FORMULA GENERATRICE DI NUMERI PRIMI ED ANCHE CUGINI

NUMERI PRIMI E ANCHE CUGINI
Ing. Pier Francesco Roggero
Abstract
In this paper I show as to generate cousin prime numbers.
Riassunto
In questo breve lavoro mostriamo come generare numeri primi cugini (differenza q-p = 4) con
apposita formula generatrice di numeri , primi e non, con differenza 4, e se sono entrambi
primi sono detti numeri primi cugini
°°°°°°
La seguente formula generatrice di numeri primi assicura che ce ne siano sempre:
p = 3x5x7x11x13x17x19x….. ± 2^n
p = 3q# ± 2^n
con n = 1, 2 , 3, 4…
I 2 numeri che risultano sono dati dal prodotto della successione di tutti i numeri primi (meno il
primo pari 2) ± 2^n.
Questi 2 numeri senza il ± 2^n sono, quindi, divisibili per tutti i primi di cui sono composti.
Se aggiungiamo o togliamo numeri pari, ma NON per pari che siano potenze di 2, sono divisibili
per i primi di cui sono composti i pari (ad esempio 6=2*3, 10=2*5). Se togliamo o aggiungiamo una
potenza di 2^n si possono generare numeri primi troncando la successione.
Siccome abbiamo considerato il prodotto (primoriale, p#) di TUTTI i numeri primi della
1
successione questi due numeri grandissimi non sono scrivibili e sono 2 numeri primi MAX (Rif.1) ,
i più grandi possibili e sono primi cugini nel caso di n = 1 e quindi di ± 2.
Se si tronca la successione dei numeri primi i 2 numeri che ne risultano possono essere primi , l’uno
o l’altro o anche entrambi e avremo il caso di numeri primi cugini, ma non potremo MAI essere
sicuri che uno dei due non sia divisibile per un numero primo più grande che non avevamo
considerato ma che segue, ovviamente, nella successione.
Esempi per n = 1 (± 2, si ottengono primi con finale 3, 7):
3 ± 2 = 1, 5
5 primo
3x5 ± 2 = 13, 17 entrambi primi e cugini
3x5x7 ± 2 = 103, 107 entrambi primi e cugini
3x5x7x11 ± 2 = 1153, 1157
1153 primo
1157 = 13x89
3x5x7x11x13 ± 2 = 15013, 15017 entrambi primi e cugini
3x5x7x11x13x17 ± 2 = 255253, 255257
255253 primo
255257= 47x5431
3x5x7x11x13x17x19 ± 2 = 4849843, 4849847
4849843 primo
4849843= 113x167x257
3x5x7x11x13x17x19x23 ± 2 = 111546433, 111546437
2
111546433 primo
111546437= 9221x12097
3x5x7x11x13x17x19x23x29 ± 2 = 3234846613, 3234846617
3234846613= 3234846613 = 43x167x450473
3234846617 primo
3x5x7x11x13x17x19x23x29x31 ± 2 = 100280245063, 100280245067entrambi primi e cugini
3x5x7x11x13x17x19x23x29x31x37 ± 2 = 3710369067403, 3710369067407
3710369067403 = 97x38251227499
3710369067407 primo
3x5x7x11x13x17x19x23x29x31x37x41 ± 2 = 152125131763603, 152125131763607
152125131763603 primo
152125131763607= 241x631224613127
3x5x7x11x13x17x19x23x29x31x37x43 ± 2 = 6541380665835013, 6541380665835017
6.541.380.665.835.013 = 431x125887x120562229
6.541.380.665.835.017= 613x7841x1360935349
In questo caso abbiamo il 1° caso che non funziona per n = 1.
Come confronto si supera però il famoso polinomio generatore n^2 + n + 41 (Rif. 2) che andava
bene per n = 0….39. Nel nostro caso siamo riusciti ad arrivare fino a x 43 come ultimo primo!
Ma vediamo quando ci sarà un primo, che si verificherà sicuramente per qualche n.
Infatti questo si verifica per n =10 (± 1024)
3x5x7x11x13x17x19x23x29x31x37x43 ± 1024 = 6541380665833991, 6541380665836039
6541380665833991 = 59x113x30269x32414617
3
6541380665836039 primo
Se si continua con n = 1 possiamo trovare un altro primo, ad esempio,con x71 finale:
3x5x7x11x13x17x19x23x29x31x37x43x47x53x59x61x67x71 ± 2 =
278.970.415.063.349.480.483.707.693, 278970415063349480483707697
278.970.415.063.349.480.483.707.693 primo (un numero di 27 cifre)
278970415063349480483707697 = 107x229x2832808637x4019033726627
Conclusioni:
Non esiste, come sappiamo, nessuna formula generatrice esclusiva di numeri primi.
Però con questa formula generatrice:
p = 3x5x7x11x13x17x19x….. ± 2^n
p = 3q# ± 2^n
con n = 1, 2 , 3, 4…(± 2, ± 4, ± 8, ± 16…..)
si ottengono sempre numeri primi per un qualche n.
Come ben vediamo, la nostra formula generatrice genera numeri con differenza 4, , con le
seguenti possibilità:
a) nessuno dei due numeri è primo (quando la formula non funziona per n = 1, MA
funzionerà sicuramente per un altro valore di n)
b) solo uno dei due numeri è primo
c) entrambi i numeri sono primi, e in questo caso sono noti come numeri primi cugini , per
distinguerli dai numeri primi gemelli (differenza q - p = 2)
In seguito cercheremo di occuparci anche dei numeri sexy, con differenza q - p = 6 , con una
forma generatrice simile. Per generalizzazione, si potrebbero trovare formule generatrici per
qualsiasi differenza q – d = 2k, entrando così nel campo della congettura di Polignac
(differenza pari q-p = 2k, e quindi dei numeri di Polignac (che molto probabilmente sono
infiniti, lo stesso può dirsi anche per i numeri gemelli (Rif. 3)
4
Riferimenti
1) “Numeri primi Max” , Pier Francesco Roggero, sul sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
2) “Quadruple di numeri primi” Gruppo “B Riemann”, Michele Nardelli, Francesco Di
Noto” (che nella prima parte espone il polinomio di Eulero come generatore di numeri primi)
sul sito http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
3) “INFINITA’ DEI NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN E DEI NUMERI
PRIMI GEMELLI”Gruppo “B. Riemann”, idem
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
5