A. Perego: Gli spazi di moduli di O`Grady

Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Arvid Perego
Universität Johannes Gutenberg Mainz
25-29 maggio 2010
Arvid Perego Universität Johannes Gutenberg Mainz
Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Introduzione
Introduzione
Costruire varietà irriducibili simplettiche è un problema
notoriamente difficile. Gli ultimi nuovi esempi in ordine temporale
sono dovuti ad O’Grady (1999, 2003).
A meno di deformazione, tutti gli esempi conosciuti si possono
costruire a partire da spazi di moduli di fasci su superfici K3
proiettive o su superfici abeliane.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
Definizione
Una varietà irriducibile simplettica (o simplettica olomorfa o
hyperkähler irriducibile) è una varietà complessa X che soddisfa le
seguenti proprietà
è kähleriana;
è compatta, connessa e semplicemente connessa;
ammette una forma olomorfa simplettica ω, cioè una 2−forma
olomorfa chiusa non degenere su X ;
si ha H 0 (X , Ω2X ) = C · ω, dove ΩX è il fibrato cotangente a X .
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
Definizione
Una varietà irriducibile simplettica (o simplettica olomorfa o
hyperkähler irriducibile) è una varietà complessa X che soddisfa le
seguenti proprietà
è kähleriana;
è compatta, connessa e semplicemente connessa;
ammette una forma olomorfa simplettica ω, cioè una 2−forma
olomorfa chiusa non degenere su X ;
si ha H 0 (X , Ω2X ) = C · ω, dove ΩX è il fibrato cotangente a X .
Una varietà irriducibile simplettica è quindi liscia, di dimensione
complessa pari e ha divisore canonico banale (quindi c1 (X ) = 0).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
Conosciamo pochissimi esempi di varietà irriducibli simplettiche. A
meno di deformazione, sono:
le superfici K3 (di dimensione 2 e b2 = 22);
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
Conosciamo pochissimi esempi di varietà irriducibli simplettiche. A
meno di deformazione, sono:
le superfici K3 (di dimensione 2 e b2 = 22);
Beauville (1983): schemi di Hilbert di punti Hilb n (S), con S
K3 e n ∈ N≥2 (di dimensione 2n e b2 = 23);
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
Conosciamo pochissimi esempi di varietà irriducibli simplettiche. A
meno di deformazione, sono:
le superfici K3 (di dimensione 2 e b2 = 22);
Beauville (1983): schemi di Hilbert di punti Hilb n (S), con S
K3 e n ∈ N≥2 (di dimensione 2n e b2 = 23);
Beauville (1983): varietà di Kummer generalizzate K n (T ),
con T toro complesso di dimensione 2 e n ∈ N≥2 (di
dimensione 2n e b2 = 7);
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
Conosciamo pochissimi esempi di varietà irriducibli simplettiche. A
meno di deformazione, sono:
le superfici K3 (di dimensione 2 e b2 = 22);
Beauville (1983): schemi di Hilbert di punti Hilb n (S), con S
K3 e n ∈ N≥2 (di dimensione 2n e b2 = 23);
Beauville (1983): varietà di Kummer generalizzate K n (T ),
con T toro complesso di dimensione 2 e n ∈ N≥2 (di
dimensione 2n e b2 = 7);
e 10 (di dimensione 10 e b2 = 24);
O’Grady (1999): M
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
Conosciamo pochissimi esempi di varietà irriducibli simplettiche. A
meno di deformazione, sono:
le superfici K3 (di dimensione 2 e b2 = 22);
Beauville (1983): schemi di Hilbert di punti Hilb n (S), con S
K3 e n ∈ N≥2 (di dimensione 2n e b2 = 23);
Beauville (1983): varietà di Kummer generalizzate K n (T ),
con T toro complesso di dimensione 2 e n ∈ N≥2 (di
dimensione 2n e b2 = 7);
e 10 (di dimensione 10 e b2 = 24);
O’Grady (1999): M
e6 (di dimensione 6 e b2 = 8).
O’Grady (2003): K
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
I due esempi di O’Grady si costruiscono a partire da spazi di
moduli di fasci, scegliendo opportunamente la superficie (K3 o
abeliana) di base ed alcuni invarianti dei fasci parametrizzati.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
I due esempi di O’Grady si costruiscono a partire da spazi di
moduli di fasci, scegliendo opportunamente la superficie (K3 o
abeliana) di base ed alcuni invarianti dei fasci parametrizzati.
Nel 2006 Lehn e Sorger dimostrano che una costruzione analoga a
quella di O’Grady si può effettuare in una situazione più generale.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
I due esempi di O’Grady si costruiscono a partire da spazi di
moduli di fasci, scegliendo opportunamente la superficie (K3 o
abeliana) di base ed alcuni invarianti dei fasci parametrizzati.
Nel 2006 Lehn e Sorger dimostrano che una costruzione analoga a
quella di O’Grady si può effettuare in una situazione più generale.
La domanda naturale e se anche in questi casi si trovano varietà
irriducibili simplettiche, e se si tratta di nuovi esempi.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
I due esempi di O’Grady si costruiscono a partire da spazi di
moduli di fasci, scegliendo opportunamente la superficie (K3 o
abeliana) di base ed alcuni invarianti dei fasci parametrizzati.
Nel 2006 Lehn e Sorger dimostrano che una costruzione analoga a
quella di O’Grady si può effettuare in una situazione più generale.
La domanda naturale e se anche in questi casi si trovano varietà
irriducibili simplettiche, e se si tratta di nuovi esempi.
In un lavoro in collaborazione con A. Rapagnetta dimostriamo che
otteniamo sempre varietà irriducibili simplettiche, ma queste sono
deformazioni degli esempi di O’Grady.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
Proprietà
Lo Z−modulo H 2 (X , Z) è importante per la geometria di una
varietà irriducibile simplettica X (es. teorema di Torelli per le
superfici K3). Ha due strutture:
una struttura di Hodge pura di peso 2, con h2,0 (X ) = 1 e
h1,1 (X ) = b2 (X ) − 2;
une struttura di reticolo rispetto ad una forma quadratica qX ,
detta forma di Beauville.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
Proprietà
Lo Z−modulo H 2 (X , Z) è importante per la geometria di una
varietà irriducibile simplettica X (es. teorema di Torelli per le
superfici K3). Ha due strutture:
una struttura di Hodge pura di peso 2, con h2,0 (X ) = 1 e
h1,1 (X ) = b2 (X ) − 2;
une struttura di reticolo rispetto ad una forma quadratica qX ,
detta forma di Beauville.
Se X è una superficie K3, allora qX è il prodotto cup di X . La
forma di Beauville è determinata per tutti gli esempi conosciuti:
Beauville (1983), Rapagnetta (2007, 2008).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
Strategia
Come costruire varietà irriducibili simplettiche?
Passo 1: costruire una varietà proiettiva X (non necessariamente
liscia) tale che un aperto liscio U ⊆ X ammetta una forma
simplettica ω.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
Strategia
Come costruire varietà irriducibili simplettiche?
Passo 1: costruire una varietà proiettiva X (non necessariamente
liscia) tale che un aperto liscio U ⊆ X ammetta una forma
simplettica ω.
Passo 2: se X è singolare, determinare l’esistenza di una
risoluzione simplettica di X , cioè una risoluzione delle singolarità
e −→ X , dove X
e è una varietà proiettiva liscia con una forma
π:X
simplettica ω
e tale che ω
e|π−1 (U) = π ∗ (ω).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
Strategia
Come costruire varietà irriducibili simplettiche?
Passo 1: costruire una varietà proiettiva X (non necessariamente
liscia) tale che un aperto liscio U ⊆ X ammetta una forma
simplettica ω.
Passo 2: se X è singolare, determinare l’esistenza di una
risoluzione simplettica di X , cioè una risoluzione delle singolarità
e −→ X , dove X
e è una varietà proiettiva liscia con una forma
π:X
simplettica ω
e tale che ω
e|π−1 (U) = π ∗ (ω).
e , determinare se
Passo 3: se X ammette risoluzione simplettica X
e
X è una varietà irriducibile simplettica.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Varietà irriducibili simplettiche
Esempio: sia X una K3, n ∈ N≥2 , Σn il gruppo delle permutazioni
su n lettere. Allora Σn ha un’azione su X n , il cui luogo fisso è ∆.
Sia S n (X ) := X n /Σn e π : X n −→ S n (X ) il quoziente.
S n (X ) è una varietà proiettiva normale, singolare lungo π(∆).
L’aperto U := S n (X ) \ π(∆) di S n (X ) è liscio e ammette una
forma simplettica.
Il morfismo di Hilbert-Chow ρ : Hilb n (X ) −→ S n (X ) è
risoluzione simplettica.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Spazi di moduli di fasci
Semistabilità
Sia S superficie abeliana o K 3 proiettiva, H ∈ Pic(S) ampio su S.
Il polinomio di Hilbert ridotto pH (F ) di F è:
PH (F )(n) := χ(F ⊗ OS (nH)),
pH (F ) :=
PH (F )
,
α(F )
con α(F ) il coefficiente del termine di grado massimo di PH (F ).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
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Spazi di moduli di fasci
Semistabilità
Sia S superficie abeliana o K 3 proiettiva, H ∈ Pic(S) ampio su S.
Il polinomio di Hilbert ridotto pH (F ) di F è:
PH (F )(n) := χ(F ⊗ OS (nH)),
pH (F ) :=
PH (F )
,
α(F )
con α(F ) il coefficiente del termine di grado massimo di PH (F ).
Definizione
Un fascio F ∈ Coh(S) è H−(semi)stabile se per ogni 0 6= E ⊆ F
si ha
dim(E ) = dim(F ), cioè F è puro;
pH (E ) < pH (F ) (resp. pH (E ) ≤ pH (F )).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Spazi di moduli di fasci
Reticolo di Mukai
e
Lo Z−modulo H(S,
Z) := H 2∗ (S, Z) ha due strutture:
e 2,0 (S) := H 2,0 (S) e
una struttura di Hodge pura di peso 2: H
1,1
0
1,1
4
e (S) := H (S, C) ⊕ H (S) ⊕ H (S, C);
H
una struttura di reticolo rispetto alla forma di Mukai (., .).
e
e
H(S,
Z) è il reticolo di Mukai di S, mentre v ∈ H(S,
Z) è detto
2i
vettore di Mukai. La componente di v in H (S, Z) è indicata vi , e
scriviamo
v = (v0 , v1 , v2 ).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
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Spazi di moduli di fasci
Se F ∈ Coh(S), definiamo il vettore di Mukai di F come
p
v (F ) := ch(F ) · td(S) = (rk(F ), c1 (F ), ch2 (F ) + rk(F )),
con = 1 se S è K3, e = 0 se è abeliana.
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Spazi di moduli di fasci
Se F ∈ Coh(S), definiamo il vettore di Mukai di F come
p
v (F ) := ch(F ) · td(S) = (rk(F ), c1 (F ), ch2 (F ) + rk(F )),
con = 1 se S è K3, e = 0 se è abeliana.
Se v = (v0 , v1 , v2 ) è il vettore di Mukai di un fascio, allora
v0 ≥ 0 e v1 ∈ NS(S);
se v0 = 0, allora v1 = 0 (fasci di dimensione 0) o è la prima
classe di Chern di un divisore effettivo (fasci di dimensione 1).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
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Spazi di moduli di fasci
Spazi di moduli di fasci
e
Sia S una superficie abeliana o K3 proiettiva, v ∈ H(S,
Z) e H un
divisore ampio su S.
Indichiamo Mv (S, H) (resp. Mvs (S, H)) lo spazio dei moduli dei
fasci H−semistabili (resp. H−stabili) su S di vettore di Mukai v .
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Gli spazi di moduli di O’Grady
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Spazi di moduli di fasci
Spazi di moduli di fasci
e
Sia S una superficie abeliana o K3 proiettiva, v ∈ H(S,
Z) e H un
divisore ampio su S.
Indichiamo Mv (S, H) (resp. Mvs (S, H)) lo spazio dei moduli dei
fasci H−semistabili (resp. H−stabili) su S di vettore di Mukai v .
Mv (S, H) è una varietà proiettiva;
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Gli spazi di moduli di O’Grady
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Spazi di moduli di fasci
Spazi di moduli di fasci
e
Sia S una superficie abeliana o K3 proiettiva, v ∈ H(S,
Z) e H un
divisore ampio su S.
Indichiamo Mv (S, H) (resp. Mvs (S, H)) lo spazio dei moduli dei
fasci H−semistabili (resp. H−stabili) su S di vettore di Mukai v .
Mv (S, H) è una varietà proiettiva;
Mvs (S, H) è un aperto liscio di Mv (S, H) di dimensione
2 + (v , v );
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Gli spazi di moduli di O’Grady
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Spazi di moduli di fasci
Spazi di moduli di fasci
e
Sia S una superficie abeliana o K3 proiettiva, v ∈ H(S,
Z) e H un
divisore ampio su S.
Indichiamo Mv (S, H) (resp. Mvs (S, H)) lo spazio dei moduli dei
fasci H−semistabili (resp. H−stabili) su S di vettore di Mukai v .
Mv (S, H) è una varietà proiettiva;
Mvs (S, H) è un aperto liscio di Mv (S, H) di dimensione
2 + (v , v );
Mvs (S, H) ammette una forma simplettica ωv (Mukai).
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Spazi di moduli di fasci
Se S è una superficie abeliana, abbiamo una costruzione ulteriore:
sia F0 ∈ Mv (S, H). Sia
b
av : Mv (S, H) −→ S × S,
−1
av (F ) := (det(pS!
b ([F −F0 ]⊗[P−OS×S
b ])), det(F )⊗det(F0 ) ),
b −→ S
b è la proiezione e P è il fibrato di Poincaré
dove pSb : S × S
b
su S × S.
Definiamo infine Kv (S, H) := av−1 (0, 0).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
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Spazi di moduli di fasci
Ipotesi su v
e
Se v ∈ H(S,
Z) è un vettore di Mukai, poniamo v = mw , con
e
m ∈ N e w ∈ H(S,
Z) un vettore di Mukai primitivo. Scriviamo
w = (w0 , w1 , w2 ). Supponiamo:
1
(w , w ) ≥ −2;
2
w0 ≥ 0 e w1 ∈ NS(S);
3
se w0 = 0, allora w1 è la prima classe di Chern di un divisore
effettivo, e w2 6= 0
(escludiamo cioè il caso v = (0, 0, k), che corrisponde a S k (S)).
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Spazi di moduli di fasci
v −genericità
Sia F ∈ Mv (S, H) strettamente H−semistabile, E ⊆ F un
sottofascio H−destabilizzante. Se v0 > 0, definiamo
D := rk(E )c1 (F ) − rk(F )c1 (E ),
WD := {ξ ∈ NS(S) | ξ · D = 0}.
Se v0 = 0, definiamo D := χ(E )c1 (F ) − χ(F )c1 (E ).
Ogni WDSè chiamato v −muro, ed ogni componente connessa di
NS(S) \ D WD è chiamata v −camera.
Una polarizzazione H è detta v −generica se sta in una v −camera.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Spazi di moduli e varietà irriducibili simplettiche
Vettore di Mukai primitivo
Il primo importante risultato è il seguente (Mukai, Huybrechts,
O’Grady, Yoshioka):
Teorema
Supponiamo S una superficie K3, m = 1 e H v −generica. Allora
Mv (S, H) = Mvs (S, H) 6= ∅.
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Spazi di moduli e varietà irriducibili simplettiche
Vettore di Mukai primitivo
Il primo importante risultato è il seguente (Mukai, Huybrechts,
O’Grady, Yoshioka):
Teorema
Supponiamo S una superficie K3, m = 1 e H v −generica. Allora
Mv (S, H) = Mvs (S, H) 6= ∅.
1
Se (v , v ) = −2, allora Mv (S, H) è un punto ridotto.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
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Spazi di moduli e varietà irriducibili simplettiche
Vettore di Mukai primitivo
Il primo importante risultato è il seguente (Mukai, Huybrechts,
O’Grady, Yoshioka):
Teorema
Supponiamo S una superficie K3, m = 1 e H v −generica. Allora
Mv (S, H) = Mvs (S, H) 6= ∅.
1
Se (v , v ) = −2, allora Mv (S, H) è un punto ridotto.
2
Se (v , v ) = 0, allora Mv (S, H) è una superficie K3.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Spazi di moduli e varietà irriducibili simplettiche
Vettore di Mukai primitivo
Il primo importante risultato è il seguente (Mukai, Huybrechts,
O’Grady, Yoshioka):
Teorema
Supponiamo S una superficie K3, m = 1 e H v −generica. Allora
Mv (S, H) = Mvs (S, H) 6= ∅.
1
Se (v , v ) = −2, allora Mv (S, H) è un punto ridotto.
2
Se (v , v ) = 0, allora Mv (S, H) è una superficie K3.
3
Se (v , v ) ≥ 2, allora Mv (S, H) è irriducibile simplettica,
equivalente per deformazione a Hilb
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(v ,v )
+1
2
(S).
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Spazi di moduli e varietà irriducibili simplettiche
Vettore di Mukai primitivo
Il primo importante risultato è il seguente (Mukai, Huybrechts,
O’Grady, Yoshioka):
Teorema
Supponiamo S una superficie K3, m = 1 e H v −generica. Allora
Mv (S, H) = Mvs (S, H) 6= ∅.
1
Se (v , v ) = −2, allora Mv (S, H) è un punto ridotto.
2
Se (v , v ) = 0, allora Mv (S, H) è una superficie K3.
3
Se (v , v ) ≥ 2, allora Mv (S, H) è irriducibile simplettica,
equivalente per deformazione a Hilb
(v ,v )
+1
2
(S).
Analogo per Kv (S, H), con S abeliana e v primitivo (Yoshioka).
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Spazi di moduli e varietà irriducibili simplettiche
Vettore di Mukai non primitivo
Supponiamo m ≥ 2. Allora Mv (S, H) può essere singolare:
ammette risoluzione simplettica?
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Spazi di moduli e varietà irriducibili simplettiche
Vettore di Mukai non primitivo
Supponiamo m ≥ 2. Allora Mv (S, H) può essere singolare:
ammette risoluzione simplettica?
1
se (w , w ) = −2, allora Mv è un punto di molteplicità m;
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Spazi di moduli e varietà irriducibili simplettiche
Vettore di Mukai non primitivo
Supponiamo m ≥ 2. Allora Mv (S, H) può essere singolare:
ammette risoluzione simplettica?
1
2
se (w , w ) = −2, allora Mv è un punto di molteplicità m;
se (w , w ) = 0, allora Mv ' S m (Mw ), quindi ammette
risoluzione simplettica Hilb m (Mw ).
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Spazi di moduli e varietà irriducibili simplettiche
Siano m ≥ 2 e (w , w ) ≥ 2.
Teorema
1 Se m = 2 e (w , w ) = 2, allora M (S, H) ammette una
v
e v −→ Mv , ottenuta come
risoluzione simplettica πv : M
scoppiamento di Mv lungo il suo luogo singolare Σv con
struttura ridotta (O’Grady, Lehn-Sorger).
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Spazi di moduli e varietà irriducibili simplettiche
Siano m ≥ 2 e (w , w ) ≥ 2.
Teorema
1 Se m = 2 e (w , w ) = 2, allora M (S, H) ammette una
v
e v −→ Mv , ottenuta come
risoluzione simplettica πv : M
scoppiamento di Mv lungo il suo luogo singolare Σv con
struttura ridotta (O’Grady, Lehn-Sorger).
2
Se m > 2 o (w , w ) > 2, allora Mv non ammette risoluzioni
simplettiche. Inoltre, Mv è localmente fattoriale, cioè ogni
divisore di Weil è di Cartier (Kaledin-Lehn-Sorger).
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Spazi di moduli e varietà irriducibili simplettiche
Siano m ≥ 2 e (w , w ) ≥ 2.
Teorema
1 Se m = 2 e (w , w ) = 2, allora M (S, H) ammette una
v
e v −→ Mv , ottenuta come
risoluzione simplettica πv : M
scoppiamento di Mv lungo il suo luogo singolare Σv con
struttura ridotta (O’Grady, Lehn-Sorger).
2
Se m > 2 o (w , w ) > 2, allora Mv non ammette risoluzioni
simplettiche. Inoltre, Mv è localmente fattoriale, cioè ogni
divisore di Weil è di Cartier (Kaledin-Lehn-Sorger).
Se S è una superficie abeliana, definiamo
ev (S, H) := π −1 (Kv (S, H)).
K
v
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Triple di tipo OLS
Triple di tipo OLS
Definizione
Una tripla (S, v , H) è detta di tipo OLS se
S è una superficie abeliana o K3 proiettiva;
v = 2w , con w è un vettore di Mukai primitivo tale che
(w , w ) = 2;
se w = (w0 , w1 , w2 ), allora w0 ≥ 0, w1 ∈ NS(S) e se w0 = 0
allora w2 6= 0 e w1 è una classe effettiva;
H è una polarizzazione v −generica.
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Triple di tipo OLS
Triple di tipo OLS
Definizione
Una tripla (S, v , H) è detta di tipo OLS se
S è una superficie abeliana o K3 proiettiva;
v = 2w , con w è un vettore di Mukai primitivo tale che
(w , w ) = 2;
se w = (w0 , w1 , w2 ), allora w0 ≥ 0, w1 ∈ NS(S) e se w0 = 0
allora w2 6= 0 e w1 è una classe effettiva;
H è una polarizzazione v −generica.
e v (resp. K
ev ) è irriducibile simplettica?
Se (S, v , H) è di tipo OLS, M
Qual è la sua classe di deformazione?
Quali proprietà hanno le singolarità di Mv (S, H) e Kv (S, H)?
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Triple di tipo OLS
Esempio di O’Grady di dimensione 10
Sia X una superficie K3 proiettiva tale che Pic(X ) = Z · H, con H
ampio e H 2 = 2. Sia v := (2, 0, −2), e poniamo M10 := Mv (X , H).
La tripla (X , v , H) è di tipo OLS.
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Triple di tipo OLS
Esempio di O’Grady di dimensione 10
Sia X una superficie K3 proiettiva tale che Pic(X ) = Z · H, con H
ampio e H 2 = 2. Sia v := (2, 0, −2), e poniamo M10 := Mv (X , H).
La tripla (X , v , H) è di tipo OLS.
Teorema
e 10 di M10 è una
( O’Grady, 1999). La risoluzione simplettica M
varietà irriducibile simplettica di dimensione 10 e b2 ≥ 24.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Triple di tipo OLS
Esempio di O’Grady di dimensione 10
Sia X una superficie K3 proiettiva tale che Pic(X ) = Z · H, con H
ampio e H 2 = 2. Sia v := (2, 0, −2), e poniamo M10 := Mv (X , H).
La tripla (X , v , H) è di tipo OLS.
Teorema
e 10 di M10 è una
( O’Grady, 1999). La risoluzione simplettica M
varietà irriducibile simplettica di dimensione 10 e b2 ≥ 24.
e 10 ) = 24, descrizione di q e .
Rapagnetta (2008): b2 (M
M10
P. (2009): M10 è una varietà 2−fattoriale, cioè per ogni divisore di
Weil D di M10 , il divisore 2D è di Cartier; calcolo di Pic(M10 ).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Triple di tipo OLS
Esempio di O’Grady di dimensione 6
Sia J la jacobiana di una curva proiettiva liscia di genere 2, tale
che NS(J) = Z · h, con h è una classe ampia e h2 = 2. Sia
v = (2, 0, −2) e poniamo K6 := Kv (J, H). La tripla (J, v , H) è di
tipo OLS.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Triple di tipo OLS
Esempio di O’Grady di dimensione 6
Sia J la jacobiana di una curva proiettiva liscia di genere 2, tale
che NS(J) = Z · h, con h è una classe ampia e h2 = 2. Sia
v = (2, 0, −2) e poniamo K6 := Kv (J, H). La tripla (J, v , H) è di
tipo OLS.
Teorema
e6 di K6 è una
( O’Grady, 2003). La risoluzione simplettica K
varietà irriducibile simplettica di dimensione 6 e b2 = 8
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Triple di tipo OLS
Esempio di O’Grady di dimensione 6
Sia J la jacobiana di una curva proiettiva liscia di genere 2, tale
che NS(J) = Z · h, con h è una classe ampia e h2 = 2. Sia
v = (2, 0, −2) e poniamo K6 := Kv (J, H). La tripla (J, v , H) è di
tipo OLS.
Teorema
e6 di K6 è una
( O’Grady, 2003). La risoluzione simplettica K
varietà irriducibile simplettica di dimensione 6 e b2 = 8
Rapagnetta (2006): descrizione di qKe6 .
P. (2009): K6 è una varietà 2−fattoriale; calcolo di Pic(K6 ).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Risultato principale
Cosa succede per altre triple (S, v , H) di tipo OLS?
Il risultato ottenuto è il seguente:
Teorema
( P.-Rapagnetta, 2010). Sia (S, v , H) una tripla di tipo OLS.
e v (S, H) è irriducibile simplettica,
1 Se S è K3, allora M
e 10 .
equivalente per deformazione a M
2
ev (S, H) è irriducibile simplettica,
Se S è abeliana, allora K
e6 .
equivalente per deformazione a K
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Dimostrazione
La dimostrazione si divide in varie parti (descriviamo solo il caso
K3, quello abeliano è analogo):
1
deformazioni di triple di tipo OLS e deformazioni di risoluzioni
simplettiche;
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Dimostrazione
La dimostrazione si divide in varie parti (descriviamo solo il caso
K3, quello abeliano è analogo):
1
2
deformazioni di triple di tipo OLS e deformazioni di risoluzioni
simplettiche;
si dimostra che se (S, v , H) e (S 0 , v 0 , H 0 ) sono due triple di
tipo OLS e v0 = v00 , allora il teorema vale per (S, v , H) se e
solo se vale per (S 0 , v 0 , H 0 );
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Dimostrazione
La dimostrazione si divide in varie parti (descriviamo solo il caso
K3, quello abeliano è analogo):
1
2
3
deformazioni di triple di tipo OLS e deformazioni di risoluzioni
simplettiche;
si dimostra che se (S, v , H) e (S 0 , v 0 , H 0 ) sono due triple di
tipo OLS e v0 = v00 , allora il teorema vale per (S, v , H) se e
solo se vale per (S 0 , v 0 , H 0 );
si determinano corrispondenze birazionali tra spazi di moduli i
cui vettori di Mukai hanno rango differente.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Deformazioni di OLS
Sia (S, v , H) una tripla di tipo OLS con H 2 = 2d, e sia K2d lo
spazio dei moduli delle superfici K3 polarizzate di grado 2d.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Deformazioni di OLS
Sia (S, v , H) una tripla di tipo OLS con H 2 = 2d, e sia K2d lo
spazio dei moduli delle superfici K3 polarizzate di grado 2d.
Si noti che v = 2w , dove w = (w0 , w1 , w2 ) e w1 ∈ NS(S). Sia
L ∈ Pic(S) tale che c1 (L) = w1 .
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Deformazioni di OLS
Sia (S, v , H) una tripla di tipo OLS con H 2 = 2d, e sia K2d lo
spazio dei moduli delle superfici K3 polarizzate di grado 2d.
Si noti che v = 2w , dove w = (w0 , w1 , w2 ) e w1 ∈ NS(S). Sia
L ∈ Pic(S) tale che c1 (L) = w1 .
Sia T una curva connessa liscia, f : Y −→ T un morfismo e
L ∈ Pic(Y ). Per ogni t ∈ T poniamo
Yt := f −1 (t),
Lt := L|Yt ∈ Pic(Yt ).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Definizione
Una deformazione di (S, v , H) lungo T è data da
una deformazione liscia e proiettiva f : X −→ T di (S, H) in
K2d , cioè per ogni t ∈ T la fibra Xt è una K3 con una
polarizzazione Ht di grado 2d, ed esiste 0 ∈ T tale che
(X0 , H0 ) = (S, H);
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Definizione
Una deformazione di (S, v , H) lungo T è data da
una deformazione liscia e proiettiva f : X −→ T di (S, H) in
K2d , cioè per ogni t ∈ T la fibra Xt è una K3 con una
polarizzazione Ht di grado 2d, ed esiste 0 ∈ T tale che
(X0 , H0 ) = (S, H);
una deformazione L di L lungo T , cioè un fibrato lineare
T −piatto L ∈ Pic(X ) tale che L0 = L,
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Definizione
Una deformazione di (S, v , H) lungo T è data da
una deformazione liscia e proiettiva f : X −→ T di (S, H) in
K2d , cioè per ogni t ∈ T la fibra Xt è una K3 con una
polarizzazione Ht di grado 2d, ed esiste 0 ∈ T tale che
(X0 , H0 ) = (S, H);
una deformazione L di L lungo T , cioè un fibrato lineare
T −piatto L ∈ Pic(X ) tale che L0 = L,
tale che (Xt , vt , Ht ) è di tipo OLS per ogni t ∈ T , dove
vt := 2wt = 2(w0 , c1 (Lt ), w2 ).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Sia (X , L ) una deformazione di una tripla (S, v , H) di tipo OLS
lungo una curva connessa liscia T .
Consideriamo gli spazi dei moduli relativi di fasci (semi)stabili
lungo T
φ : M −→ T ,
φs : M s −→ T ,
cioè per ogni t ∈ T si ha Mt = Mvt (Xt , Ht ) e Mts = Mvst (Xt , Ht ).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Sia (X , L ) una deformazione di una tripla (S, v , H) di tipo OLS
lungo una curva connessa liscia T .
Consideriamo gli spazi dei moduli relativi di fasci (semi)stabili
lungo T
φ : M −→ T ,
φs : M s −→ T ,
cioè per ogni t ∈ T si ha Mt = Mvt (Xt , Ht ) e Mts = Mvst (Xt , Ht ).
Il morfismo φ è proiettivo e piatto, quindi M è deformazione
proiettiva e piatta di Mv (S, H). Inoltre, M s è un aperto di M .
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Sia Σ := M \ M s , quindi Σ =
S
t∈T
Σvt , dove
Σvt := Sing (Mvt (Xt , Ht )) = Mvt (Xt , Ht ) \ Mvst (Xt , Ht ).
Allora Σ è un chiuso di M che è T −piatto.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Sia Σ := M \ M s , quindi Σ =
S
t∈T
Σvt , dove
Σvt := Sing (Mvt (Xt , Ht )) = Mvt (Xt , Ht ) \ Mvst (Xt , Ht ).
Allora Σ è un chiuso di M che è T −piatto.
f−→ T lo scoppiamento di M lungo Σ con struttura
Sia ψ : M
ridotta. Allora
ft = M
e v (Xt , Ht ),
M
t
fè una deformazione liscia e proiettiva di M
e v (S, H).
cioè M
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Proposizione
Sia (S, v , H) una tripla di tipo OLS con S K3, e (X , L ) una
deformazione di (S, v , H) lungo una curva connessa liscia T . Allora
e v (S, H) è irriducibile simplettica equivalente per deformazione a
M
e
e v (Xt , Ht ) lo è.
M10 se e solo se esiste t ∈ T tale che M
t
Problema: trovare deformazioni esplicite di triple di tipo OLS.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Riduzione a K3 con numero di Picard 1
Sia (S, v , H) una tripla di tipo OLS. Possiamo assumere:
se v0 > 0, allora v1 = 2c1 (OS (H)) e H 2 0;
se v0 = 0, allora v1 = 2c1 (OS (H)) e H 2 = 2.
In questo modo, una deformazione di (S, v , H) si riconduce ad una
deformazione di (S, H).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Se (S, v , H) e (S 0 , v 0 , H 0 ) verificano le precedenti ipotesi, possiamo
inoltre assumere (deformando (S, H) e (S 0 , H 0 )) che S = S 0 e
H = H 0 . Si dimostra infine:
Proposizione
Siano (S, v , H) e (S 0 , v 0 , H 0 ) due triple di tipo OLS con S e S 0
e v (S, H) è irriducibile simplettica
superfici K3 e v0 = v00 . Allora M
e 10 se e solo se M
e v 0 (S 0 , H 0 ) lo è.
equivalente per deformazione a M
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Grazie ai risultati precedenti, possiamo supporre che (S, v , H)
verifichi le proprietà seguenti:
1
S = X è una superficie K3 tale che Pic(X ) = Z · H, con H
ampio e H 2 = 2. Sia h := c1 (H).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Grazie ai risultati precedenti, possiamo supporre che (S, v , H)
verifichi le proprietà seguenti:
1
S = X è una superficie K3 tale che Pic(X ) = Z · H, con H
ampio e H 2 = 2. Sia h := c1 (H).
2
Se v0 > 0, allora v = 2(r , h, 0) per r > 0. Poniamo
e r ,0 := M
e v (X , H).
Mr ,0 := Mv (X , H) e M
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Grazie ai risultati precedenti, possiamo supporre che (S, v , H)
verifichi le proprietà seguenti:
1
S = X è una superficie K3 tale che Pic(X ) = Z · H, con H
ampio e H 2 = 2. Sia h := c1 (H).
2
Se v0 > 0, allora v = 2(r , h, 0) per r > 0. Poniamo
e r ,0 := M
e v (X , H).
Mr ,0 := Mv (X , H) e M
3
Se v0 = 0, allora v = 2(0, h, r ) per r > 0. Poniamo
e 0,r := M
e v (X , H).
M0,r := Mv (X , H) e M
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Corrispondenze birazionali
Consideriamo i due seguenti funtori:
F : D b (X ) −→ D b (X ),
F(F • ) := Rp∗ (q ∗ F • ⊗ I∆ ),
D : D b (X ) −→ D b (X ),
D(F • ) := RH om(F • , OX ),
e sia G := D ◦ F.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Corrispondenze birazionali
Consideriamo i due seguenti funtori:
F : D b (X ) −→ D b (X ),
F(F • ) := Rp∗ (q ∗ F • ⊗ I∆ ),
D : D b (X ) −→ D b (X ),
D(F • ) := RH om(F • , OX ),
e sia G := D ◦ F.
1
G è un’equivalenza;
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Corrispondenze birazionali
Consideriamo i due seguenti funtori:
F : D b (X ) −→ D b (X ),
F(F • ) := Rp∗ (q ∗ F • ⊗ I∆ ),
D : D b (X ) −→ D b (X ),
D(F • ) := RH om(F • , OX ),
e sia G := D ◦ F.
1
G è un’equivalenza;
2
se v (F • ) = (0, mh, a), allora v (G(F • )) = (a, mh, 0);
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Corrispondenze birazionali
Consideriamo i due seguenti funtori:
F : D b (X ) −→ D b (X ),
F(F • ) := Rp∗ (q ∗ F • ⊗ I∆ ),
D : D b (X ) −→ D b (X ),
D(F • ) := RH om(F • , OX ),
e sia G := D ◦ F.
1
G è un’equivalenza;
2
se v (F • ) = (0, mh, a), allora v (G(F • )) = (a, mh, 0);
3
esiste un fascio stabile E tale che v (E ) = (0, h, r ) e G(E ) è
fascio stabile.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Idea: sia C ∈ |H| una curva liscia, i : C −→ X l’inclusione,
L ∈ Pic(C ) tale che:
deg (L) = r + 1 e h0 (L) = r ;
L è globalmente generato.
Allora i∗ L è stabile e v (i∗ L) = (0, h, r ). Sia E := F(i∗ L), allora si
ha una successione esatta
ev
0 −→ E −→ H 0 (C , L) ⊗ OX −→ i∗ L −→ 0.
Quindi E è localmente libero, da cui G(i∗ L) = E ∗ . Si dimostra
quindi che E è µ−stabile.
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Proposizione
Sia r > 0 un intero. Allora il funtore G induce una corrispondenza
e 0,r e M
e r ,0 . In particolare M
e 0,r è irriducibile
birazionale tra M
e 10 se e solo se lo è M
e r ,0 .
simplettica e deformazione di M
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Proposizione
Sia r > 0 un intero. Allora il funtore G induce una corrispondenza
e 0,r e M
e r ,0 . In particolare M
e 0,r è irriducibile
birazionale tra M
e 10 se e solo se lo è M
e r ,0 .
simplettica e deformazione di M
Conclusione: sia (S, v , H) una tripla di tipo OLS con S K3.
Possiamo supporre S = X e v = 2(r , h, 0) o v = 2(0, h, r ).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Proposizione
Sia r > 0 un intero. Allora il funtore G induce una corrispondenza
e 0,r e M
e r ,0 . In particolare M
e 0,r è irriducibile
birazionale tra M
e 10 se e solo se lo è M
e r ,0 .
simplettica e deformazione di M
Conclusione: sia (S, v , H) una tripla di tipo OLS con S K3.
Possiamo supporre S = X e v = 2(r , h, 0) o v = 2(0, h, r ).
Per il teorema precedente, possiamo supporre v = 2(0, h, r ), e
e 0,r è irriducibile simplettica equivalente per
dimostriamo che M
e 10 .
deformazione a M
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Proposizione
Sia r > 0 un intero. Allora il funtore G induce una corrispondenza
e 0,r e M
e r ,0 . In particolare M
e 0,r è irriducibile
birazionale tra M
e 10 se e solo se lo è M
e r ,0 .
simplettica e deformazione di M
Conclusione: sia (S, v , H) una tripla di tipo OLS con S K3.
Possiamo supporre S = X e v = 2(r , h, 0) o v = 2(0, h, r ).
Per il teorema precedente, possiamo supporre v = 2(0, h, r ), e
e 0,r è irriducibile simplettica equivalente per
dimostriamo che M
e 10 .
deformazione a M
e 0,r è deformazione di M
e 0,1 , che è irriducibile simplettica ed
Ma M
e 10 (O’Grady).
equivalente per deformazione a M
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Se S è abeliana, possiamo supporre S = J, la jacobiana di una
curva proiettiva liscia di genere 2, tale che NS(J) = Z · h, con h
classe ampia e h2 = 2. In questo caso J ' b
J, e usando il fibrato di
Poincaré P si definisce
G : D b (J) −→ D b (b
J),
1
G(F • ) := Rp∗ (q ∗ F • ⊗ P).
G è un’equivalenza;
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Se S è abeliana, possiamo supporre S = J, la jacobiana di una
curva proiettiva liscia di genere 2, tale che NS(J) = Z · h, con h
classe ampia e h2 = 2. In questo caso J ' b
J, e usando il fibrato di
Poincaré P si definisce
G : D b (J) −→ D b (b
J),
G(F • ) := Rp∗ (q ∗ F • ⊗ P).
1
G è un’equivalenza;
2
se v (F • ) = (0, mh, a), allora v (G(F • )) = (a, −mb
h, 0);
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Se S è abeliana, possiamo supporre S = J, la jacobiana di una
curva proiettiva liscia di genere 2, tale che NS(J) = Z · h, con h
classe ampia e h2 = 2. In questo caso J ' b
J, e usando il fibrato di
Poincaré P si definisce
G : D b (J) −→ D b (b
J),
G(F • ) := Rp∗ (q ∗ F • ⊗ P).
1
G è un’equivalenza;
2
se v (F • ) = (0, mh, a), allora v (G(F • )) = (a, −mb
h, 0);
3
esiste un fascio stabile E tale che v (E ) = (0, h, r ) e G(E ) è
stabile (Bridgeland).
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Gli spazi di moduli di O’Grady
Risultato principale e dimostrazione
Problemi aperti
1
Sia (S, v , H) una tripla di tipo OLS: Mv (S, H) è 2−fattoriale?
2
e
e v , Z)).
Relazione tra v ⊥ ⊆ H(S,
Z) e H 2 (Mv , Z) (o H 2 (M
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