Elementi di Matematica Finanziaria Struttura per scadenza

Elementi di Matematica Finanziaria
Struttura per scadenza
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Il problema della valutazione dei
TASSI
Uno strumento di valutazione è dato dalla
conoscenza dei prezzi di mercato dei titoli
obbligazionari senza cedola (Zero Coupon
Bond)
In particolare, ci si riferisce ai TSC (Titolo
Senza Cedole) unitario ovvero a quelli che
pagano, a scadenza, un importo unitario
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Valutazioni dei Tassi
Se esiste un tsc(t) che ora vale a e a scadenza
(in t) rimborsa 1, il mercato offre la
possibilità di capitalizzare le proprie
disponibilità da 0 a t secondo il fattore:
r(0,t)=1/a
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Valutazioni dei Tassi
La conoscenza del fattore:
r(0,t)=1/a
permette di risalire ai rimanenti termini
economici:
ν(0,t)=r(0,t)-1
i(0,t)=[r(0,t)]1/t –1
δ(0,t)=log(1+i(0,t))
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Valutazioni dei Tassi
Supponiamo di conoscere il fattore:
r(0,t)=1/a
per diversi valori di t:
{t1, t2, ..., tn}
E’ possibile conoscere i tassi:
{i(0,t1), i(0,t2), ..., i(0,tn)}
Tassi spot (a pronti)
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Valutazioni dei Tassi
Dalla conoscenza dei tassi:
{i(0,t1), i(0,t2), ..., i(0,tn)}
è possibile risalire ad una funzione che
descrive il valore dei tassi per ogni istante t:
Struttura per scadenze dei tassi di interesse
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Valutazioni dei Tassi
Consideriamo ora una operazione finanziaria
a termine:
Al tempo 0, si decide di acquistare al tempo
s un tsc(t) con s minore di t per il valore a.
Il fattore di capitalizzazione si scrive:
r(s,t)=1/a
a cui sono associabili le altre grandezze
finanziarie
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Valutazioni dei Tassi
La domanda fondamentale è se siamo in grado di
stabilire ora il prezzo a.
Se accettiamo che la legge finanziaria sia
scindibile si ha:
r(0,s).r(s,t)=r(0,t).
Pertanto, la conoscenza dei fattori a pronti
r(0,s) e r(0,t)
permette di determinare il fattore a termine
r(s,t)=r(0,t)/r(0,s)
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Valutazioni dei Tassi
Tassi impliciti
In particolare, la conoscenza di:
r(0,t1) e r(0,t2 )
permette di valutare:
r(t1, t2 )= r(0,t2)/r(0,t1 )
E` opportuno scrivere:
r(0,t1, t2 )
per ricordare che la valutazione avviene in 0
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Valutazioni dei Tassi
L’ipotesi
r(0,s).r(s,t)=r(0,t)
è ragionevole!
In un mercato perfetto corrisponde alla possibilità
di vendita allo scoperto ed all’assenza di
possibilità di arbitraggi
Appare ragionevole anche in un mercato reale
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Valutazioni dei Tassi
Supponiamo che l’ipotesi
r(0,s).r(s,t)=r(0,t)
non valga ma risulti
r(0,s).r(s,t)>r(0,t)
In questa ipotesi, attiviamo la seguente
operazione:
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Valutazioni dei Tassi
Al tempo 0, vendiamo allo scoperto un tsc(t)
incassando ν(0,t) euro che usiamo per comprare a
pronti un tsc(s).
Prevediamo di comprare, inoltre, a termine un
tsc(t) con acquisto in s per ν(0,t) r(0,s)
ovvero il montante di tcs(s)
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Valutazioni dei Tassi
Al tempo s, incassiamo il rimborso del tsc(s) e
acquistiamo il tsc(t) come da contratto, a termine,
stipulato in 0
Al tempo t, si incassa il rimborso del tsc(t)
ovvero ν(0,t) r(0,s)r(s,t) e
si spende 1= ν(0,t)r(0,t) per rimborsare il primo
tsc(t):
In conclusione, si ha il profitto non rischioso
ν(0,t) r(0,s)r(s,t)-1>0
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Esempio
Supponiamo che il mercato sia strutturato su tre
anni e che si abbiano i seguenti prezzi a pronti:
V(0, x1) = 90; V(0, x2) = 8; V(0, x3) = 35
con x1 = 100, x2 = 10, x3 = 50
Si ricavano dunque i prezzi dei titoli unitari:
v(0,1) = 90/100 = 0.9
v(0,2) = 8/10 = 0.8
v(0.3) = 35/50 = 0.7
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Esempio
La struttura per scadenza dei tassi viene ricavata
utilizzando la relazione tra tassi e prezzi:
i(0,1) = (1/0.9) – 1 = 11.11%
i(0,2) = (1/0.8) 1/2 –1 = 11.8%
i(0,3) = (1/0.7)1/3 –1 = 12.63%
La struttura per scadenza dei tassi istantanei è data
da:
δ(0,1) = log(1.1111) = 0.1054
δ(0,2) = log(1.1180) = 0.1115
δ(0,3) = log(1.1263)Università
= 0.1189
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Esempio
La struttura dei tassi impliciti si ricava:
i(0,0,1) = 11.11%
i(0,1,2) = (0.9/0.8) – 1 = 12.5%
i(0,2,3) = (0.8/0.7) – 1 = 14.29%
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Esempio 2
Utilizzare le proprietà della struttura per scadenza
per valutare il seguente titolo, rappresentato dalla
coppia di vettori:
x={0,10,10,110}; t={0, t1,t2,t3}
dove l'unità di misura del tempo è data dagli anni.
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Esempio 2
Scadenza
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Tassi a
pronti
5.72
5.62
5.52
5.42
5.32
5.26
5.20
5.14
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Tassi
impliciti
5.72
5.52
5.32
5.12
4.92
4.96
4.84
4.72
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Esempio 2
Il valore del titolo al tempo 0 è dato da:
V(0, x) = 10/(1.0572*1.0552) +
10/(1.0572*1.0552*1.0532*1.0512) +
110/(1.0572*1.0552*1.0532*1.0512*1.0492*1.0496)
= 8.10 + 8.96 + 80.87 = 97.93
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Titoli con cedole
I tsc hanno una vita breve
Per poter costruire una struttura per scadenza
di durata ragionevole occorre far riferimento
ai titoli che pagano cedole la cui durata è
generalmente più lunga
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Bootstrapping
Una procedura per ricavare ricorsivamente le
informazioni sui tassi
Sia presente sul mercato un tsc(t1). Al tempo t2,
invece, non esista alcun tsc(t2).
Esista, invece, un titolo che paghi in t1 e t2 le
cedole q1 e q2 e che ora valga a. Risulta:
a=q1 ν(0,t1)+q2 ν(0,t2)
da cui è possibile ricavare ν(0,t2)
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Bootstrapping
Se esiste, poi, un titolo che paghi in t1, t2 e t3 le
cedole q1 , q2 e q3 e che ora valga b.
Risultando:
b=q1 ν(0,t1)+q2 ν(0,t2) +q3 ν(0,t3)
è possibile ricavare ν(0,t3)
e cosi via!
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Legge finanziaria associata
L’analisi precedente permette di definire una legge
finanziaria a due variabili che caratterizza il
mercato; ad esempio, r(s,t) che esprime il fattore di
capitalizzazione di una operazione concordata a
t=0 che opera tra i tempi s e t
Se le rilevazioni si ripetono nel tempo si perviene
alla definizione di una legge a tre variabili; ad
esempio, r(x,s,t) che esprime il fattore di
capitalizzazione di una operazione concordata a
t=x che opera
tra
i tempi s e t
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Forza di interesse
Dalla struttura per scadenza dei tassi si può
dedurre la forza di interesse associata alla
legge finanziaria:
∂
δ(s, t) = log(r ( s, s, t ))
∂t
che assume il significato di tasso a termine praticato
in s per operazioni nel tempo futuro t
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Spot rate
Il valore che la forza di interesse assume per
s=t diventa una nuova funzione di s:
τ (s) = δ(s, s)
che assume il significato di tasso a pronti praticato
in s per operazioni al tempo s
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Spot rate
τ(s) si può intendere come il rendimento di
un tsc(s+ds) ovvero di durata infinitesima
quindi denota una tasso istantaneo
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Spot rate
La sua conoscenza permette di caratterizzare
il mercato
La conoscenza dello spot rate in tempi futuri
è ovviamente pura astrazione
Molte informazioni possono però essere
dedotte se si suppone che sia deducibile
attraverso opportuni modelli probabilistici
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