1 Probabilit`a condizionata

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Probabilità condizionata
Accade spesso di voler calcolare delle probabilità quando si è in possesso di informazioni
parziali sull’esito di un esperimento, o di voler calcolare la probabilità di un evento
ammesso che se ne sia verificato un altro. Questa probabilità è detta condizionata.
Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e siano A, B ∈ A due eventi con P(B) > 0. Si
chiama probabilità condizionata di A dato B e si indica con P(A|B) la quantità
P(A ∩ B)
.
P(B)
P(A|B) =
Nel caso di uno spazio Ω finito ed equiprobabile, con # Ω = n, si ha
P(A ∩ B)
P(A|B) =
=
P(B)
#(A ∩ B)
#(A ∩ B)
n
.
=
#B
#B
n
Esempio 1.1. Si lancia 3 volte una moneta equilibrata. Qual è la probabilità di ottenere
2 teste sapendo che nel primo lancio si è ottenuta una testa?
Si può verificare che dato B ∈ A, tale che P(B) > 0, la probabilità condizionata P(·|B)
è una funzione di probabilità (verifica cioè i 3 assiomi). In paricolare, valgono le seguenti
proprietà
P(∅|B) = 0;
se A1 , ..., An ∈ A a due a due incompatibili, si ha
!
n
n
X
[
P(Ai |B);
Ai B =
P
i=1
i=1
per ogni A ∈ A si ha
P(A|B) = 1 − P(A|B);
se A ∈ A e B ⊂ A, si ha
P(A|B) = 1;
se A1 , A2 ∈ A e A1 ⊂ A2 , si ha
P(A1 |B) ≤ P(A2 |B);
se A1 , ..., An ∈ A, si ha
P
n
[
Ai B
!
i=1
≤
n
X
i=1
1
P(Ai |B).
Proposizione 1.2. Formula di Bayes
Se A, B ∈ A tali che P(A) > 0, P(B) > 0, si ha
P(A|B) =
P(B|A) · P(A)
.
P(B)
Esempio 1.3. In una comunità, il 40% delle famiglie ha un cane e il 20% di quelle che
hanno un cane possiede un gatto. Inoltre il 30% delle famiglie ha un gatto. Calcolare
(a) la probabilità che una famiglia scelta a caso possieda sia un cane sia un gatto;
(b) la probabilità che una famiglia scelta a caso possieda un cane sapendo che possiede
un gatto.
1.1
Teorema della probabilità totale
Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e siano A1 , ..., An ∈ A eventi a due a due
incompatibili tali che
1. P(Ai ) > 0, i = 1, ..., n;
2. Ω =
n
[
Ai .
i=1
Allora, per ogni evento B ∈ A si ha
P(B) =
n
X
P(B|Ai ) · P(Ai ).
i=1
Osservazione 1.4. Il teorema si può estendere al caso di una famiglia numerabile di
eventi a due a due incompatibili. In tal caso, n = ∞.
Esempio 1.5. Un giocatore frequenta un tavolo da gioco dove si alternano due croupier
gemelli: uno è onesto (la probabilità di vincere in sua presenza è 0.5), l’altro bara (la
probabilità di vincere in sua presenza è p < 0.5). Le presenze dei due gemelli sono
equiprobabili. Un giorno il giocatore perde. Qual è la probabilità che il croupier sia quello
disonesto?
2
1.2
Teorema di Bayes
Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e siano A1 , ..., An ∈ A eventi a due a due
incompatibili tali che
1. P(Ai ) > 0, i = 1, ..., n;
2. Ω =
n
[
Ai .
i=1
Allora, per ogni evento B ∈ A, con P(B) > 0 si ha
P(Ai |B) =
P(B|Ai ) · P(Ai )
.
n
X
P(B|Ai ) · P(Ai )
i=1
La dimostrazione è conseguenza della formula di Bayes e del teorema della probabilità
totale.
Esempio 1.6. Chiedete al vostro vicino di annaffiare una pianta durante la vostra assenza.
Senz’acqua la pianta muore con probabilità 0.8, con l’acqua essa muore con probabilità
0.15. Siete certi al 90% che il vostro vicino si ricorderà di annaffiare la pianta.
(a) Quale è la probabilità che la pianta sia viva al vostro ritorno?
(b) Se la pianta muore, qual è la probabilità che il vicino si sia dimenticato di annaffiarla?
1.3
Regola del prodotto
Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e siano A1 , ..., An ∈ A una famiglia di eventi
tali che P(A1 ∩ ... ∩ An ) > 0. Allora
P(A1 ∩ ... ∩ An ) = P(A1 ) · P(A2 |A1 ) · P(A3 |A1 ∩ A2 ) · · · P(An |A1 ∩ ... ∩ An−1 ).
Esempio 1.7. Un’urna contenente 10 palline (3 nere e 7 bianche). Si estrae una pallina,
si guarda il suo colore e la si rimette nell’urna aggiungendone altre 2 dello stesso colore.
Qual è la probabilità di estrarre una pallina nera in ognuno dei primi 3 tentativi?
3
2
Eventi indipendenti
Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità. Due eventi A, B ∈ A si dicono indipendenti
(A q B) se
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Dalla definizione di probabilità condizionata, segue subito che se P(A) > 0, P(B) > 0
AqB
⇔
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
Intiutivamente, la probabilità dell’evento A non dipende dal verificarsi o meno dell’evento
B, e viceversa.
Osservazione 2.1. Se A, B ∈ A sono due eventi incompatibili e P(A) > 0, P(B) > 0,
allora non sono indipendenti.
Proposizione 2.2. Se A e B sono indipendenti, lo sono anche A e B, A e B, A e
B.
Esempio 2.3. Si lanciano due dadi. Siano A, B, C gli eventi
A = {la somma dei punteggi è un numero dispari},
B = {sul primo dado esce il numero 1}
C = {la somma dei punteggi è 7}.
Dire se sono indipendenti A e B, A e C, B e C.
Osservazione 2.4. Se A q B e A q C, posso concludere che A q (B ∩ C)? In generale
no. Si consideri l’esperimento del lancio di due dadi. Siano A, B, C gli eventi
A = {la somma dei punteggi è 7} = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)},
B = {sul primo dado esce il numero 4} = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}
C = {sul secondo dado esce il numero 3} = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}.
4
Si ha
P(A) = P(B) = P(C) =
1
36
1
P(A ∩ C) =
36
1
P(B ∩ C) =
36
P(A ∩ B) =
1
6
⇒
AqB
⇒
AqC
P( A ∩ (B ∩ C) ) =
1
36
Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità. Tre eventi A, B, C ∈ A si dicono indipendenti
se
• P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B) · P(C);
• P(A ∩ B) = P(A) · P(B);
• P(A ∩ C) = P(A) · P(C);
• P(B ∩ C) = P(B) · P(C).
Se 3 eventi sono indipendenti, ognuno di essi è indipendente da qualunque evento si possa
costruire con gli altri due.
Esercizio 2.5. Siano A, B, C tre eventi indipendenti. Verificare che:
(a) gli eventi A e B ∪ C sono indipendenti;
(b) gli eventi A e B ∩ C sono indipendenti.
È bene notare che, se gli eventi A, B, C sono indipendenti, allora sono anche a due a due
indipendenti, ma il viceversa è generalmente falso, come mostra il seguente esempio.
Esempio 2.6. Si consideri il lancio di due monete. Gli eventi
A = {T T, T C},
B = {T T, CC},
C = {T T, CT }
sono a due a due indipendenti, ma non sono indipendenti.
Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e A1 , ..., An ∈ A eventi. A1 , ..., An ∈ A si dicono
indipendenti se per ogni loro sottogruppo Ai1 , ..., Aik , con 1 ≤ i1 ≤ · · · ≤ ik ≤ n si ha
P
k
\
!
Air
=
r=1
k
Y
r=1
5
P(Air ).
Esercizio 2.7. Siano A, B, C ∈ A tre eventi indipendenti. Dimostrare che
P(A ∪ B ∪ C) = P(A)P(B)P(C) + P(B)P(C) + P(C).
Esercizio 2.8. Un certo tipo di missile ha la probabilità 0.3 di colpire il bersaglio. Quanti
missili si devono lanciare affinché la probabilità di colpire il bersaglio almeno una volta sia
almeno dell’80%?
6