7.2. Sezione rettangolare con doppia armatura Si indichi con A`s l

7.2. Sezione rettangolare con doppia armatura
Si indichi con A’s l’area dell’acciaio superiore compresso, con σ's la sua tensione e con
ε's la deformazione. Accanto allo sforzo di compressione C del calcestruzzo e a quello Fs di
trazione nell’armatura inferiore va ora considerato anche lo sforzo nell’armatura superiore.
In tutto il Campo 4 e in quasi tutto il Campo 3 l’armatura superiore risulta compressa (Fig.
7.4).
'
s
xc
O
c4
yd
d'
A's
B
c
x
v=sx
C
3
xd
F's
Gc
d
h
h
2
fcd
cu
h
2
d
Fs
As
d'
yd
b
s
x
'
s
O
c4
yd
d'
A's
B
h
2
F's
v=sx
xd
d
x
Gc
d
h
fcd
cu
C
e
4
h
2
Fs
As
d'
yd
b
s
x
Fig. 7.4
Per entrambi i Campi 3 e 4 valgono le seguenti relazioni già trovate nel paragrafo 6.2:
d' − x
ε' s =
ε cu
x
⇒
⎧σ' s = E s ε' s
⎪⎪
⎡
⎤
ε' s − ε yd
⎨
+ 1⎥ f yd
⎪σ' s = sgn(ε' s )⎢(k − 1)
ε ud − ε yd
⎪⎩
⎢⎣
⎥⎦
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
se
ε' s ≤ ε yd
se
ε' s > ε yd
67
d−x
εs =
εcu
x
⇒
⎧
⎡
⎤
ε s − ε yd
+ 1⎥ fyd
⎪⎪σs = ⎢(k − 1)
εud − ε yd
⎨
⎢⎣
⎥⎦
⎪
⎪⎩σs = Esε s
se ε s > ε yd (Campo 3)
se ε s ≤ ε yd (Campo 4)
E’ opportuno effettuare una ulteriore suddivisione di tali Campi in Sottocampi (Fig. 7.5). In
particolare, introdotta la retta limite e’ ( x e' = d ; ξ e' = 1 ), in corrispondenza della quale risulta
ε s = 0 , resta individuato il Sottocampo 4’ nel quale, essendo l’armatura A s tesa, è possibile
avere la sollecitazione di flessione semplice.
Inoltre, introducendo le rette limite c’ ( x c ' = d' ; ξ c ' = δ ; ε' s = 0 ) e c” ( ε' s = ε yd ), il Campo 3
resta suddiviso nei seguenti Sottocampi:
-
Sottocampo 3’
nel quale l’armatura superiore A ' s è compressa ed elastica;
-
Sottocampo 3”
nel quale l’armatura superiore A ' s è compressa e snervata.
Per gli stessi motivi esposti nel paragrafo 5.3 a proposito del Campo 2, si trascura il
Sottocampo compreso tra le rette limite c e c’.
O
d'
A's
c'
c4
yd
cu
fcd
B
c
3'
v=sx
x
C
c"
xc"
xd
Gc
d
h
F's
3"
4'
e'
d
Fs
As
d'
yd
b
s
x
Fig. 7.5
La posizione della retta c” si ricava dalla seguente proporzione:
xc"
d'
=
ε cu ε cu − ε yd
⇒
xc" =
ε cu
d' .
ε cu − ε yd
7.2.1. Progetto della sezione
In fase di progetto sono noti:
- le caratteristiche dei materiali: fck, fyk
- il momento di calcolo agente: MSd
- il valore del copriferro: d’
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
68
Sono incognite:
- le dimensioni geometriche della sezione: b, h
- le aree di acciaio teso e compresso: As e A’s
- la retta di rottura, ovvero il valore di “x” ad essa relativo.
Rispetto al caso della semplice armatura si ha un’incognita in più ed essendo le equazioni
a disposizione sempre due (equilibrio alla traslazione ed alla rotazione), è necessario fissare
preventivamente tre delle cinque incognite.
Si fissano innanzi tutto la posizione della retta di rottura “x”, per rispettare la condizione di
duttilità, ed il rapporto µ= A’s / As = ρ’/ρ tra le aree di acciaio.
L’ulteriore incognita da fissare è la dimensione geometrica condizionata dal contesto
strutturale, ovvero la base “b” nel caso di travi alte, l’altezza “h”, ovvero l’altezza utile “d”, nel
caso di travi piatte.
In definitiva si hanno le seguenti incognite:
- b, As nel caso di travi piatte
- d, As nel caso di travi alte.
Si ritiene opportuno limitare la progettazione della sezione al solo Sottocampo 3” in
quanto in esso entrambe le armature sono ben utilizzate (A’s snervata in compressione e As
snervata in trazione). Inoltre l’intervallo che definisce il Sottocampo 3” è notevolmente esteso
ai fini della duttilità. Infatti, tenendo conto che il copriferro nella pratica assume valori
d' ≥ 0.06d , in questo Sottocampo il valore di x varia in un intervallo avente limite inferiore xc” :
x c" =
ε cu
0.35%
d' ≥
0.06d = 0.13 d
ε cu − ε yd
0.35% − 0.19%
e limite superiore: x d = 0.65 d
⇒
⇒
ξc" =
x c"
≥ 0.13
d
ξ d = x d d = 0.65 .
Nel caso delle travi a spessore, l’equazione di equilibrio alla traslazione C − F' s −Fs = 0
permette di esprimere As in funzione di “b” (si trascura l’incrudimento dell’acciaio):
0.8fcdbx + f ydµA s − f yd A s = 0
⇒
As =
0.8fcd x
b
f yd (1 − µ )
⇒
ρ=
As
0.8fcd
=
ξ
bd f yd (1 − µ )
(7.5)
mentre quella di equilibrio alla rotazione intorno all’asse passante per il baricentro
dell’armatura inferiore, posto MRd=MSd e sostituendo l’espressione di As, si scrive:
MSd = C[d − 0.4 x ] − F' s (d − d') = 0.8fcdbx [d − 0.4 x ] + f ydµA s (d − d') =
= 0.8fcdbx [d − 0.4 x ] + f ydµ(d − d')
0.8fcd x
⎡
µ
b = 0.8fcd x ⎢d − 0.4 x +
(d − d')⎤⎥b
f yd (1 − µ )
1− µ
⎣
⎦
e fornisce:
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
69
b=
MSd
(7.6)
⎡
µ
(d − d')⎤⎥
0.8fcd x ⎢d − 0.4 x +
1− µ
⎣
⎦
Nel caso delle travi alte conviene operare in termini adimensionali, così come si è già fatto
a proposito della sezione con semplice armatura, introducendo il parametro ξ = x d . In
questo modo sarà possibile effettuare la progettazione avvalendosi di idonee tabellazioni.
Rimanendo sempre nell’ambito del Sottocampo 3”, dall’equazione di equilibrio alla
traslazione si ricava:
As =
0.8fcdbx 0.8fcd bξd
=
f yd (1 − µ ) f yd (1 − µ )
⇒
ρ=
As
0.8f cd
=
ξ
bd f yd (1 − µ )
(7.7)
e per sostituzione nell’equazione di equilibrio alla rotazione:
MSd = C[d − 0.4 x ] − F' s (d − d') = 0.8f cdbξd 2 [1 − 0.4ξ] + f yd µA s d(1 − δ ) =
= 0.8f cdbξd 2 [1 − 0.4ξ] + f yd µ
0.8f cdbξd
⎡
µ
d(1 − δ ) = 0.8f cdbd 2 ξ ⎢1 − 0.4ξ +
(1 − δ)⎤⎥
f yd (1 − µ )
1− µ
⎣
⎦
si ottiene:
d=
1
⎡
µ
(1 − δ)⎤⎥
0.8ξ ⎢1 − 0.4ξ +
1− µ
⎣
⎦
MSd
MSd
= r ' (ξ )
.
f cdb
f cdb
(7.8)
Nelle Tabelle II, III e IV sono riportati, a titolo esemplificativo, i valori del coefficiente r ' (ξ )
e del rapporto geometrico ρ dell’armatura inferiore al variare della classe del calcestruzzo,
rispettivamente per µ = 0.25 / 0.50 / 0.75 ed assumendo costantemente δ = 0.06 .
Le relazioni (7.5) ÷ (7.8) perdono di significato per µ = 1 , cioè nel caso di armatura
simmetrica ( A 's = A s ). Infatti dalle relazioni (7.5) o (7.7) si rileva immediatamente che
incrementando µ = A ' s A s , a parità di tutte le altre grandezze in gioco ( ρ; fcd ; f yd ), il valore di
ξ = x d si riduce e la duttilità della sezione aumenta. Pertanto la retta di rottura si sposta
verso l’alto, migrando dal Sottocampo 3” al Sottocampo 3’, nel quale valgono relazioni
diverse da quelle su esposte.
La presenza dell’armatura in zona compressa comporta, come effetto secondario, un
contenuto accrescimento del momento resistente della sezione dovuto all’incremento del
braccio della coppia interna in conseguenza dello spostamento verso l’alto della risultante
degli sforzi di compressione.
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
70
Tabella Campo 3"
B450C
f yd
f yk
eyd
Campo 3" (k=1)
450
MPa
C20/25
f cd
m=A's/As= 0,25
C25/30
C28/35
f cd
f cd
d=d'/d= 0,06
C45/55
f cd
C35/45
f cd
C40/50
f cd
391,3
MPa
0,196%
11,33
MPa
14,17
MPa
15,87
MPa
19,83
MPa
22,67
MPa
25,50
MPa
x=x/d
r'
r
r
r
r
r
r
0,1350
0,1400
0,1600
0,1800
0,2000
0,2100
0,2200
0,2300
0,2400
0,2500
0,2600
0,2700
0,2800
0,2900
0,3000
0,3100
0,3200
0,3300
0,3400
0,3500
0,3600
0,3700
0,3800
0,3900
0,4000
0,4100
0,4200
0,4300
0,4400
0,4500
0,4600
0,4700
0,4800
0,4900
0,5000
0,5100
0,5200
0,5300
0,5400
0,5500
0,5600
0,5700
0,5800
0,5900
0,6000
0,6200
0,6410
2,69827
2,65184
2,48883
2,35436
2,24108
2,19078
2,14405
2,10050
2,05979
2,02164
1,98580
1,95205
1,92020
1,89009
1,86157
1,83451
1,80880
1,78433
1,76101
1,73876
1,71750
1,69717
1,67770
1,65904
1,64114
1,62394
1,60742
1,59153
1,57623
1,56150
1,54729
1,53358
1,52036
1,50758
1,49523
1,48329
1,47174
1,46056
1,44974
1,43925
1,42908
1,41923
1,40966
1,40039
1,39138
1,37414
1,35706
0,00422
0,00438
0,00500
0,00563
0,00625
0,00656
0,00688
0,00719
0,00750
0,00781
0,00813
0,00844
0,00875
0,00906
0,00938
0,00969
0,01000
0,01031
0,01063
0,01094
0,01125
0,01156
0,01188
0,01219
0,01250
0,01281
0,01313
0,01344
0,01375
0,01406
0,01438
0,01469
0,01500
0,01531
0,01563
0,01594
0,01625
0,01656
0,01688
0,01719
0,01750
0,01781
0,01813
0,01844
0,01875
0,01938
0,02003
0,00527
0,00547
0,00625
0,00703
0,00781
0,00820
0,00859
0,00898
0,00938
0,00977
0,01016
0,01055
0,01094
0,01133
0,01172
0,01211
0,01250
0,01289
0,01328
0,01367
0,01406
0,01445
0,01484
0,01524
0,01563
0,01602
0,01641
0,01680
0,01719
0,01758
0,01797
0,01836
0,01875
0,01914
0,01953
0,01992
0,02031
0,02070
0,02109
0,02149
0,02188
0,02227
0,02266
0,02305
0,02344
0,02422
0,02504
0,00591
0,00613
0,00700
0,00788
0,00875
0,00919
0,00963
0,01006
0,01050
0,01094
0,01138
0,01181
0,01225
0,01269
0,01313
0,01356
0,01400
0,01444
0,01488
0,01531
0,01575
0,01619
0,01663
0,01706
0,01750
0,01794
0,01838
0,01881
0,01925
0,01969
0,02013
0,02056
0,02100
0,02144
0,02188
0,02231
0,02275
0,02319
0,02363
0,02406
0,02450
0,02494
0,02538
0,02581
0,02625
0,02713
0,02805
0,00738
0,00766
0,00875
0,00984
0,01094
0,01149
0,01203
0,01258
0,01313
0,01367
0,01422
0,01477
0,01531
0,01586
0,01641
0,01695
0,01750
0,01805
0,01859
0,01914
0,01969
0,02024
0,02078
0,02133
0,02188
0,02242
0,02297
0,02352
0,02406
0,02461
0,02516
0,02570
0,02625
0,02680
0,02735
0,02789
0,02844
0,02899
0,02953
0,03008
0,03063
0,03117
0,03172
0,03227
0,03281
0,03391
0,03506
0,00844
0,00875
0,01000
0,01125
0,01250
0,01313
0,01375
0,01438
0,01500
0,01563
0,01625
0,01688
0,01750
0,01813
0,01875
0,01938
0,02000
0,02063
0,02125
0,02188
0,02250
0,02313
0,02375
0,02438
0,02500
0,02563
0,02625
0,02688
0,02750
0,02813
0,02875
0,02938
0,03000
0,03063
0,03125
0,03188
0,03250
0,03313
0,03375
0,03438
0,03500
0,03563
0,03625
0,03688
0,03750
0,03875
0,04006
0,00949
0,00984
0,01125
0,01266
0,01406
0,01477
0,01547
0,01617
0,01688
0,01758
0,01828
0,01899
0,01969
0,02039
0,02109
0,02180
0,02250
0,02320
0,02391
0,02461
0,02531
0,02602
0,02672
0,02742
0,02813
0,02883
0,02953
0,03024
0,03094
0,03164
0,03235
0,03305
0,03375
0,03446
0,03516
0,03586
0,03656
0,03727
0,03797
0,03867
0,03938
0,04008
0,04078
0,04149
0,04219
0,04360
0,04507
Tab. II
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
71
Tabella Campo 3"
B450C
f yk
f yd
eyd
Campo 3" (k=1)
450
MPa
C20/25
f cd
m=A's/As= 0,50
C25/30
C28/35
f cd
f cd
d=d'/d= 0,06
C45/55
f cd
C35/45
f cd
C40/50
f cd
391,3
MPa
0,196%
11,33
MPa
14,17
MPa
15,87
MPa
19,83
MPa
22,67
MPa
25,50
MPa
x=x/d
r'
r
r
r
r
r
r
0,1350
0,1400
0,1600
0,1800
0,2000
0,2100
0,2200
0,2300
0,2400
0,2500
0,2600
0,2700
0,2800
0,2900
0,3000
0,3100
0,3200
0,3300
0,3400
0,3500
0,3600
0,3700
0,3800
0,3900
0,4000
0,4100
0,4200
0,4300
0,4400
0,4500
0,4600
0,4700
0,4800
0,4900
0,5000
0,5100
0,5200
0,5300
0,5400
0,5500
0,5600
0,5700
0,5800
0,5900
0,6000
0,6200
0,6410
2,20426
2,16573
2,03035
1,91850
1,82412
1,78215
1,74314
1,70674
1,67269
1,64075
1,61072
1,58240
1,55566
1,53035
1,50635
1,48355
1,46187
1,44121
1,42150
1,40267
1,38465
1,36740
1,35086
1,33499
1,31974
1,30508
1,29097
1,27737
1,26427
1,25162
1,23941
1,22762
1,21621
1,20518
1,19450
1,18415
1,17413
1,16440
1,15497
1,14581
1,13692
1,12827
1,11987
1,11170
1,10376
1,08849
1,07330
0,00633
0,00656
0,00750
0,00844
0,00938
0,00984
0,01031
0,01078
0,01125
0,01172
0,01219
0,01266
0,01313
0,01359
0,01406
0,01453
0,01500
0,01547
0,01594
0,01641
0,01688
0,01734
0,01781
0,01828
0,01875
0,01922
0,01969
0,02016
0,02063
0,02109
0,02156
0,02203
0,02250
0,02297
0,02344
0,02391
0,02438
0,02485
0,02531
0,02578
0,02625
0,02672
0,02719
0,02766
0,02813
0,02906
0,03005
0,00791
0,00820
0,00938
0,01055
0,01172
0,01231
0,01289
0,01348
0,01406
0,01465
0,01524
0,01582
0,01641
0,01699
0,01758
0,01817
0,01875
0,01934
0,01992
0,02051
0,02109
0,02168
0,02227
0,02285
0,02344
0,02402
0,02461
0,02520
0,02578
0,02637
0,02695
0,02754
0,02813
0,02871
0,02930
0,02988
0,03047
0,03106
0,03164
0,03223
0,03281
0,03340
0,03399
0,03457
0,03516
0,03633
0,03756
0,00886
0,00919
0,01050
0,01181
0,01313
0,01378
0,01444
0,01509
0,01575
0,01641
0,01706
0,01772
0,01838
0,01903
0,01969
0,02034
0,02100
0,02166
0,02231
0,02297
0,02363
0,02428
0,02494
0,02560
0,02625
0,02691
0,02756
0,02822
0,02888
0,02953
0,03019
0,03085
0,03150
0,03216
0,03281
0,03347
0,03413
0,03478
0,03544
0,03610
0,03675
0,03741
0,03806
0,03872
0,03938
0,04069
0,04207
0,01107
0,01149
0,01313
0,01477
0,01641
0,01723
0,01805
0,01887
0,01969
0,02051
0,02133
0,02215
0,02297
0,02379
0,02461
0,02543
0,02625
0,02707
0,02789
0,02871
0,02953
0,03035
0,03117
0,03199
0,03281
0,03363
0,03446
0,03528
0,03610
0,03692
0,03774
0,03856
0,03938
0,04020
0,04102
0,04184
0,04266
0,04348
0,04430
0,04512
0,04594
0,04676
0,04758
0,04840
0,04922
0,05086
0,05259
0,01266
0,01313
0,01500
0,01688
0,01875
0,01969
0,02063
0,02156
0,02250
0,02344
0,02438
0,02531
0,02625
0,02719
0,02813
0,02906
0,03000
0,03094
0,03188
0,03281
0,03375
0,03469
0,03563
0,03656
0,03750
0,03844
0,03938
0,04031
0,04125
0,04219
0,04313
0,04407
0,04500
0,04594
0,04688
0,04782
0,04875
0,04969
0,05063
0,05157
0,05250
0,05344
0,05438
0,05532
0,05625
0,05813
0,06010
0,01424
0,01477
0,01688
0,01899
0,02109
0,02215
0,02320
0,02426
0,02531
0,02637
0,02742
0,02848
0,02953
0,03059
0,03164
0,03270
0,03375
0,03481
0,03586
0,03692
0,03797
0,03903
0,04008
0,04114
0,04219
0,04324
0,04430
0,04535
0,04641
0,04746
0,04852
0,04957
0,05063
0,05168
0,05274
0,05379
0,05485
0,05590
0,05696
0,05801
0,05907
0,06012
0,06118
0,06223
0,06328
0,06539
0,06761
Tab. III
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
72
Tabella Campo 3"
B450C
f yk
f yd
eyd
Campo 3" (k=1)
450
MPa
C20/25
f cd
m=A's/As= 0,75
C25/30
C28/35
f cd
f cd
d=d'/d= 0,06
C45/55
f cd
C35/45
f cd
C40/50
f cd
391,3
MPa
0,196%
11,33
MPa
14,17
MPa
15,87
MPa
19,83
MPa
22,67
MPa
25,50
MPa
x=x/d
r'
r
r
r
r
r
r
0,1350
0,1400
0,1600
0,1800
0,2000
0,2100
0,2200
0,2300
0,2400
0,2500
0,2600
0,2700
0,2800
0,2900
0,3000
0,3100
0,3200
0,3300
0,3400
0,3500
0,3600
0,3700
0,3800
0,3900
0,4000
0,4100
0,4200
0,4300
0,4400
0,4500
0,4600
0,4700
0,4800
0,4900
0,5000
0,5100
0,5200
0,5300
0,5400
0,5500
0,5600
0,5700
0,5800
0,5900
0,6000
0,6200
0,6410
1,55944
1,53177
1,43442
1,35389
1,28584
1,25555
1,22737
1,20106
1,17643
1,15330
1,13154
1,11101
1,09160
1,07322
1,05578
1,03919
1,02340
1,00835
0,99397
0,98022
0,96706
0,95444
0,94233
0,93070
0,91952
0,90875
0,89838
0,88838
0,87873
0,86941
0,86040
0,85168
0,84325
0,83508
0,82716
0,81948
0,81203
0,80480
0,79778
0,79095
0,78431
0,77785
0,77156
0,76544
0,75948
0,74800
0,73655
0,01266
0,01313
0,01500
0,01688
0,01875
0,01969
0,02063
0,02156
0,02250
0,02344
0,02438
0,02531
0,02625
0,02719
0,02813
0,02906
0,03000
0,03094
0,03188
0,03281
0,03375
0,03469
0,03563
0,03656
0,03750
0,03844
0,03938
0,04031
0,04125
0,04219
0,04313
0,04407
0,04500
0,04594
0,04688
0,04782
0,04875
0,04969
0,05063
0,05157
0,05250
0,05344
0,05438
0,05532
0,05625
0,05813
0,06010
0,01582
0,01641
0,01875
0,02109
0,02344
0,02461
0,02578
0,02695
0,02813
0,02930
0,03047
0,03164
0,03281
0,03399
0,03516
0,03633
0,03750
0,03867
0,03985
0,04102
0,04219
0,04336
0,04453
0,04571
0,04688
0,04805
0,04922
0,05039
0,05157
0,05274
0,05391
0,05508
0,05625
0,05743
0,05860
0,05977
0,06094
0,06211
0,06328
0,06446
0,06563
0,06680
0,06797
0,06914
0,07032
0,07266
0,07512
0,01772
0,01838
0,02100
0,02363
0,02625
0,02756
0,02888
0,03019
0,03150
0,03281
0,03413
0,03544
0,03675
0,03806
0,03938
0,04069
0,04200
0,04332
0,04463
0,04594
0,04725
0,04857
0,04988
0,05119
0,05250
0,05382
0,05513
0,05644
0,05775
0,05907
0,06038
0,06169
0,06300
0,06432
0,06563
0,06694
0,06825
0,06957
0,07088
0,07219
0,07350
0,07482
0,07613
0,07744
0,07875
0,08138
0,08414
0,02215
0,02297
0,02625
0,02953
0,03281
0,03446
0,03610
0,03774
0,03938
0,04102
0,04266
0,04430
0,04594
0,04758
0,04922
0,05086
0,05250
0,05414
0,05578
0,05743
0,05907
0,06071
0,06235
0,06399
0,06563
0,06727
0,06891
0,07055
0,07219
0,07383
0,07547
0,07711
0,07875
0,08040
0,08204
0,08368
0,08532
0,08696
0,08860
0,09024
0,09188
0,09352
0,09516
0,09680
0,09844
0,10172
0,10517
0,02531
0,02625
0,03000
0,03375
0,03750
0,03938
0,04125
0,04313
0,04500
0,04688
0,04875
0,05063
0,05250
0,05438
0,05625
0,05813
0,06000
0,06188
0,06375
0,06563
0,06750
0,06938
0,07125
0,07313
0,07500
0,07688
0,07875
0,08063
0,08250
0,08438
0,08625
0,08813
0,09001
0,09188
0,09376
0,09563
0,09751
0,09938
0,10126
0,10313
0,10501
0,10688
0,10876
0,11063
0,11251
0,11626
0,12019
0,02848
0,02953
0,03375
0,03797
0,04219
0,04430
0,04641
0,04852
0,05063
0,05274
0,05485
0,05696
0,05907
0,06118
0,06328
0,06539
0,06750
0,06961
0,07172
0,07383
0,07594
0,07805
0,08016
0,08227
0,08438
0,08649
0,08860
0,09071
0,09282
0,09493
0,09704
0,09915
0,10126
0,10337
0,10547
0,10758
0,10969
0,11180
0,11391
0,11602
0,11813
0,12024
0,12235
0,12446
0,12657
0,13079
0,13522
Tab. IV
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
73
7.2.2. Verifica della sezione
Nel problema di verifica della sezione sono noti:
- le caratteristiche geometriche della sezione: b, h, d, d’;
- le caratteristiche dei materiali: fck, fyk;
- l’area dell’armatura inferiore As e quella dell’armatura superiore A’s;
- il momento flettente agente MSd.
Le incognite invece sono:
- la retta di rottura, ovvero il valore di x ad essa corrispondente;
- il momento resistente della sezione MRd.
La verifica è positiva se:
MRd ≥ MSd.
Si procede nel modo seguente:
1) In base ai dati relativi ai materiali si valutano fcd, fyd, εyd; dai dati geometrici si risale a:
ρ = As/bd
rapporto geometrico dell’armatura inferiore
ρ’ = A’s/bd
rapporto geometrico dell’armatura superiore
µ = A’s/As = ρ’/ρ
δ = d’/d.
2)
Con i dati riportati al punto 1) si individua il Campo di rottura con metodo tabellare.
3)
Si valuta l’esatto valore di “x”, ovvero si determina la retta di rottura ad essa
corrispondente.
4)
Si valuta il momento resistente MRd e si esegue il confronto con la sollecitazione di
calcolo.
Se, tramite il rapporto geometrico ρ della sezione, viene individuato come Campo di rottura il
Sottocampo 3”, trascurando il fenomeno dell’incrudimento (k=1), valgono le seguenti
relazioni:
σ s = f yd
;
σ' s = −f yd
C = 0.8 fcd b x
F' s = σ' s A ' s = − f yd µ A s
Fs = σ s A s = f yd A s
e dall’equazione di equilibrio alla traslazione si ricava la posizione dell’asse neutro “x”:
C − F' s −Fs = 0
⇒
0.8fcdbx + f ydµA s − f yd A s = 0
⇒
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
x=
f yd A s (1 − µ )
0.8fcdb
74
Si valuta quindi il momento resistente esprimendo, per semplicità, l’equazione di equilibrio
alla rotazione intorno all’asse orizzontale passante per il baricentro dell’armatura inferiore
tesa:
MRd = C[d − 0.4 x ] − F' s (d − d') = 0.8fcdbx[d − 0.4 x ] + f ydµA s (d − d')
e si procede alla verifica:
MRd ≥ MSd.
Se, invece, la rottura avviene nel Sottocampo 3’, nel quale l’armatura superiore è
compressa ed elastica, valgono le seguenti relazioni (k=1):
ε' s
ε
= cu
d'− x
x
⇒
ε' s =
d'− x
ε cu
x
⇒
σ's = Es ε's
σs = fyd
C = 0.8 fcd b x
F's = σ's A 's = E s µ A sε cu
d'− x
x
Fs = σ s A s = fyd A s
Dall’equilibrio alla traslazione discende la seguente equazione di secondo grado in “x”:
C − F's −Fs = 0
⇒
[
]
0.8fcdbx 2 + A s E sµεcu − fyd x − E sµA s ε cu d' = 0 ,
che fornisce, con la sua radice positiva, la posizione x della retta di rottura. Dall’equazione di
equilibrio alla rotazione si ricava quindi il momento resistente:
MRd = C[d − 0.4 x ] − F's (d − d') = 0.8fcdbx[d − 0.4 x ] + E sµA sε cu
x − d'
(d − d') .
x
Se, infine, la rottura della sezione avviene nel Sottocampo 4’, l’armatura A’s è compressa
e snervata ( σ's = − fyd per k = 1 ) mentre l’armatura As è tesa ed elastica. Risulta pertanto:
εs
ε
= cu
d−x
x
⇒
εs =
d−x
ε cu
x
⇒
σs = Es ε s
C = 0.8 fcd b x
F's = σ's A 's = − fyd µ A s
Fs = σ s A s = E s A s ε cu
d−x
x
Dall’equilibrio alla traslazione discende ancora una volta un’equazione di secondo grado
in “x”:
C − F's −Fs = 0
⇒
[
]
0.8fcdbx 2 + A s fydµ + E s ε cu x − E s A s ε cud = 0 ,
mentre l’equazione di equilibrio alla rotazione fornisce il momento resistente:
MRd = C[d − 0.4 x ] − F's (d − d') = 0.8fcdbx[d − 0.4 x ] + µA s fyd (d − d') .
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
75