Aritmetica 2015/2016 Esercizi svolti in classe

Aritmetica 2015/2016
Esercizi svolti in classe - undicesima settimana
Massimo Caboara
[email protected]
2015
Tutta la parte di teoria svolta si trova sul Di Martino o sull’Hertstein., o su
qualunque testo introduttorio di algebra. Qui ci sono alcuni esercizi.
1. Sia p ∈ N, primo. Allora f = xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1 è irriducibile in
Q[x].
Abbiamo che
xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1
=
xp − 1
x−1
Esaminiamo f (x + 1)
(x + 1)p−1 + (x + 1)p−2 + · · · + x + 1 + 1
=
=
=
(x + 1)p − 1
x+1−1
xp + p1 xp−1 + · · · +
p
p−1
x+1−1
x
xp−1 + · · · +
p
p−1
x
xp +
p
1
x
p p−2
p
p
p−1
= x
+
x
+ ··· +
x+
1
p−2
p−1
Questo polinomio è irriducibile per il criterio di Eisenstein, dato che
p
p - 1, p2 - p−1
, p | an−1 , . . . , a0 .
p
La prima affermazione è immediata, l’ultima anche dato che
= p.
p−1
Per le altre, notiamo che per 2 ≤ i ≤ p − 1,
p
p!
=
i
i!(p − i)!
1
è sempre divisibile per p, dato che questo fattore primo compare una volta
sola ed al numeratore della frazione.
Dato che f (x + 1) è irriducubile, lo è anche f .
2. Risolvere su R[x] l’equazione
f = x11 + 4x10 + 3x9 − 8x8 − 16x7 − 9x6 + 5x4 + 16x3 + 24x2 + 16x + 4 = 0
Vediamo se ci sono fattori multiple
f 0 = 11x10 + 40x9 + 27x8 − 64x7 − 112x6 − 54x5 + 20x3 + 48x2 + 48x + 16
g = (f, f 0 ) = x4 + 2x3 − x2 − 4x − 2
Per g vediamo se ci sono radici razionali. Dobbiamo provare ± 11 , ± 12
g(1)
= −4
g(−1)
=
0 quindi x + 1 è fattore
g(2)
=
18
g(−2)
=
2
Dividiamo g per x + 1 ed otteniamo g1 = x3 + x2 − 2x − 2. Dato che si
tratta di un fattore di g, e l’unica possibile radice razionale di g è x = −1,
l’unica possibile radice razionale di g1 è x = −1. Testiamo, e in effetti
g1 (−1) = 0. Dividiamo g1 per x + 1 ed otteniamo x2 − 2. Quindi
g = (x + 1)2 (x2 − 2)
Dato che la parte non squarefree
di f ha una radice di molteplicità 2,
√
x = −1, e due radici x = ± 2, Il polinomio
f ha una radice di molteplicità
√
3, x = −1, e due radici doppie x = ± 2.
La parte squarefree di f è
f
= x7 + 2x6 − 2x4 − 2x3 − 3x2 − 4x − 2
(f, f 0 )
ma non ci servirà per fare i conti.
Abbiamo identificato i fattori di f , (x + 1)3 e (x2 − 2)2 . Dividendo, otteniamo il fattore
x11 + 4x10 + 3x9 − 8x8 − 16x7 − 9x6 + 5x4 + 16x3 + 24x2 + 16x + 4
= x4 +x3 +x2 +x+1
(x + 1)3 (x2 − 2)2
che è irriducibile su Q per il criterio di Eisenstein - cfr. esercizio precedente.
2
3. Fattorizzare in irriducibili f = 6x4 − 15x3 + 10x2 − 10x + 4 ∈ Q[x].
Le possibili radici di f sono gli elementi dell’insieme
1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4
± ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,±
1 2 3 6 1 2 3 6 1 2 3 6
vale a dire
1 1 1 1 2 2 4 4
± ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,±
1 2 3 6 1 3 1 3
Valutando f su questi valori vediamo che le uniche radici sono 2 e 12 .
f
= 3x2 + 2. Il polinomio si
Quindi (x − 2)(2x − 1) | f e (x−2)(2x−1)
fattorizza quindi in Q[x] nel prodotto di irriducibili
(x − 2)(2x − 1)(3x2 + 2)
(x − 2) e 2x − 1 sono polinomi lineari a coefficenti in un campo, e quindi
irriducibili. g = 3x2 + 2 è irriducibile perchè è un fattore di f , che ha
solo le due radici 2, 21 e g(2) 6= 0, g( 12 ) 6= 0. Alternativamente, è un
polinomio di grado 2 senza radici in Q, dato che è la somma di un positivo
o nullo e di un positivo. Alternativamente, il suo discriminante è negativo.
Alternativamente ......
4. Determinare una fattorizzazione in irriducibili del polinomio
f = 2x15 + 3x10 + 4x5 + 1 ∈ Z5 [x]
Notiamo che f 0 = 0 (oppure, notiamo che tutti gli esponenti di f sono
multipli di 5). Per il piccolo teorema di Fermat, sappiamo che esiste
g ∈ Z5 [x] tale che f = g 5 . Questo g è chiaramente
2x3 + 3x2 + 4x + 1
Fattorizziamolo. Usando il metodo delle radici, troviamo che g(1) = 0, e
quindi (x − 1) | g. Dividendo 2x3 + 3x2 + 4x + 1 per x − 1 otteniamo che
2x3 + 3x2 + 4x + 1 = (x − 1)(2x2 + 4)
Dato che x − 1 è lineare e Z5 è campo, è irriducibile. 2x2 + 4 se fosse
riducibile avrebbe due fattori lineari, quindi due radici. Ma g(1), g(2),
g(3) e g(4) sono tutti diversi da zero, e quindi 2x2 + 4 è irriducibile.
Abbiamo quindi
f = 2x15 + 3x10 + 4x5 + 1 = (x − 1)5 (2x2 + 4)5
5. Sia f = x6 + 3x5 − 22x4 − 49x3 + 183x2 + 208x − 576. Trovare una
fattorizzazione in irriducibili di f (x) in Q[x].
Abbiamo
h = (f, f 0 ) = x2 + x − 8
3
Dato che il discriminante di h è 33, che non è un quadrato, h è irriducibile
in Q[x]. Dividendo f per h2 otteniamo x2 + x − 9, che è irriducibile su
Q[x] per le stesse ragioni di h. Una fattorizzazione in irriducibili di f in
Q[x] è quindi
(x2 + x − 8)2 (x2 + x − 9)
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