51,816
36400
59,182
44800
52,832
rottura
Determinare:
i)
l’andamento carico – deformazione, utilizzando le grandezze nominali;
ii)
il limite elastico ed il corrispondente carico limite elastico σ y ;
iii)
il modulo elastico E;
iv)
il punto di stazione corrispondente al carico massimo σ M ;
v)
il carico di rottura σ R ;
vi)
la duttilità del materiale, espressa come percentuale di elongazione.
Svolgimento
Il problema non può che essere risolto per via grafica, riportando in un diagramma il carico
(
σ N
mm 2
)
in funzione della deformazione percentuale ε ( % ) utilizzando le grandezze
nominali.
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Esercizi svolti
La tensione nominale è definita come:
σn =
F
A0
con l’area iniziale della sezione del provino pari a:
2
Φ
A0 = π ×   ≅ 128, 68mm 2
2
La deformazione nominale:
εn =
H − H0
H0
con la lunghezza iniziale del provino pari a:
H 0 = 50,8mm
Seguendo le formule sopra scritte, si costruisce una nuova tabella, riportando i risultati:
σ n ( N mm 2 )
ε (%)
σ n ( N mm 2 )
ε (%)
56,73
0,10
359,03
6,00
117,35
0,20
367,58
8,00
179,52
0,30
369,13
10,00
236,24
0,40
358,25
12,00
267,33
0,50
348,15
13,50
298,41
1,00
331,05
15,00
320,95
2,00
282,87
16,50
348,15
4,00
rottura
Domanda i.
Sfruttando i dati della tabella, costruisco il grafico carico – deformazione, mettendo in ascisse
le deformazioni e in ordinata i carichi. In altre parole, costruisco un grafico:
σ n = f (ε )
utilizzando i punti della tabella.
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Esercizi svolti
σ n ( N mm 2 )
400
380
σM
360
340
320
300
σR
280
σy
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
ε n (%)
Come vediamo si può distinguere un tratto rettilineo (deformazioni elastiche) e uno
parabolico (deformazioni plastiche), fino alla rottura. Sfruttando il grafico costruito, posso
rispondere anche agli altri quesiti del problema.
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Esercizi svolti
Domanda ii.
Il limite elastico corrisponde al punto limite dove non esiste più proporzionalità diretta tra
tensioni e deformazioni (fine del tratto lineare). Il carico in questo punto vale
σ y ≅ 270 MPa
Domanda iii.
Per il modulo elastico:
E=
σ y 270
=
= 54GPa
0, 5
ε
Domanda iv.
Il punto di stazione è il punto in cui
d (σ n )
d (ε n )
= 0.
In quel punto si trova anche il valore del carico massimo:
σ M ≅ 370 MPa
Domanda v.
Il carico di rottura o carico ultimo vale:
σ R ≅ 283MPa
Domanda vi.
La duttilità si trova sull’asse delle ascisse, tenuto conto del recupero elastico.
duttilità = deformazione a rottura − deformazione elastica
duttilità = 16,5 − 0,5 = 16%
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ESERCIZIO 4 (Cls – metodo di Bogue)
Da una analisi chimica elementare di un cemento si ottengono le seguenti percentuali in peso
degli ossidi componenti:
Calce ( CaO ) – 67%
Silice ( SiO 2 ) – 22%
Allumina ( Al 2 O 3 ) – 6%
Ferrite ( Fe 2 O 3 ) – 5%
Calcolare con il metodo di Bogue le percentuali in peso dei composti principali del cemento.
Svolgimento
I componenti principali del cemento Portland sono:
Silicato tricalcico
C 3S ↔ 3CaO.SiO 2
Silicato bicalcico
C 2S ↔ 2CaO.SiO 2
Alluminato tricalcico
C 3 A ↔ 3CaO.Al 2 O 3
Alluminato ferrito tetracalcico
C 4 AF ↔ 4CaO.Al 2 O 3 .Fe 2 O 3
I numeri presenti nelle formule chimiche davanti agli ossidi rappresentano il rapporto tra il
peso molecolare degli ossidi che concorrono a formare il composto principale in questione.
Ad esempio, C 3S , indica che, nel silicato tricalcico, il rapporto tra calce e silice è pari al
rapporto tra il triplo del peso molecolare della calce e il peso molecolare della silice (tre moli
di calce ed una mole di silice).
Andiamo, quindi, a calcolare i pesi molecolari degli ossidi (come somma dei pesi atomici
degli elementi di base componenti):
CaO ≅ 40 + 16 = 56
SiO ≅ 28 + 2 × 16 = 60

2
peso molecolare 
Al 2 O 3 ≅ 2 × 27 + 3 × 16 = 102
Fe 2 O 3 ≅ 2 × 56 + 3 × 16 = 160
Passiamo ora al calcolo delle percentuali in peso dei composti uno per uno, come somma
delle singole percentuali in peso degli ossidi che li formano.
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Esercizi svolti
Poiché la ferrite compare solo nel C 4 AF cominciamo proprio da questo composto e
imponiamo le proporzioni tra pesi molecolari e percentuali in peso:
la ferrite, come detto, entra tutta (5%) nel C 4 AF ;
l’allumina ha un rapporto in peso molecolare 1:1 con la ferrite
Al 2 O 3 : Fe 2 O 3 = x : 5
x=
Al 2 O 3
102
×5 =
× 5 ≅ 3,19%
Fe 2 O 3
160
la calce ha un rapporto in peso molecolare 4:1 con la ferrite
4CaO : Fe 2 O 3 = x : 5
x=
4CaO
4 × 56
×5 =
× 5 = 7%
Fe 2 O 3
160
La percentuale in peso del C 4 AF nel cemento sarà, quindi:
C 4 AF → 5 + 3,19 + 7 ≅ 15,2%
Proseguiamo il calcolo con il C 3 A , in quanto il resto dell’allumina si concentra in questo
composto. Procedo di nuovo con le proporzioni:
l’allumina restante entra tutta nel C 3 A
(Al 2 O 3 )TOT − (Al 2 O 3 )C AF = 6 − 3,19 = 2,81%
4
la calce ha un rapporto in peso molecolare 3:1 con l’allumina
3CaO : Al 2 O 3 = x : 2,81
x=
3CaO
3 × 56
× 2,81 =
× 2,81 ≅ 4,63%
Al 2 O 3
102
La percentuale in peso del C 3 A nel cemento sarà, quindi:
C 3 A → 2,81 + 4,63 = 7,44%
Passiamo ora ai composti rimasti (i silicati). La calce residua è:
(CaO )TOT − (CaO )C AF − (CaO )C A
4
3
= 67 − 7 − 4,63 = 55,37%
Sappiamo che tutta la silice si distribuisce tra i due composti. Vediamo la percentuale del peso
che essa rappresenta nei due composti, rapportando i pesi molecolari:
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SiO 2
60
60
=
=
≅ 0,349
C 2S 56 × 2 + 60 172
SiO 2
60
60
=
=
≅ 0,263
C 3S 56 × 3 + 60 228
Poniamo:
x = C 2S
e
y = C 3S
e impostiamo il sistema risolutivo:
 x + y = 22 + 55,37

0,349 x + 0,263 y = 22
La prima equazione ci dice che la somma tra il silicato bicalcico e il silicato tricalcico è
uguale alla percentuale dei pesi ancora disponibile (il totale della silice e il restante della
calce); la seconda equazione, invece, ci dice che la somma tra percentuale in peso della silice
nel C 2 S e la percentuale in peso della silice nel C 3S è uguale a tutta la silice disponibile.
Ora non devo fare altro che risolvere il sistema:
 x + y = 77,37

0,349 x + 0,263 y = 22
 x = 19,21%

 y = 58,16%
Vediamo le singole percentuali degli ossidi:
silice nel C 2 S
SiO 2 : C 2 S = x : 19,21
x=
SiO 2
60
× 19,21 =
× 19,21 ≅ 6,7%
C 2S
172
silice nel C 3S
SiO 2 : C 3S = x : 58,16
x=
SiO 2
60
× 58,16 =
× 58,16 ≅ 15,3%
C 3S
228
calce nel C 2 S
2CaO : C 2 S = x : 19,21
x=
2CaO
2 × 56
× 19,21 =
× 19,21 ≅ 12,51%
C 2S
172
calce nel C 3S
2CaO : C 3S = x : 58,16
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Esercizi svolti
x=
2CaO
3 × 56
× 58,16 =
× 58,16 ≅ 42,86%
C 3S
228
Ricapitoliamo le percentuali in una tabella:
CaO
SiO 2
Al 2 O 3
Fe 2 O 3
TOT
C 3S
42,86
15,3
-
-
58,16
C 2S
12,51
6,7
-
-
19,21
C3A
4,63
-
2,81
C 4 AF
7
-
3,19
5
15,19
TOT
67
22
6
5
100,0
7,44
Verifichiamo i dati con le formule di Bogue:
C 3S = 4,07.CaO − 7,6.SiO 2 − 6,72.Al 2 O 3 − 1,43Fe 2 O 3 = 272,69 − 167,2 − 40,32 − 7,15 = 58,02
C 2S = 2,87.SiO 2 − 0,754.C 3S = 63,14 − 43,86 = 19,28
C 3 A = 2,65.Al 2 O 3 − 1,69.Fe 2 O 3 = 15,9 − 8,45 = 7,45
C 4 AF = 3,04.Fe 2 O 3 = 15,20
Come vediamo i dati risultano verificati: i lievissimi scarti sono dovuti agli arrotondamenti
eseguiti durante i calcoli.
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ESERCIZIO 5 (Cls – proporzionamento inerti 1)
Proporzionare percentualmente i tre inerti le cui caratteristiche sono riportate nella tabella
seguente, utilizzando come riferimento la curva di Fuller. Fare riferimento ad una scala
Φ.
lineare ( Pc ), in funzione di
Diametro vagli Φ (mm)
38,1
25,4
19,5
12,7
9,52
4,76
2,38
1,19
0,60
0,30
0,15
Sabbia – trattenuto (%)
-
-
-
-
-
-
22
14
28
20
16
Ghiaino – trattenuto (%)
-
-
-
48
32
20
-
-
-
-
-
Ghiaia – trattenuto (%)
-
54
15
31
-
-
-
-
-
-
-
Svolgimento
Dobbiamo ricavare le curve dei passanti cumulativi degli inerti da confrontare con la curva di
Fuller. Per fare ciò si costruisce una nuova tabella, sfruttando i dati del problema.
Φ (mm)
Ghiaino (%)
Sabbia (%)
Ghiaia (%)
T
Tc
Pc
T
Tc
Pc
T
Tc
Pc
38,1
-
-
-
-
-
-
-
-
100
25,4
-
-
-
-
-
-
54
54
46
19,5
-
-
-
-
-
100
15
69
31
12,7
-
-
-
48
48
52
31
100
0
9,52
-
-
-
32
80
20
-
-
-
4,76
-
-
100
20
100
0
-
-
-
2,38
22
22
78
-
-
-
-
-
-
1,19
14
36
64
-
-
-
-
-
-
0,60
28
64
36
-
-
-
-
-
-
0,30
20
84
16
-
-
-
-
-
-
0,15
16
100
0
-
-
-
-
-
-
Nella tabella sopra riportata si ha:
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Esercizi svolti
T è il trattenuto (la percentuale di inerte trattenuta al singolo vaglio);
Tc è il trattenuto cumulativo (la percentuale di inerte trattenuta fino a quel vaglio, ottenuta per
somma dei trattenuti parziali);
Pc è il passante cumulativo (la percentuale di inerte passante fino a quel vaglio, ottenuta per
sottrazione tra il passante cumulativo al precedente meno il trattenuto a quel vaglio).
Ovviamente, finché non vi è trattenuto, la percentuale di passante cumulativo è totale (100%).
Andiamo a calcolare i moduli di finezza:
Sabbia:
M.F. =
Ghiaino:
M.F. =
Ghiaia:
M.F. =
∑T
C
100
∑T
C
100
∑T
C
100
=
22 + 36 + 64 + 84 + 100 306
=
= 3,06
100
100
=
48 + 80 + 100 228
=
= 2,28
100
100
=
54 + 69 + 100 223
=
= 2,23
100
100
Procediamo con il metodo grafico per la combinazione degli aggregati. Si usa un diagramma
(Figura 1) avente la scala delle ascisse proporzionale a
Φ , in modo che la parabola di Fuller
abbia andamento lineare.
% in peso materiale passante attraverso il vaglio
100
75
50
25
0
0,2
0,5
1
3
5
7
10
15
20
25
30
luci dei vagli (scala proporzionale a
CURVA DI FULLER
Figura 1.
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40
Φ)
Esercizi svolti
Procediamo per punti successivi.
1)
Sul diagramma di sopra si individuano le luci dei vagli date dal problema e, in
corrispondenza di esse, si segnano i punti corrispondenti ai valori dei passanti
cumulativi dei tre inerti, come ricavati nella tabella precedente:
75
50
luci dei vagli (scala proporzionale a
CURVA DI FULLER
SABBIA
Punti reali
2)
GHIAINO
Punti reali
GHIAIA
Punti reali
Tra i punti dell’analisi granulometrica, si tracciano le rette di interpolazione per ciascun
materiale:
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38,1
25,4
19,5
12,7
9,52
4,76
2,38
1,19
0,60
0,30
25
0,15
% in peso materiale passante attraverso il vaglio
100
Φ)
Esercizi svolti
75
50
luci dei vagli (scala proporzionale a
CURVA DI FULLER
SABBIA
3)
GHIAINO
GHIAIA
Punti reali
Punti reali
Punti reali
Interpolazione
Interpolazione
Interpolazione
Si uniscono (con linee tratteggiate) le estremità superiori delle interpolazioni con quelle
inferiori. I punti di intersezione con la curva di Fuller permettono di ricavare le
proporzioni delle varie frazioni, poiché le loro ordinate dividono l’asse delle percentuali
in parti proporzionali alle quantità richieste di ciascun materiale.
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38,1
25,4
19,5
12,7
9,52
4,76
2,38
1,19
0,60
0,30
25
0,15
% in peso materiale passante attraverso il vaglio
100
Φ)
Esercizi svolti
75
70
50
35
luci dei vagli (scala proporzionale a
CURVA DI FULLER
SABBIA
GHIAINO
GHIAIA
Punti reali
Punti reali
Punti reali
Interpolazione
Interpolazione
Interpolazione
Dal grafico otteniamo, allora, che la giusta proporzione degli inerti è:
Sabbia – 35%
Ghiaino – 35%
Ghiaia – 30 %
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38,1
25,4
19,5
12,7
9,52
4,76
2,38
1,19
0,60
0,30
25
0,15
% in peso materiale passante attraverso il vaglio
100
Φ)
Esercizi svolti
ESERCIZIO 6 (Cls – proporzionamento inerti 2)
Proporzionare percentualmente i due inerti le cui caratteristiche sono riportate nella tabella
seguente, utilizzando come riferimento la curva di Fuller. Dopo aver proporzionato sabbia e
ghiaia, verificare se il misto granulometrico rientra nel fuso granulometrico.
Diametro vagli Φ (mm)
30
25
20
13
10
5
2,4
1,4
0,6
0,3
0,15
Sabbia – trattenuto (%)
-
-
-
-
-
10
12
14
28
20
16
Ghiaia – trattenuto (%)
-
44
25
11
15
5
-
-
-
-
-
Svolgimento
Costruiamo la tabella per ottenere l’analisi granulometrica:
Φ (mm)
Ghiaia (%)
Sabbia (%)
T
Tc
Pc
T
Tc
Pc
30
-
-
-
-
-
100
25
-
-
-
44
44
56
20
-
-
-
25
69
31
13
-
-
-
11
80
20
10
-
-
100
15
95
5
5
10
10
90
5
100
0
2,4
12
22
78
-
-
-
1,4
14
36
64
-
-
-
0,6
28
64
36
-
-
-
0,3
20
84
16
-
-
-
0,15
16
100
0
-
-
-
Nella tabella sopra riportata si ha:
T è il trattenuto (la percentuale di inerte trattenuta al singolo vaglio);
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Pag. 19 di 50
Esercizi svolti
Tc è il trattenuto cumulativo (la percentuale di inerte trattenuta fino a quel vaglio, ottenuta per
somma dei trattenuti parziali);
Pc è il passante cumulativo (la percentuale di inerte passante fino a quel vaglio, ottenuta per
sottrazione tra il passante cumulativo al precedente meno il trattenuto a quel vaglio).
Ovviamente, finché non vi è trattenuto, la percentuale di passante cumulativo è totale (100%).
Andiamo a calcolare i moduli di finezza:
Sabbia:
M.F. =
Ghiaia:
M.F. =
∑T
C
100
∑T
C
100
=
10 + 22 + 36 + 64 + 84 + 100 316
=
= 3,16
100
100
=
44 + 69 + 80 + 95 + 100 388
=
= 3,88
100
100
Procediamo con il metodo grafico. Tracciamo sul diagramma i passanti culumativi ottenuti
dall’analisi granulometrica della sabbia e della ghiaia
% in peso materiale passante attraverso il vaglio
100
75
50
25
0
0,2
0,5
1
3
5
CURVA DI FULLER
SABBIA
Punti reali
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7
10
15
20
25
luci dei vagli (scala proporzionale a
GHIAIA
Punti reali
Pag. 20 di 50
30
Φ)
Esercizi svolti
A questo punto procediamo con l’interpolazione ed otteniamo la percentuale di inerti per la
miscelazione. Tuttavia, per verificare la validità del proporzionamento dobbiamo confrontarlo
con il fuso granulometrico (basato sulla curva di Fuller).
Procediamo per tentativi di interpolazione fino alla corretta verifica con il fuso.
% in peso materiale passante attraverso il vaglio
100
75
50
45
25
0
0,2
0,5
1
3
5
7
10
15
20
25
luci dei vagli (scala proporzionale a
CURVA DI FULLER
30
Φ)
Punti reali
Punti reali
GHIAIA
SABBIA
Interpolazione
Interpolazione
Questa interpolazione ci restituisce le seguenti percentuali:
Sabbia – 45%
Ghiaia – 55%
Dobbiamo procedere, ora, all’analisi granulometrica del misto. Per ottenere i valori del
trattenuto parziale, del trattenuto cumulativo e del passante cumulativo del misto dovrò
costruire una nuova tabella, tenendo conto del proporzionamento calcolato. Sarà sufficiente
moltiplicare i trattenuti parziali ai singoli vagli della sabbia e della ghiaia per la percentuale di
miscelazione scelta.
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Pag. 21 di 50
Esercizi svolti
Di seguito la tabella del misto:
Sabbia (45%)
Ghiaia (55%)
Trattenuto (%)
Trattenuto (%)
Ttot
Tc
Pc
30
-
-
-
-
100
25
-
44 × 0,55 ≅ 24
24
24
76
20
-
25 × 0,55 ≅ 14
14
38
62
13
-
11 × 0,55 ≅ 6
6
44
56
10
-
15 × 0,55 ≅ 8
8
52
48
5
10 × 0,45 ≅ 5
5 × 0,55 ≅ 3
8
60
40
2,4
12 × 0,45 ≅ 5
-
5
65
35
1,4
14 × 0,45 ≅ 6
-
6
71
29
0,6
28 × 0,45 ≅ 13
-
13
84
16
0,3
20 × 0,45 = 9
-
9
93
7
0,15
16 × 0,45 ≅ 7
-
7
100
0
Φ (mm)
Misto
Andiamo a confrontare il risultato con il fuso granulometrico, utilizzando una scala
100
0
90
10
80
20
70
30
60
40
50
50
40
60
30
70
20
80
10
90
0
100
0
0,15
0,20
0,50
1
3
5
7
10
15
luce vagli (scala proporzionale a
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20
25 30
log Φ )
Pag. 22 di 50
RESIDUO AL VAGLIO (% in peso)
PASSANTE AL VAGLIO (% in peso)
semilogaritmica (secondo la UNI 7163 – 79).
Esercizi svolti
Come vediamo non tutti i punti del passante cumulativo ricadono all’interno del fuso.
Pertanto dovremo andare a scegliere un’altra miscelazione degli inerti.
Interpoliamo nuovamente le curve sul primo diagramma:
% in peso materiale passante attraverso il vaglio
100
75
50
50
25
0
0,2
0,5
1
3
5
7
10
15
20
25
luci dei vagli (scala proporzionale a
CURVA DI FULLER
30
Φ)
Punti reali
Punti reali
GHIAIA
SABBIA
Interpolazione
Interpolazione
Questa interpolazione ci restituisce le seguenti percentuali:
Sabbia – 50%
Ghiaia – 50%
Procediamo all’analisi granulometrica del misto. Per ottenere i valori granulometrici del misto
dovrò costruire una nuova tabella, tenendo conto del proporzionamento calcolato. Sarà
sufficiente moltiplicare i trattenuti parziali ai singoli vagli della sabbia e della ghiaia per la
percentuale di miscelazione scelta.
Di seguito la tabella del misto:
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Pag. 23 di 50
Esercizi svolti
Sabbia (50%)
Ghiaia (50%)
Trattenuto (%)
Trattenuto (%)
Ttot
Tc
Pc
30
-
-
-
-
100
25
-
44 × 0,5 = 22
22
22
78
20
-
25 × 0,5 ≅ 12
12
34
66
13
-
11 × 0,5 ≅ 6
6
40
60
10
-
15 × 0,5 ≅ 8
8
48
52
5
10 × 0,5 = 5
5 × 0,5 ≅ 2
7
55
45
2,4
12 × 0,5 = 6
-
6
61
39
1,4
14 × 0,5 = 7
-
7
68
32
0,6
28 × 0,5 = 14
-
14
82
18
0,3
20 × 0,5 = 10
-
10
92
8
0,15
16 × 0,5 = 8
-
8
100
0
Φ (mm)
Misto
100
0
90
10
80
20
70
30
60
40
50
50
40
60
30
70
20
80
10
90
0
100
0
0,15
0,20
0,50
1
3
5
7
10
15
luce vagli (scala proporzionale a
20
RESIDUO AL VAGLIO (% in peso)
PASSANTE AL VAGLIO (% in peso)
Andiamo a confrontare il risultato con il fuso granulometrico.
25 30
log Φ )
Come si può vedere, anche questa soluzione non è all’interno del fuso. Dall’analisi dei grafici
possiamo dire che la soluzione migliore sarà una via di mezzo.
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Pag. 24 di 50
Esercizi svolti
Interpoliamo nuovamente le curve sul primo diagramma:
% in peso materiale passante attraverso il vaglio
100
75
50
47
25
0
0,2
0,5
1
3
5
7
10
15
20
25
luci dei vagli (scala proporzionale a
CURVA DI FULLER
30
Φ)
Punti reali
Punti reali
GHIAIA
SABBIA
Interpolazione
Interpolazione
Questa interpolazione ci restituisce le seguenti percentuali:
Sabbia – 47%
Ghiaia – 53%
Procediamo all’analisi granulometrica del misto. Per ottenere i valori granulometrici del misto
dovrò costruire una nuova tabella, tenendo conto del proporzionamento calcolato. Sarà
sufficiente moltiplicare i trattenuti parziali ai singoli vagli della sabbia e della ghiaia per la
percentuale di miscelazione scelta.
Di seguito la tabella del misto:
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Pag. 25 di 50
Esercizi svolti
Sabbia (47%)
Ghiaia (53%)
Trattenuto (%)
Trattenuto (%)
Ttot
Tc
Pc
30
-
-
-
-
100
25
-
44 × 0,53 ≅ 23
23
23
77
20
-
25 × 0,53 ≅ 13
13
36
64
13
-
11 × 0,53 ≅ 6
6
42
58
10
-
15 × 0,53 ≅ 8
8
50
50
5
10 × 0,47 ≅ 5
5 × 0,53 ≅ 3
8
58
42
2,4
12 × 0,47 ≅ 6
-
6
64
36
1,4
14 × 0,47 ≅ 7
-
7
71
29
0,6
28 × 0,47 ≅ 13
-
13
84
16
0,3
20 × 0,47 ≅ 9
-
9
93
7
0,15
16 × 0,47 ≅ 7
-
7
100
0
Φ (mm)
Misto
100
0
90
10
80
20
70
30
60
40
50
50
40
60
30
70
20
80
10
90
0
100
0
0,15
0,20
0,50
1
3
5
7
10
15
luce vagli (scala proporzionale a
20
25 30
log Φ )
La miscelazione ottimale è, dunque:
Sabbia – 47%
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Ghiaia – 53%
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RESIDUO AL VAGLIO (% in peso)
PASSANTE AL VAGLIO (% in peso)
Andiamo a confrontare il risultato con il fuso granulometrico.
Esercizi svolti
ESERCIZIO 7 (Cls – ritiro igrometrico)
Un calcestruzzo è stato confezionato con un dosaggio di cemento
( q ) = 350 kg
m3 e un
contenuto d’acqua ( a ) = 210 l m3 . Il peso specifico del calcestruzzo vale 2300 kg m3 e la
resistenza caratteristica 40MPa. Calcolare:
1.
l’entità del ritiro igrometrico per una trave lunga 8 metri (ritiro igrometrico = 0,05%);
2.
la tensione di trazione nelle condizioni di trave incastrata dovuta al ritiro idrometrico;
3.
il contenuto di inerti espressi in kg m3 .
Svolgimento
1.
Lunghezza della trave: L = 8m . Ritiro igrometrico: 0,05%.
Il ritiro per ogni metro di lunghezza di trave è pari a 0,5mm. Il ritiro totale sarà:
∆L = 8 × 0,05% = 4 × 10 −3 m = 4mm
2.
Per la trazione, in campo elastico posso scrivere la seguente relazione:
σ t = Eε
dove E è il modulo elastico ed ε la deformazione da ritiro. I valori sono:
E = 5700 Rck = 5700 40 ≅ 36050 MPa
ε=
∆L 4 × 10 −3
=
= 5 × 10 − 4
L
8
Allora si ha:
σ t = Eε = 36050 × 5 × 10 −4 ≅ 18MPa
Risulta, quindi, che la tensione di trazione da ritiro igrometrico è superiore alla
resistenza a trazione del calcestruzzo che è pari a circa
3.
Rck
10
= 4 MPa .
Possiamo scrivere, infine, che il peso specifico del calcestruzzo è:
p.s. = (q ) + (a ) + (i )
2300 = 350 + 210 + (i )
Il peso degli inerti (i ) sarà, quindi, 1740 kg m3 .
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Pag. 27 di 50
Esercizi svolti
ESERCIZIO 8 (Cls – mix design del calcestruzzo)
Si vuole confezionare un calcestruzzo per un pilastro, con le seguenti caratteristiche:
resistenza caratteristica
Rck = 40 MPa
tipo cemento
t c = 42,5
slump
70 mm
sezione pilastro (quadrata)
30 × 30 cm
Si usino come riferimento i seguenti grafici e tabelle:
Figura 1. Resistenza a compressione per vari tipi di cemento (in funzione di a/c)
90
Resistenza a compressione a 28 gg (MPa)
80
70
52,5
60
42,5
50
40
32,5
30
20
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
Rapporto acqua/cemento
Tabella 1. Diametro massimo dell’aggregato (in mm) per vari tipi di costruzioni.
Sezione minima
della struttra (cm)
Muri, travi e
pilastri armati
Muri non armati
Solette molto
armate
Solette poco o
non armate
8 – 15
12,5 – 19,0
25,0
12,5 – 19,0
19,0 – 37,5
15 – 30
19,0 – 37,5
37,5
19,0 – 37,5
37,5 – 75,0
30 – 80
25,0 – 75,0
75,0
25,0 – 75,0
75,0
oltre 80
37,5 – 75,0
120,0
37,5 – 75,0
75,0 – 120,0
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Esercizi svolti
Tabella 2. Dosaggio d’acqua (in l/m3) per ottenere uno slump determinato.
Dosaggio in funzione del Dmax dell’aggregato
Slump
(mm)
Consistenza
UNI
10 mm
16 mm
25 mm
40 mm
Rigida
0
< 180
< 170
< 160
< 150
Umida
10 – 40
195
180
170
160
Plastica
50 – 90
215
200
190
180
Semifluida
100 – 150
230
215
205
195
Fluida
160 – 200
240
225
215
205
> 210
250
235
225
215
3
2,5
2
1,5
Superfluida
3
Aria intrappolata (l/m )
Figura 2. Ritiro igrometrico (in funzione del rapporto a/c e della quantità di inerte).
0,16
Contenuto % di
inerte sul volume
50
60
Ritiro (%)
0,12
70
0,08
0,04
80
0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Rapporto a/c
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Esercizi svolti
Svolgimento
Il primo passo da eseguire per ottenere la ricetta del calcestruzzo voluta è quella di ragionare
sulla resistenza a compressione. Bisogna ricordare che la resistenza caratteristica è quella
stabilita dal progettista e deve risultare inferiore alla resistenza media.
Rck = Rm − Kσ
con Rck resistenza caratteristica, Rm resistenza media, K fattore di probabilità (che viene
assunto pari a 1,4 per costruzioni con più di 1500m3 di calcestruzzo) e σ scarto quadratico
medio. Per il confezionamento del calcestruzzo bisogna risalire alla resistenza media.
Per un grado di controllo buono ( C = 10% ) si ha:
σ=
C × Rck 10 × 40
=
= 4N
= 4 MPa
mm 2
100
100
Ora si può ricavare la resistenza media:
Rm = Rck + Kσ = 40 + 1,4 × 4 ≅ 40 + 6 = 46 MPa
A questo punto, utilizzando il grafico di figura 1 è possibile ricavare il rapporto a/c:
90
Resistenza a compressione a 28 gg (MPa)
80
70
52,5
60
42,5
50
46
40
32,5
30
20
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
Rapporto acqua/cemento
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Esercizi svolti
Individuando sull’asse delle ordinate il valore della resistenza media trovato e riportandolo
sulla curva del tipo di cemento (42,5), si troverà il rapporto acqua cemento (cioè il
corrispondente valore sull’asse delle ascisse):
a
= 0,54
c
Ora, usando i valori di tabella 1, si trova il diametro massimo dell’aggregato per il problema:
Muri, travi e
pilastri armati
Muri non armati
Solette molto
armate
Solette poco o
non armate
8 – 15
12,5 – 19,0
25,0
12,5 – 19,0
19,0 – 37,5
15 – 30
19,0 – 37,5
37,5
19,0 – 37,5
37,5 – 75,0
30 – 80
25,0 – 75,0
75,0
25,0 – 75,0
75,0
oltre 80
37,5 – 75,0
120,0
37,5 – 75,0
75,0 – 120,0
Sezione minima
della struttra (cm)
All’interno dell’intervallo trovato, stabilisco:
Dmax=25 mm
I dati del problema indicano una pasta con slump pari a 70 mm, cioè un conglomerato di
consistenza plastica. Sfruttando la tabella 2, si determina il dosaggio dell’acqua:
Consistenza
UNI
Dosaggio in funzione del Dmax dell’aggregato
Slump
(mm)
10 mm
16 mm
25 mm
40 mm
Rigida
0
< 180
< 170
< 160
< 150
Umida
10 – 40
195
180
170
160
Plastica
50 – 90
215
200
190
180
Semifluida
100 – 150
230
215
205
195
Fluida
160 – 200
240
225
215
205
> 210
250
235
225
215
3
2,5
2
1,5
Superfluida
Aria intrappolata (l/m3)
La quantità di acqua è 190 l/m3 e il volume di aria intrappolata è 2 l/m3.
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Esercizi svolti
Si ricava, quindi, il dosaggio di cemento:
c=
a
190
=
≅ 352 Kg 3
m
a c 0,54
Consideriamo un cemento di massa volumica reale media:
γ c = 3,1 kg
dm 3
e otteniamo il volume del cemento:
Vc =
c
γc
=
352 kg m 3
dm 3
≅
113
,
5
= 113,5 l 3
m
3,1 kg dm 3
m3
(Si ricorda che nelle misure dei volumi dm 3 = l ).
Si considera di voler confezionare un volume totale di calcestruzzo pari a:
VT = Vc + Va + Vi + Varia = 1m 3 = 1000l
(con Va volume dell’acqua, Vi volume degli inerti e Varia quello dell’aria intrappolata).
Facilmente si ottiene (per ogni metro cubo di cls):
Vi = VT − Vc − Va − Varia = 1000 − 113,5 − 190 − 2 = 694,5 l
m3
La massa volumica reale media degli inerti varia a seconda del tipo. Per il carbonato di calcio,
ad esempio, si può considerare:
γ i = 2,7 kg
dm 3
Il peso specifico dell’aggregato sarà:
i = Vi × γ i = 694,5 × 2,7 ≅ 1875 kg
m3
Il peso specifico totale del calcestruzzo sarà:
p.s. = c + i + a = 352 + 1875 + 190 = 2417 kg
m3
Si nota che il volume dell’aggregato rappresenta circa il 70% del volume totale.
Per calcolare l’entità del ritiro, si usa il grafico di figura 2:
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Esercizi svolti
0,16
Contenuto % di
inerte sul volume
50
60
Ritiro (%)
0,12
70
0,08
0,04
80
0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Rapporto a/c
Individuato il rapporto acqua cemento sull’asse delle ascisse, si riporta sulla curva
corrispondente la percentuale di aggregato e si trova, quindi, l’entità del ritiro igrometrico,
che è pari allo 0,08%.
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Esercizi svolti
ESERCIZIO 9 (Acque – durezza 1)
Un’acqua ha una durezza totale pari a 35°F e un contenuto di HCO3− pari a 427mg/l. Si
calcoli la durezza temporanea e permanente espressa in mg/l (come CaCO3 ).
Svolgimento
La durezza totale di un’acqua è data dalla somma della durezza temporanea e permanente.
Dai dati del problema si vede che, in questo caso, la durezza temporanea è data solo dallo ione
CO3−2 , che compare in HCO3− .
Ora dobbiamo esprimere i dati del problema in un’unica unità di misura, meq/l
(milliequivalenti per litro), in modo da poterli paragonare.
Ricordando che 1°F=10 mg l ( CaCO3 ) , si ha:
DT = 35°F = 350 mg
l
( CaCO3 )
Per portare il tutto a meq/l devo dividere per il peso equivalente del carbonato di calcio:
peso molecolare 40 + 12 + 16 × 3 100
=
=
= 50
carica ione
2
2
p.e.( CaCO3 ) =
DT =
350 mg l ( CaCO3 )
50
= 7 meq
l
Andiamo a calcolare la durezza temporanea:
p.e. HCO − =
(
3
)
peso molecolare 1 + 12 + 16 × 3
=
= 61
carica ione
1
D t = concentrazione HCO3− =
427
= 7 meq
l
61
Come si vede tutta la durezza è temporanea. Per esprimerla come richiesto si tornerà indietro:
D t = 350 mg
l
( CaCO3 )
D p = DT − D t = 0
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Esercizi svolti
ESERCIZIO 10 (Acque – durezza 2)
Tre campioni di acqua hanno la stessa alcalinità pari a 256,2mg/l di HCO3− e un contenuto di
ioni calcio e magnesio pari rispettivamente a:
Ca
+2
Mg
( mg l )
( mg l )
+2
(1)
(2)
(3)
102
54
46
12
18
18
Calcolare nei tre casi la durezza temporanea e permanente.
Svolgimento
La durezza totale di un’acqua è data dalla somma della durezza temporanea e permanente.
Dai dati del problema si vede che:
1.
la durezza temporanea è data dallo ione CO3−2 , che compare in HCO3− ;
2.
la durezza totale è data dalla somma delle concentrazioni degli ioni Ca +2 e Mg +2 ;
Per la durezza temporanea si ha (per tutte e tre i campioni):
HCO3− =
concentrazione
256, 2 mg l
256, 2
=
=
= 4, 2 meq
l
61
peso equivalente peso molecolare
1
carica
D t = 4, 2 meq
l
Passiamo alla durezza totale. I pesi equivalenti sono:
Ca +2 :
peso atomico 40
=
= 20
carica ionica
2
Mg +2 :
peso atomico 24
=
= 12
carica ionica
2
Si analizzano i tre campioni di acqua, singolarmente.
Primo campione:
Ca +2 =
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102
= 5,1 meq
l
20
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Esercizi svolti
Mg +2 =
12
= 1 meq
l
12
DT = 5,1 + 1 = 6,1 meq
l
D p = DT − D t = 6,1 − 4, 2 = 1,9 meq
l
Secondo campione:
Ca +2 =
54
= 2, 7 meq
l
20
Mg +2 =
18
= 1,5 meq
l
12
DT = 2, 7 + 1,5 = 4, 2 meq
l
D p = DT − D t = 4, 2 − 4, 2 = 0
Terzo campione:
Ca +2 =
46
= 2, 3 meq
l
20
Mg +2 =
18
= 1,5 meq
l
12
DT = 2,3 + 1,5 = 3,8 meq
l
Dp = 0
In questo campione d’acqua, si ha un eccesso di HCO3− rispetto alla durezza temporanea che
è paria a D t = 3,8 meq l .
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Esercizi svolti
ESERCIZIO 11 (Acque – durezza 3)
Un’acqua contiene ioni calcio, magnesio, sodio, solfato cloruro e bicarbonato. I dati analitici
sono i seguenti:
HCO3− = 200 mg
DT = 23,5°F
Ca +2 = 49 mg
SO4 −2 = 43, 2 mg
l
l
(come CaCO3 )
l
(come SO 4 )
Cl− = 26,3 mg
(come Cl )
l
Calcolare la durezza temporanea e permanente e la presumibile concentrazione degli ioni
alcalini di sodio ( Na + ).
Svolgimento
La durezza totale di un’acqua è data dalla somma della durezza temporanea e permanente.
Dai dati del problema si vede che:
3.
la durezza temporanea è data dallo ione CO3−2 , che compare in HCO3− ;
4.
la durezza totale è data dalla somma delle concentrazioni degli ioni Ca +2 e Mg +2 ;
Per la durezza temporanea si ha:
HCO3− =
concentrazione
200 mg l
200 200
=
=
=
= 4 meq
l
100
p.m. ( CaCO3 )
p.e. ( CaCO3 )
50
2
carica
D t = 4 meq
l
Per la durezza totale si ha:
DT = 23,5°F=235 mg
l
( come CaCO3 ) =
235
= 4, 7 meq
l
50
Quindi:
D p = DT − D t = 4, 7 − 4, 0 = 0, 7 meq
l
= 0, 7 × 50 = 35 mg
l
( come CaCO3 ) = 3,5°F
Per quanto riguarda gli ioni, si ha:
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Esercizi svolti
HCO3− =
SO4 −2 =
concentrazione
200 mg l
200 200
=
=
=
= 4 meq
l
p.m.( CaCO3 )
100
p.e.( CaCO3 )
50
2
carica
concentrazione 43, 2 mg l
43, 2
43, 2
=
=
=
= 0,9 meq
l
p.m.
32+16 × 4
p.e.
48
2
carica
Cl− =
concentrazione 26,3 mg l
26,3 26,3
=
=
=
= 0, 74 meq
l
p.a.
35,5
p.e.
35,5
1
carica
Per sapere la quantità di sodio ( Na + ), dovremo eseguire la differenza tra la somma delle
concentrazioni dei cationi (ioni positivi) e la durezza totale (che rappresenta la somma di
Ca +2 e Mg +2 , ioni positivi). Eseguiamo un bilancio tra ioni positivi e ioni negativi,
imponendo l’equazione di elettroneutralità ( ∑ anioni = ∑ cationi ):
∑ anioni = 4 + 0,9 + 0, 74 = 5, 64 meq l = ∑ cationi
Na + = ∑ cationi − DT = 5, 64 − 4,7 = 0,94 meq
Na + = 0, 94 meq
l
= 0, 94 × p.e. = 0,94 ×
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l
p.a.
23
= 0,94 × = 0, 94 × 23 = 21, 62 mg
l
carica
1
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Esercizi svolti
ESERCIZIO 12 (Acque – alcalinità 1)
Nel corso di una titolazione di un campione di 50 ml di acqua, si osserva che non compare
alcuna colorazione all’aggiunta dell’indicatore alla fenolftaleina e che per ottenere il viraggio
dell’indicatore al metilarancio sono necessari 3,6 ml di soluzione contenente 0,1 eq/l di
H 2SO 4 . Si misura, inoltre, un pH pari a 7. Che concentrazione hanno le specie di alcalinità
presenti e la CO 2 libera?
Svolgimento
Si ricorda che
1
P =  OH -  + CO3−2 
2
alcalinità alla fenolftaleina
M = OH -  + CO3−2  +  HCO3− 
alcalinità al metilarancio
In questo caso abbiamo
P=0 e M≠0
quindi, vi è solo lo ione HCO3− .
Il valore dell’alcalinità sarà:
M = 3, 6 × 0,1  ml × meq  = 0,36meq
ml 

Si noti che:
H 2SO 4 = 0,1 eq
l
= 0,1 meq
ml
Il campione di acqua è 50 ml, per cui:
M=
0,36 meq
= 7, 2 meq
l
0, 05 l
HCO3- = M = 7, 2 meq
l
= 7, 2 × p.e. = 7, 2 × 61 = 439, 2 mg
l
Per determinare la concentrazione di CO 2 libera, sfruttiamo la prima equazione delle costanti
di equilibrio relative al sistema H 2 O ↔ CO 2 :
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Esercizi svolti
 H +   HCO3− 
K1 = 2
[ CO2 ]
dove K1 = 4, 45 × 10−7 è la costante pratica di prima dissociazione dell’acido carbonico.
Ci manca solo la concentrazione dello ione idrogeno, che ricaviamo da pH:
pH = log
1
=7
 H + 
 H +  = 10−7
Quindi:
[CO2 ] =
2 ×  H + 
K1
×  HCO3−  =
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2 ×10 −7
× 7, 2 ≅ 3, 24 meq
l
4, 45 × 10−7
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Esercizi svolti
ESERCIZIO 13 (Acque – alcalinità 2)
L’alcalinità di un’acqua con pH pari a 10 è 60 mg/l ( CaCO3 ). Calcolare la concentrazione
espressa in mg/l ( CaCO3 ) delle diverse specie ioniche presenti in soluzione e il contenuto di
CO 2 libera.
Svolgimento
Per prima cosa esprimo il valore dell’alcalinità in meq/l:
[ A ] = 60
mg
60
( come CaCO3 ) = = 1, 2 meq l
l
50
Dal pH si ricava:
pH = 10 ⇒  H +  = 10−10
Per ricavare le concentrazioni degli ioni bicarbonato ( HCO3− ), carbonato ( CO3−2 ) e ossidrile
( OH - ) ricorro alle seguenti equazioni:
(1)
[ A ] + 103  H +  = HCO3−  + CO3−2  + OH- 
(2)
 H +   HCO3− 
K1 = 2
[ CO2 ]
(3)
 H +   CO3−2 
K2 =
2  HCO3− 
(4)
 H +  OH − 
KW =
103
dove la prima equazione è il bilancio dell’alcalinità, le altre tre sono le equazioni delle
costanti di equilibrio relative al sistema H 2 O ↔ CO 2 (con K1 = 4, 45 × 10−7 costante di prima
dissociazione dell’acido carbonico, K 2 = 4, 69 × 10−11 costante di seconda dissociazione
dell’acido carbonico e KW = 10 −14 prodotto ionico dell’acqua).
Dalla quarta equazione ricavo immediatamente la concentrazione dello ione ossidrile:
103 KW 103 × 10 −14 10−11
OH −  =
=
= −10 = 0,1 meq
−10
+
l
10
10
 H 
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Esercizi svolti
Sviluppiamo la prima equazione:
[ A ] + 103  H +  − OH-  =  HCO3−  + CO3−2 
Dalla terza:
 H +  CO3−2  = 2 × K 2 ×  HCO3− 
2K
CO3−2  =  HCO3−  × +2
 H 
Vado a sostituire nella prima ed ottengo:
[ A ] + 103  H +  − OH-  =  HCO3−  +  HCO3−  ×
2K 2
 H + 

2K 
 HCO3−  × 1 + +2  = [ A ] + 103  H +  −  OH - 
 H  
  
 HCO3  =
−
[ A ] + 103  H +  − OH- 
1+
2K 2
 H + 
=
1, 2 + 103 × 10−10 − 0,1 1, 2 + 10−7 − 0,1
=
≅ 0,568 meq
−11
l
2 × 4, 69 × 10
1 + 0, 938
1+
10 −10
Tornando alla terza equazione, sostituisco i valori trovati:
2K
2 × 4, 69 × 10 −11
CO3−2  =  HCO3−  × +2 = 0, 568 ×
≅ 0, 533 meq
−10
l
10
 H 
Per esprimere i valori in mg/l ( CaCO3 ), basterà moltiplicare i risultati per 50 (peso
equivalente del CaCO3 ):
OH −  = 0,1 meq = 5 mg ( CaCO3 )
l
l
 HCO3−  = 0,568 meq = 28, 4 mg ( CaCO3 )
l
l
CO3−2  = 0,533 meq = 26, 65 mg ( CaCO3 )
l
l
Non resta che trovare il valore della CO 2 libera attraverso la seconda equazione:
 H +   HCO3−  2 × 10−10 × 0,568
=
≅ 0, 26 × 10−3 meq
[CO2 ] = 2
−7
l
K1
4, 45 × 10
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Esercizi svolti
ESERCIZIO 14 (Acque – alcalinità 3)
Un’acqua a 25°C contiene 7,5 mg/l di ioni Ca +2 , ha una alcalinità totale di 30 mg/l ( CaCO3 )
ed un pH pari a 7. Calcolare la distribuzione della alcalinità, la quantità di anidride carbonica
disciolta, l’anidride carbonica aggressiva e l’indice di stabilità secondo Langelier.
Svolgimento
Per prima cosa esprimo il valore dell’alcalinità in meq/l:
[ A ] = 30
mg
30
( come CaCO3 ) = = 0, 6 meq l
l
50
Dal pH si ricava:
pH = 7 ⇒  H +  = 10−7
Per la distribuzione dell’alcalinità, devo cercare le concentrazioni degli ioni bicarbonato
( HCO3− ), carbonato ( CO3−2 ) e ossidrile ( OH - ). Si ricorre alle seguenti equazioni:
(1)
[ A ] + 103  H +  = HCO3−  + CO3−2  + OH- 
(2)
 H +   HCO3− 
K1 = 2
[ CO2 ]
(3)
 H +   CO3−2 
K2 =
2  HCO3− 
(4)
 H +  OH − 
KW =
103
dove la prima equazione è il bilancio dell’alcalinità, le altre tre sono le equazioni delle
costanti di equilibrio relative al sistema H 2 O ↔ CO 2 (con K1 = 4, 45 × 10−7 costante di prima
dissociazione dell’acido carbonico, K 2 = 4, 69 × 10−11 costante di seconda dissociazione
dell’acido carbonico e KW = 10 −14 prodotto ionico dell’acqua).
Dalla quarta equazione ricavo immediatamente la concentrazione dello ione ossidrile:
103 KW 103 ×10 −14 10−11
OH  =
=
= −7 = 10 −4 meq
−7
+
l
10
10
 H 
−
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Esercizi svolti
Sviluppiamo la prima equazione:
[ A ] + 103  H +  − OH-  =  HCO3−  + CO3−2 
Dalla terza:
 H +  CO3−2  = 2 × K 2 ×  HCO3− 
2K
CO3−2  =  HCO3−  × +2
 H 
Vado a sostituire nella prima ed ottengo:
[ A ] + 103  H +  − OH-  =  HCO3−  +  HCO3−  ×
2K 2
 H + 

2K 
 HCO3−  × 1 + +2  = [ A ] + 103  H +  −  OH - 
 H  
  
 HCO3  =
−
[ A ] + 103  H +  − OH- 
1+
2K 2
 H + 
=
0, 6 + 103 ×10 −7 − 10 −4 0, 6 + 10−4 − 10−4
=
≅ 0,599 meq
−11
−4
l
2 × 4, 69 × 10
1 + 9, 38 ×10
1+
10−7
Tornando alla terza equazione, sostituisco i valori trovati:
2K
2 × 4, 69 × 10−11
CO3−2  =  HCO3−  × +2 = 0, 599 ×
≅ 0,562 × 10−3 meq
−7
l
10
 H 
Per trovare il valore della CO 2 libera si usa la seconda equazione:
 H +   HCO3−  2 × 10−7 × 0, 599
=
≅ 0, 269 meq
[CO2 ] = 2
l
K1
4, 45 × 10−7
Per l’indice di stabilità usiamo (come richiesto) il metodo di Langelier:
I.S.L = pH − pHS
dove pHS è il pH dell’acqua un equilibrio con il carbonato di calcio. Si ricorda che stabilizzare
un’acqua significa correggere il pH, l’alcalinità e il contenuto di calcio in modo da portarla in
equilibrio con il carbonato di calcio. Il contenuto di calcio (dato del problema) è:
7,5 meq
7, 5 meq
Ca +2  = 7,5 mg =
=
= 0,375 meq
l
l
l
l
p.e.
20
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Esercizi svolti
Ora calcolo pHS per via analitica:
pH s = log
Kps( CaCO3 )
K2
− log Ca +2  − log [ A ] + 6, 301
con Kps( CaCO3 ) = 4,82 × 10−9 , costante di dissociazione del carbonato di calcio a 25°C.
Sostituisco i valori numerici:
pH s = 8,313 − log ( 0,375 ) − log ( 0, 6 ) = 8,313 + 0, 426 + 0, 222 = 8,961
Ricavo, ora l’indice di stabilità:
I.S.L = pH − pHS = 7 − 8,961 = −1,961
I.S.L < 0 , cioè pH<pHS , indica che l’acqua non è satura in carbonato di calcio e che può
scioglierne ancora e quindi è aggressiva. Avremo allora una certa quantità di CO 2 aggressiva.
La formula per calcolarla è analoga a quella della CO 2 libera, a differenza che, ora, per
l’idrogeno, si usa la concentrazione di:
% +  =  H +  −  H +  = 10 −7 − 1, 094 ×10−9 = 9,891×10−8
 H
    S 
cioè la differenza tra la concentrazione di idrogeno reale e quella a saturazione. L’equazione
risolutiva diventa, allora:
103 KW
+
%


A + 10  H  −
% + [ ]
% +
 H
 H

 =
=2
×
2K
K1
1 + +2
% 
 H

3
[CO2 ]agg
= 2×
= 2 × 0, 222 ×
9,891× 10 −8
×
4, 45 × 10−7
0, 6 + 103 × 9,891× 10−8 −
103 ×10 −14
9,891× 10−8
2 × 4, 69 × 10−11
1+
9,891×10 −8
=
0, 6 + 9,891× 10−5 − 1, 009 × 10−4
= 2 × 0, 222 × 0,599 ≅ 0, 266 meq
−4
l
1 + 9, 483 × 10
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Esercizi svolti
ESERCIZIO 15 (Acque – misto)
Un campione di acqua, sottoposto ad analisi, ha dato i seguenti risultati:
pH = 8, 2
DT = 48, 5°F
P=0
M = 315 mg
Cloruri = 366 mg
l
l
Ca +2 = 135 mg
l
(come CaCO3 )
Solfati = 64 mg
(come NaCl )
l
Valutare:
i)
il contenuto dello ione sodio;
ii)
la durezza temporanea e permanente;
iii)
la concentrazione della CO 2 libera e la concentrazione degli ioni CO3−2 (verificando i
risultati ottenuti nel diagramma % C in funzione del pH);
iv)
l’indice di stabilità secondo Langelier;
v)
supponendo di alimentare l’acqua in esame non trattata in una caldaia a bassa pressione
senza recupero di condensa, con una concentrazione limite di Sali allo spurgo
CS = 6000 mg l ( CaCO3 ), la portata dell’acqua di alimentazione per ottenere 1,5 m3 h
di vapore puro.
Svolgimento
Domanda i.
Per la durezza totale si ha:
DT = 48,5°F=485 mg
l
( come CaCO3 ) =
485
= 9, 7 meq
l
50
La durezza totale misura la somma degli ioni positivi Ca +2 e Mg +2 . Nell’acqua gli ioni
positivi si dovranno bilanciare con quelli negativi (condizione di elettroneutralità).
Passiamo, quindi, agli ioni negativi: se l’alcalinità alla fenolftaliena (P) = 0, sono nulli i
carbonati ( CO3−2 ) e gli ioni ossidrile ( OH - ). Ne segue che tutta l’alcalinità al metilarancio
(M) è dovuta ai bicarbonati HCO3− . Ricavo la concentrazione:
HCO3− = 315 mg
l
( come CaCO3 ) =
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315
= 6,3 meq
l
50
Pag. 46 di 50
Esercizi svolti
Gli altri ioni negativi presenti sono dati dal problema:
SO4 −2 = 64 mg
Cl− = 366 mg
l
l
=
64
≅ 1, 33 meq
l
48
( come NaCl ) =
366 366
=
≅ 6, 26 meq
l
p.e. 58,5
Per sapere la quantità di sodio ( Na + ), dovremo eseguire la differenza tra la somma delle
concentrazioni dei cationi (ioni positivi) e la durezza totale (che rappresenta la somma di
Ca +2 e Mg +2 , ioni positivi). Eseguiamo un bilancio tra ioni positivi e ioni negativi,
imponendo l’equazione di elettroneutralità ( ∑ anioni = ∑ cationi ):
∑ anioni = 6,3 + 1,33 + 6, 26 = 13,89 meq l = ∑ cationi
Na + = ∑ cationi − DT = 13,89 − 9, 7 = 4,19 meq
Na + = 4,19 meq
l
l
= 4,19 × p.e. = 4,19 × 23 = 96,37 mg
l
Domanda ii.
La durezza temporanea è data dallo ione CO3−2 , che compare in HCO3− . Quindi:
D t = HCO3− = 6,3 meq
l
Per la durezza permanente si ha:
D p = D T − D t = 9, 7 − 6, 3 = 3, 4 meq
l
= 3, 4 × 50 = 170 mg
l
( di CaCO 3 ) = 17 °F
Domanda iii.
Per la concentrazioni di anidride carbonica sfruttiamo l’equazione la prima equazione delle
costanti di equilibrio relative al sistema H 2 O ↔ CO 2 :
 H +   HCO3− 
K1 = 2
[ CO2 ]
Ricordando che K1 = 4, 45 × 10−7 (costante di prima dissociazione dell’acido carbonico) e che
dal pH si ricava
pH = 8, 2 ⇒  H +  = 10−8,2 ≅ 10−8 ,
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Esercizi svolti
l’equazione diventa:
 H +   HCO3−  2 × 10−8 × 6,3
=
≅ 0, 283 meq
[CO2 ] = 2
−7
l
K1
4, 45 × 10
Per quanto detto sopra (alcalinità alla fenolftaleina pari a 0) di ha:
CO3−2 = 0
Domanda iv.
Per l’indice di stabilità usiamo (come richiesto) il metodo di Langelier:
I.S.L = pH − pHS
dove pHS è il pH dell’acqua un equilibrio con il carbonato di calcio. Si ricorda che stabilizzare
un’acqua significa correggere il pH, l’alcalinità e il contenuto di calcio in modo da portarla in
equilibrio con il carbonato di calcio. Il contenuto di calcio (dato del problema) è:
135 meq
135 meq
Ca +2  = 135 mg =
=
= 6, 75 meq
l
l
l
l
p.e.
20
Ora calcolo pHS per via analitica:
pH s = log
Kps( CaCO3 )
K2
− log Ca +2  − log [ A ] + 6, 301
con Kps( CaCO3 ) = 4,82 × 10−9 , costante di dissociazione del carbonato di calcio a 25°C.
L’alcalinità in questo caso è M. Sostituisco i valori numerici:
pH s = 8,313 − log ( 6, 75 ) − log ( 6,3) ≅ 8,313 − 0,829 − 0, 799 = 6, 685
Ricavo, ora l’indice di stabilità:
I.S.L = pH − pHS = 8, 2 − 6, 685 = 1, 515
(Poiché l’indice è maggiore di zero, non ci sarà CO 2 aggressiva).
Domanda v.
Il rendimento di una caldaia è dato da:

η = 1 −

CA 

CS 
Con C A concentrazione sali all’alimentazione e CS concentrazione sali allo spurgo.
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Esercizi svolti
I sali nell’alimentazione non sono altro che la somma degli ioni positivi o negativi; gli altri
sono dati del problema:
C A = 13,89 meq
CS = 6000 mg
l
l
( come CaCO3 ) =
6000
= 120 meq
l
50
Il rendimento è:

η = 1 −

CA 
13,89
= 0,884
 = 1−
120
CS 
Sappiamo anche che il rendimento è il rapporto tra le portate (uscente diviso entrante):
η=
QV
QA
Sapendo che la portata uscente di vapore è QV = 1,5 m3 h , sviluppo l’equazione:
QA =
QV
η
=
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3
1, 5 m3
≅ 1, 7 m
h
0,884 h
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Esercizi svolti
TABELLA MASSE ATOMICHE
Simbolo
Numero Atomico
Massa Atomica
Alluminio
Al
13
26,981538
Azoto
N
7
14,00674
Calcio
Ca
20
40,078
Carbonio
C
6
12,0107
Cloro
Cl
17
35,4527
Ferro
Fe
26
55,847
Fluoro
F
9
18,9984032
Fosforo
P
15
30,973761
Idrogeno
H
1
1,00794
Litio
Li
3
6,941
Magnesio
Mg
12
24,3050
Ossigeno
O
8
15,994
Potassio
K
19
30,0983
Silicio
Si
14
28,0855
Sodio
Na
11
22,989770
Zolfo
S
16
32,066
Le masse atomiche sono tratte da Pure and Appl. Chem. 68, 2340, (1996). La massa atomica
viene utilizzata per calcolare il peso molecolare dei diversi composti chimici.
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AREE SCIENTIFICO–DISCIPLINARI
Area 01 – Scienze matematiche e informatiche
Area 02 – Scienze fisiche
Area 03 – Scienze chimiche
Area 04 – Scienze della terra
Area 05 – Scienze biologiche
Area 06 – Scienze mediche
Area 07 – Scienze agrarie e veterinarie
Area 08 – Ingegneria civile e Architettura
Area 09 – Ingegneria industriale e dell’informazione
Area 10 – Scienze dell’antichità, filologico–letterarie e storico–artistiche
Area 11 – Scienze storiche, filosofiche, pedagogiche e psicologiche
Area 12 – Scienze giuridiche
Area 13 – Scienze economiche e statistiche
Area 14 – Scienze politiche e sociali
Le pubblicazioni di Aracne editrice sono su
www.aracneeditrice.it
Finito di stampare nel mese di febbraio del 2008
dalla tipografia « Braille Gamma S.r.l. » di Santa Rufina di Cittaducale (Ri)
per conto della « Aracne editrice S.r.l. » di Roma
CARTE: Copertina: Patinata opaca Bravomatt 300 g/m2 plastificata opaca; Interno: Usomano bianco Selena 80 g/m2.
ALLESTIMENTO: Legatura a filo di refe / brossura
Stampa realizzata in collaborazione con la Finsol S.r.l. su tecnologia Canon Image Press